Bestämning av lyftkraft på en symmetrisk vingprofil.

Bestämning av lyftkraft på en symmetrisk vingprofil. November 5, 2002 1 Laborationens innehåll Laborationen avser en undersökning av strömningen kring en tvådimensionell vingprofil vid olika anfallsvinklar. Genom att bestämma tryckfördelningen kan lyftkraften på profilen beräknas. Trycket på vingprofilens yta erhålles från ett antal statiska tryckhål som är placerade utmed profilens yta, och avläses på en lutande multimanometer. Lyftkraften beräknas för några olika små anfallsvinklar då strömningen är anliggande men också för en större anfallsvinkel då strömningen är avlöst. Strömningen närmast ytan visualiseras med tufts dvs små tunna trådstumpar som är fastsatta på ytan och som tydligt visar var strömningen är avlöst. Lyftkraften bestäms med två olika metoder: 1) beräkning av kraften utifrån tryckfördelningen som uppmäts under laborationen, 2) beräkning av cirkulationen kring vingen genom att utnyttja en linjevirvel som matematisk modell, och mäta trycket vid vindtunnelns väggar under och över vingens tryckcentrum. 2 Grundläggande begrepp Vi ska här gå igenom några grundläggande begrepp som behövs för att bestämma lyftkraften på en vingprofil. Vi koncentrerar oss på tvådimensionella profiler, dvs en kropp där geometrin inte varierar i spännviddsled. 2.1 Aerodynamiska krafter När en kropp rör sig relativt en fluid (gas eller vätska) påverkas den av aerodynamiska krafter. För en kropp med given geometri beror dessa krafter dels på kroppens hastighet och orientering relativt den ostörda fluiden, dels på fluidens densitet och viskositet. På t ex ett flygplan delas kraften som verkar på kroppen upp i två komponenter, dels en som är vinkelrät mot rörelseriktningen och som kallas lyftkraft (L), dels en som är parallell med 1

rörelseriktningen och som kallas motstånd (D 1 ). Den resulterande kraften kan vi kalla för R. En principskiss visas i figur 1. Här är U, friströmshastigheten, den relativa hastigheten mellan kroppen och det strömmande mediet långt uppströms kroppen. Vinkeln mellan friströmshastighetens riktning och den räta linje som går från framkanten till bakkanten på profilen, kordan, kallas anfallsvinkeln (α) och definieras positiv som i figur 1. Kordans längd är c. L N R α U T D c Figur 1: Definition av krafter på vingprofil Den aerodynamiska kraften kan alternativt delas upp i en normalkraft (N) och en tangentialkraft (T ) vinkelrät mot respektive parallell med kordan. De sätt som det strömmande mediet (i det här fallet luften) kan överföra krafter till en kropp är genom a) tryckfördelningen p på kroppen b) skjuvspänningsfördelningen τ på kroppen Båda har dimensionen kraft per ytenhet. Trycket verkar alltid vinkelrätt mot en yta medan skjuvspänningen verkar parallellt med ytan. Den resulterande kraften R erhålles genom att bidragen från dessa båda integreras över hela kroppens yta. Ur figur 1 är det lätt att finna de geometriska relationer som gäller mellan de två olika uppsättningarna av kraftkomponenter: L = N cos α T sin α (1) D = N sin α + T cos α (2) Om man från beräkningar eller mätningar erhållit tryckfördelning och skjuvpänningsfördelning på kroppens yta är det enklare att först beräkna N och T och sedan transformera dessa resultat till de mer intressanta kraftkomponenterna L och D. 1 Beteckningen kommer från engelskans lift respektive drag. 2

2.1.1 Beräkning av normal- och tangentialkrafterna Vi skall nu mer i detalj undersöka hur man från integration av tryck och skjuvspänningsfördelning bestämmer de aerodynamiska krafterna. Betrakta figur 2 där koordinaten räknat från framkanten längs profilens översida är (sö) och på undersidan är (s u ). Betrakta nu ett litet ytelement ds = ds b där ds är en infinitesimal sträcka längs profilens övre eller undre yta och b är den betraktade bredden (spännvidden). Vi kan nu beräkna de infinitesimala kraftkomponenterna dn och dt på denna yta. För översidan blir de och för undersidan dnö = ( pö cos θ τö sin θ) b dsö (3) dtö = ( pö sin θ + τö cos θ) b dsö (4) dn u = (p u cos θ τ u sin θ) b ds u (5) dt u = (p u sin θ + τ u cos θ) b ds u (6) y θ s ö ds α U FK s u BK x Figur 2: Beteckningar för integration av tryck- och skjuvspänningsfördelning över en tvådimensionell vingprofil. Vinkeln θ räknas positiv medurs, som i figur 2. För att erhålla hela normal- respektive tangentialkomponenten integreras uttrycken ovan från framkanten (FK) till bakkanten (BK). Detta ger då för normalkraften N b = BK F K BK ( pö cos θ τö sin θ) dsö + (p u cos θ τ u sin θ) ds u (7) F K respektive för tangentialkraften T BK BK b = ( pö sin θ + τö cos θ) dsö + (p u sin θ + τ u cos θ) ds u (8) F K F K 3

