Kunna dra slutsatser om t ex ett systems betjäningstider och antalet köplatser genom att tolka diagram.

Relevanta dokument
Kunna dra slutsatser om ett systems betjäningstider och antalet köplatser genom att tolka diagram.

Kunna använda Littles sats för enkla räkningar på kösystem.

Kunna beräkna P (spärr) för system med begränsat antal kunder och köplatser. Kunna beräkna medelantal upptagna betjänare.

Kunna använda Littles sats för enkla räkningar på kösystem.

Kunna beräkna spärren i ett M/M/m*upptagetsystem. Känna till begreppet utnyttjning av en betjänare och beräkna den.

Kunna beräkna spärren i ett M/M/m*upptagetsystem.

Kunna beräkna medelantal kunder för alla köer i ett könät utan återkopplingar.

Fö relä sning 2, Kö system 2015

TILLSTÅNDSGRAFEN. Slutligen erhålls den mycket viktiga så kallade Snittmetoden :

Kunna beräkna medelantal kunder för alla köer i ett könät utan återkopplingar. I denna övning kallas ett kösystem som ingår i ett könät oftast nod.

Tiden i ett tillstånd

Kunna beräkna medelantal kunder för alla köer i ett könät med återkopplingar. I denna övning kallas ett kösystem som ingår i ett könät oftast nod.

M/M/m/K kösystem. M/M/m/K kösystem

Kurs: HF1012 Matematisk statistik Lärare: Armin Halilovic

Kunna definiera laplacetransformen för en kontinuerlig stokastisk variabel. Kunna definiera z-transformen för en diskret stokastisk variabel.

2 Laborationsuppgifter, upptagetsystem

a) Använd samtal.mat för att beräkna antalet samtal som blir spärrade i de olika cellerna under den givna timmen.

Fö relä sning 1, Kö system vä ren 2014

TENTAMEN I KOTEORI 20 dec 07 Ten2 i kursen HF1001 ( Tidigare kn 6H3012), KÖTEORI OCH MATEMATISK STATISTIK,

Fö relä sning 1, Kö system 2015

Ett M/M/1 betjäningssystem har följande egenskaper: 1. Systemet har en betjänare. Betjäningstiderna är exponentialfördelade med medelvärde 1 μ

Performance QoS Köteori SNMP. Felsökning. Jens A Andersson (Maria Kihl) GET request GET response SET request TRAP MIB. Att mäta är att veta ping

Övning 1(a) Vad du ska kunna efter denna övning. Problem, nivå A. Redogöra för begreppen diskret och kontinuerlig stokastisk variabel.

Performance QoS Köteori. Jens A Andersson (Maria Kihl)

Markovprocesser SF1904

Ur en kortlek på 52 kort väljer man ( utan återläggning och utan hänsyn till ordning) slumpvis 5 kort. Vad är sannolikheten för att få

b) Vad är sannolikheten att personen somnar i lägenheten? (4 p) c) Hur många gånger förväntas personen byta rum? (4 p)

TENTAMEN I SF1904 MARKOVPROCESSER TISDAGEN DEN 29 MAJ 2018 KL

aug 2017 Kurskod HF1012 Halilovic internet. Betygsgränser: För (betyg Fx). Sida 1 av 13

Tentamen TEN1, HF1012, 29 maj Matematisk statistik Kurskod HF1012 Skrivtid: 14:00-18:00 Lärare och examinator : Armin Halilovic

TENTAMEN I SF1904 MARKOVPROCESSER FREDAGEN DEN 18 AUGUSTI 2017 KL


MIO310 OPTIMERING OCH SIMULERING, 4 p

Föreläsningsanteckningar köteori

Fördelningsfunktionen för en kontinuerlig stokastisk variabel. Täthetsfunktionen för en kontinuerlig och en diskret stokastisk variabel.