2.1.2 Dimensionslösa koefficienter Vi har nu beräknat de krafter som verkar på vingprofilen som funktion av tryck- och skjuvspänningsfördelningarna. Det visar sig dock vara lämpligt att kunna uttrycka dessa i form av dimensionslösa kraftkoefficienter. För att kunna göra detta definierar vi det så kallade dynamiska trycket som q = 1 2 ρ U 2 (9) Det dynamiska trycket har dimension kraft per ytenhet, liksom det vanliga trycket. Dessutom definierar vi en referensarea S, vanligtvis den horisontellt projicerade ytan vid α = 0, dvs S = bc. Vi kan nu definiera följande dimensionslösa kraftkoefficienter: C N = N q S C T = T q S C L = L q S C D = D q S (10) (11) (12) (13) För tvådimensionella kroppar är det också vanligt att definiera kraften per längdenhet (i spännviddsled), t.ex. L = L/b. Motsvarande koefficienter betecknas i allmänhet med gemener så att c n = N q c c t = T q c c l = L q c c d = D q c Ytterligare användbara dimensionslösa koefficienter är tryckkoefficienten c p = p p q där p är friströmstrycket, och friktionskoefficienten c f = τ q Figur 3 visar att det lilla längdelementet ds kan skrivas i form av dx och dy som dx = ds cos θ dy = ds sin θ Ekvationerna (7) och (8) kan nu skrivas på dimensionslös form som 4

dx θ ds -dy Figur 3: Geometriska relationer mellan dx, dy och ds. c n = 1 [ c c ] dyö (c p,u c p,ö ) dx + (c f,ö c 0 0 dx + c dy u f,u dx ) dx c t = 1 [ c dyö (c p,ö c 0 dx c dy c ] u p,u dx ) dx + (c f,ö + c f,u ) dx 0 (14) (15) Från ekvationerna (1) och (2) erhålles motsvarande lyftkrafts- och motståndskoefficienter c l = c n cos α c t sin α (16) c d = c n sin α + c t cos α (17) 2.2 Beräkning av lyftkraften via cirkulationen kring en kropp För idealiserad (friktionsfri) tvådimensionell strömning finns ett alternativt sätt att beräkna lyftkraften, nämligen med Kutta-Joukowski s sats. Denna sats säger att lyftkraften per breddenhet (L ) på kroppen kan bestämmas som L = ρu Γ där ρ är densiteten, U friströmshastigheten och Γ den s.k. cirkulationen Γ = u d s där u är hastighetsvektorn och den slutna integrationsvägen omsluter kroppen motsols. 2.3 Cirkulationen från en ekvivalent linjevirvel Om vingprofilens korda är liten jämfört med mätsträckans dimensioner kan vi anta att hastighetsfältet på stora avstånd från profilen är likartat det som skulle uppkomma om vingprofilen ersätts med en linjevirvel. Då kan cirkulationen bestämmas genom att trycket mäts på vindtunnelväggarna. Vi 5

h antar alltså att vingprofilen kan ersättas med en linjevirvel med cirkulationen Γ som befinner sig mitt i mätsträckan, dvs på avståndet h från både den undre respektive övre väggen (notera att med den definition som vi har valt kommer Γ att vara negativ om lyftkraften är riktad uppåt). För att uppfylla hastighetsrandvillkoret på väggarna, dvs att hastigheten skall vara parallell med väggen, måste virveln speglas i bägge väggarna vilket ger upphov till nya virtuella virvlar, som i sin tur måste speglas i väggarna (se figur 4). Den resulterande hastigheten erhålles som summan av bidragen från alla virvlarna och kan skrivas u u,ö = U ± 2 Γ 2πh (1 1 3 + 1 5 1 7 +...) = U ± Γ (18) 4h där plustecknet gäller den undre väggen och minustecknet den övre. Den oändliga serien är konvergent och är lika med arctan(1)=π/4. Används nu Bernoulli s ekvation längs strömlinjer vid de bägge väggarna erhålles p u pö = 1 2 ρ(u2 ö u 2 u) = 1 [ 2 ρ (U + Γ 4h )2 (U Γ ] 4h )2 = 1 2 ρu Γ h = L 2h (19) vilket också kan skrivas som c p,u c p,ö = c 2h c l (20) där c är kordans längd. Γ 2h U Γ Γ Γ Γ h h h h 2h Figur 4: Spegling av en linjekälla. 3 Beskrivning av mätutrustningen Laborationen utföres i institutionens låghastighetsvindtunnel med en tvådimensionell vingprofil monterad i mätsträckan. Den maximala hastigheten 6