TENTAMEN I SF1904 MARKOVPROCESSER FREDAGEN DEN 17 AUGUSTI 2018 KL

TAMS79: Föreläsning 10 Markovkedjor

Tentamen i FMS180/MASC03 Markovprocesser

Lösningar till tentamen i Transformmetoder okt 2007

LAPLACES OCH POISSONS EKVATIONER

Stokastiska processer och simulering I 24 maj

ANDREAS REJBRAND NV1A Matematik Linjära ekvationssystem

Teori för linjära ordinära differentialkvationer med konstanta koefficienter

6-2 Medelvärde och median. Namn:

Utdrag ur TAMS15: Matematisk statistik I, grundkurs Extra kursmaterial för TAMS79

Del I Denna del består av 8 uppgifter och är avsedd att genomföras utan miniräknare.

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

Lösningsförslag till tentamensskrivning i SF1633 Differentialekvationer I. Tisdagen den 7 januari 2014, kl

DIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP

där x < ξ < 0. Eftersom ξ < 0 är högerledet alltid mindre än Lektion 4, Envariabelanalys den 30 september 1999 r(1 + 0) r 1 = r.

Markovprocesser SF1904

LÖSNINGSFÖRSLAG TILL TENTAMEN 2 SF1664

Markovprocesser SF1904

UPPGIFTER KAPITEL 2 ÄNDRINGSKVOT OCH DERIVATA KAPITEL 3 DERIVERINGSREGLER

Simulering av ett Multi-skill callcenter Med varierande genomsnittlig betjäningstid beroende på agenters kunskapsnivå

DIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP

Kap Inversfunktion, arcusfunktioner.

kvoten mellan två på varandra följande tal i en talföljd är konstant alltid lika stor.

Tentamen i Sannolikhetslära och statistik, TNK069, , kl 8 13.

Lösningar till Tentamen i Reglerteknik AK EL1000/EL1100/EL

Lösningar till utvalda uppgifter i kapitel 1

TATA42: Föreläsning 8 Linjära differentialekvationer av högre ordning

TATA42: Föreläsning 7 Differentialekvationer av första ordningen och integralekvationer

Övning 1. Vad du ska kunna efter denna övning. Problem, nivå A

Markovprocesser SF1904

Sammanfattningar Matematikboken X

= y(0) för vilka lim y(t) är ändligt.

MIO310 OPTIMERING OCH SIMULERING, 4 p

Svar till vissa uppgifter från första veckan.

Bok: X (fjärde upplagan) Kapitel : 3 Längd, tid och samband Kapitel : 4 Algebra och mönster

6 Derivata och grafer

Lösningar till tentan i Automationsteknik FK

av envariabelfunktionen g(t) och flervariabelfunktionen t = h(x, y) = x 2 + e y.)

Dagens tema är exponentialfunktioner. Egentligen inga nyheter, snarare repetition. Vi vet att alla exponentialfunktioner.

med angivande av definitionsmängd, asymptoter och lokala extrempunkter. x 2 e x =

TAMS14/36 SANNOLIKHETSLÄRA GK Poissonprocessen (komplettering) Torkel Erhardsson 14 maj 2010

Kvalificeringstävling den 30 september 2008

Matematisk kommunikation för Π Problemsamling

Kan du det här? o o. o o o o. Derivera potensfunktioner, exponentialfunktioner och summor av funktioner. Använda dig av derivatan i problemlösning.

Network Management Säkerhet Performance QoS Köteori. Jens A Andersson

MA2001 Envariabelanalys 6 hp Mikael Hindgren Tisdagen den 12 januari 2016 Skrivtid:

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Sammanfattning av föreläsningarna 11-14, 16/11-28/

Matematiska Institutionen L osningar till v arens lektionsproblem. Uppgifter till lektion 9:

= ( 1) ( 1) = 4 0.

MIO310 OPTIMERING OCH SIMULERING, 4 p

Stokastiska processer och simulering I 24 augusti

MA2001 Envariabelanalys 6 hp Mikael Hindgren Tisdagen den 9 januari Skrivtid:

Matematiska uppgifter

2.2 Tvådimensionella jämviktsproblem Ledningar

P(ξ > 1) = 1 P( 1) = 1 (P(ξ = 0)+P(ξ = 1)) = ξ = 2ξ 1 3ξ 2

= a) 12 b) -1 c) 1 d) -12 [attachment:1]räkneoperation lektion 1.odt[/attachment] = a) 0 b) 2 c) 2 d) 1

= = i K = 0, K =

Föreläsningen ger en introduktion till differentialekvationer och behandlar stoff från delkapitel 18.1, 18.3 och 7.9 i Adams. 18.

Tentamen i Envariabelanalys 2

e x x + lnx 5x 3 4e x (0.4) x 0 e 2x 1 a) lim (0.3) b) lim ( 1 ) k. (0.3) c) lim 2. a) Lös ekvationen e x = 0.

INTRODUKTION TILL MARKOVKEDJOR av Göran Rundqvist, KTH

x 1(t) = x 2 (t) x 2(t) = x 1 (t)

Prov i Matematik Prog: NV, Lär., fristående Analys MN UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Michael Melgaard, tel

3, 6, 9, 12, 15, 18. 1, 2, 4, 8, 16, 32 Nu är stunden inne, då vill vill summera talen i en talföljd

Transkript:

Övning 4 Vad du ska kunna efter denna övning Kunna dra slutsatser om t ex ett systems betjäningstider och antalet köplatser genom att tolka diagram Kunna beräkna medeltid i systemet och spärrsannolikhet när antalet kunder är begränsat Kunna beräkna den avverkade trafiken i ett system Observera att den avverkade trafiken är detsamma som medelantal upptagna betjänare Kunna beräkna anropsspärren och tidsspärren för ett markovskt kösystem Problem, nivå A 1 Antag att vi har ett M/M/1-system med två köplatser och fyra kunder Antag vidare att ankomstintensiteten för en ledig kund är β s 1, samt att betjäningsintensiteten är s 1 (a) Rita tillståndsdiagram (b) Beräkna den avverkade trafiken = medelantal upptagna betjänare (c) Beräkna sannolikheten att en kund spärras (d) Beräkna hur många kunder som i medeltal betjänas per sekund Antag att vi kan modellera ett system som ett M/M/-system med sex kunder och en köplats När en kund har fått ett svar från systemet så tänker kunden i medeltal 1 s innan han skickar ett nytt jobb till systemet Medelbetjäningstiden är 05 s (a) Rita Markovkedjan för detta system (b) Bestäm den stationära tillståndsfördelningen (c) Bestäm tidsspärr samt anropsspärr (d) Bestäm den avverkade trafiken i systemet (e) Bestäm hur många kunder som spärras per sekund i medeltal 3 Ankomstintensiteten till ett M/M/1-system är Vid varje ankomst kommer två kunder till systemet Betjänaren behandlar kunderna en och en med intensiteten (a) Rita tillståndsdiagram och ställ upp ekvationerna för p k med hjälp av snittmetoden (b) Bestäm z-transformen för antalet kunder i systemet utgående från ekvationerna i a) (c) Beräkna medelantal kunder i systemet 1

4 I denna uppgift skall vi analysera en webbserver Vi antar att nya jobb, dvs HTTP-requests, ankommer enligt en Poissonprocess med medelvärde s 1 Vi antar också att själva servern kan modelleras som en betjänare med en begränsad kö med K platser Jobben behandlas enligt First-Come-First-Served principen Medelbetjäningstiden är x s I diagrammet nedan visas den uppmätta medelsvarstiden, T, (i sekunder) för ett godtyckligt jobb som betjänas som en funktion av ankomstintensiteten Vi har mätt svarstiden för olika ankomstintensiteter Bestäm följande från diagrammet: (a) Medelbetjäningstiden för ett godtyckligt jobb, dvs x (b) Antalet köplatser, dvs K 4 35 3 5 15 1 05 0 0 4 6 8 10 Problem, svårare nivå (B och C) 5 Betrakta ett M/M/ -system där kunder kommer i grupper om två Det kommer i medeltal grupper per sekund Kunderna betjänas en och en och betjäningsintensiteten är (a) Rita Markovkedjan för systemet och ställ upp tillståndsekvationerna (b) Bestäm den differentialekvation som måste lösas för att få fram z-transformen för antalet kunder i systemet genom att först multiplicera tillståndsekvationerna med z k och sedan addera dem (c) Visa att P (z) =Ce (z+z /)/ är en lösning till differentialekvationen (d) Bestäm C (e) Bestäm medelantal kunder i systemet (f) Vilken relation måste råda mellan och för att systemet ska vara stabilt? 6 Kunderna som befinner sig i kön i ett M/M/1-system med K köplatser blir otåliga Så länge en kund befinner sig i kön lämnar den kön utan att få betjäning med intensiteten / Ankomstintensiteten är och betjäningsintensiteten är (a) Bestäm tillståndssannolikheterna (b) Beräkna medelantalet spärrade ankomster per tidsenhet (c) Beräkna medelantalet avgångar utan betjäning från kön per tidsenhet

Lösningar till övning 4 1 (a) Markovkedjan blir 4β 3β β 0 1 3 (b) Vi använder snittmetoden och inför α = β/ Det ger 4βp 0 = p 1 p 1 =4αp 0 3βp 1 = p p =1α p 0 βp = p 3 p 3 =4α 3 p 0 Sedan utnyttjar vi att summan av alla sannolikheter ska vara = 1 för att bestämma p 0 p 0 = 1 1+4α +1α +4α 3 Nu får vi medelantal upptagna betjänare (= avverkad trafik) som N s =0 p 0 +1 (p 1 + p + p 3 )= 4α +1α +4α 3 1+4α +1α +4α 3 (c) Sannolikheten att en kund spärras blir 3 p 3 3 k p k = = (d) Antal kunder som betjänas per sekund är eff =4βp 0 +3βp 1 +βp (a) Markovkedjan ser ut så här: β4α 3 p 0 4β p 0 +3β 4αp 0 +β 1α p 0 + β 4α 3 p 0 4α 3 4+1α +4α +4α 3 6 5 4 0 1 3 4 4 3

(b) Vi ställer upp tillståndsekvationerna med hjälp av snittmetoden 6p 0 = p 1 5p 1 = 4p 4p = 4p 3 Löser vi dessa ekvationer (med hjälp av att p 0 + p 1 + p + p 3 =1) så får vi p 0 = 4/46 p 1 = 1/46 p = 15/46 p 3 = 15/46 (c) Tidsspärren är = p 3 =15/46 033 Anropsspärren blir 3 p 3 3 = 45 k p k 189 04 (d) Den avverkade trafiken är medelantal upptagna betjänare Den kan vi beräkna med hjälp av definitionen av medelvärde, så här: N s = 0 P (0 upptagna betjänare)+ +1 P (1 upptagen betjänare)+ + P ( upptagna betjänare) = = p 1 +(p + p 3 )= = 7 46 157 (e) Medelvärdet av antalet kunder som spärras per sekund blir 3 p 3 =3 15 46 =098 3 (a) Markovkedjan blir 0 1 3 osv Vi använder snittmetoden Observera att alla snitt utom det första skär av tre bågar i Markovkedjan Därför är det två termer i högerledet utom i första ekvationen Vi får p 1 = p 0 p = (p 0 + p 1 ) p 3 = (p 1 + p ) 4

(b) Multiplicera ekvation k ovan med z k Det ger p 1 z = p 0 z p z = (p 0 + p 1 )z p 3 z 3 = (p 1 + p )z 3 Om vi adderar alla ekvationer får vi ( ) z k p k = p 0 z + z k+ p k + z k+1 p k Definitionen av z-transform är P (z) = z k p k vilket insatt i ekvationen ovan ger (P (z) p 0 )=(p 0 z + z P (z)+z(p (z) p 0 )) Löser man ut P (z) så får man p 0 P (z) = z z För att bestämma p 0 så observerar vi att för z-transformen måste gälla P (1) = 1 k p k = p k =1 I vårt fall måste då gälla att P (1) = p 0 =1 p 0 = =1 Slutligen får vi P (z) = z z ( 1 (c) För att bestämma medelvärdet deriverar vi först P (z) P (z) = p 0( +z) ( z z ) Därefter får vi medelvärdet genom att låta z 1 E(N) = lim P (z) = p 0( +) = 3 z 1 ( ) 4 (a) När ankomstintensiteten är mycket låg så kommer tiden i systemet för en kund nästan alltid att vara = betjäningstiden Därför kan vi läsa av medelbetjäningstiden genom att se vad medeltiden i systemet är när ankomstintensiteten är mycket liten Ur diagrammet (vid = 0) ser vi att medelbetjäningstiden = x är 1 sekund ) 5

(b) När ankomstintensiteten är mycket hög så kommer systemet nästan alltid att vara fullt En kund som kommer in i systemet hamnar nästan alltid på den sista köplatsen Kunden måste alltså först vänta på att de L kunderna före honom ska bli färdiga innan han börjar betjänas Därefter ska kunden själv betjänas innan han lämnar systemet Det betyder att kunden i medeltal tillbringar tiden (L +1)x i systmet Om vi tittar i diagrammet ser vi att för mycket stora värden på ankomstintensiteten så är medeltiden i systemet 4 sekunder Det betyder att (L +1)x =4 L =3 5 (a) Markovkedjan blir 0 1 3 osv 3 Snittmetoden ger tillståndsekvationerna p 1 = p 0 p = (p 0 + p 1 ) 3p 3 = (p 1 + p ) 4p 4 = (p + p 3 ) kp k = (p k + p k 1 ) (b) Vi multiplicerar ekvation k med z k vilket ger p 1 z = p 0 z p z = (p 0 + p 1 )z 3p 3 z 3 = (p 1 + p )z 3 4p 4 z 4 = (p + p 3 )z 4 kp k z k = (p k + p k 1 )z k Därefter summerar vi alla ekvationerna Resultatet är [ ] z kp k z k 1 = p 0 z + z p k z k + z p k z k Vi observerar att P (z) = kp k z k 1 6

Insatt ovan ger det zp (z) =z [p 0 + zp(z)+p (z) p 0 ]=z(1 + z)p (z) Differentialekvationen är således efter hyfsning P (z) =(1 + z)p (z) (c) Deriverar man P (z) =Ce (z+z /)/ så blir resultatet P (z) = C(1 + /)/ z)e(z+z Insättning visar att differentialekvationen satisfieras (d) För att bestämma värdet på C använder vi att P (z) 1 då z 1 Det ger Ce (1+1/)/ =1 C = e 15/ (e) Vi deriverar P (z) och låter sedan z 1 för att bestämma medelantal kunder: lim P (z) =C z 1 e15/ = (f) Eftersom det finns oändligt många betjänare så blir systemet inte instabilt Det finns inget värde på för vilket medelantal kunder = 6 (a) Markovkedjan blir 0 1 3 K+1 15 5 05(Κ+) Om vi sätter ρ = / så ger snittmetoden för k 0 p k 1 = Sedan bestämmer vi p 0 K+1 p k = (k +1) p k p k = ρp k 1 k +1 = (ρ) p k (k +1)k (ρ) k ( K+1 (k +1)! p 0 =1 p 0 = (ρ)k (k +1)! (ρ) k ) 1 (k +1)! Denna summa kan inte förenklas Svaret blir således ( K+1 ) 1 (ρ) k (k +1)! = = (ρ)k (k +1)! p 0 (b) Medelantalet spärrade ankomster per tidsenhet blir p K+1 (c) Om det befinner sig k (k 1) kunder i systemet så finns det k 1 kunder i kön Var och en av dessa kunder lämnar kön med intensiteten /, såden sammanlagda intensiteten med vilken kunder lämnar systemet innan de har kommit fram till betjänaren är då (k 1) 7

Det innebär att medelvärdet av antal kunder som per tidsenhet lämnar systemet för att de blir otåliga blir K+1 (k 1) p k 8