i mätsträcken är ca 40 m/s vilket motsvarar ett Machtal på 0,12 1. Vid detta Machtal kan strömningen betraktas som inkompressibel, dvs gasens täthet är konstant 2. 3.1 Vindtunnel Tunneln är av kontinuerlig typ och drivs av en varvtalsreglerad axialfläkt (15 kw tyristorstyrd DC-motor) i returkanalen. Mätsträckans bredd är 40 cm och dess höjd 50 cm. För att erhålla god strömningskvalitet i mätsträckan, dvs låg nivå på hastighetsfluktuationerna och en jämn hastighetsfördelning, används likriktare och nät i inloppet till den s.k. stagnationskammaren. Likriktaren riktar upp strömningen parallellt med mätsträckans geometriska centrumlinje, samtidigt som stora virvlar bryts sönder. Tryckfallet över de efterföljande näten dämpar ut ojämnheter i hastighetsfördelningen, samtidigt som virvlarna i strömningen bryts ner till mindre storlek. Viskösa effekter dämpar sedan snabbt ut de små virvlarna. Kontraktionen som finns direkt uppströms mätsträckan ger också en kraftig dämpning av den relativa fluktuationsnivån och hastighetsvariationerna över mätsträckans tvärsnitt. 3.2 Vingprofil Vingprofilen, en NACA0018, tillhör en familj av symmetriska profiler, och har en maximal tjocklek av 18 % av kordan 3. Modellen har en kordalängd på 149 mm och en bredd på 40 cm, och är monterad symmetriskt i förhållande till mätsträckans tak och golv. Anfallsvinkeln kan enkelt ändras (se figur 5). Modellen är försedd med ett antal tryckhål på under- och ovansidan, vars placering framgår av figur 6. För att bestämma cirkulationen kring vingen finns tryckhål placerade i två positioner på vindtunnelväggarna, en under och en över vingprofilens tryckcentrum, som ligger ungefär 25% av kordans längd mätt från framkanten. Vid laborationen ska uppmätta data över tryckfördelningen jämföras med beräkningar som bygger på potentialströmningsteori. Denna teori förutsätter bl.a. att strömningen är friktionsfri, dvs att man kan bortse från gränsskikten. Beräknade tryckfördelningar för NACA0018-profilen är uppritade i en bilaga till detta PM. 2 Villkoret för att densitetsvariationerna ska kunna betraktas som små är att lufthastigheten är liten jämfört med ljudhastigheten i luften, dvs att Machtalet M 1. 3 Koordinaterna för denna familj av profiler ges av ( x ±y = 5t 0.2969 c 0.1260 x c 0.3516( x c )2 + 0.2843( x c )3 0.1015( x ) c )4 där t är profilens maximala tjocklek uttryckt i c. 7

α -10 0 10 U Figur 5: Principskiss av vingprofil och mätsträcka. Figur 6: NACA0018 profil med de i laborationen använda tryckhålen markerade. Tryckhålens placering längs kordan: x/c = 0, 0.027, 0.047, 0.095, 0.20, 0.30, 0.40, 0.50, 0.60, 0.70, 0.80, 0.90. 8

3.3 Utrustning för tryckmätning Det dynamiska trycket i friströmmen, q är lika med tryckskillnaden mellan stagnationstrycket, p 0, och det statiska trycket i vindtunnelns mätsträcka, p. p 0 mäts i stagnationskammaren, och p i ett tryckhål i mätsträckans sidovägg. Tryckfördelningen över vingen fås genom att mäta det statiska trycket vid vingprofilens yta. Tryckslangarna ansluts dels till en lutande spritmanometer som ger en visuell bild av tryckfördelningen, dels till en Scanivalve för noggrann uppmätning av trycket. Multimanometern består av 36 vätskefyllda rör. Tryckslangarna ansluts i ena änden av varje rör, medan den andra änden anslutes till en vätskereservoir med atmosfärstryck. Rören kan ställas in i valfri lutning relativt horisontalplanet. Ju större lutning mot vertikalplanet desto bättre blir upplösningen. För att ytterligare förbättra upplösningen används rödsprit med densiteten 797 kg/m 3 som manometervätska. Till multimanometern ansluts även uttag för det statiska trycket vid en av mätsträckans sidoväggar, och trycket i stagnationskammaren. Samt det övre trycket, pö, och det undre trycket, p u. Scanivalven är kopplad till ena sidan på en differenstryckgivare, till vars andra sida ett referenstryck kopplas. Som referenstryck används här stagnationstrycket. I differenstryckgivaren får trycken påverka varsin sida av ett membran, och en mätförstärkare omvandlar membranutböjningen till en spänning som är proportionell mot tryckdifferensen. Scanivalvens uppgift är att koppla en slang i taget till differenstryckgivaren enligt en programmerad sekvens. Mätsekvensen styrs av ett LabVIEWprogram på en mätdator där data sedan sparas ned på en fil. 3.4 Predikteringsmetoder Vid laborationen skall uppmätta data över tryckfördelningen jämföras med predikteringar baserade på olika antaganden. Tryckfördelningen beräknas med olika metoder och beräkningsresultaten ritas upp med de uppmätta resultaten. I tvådimensionell, friktionsfri strömning kan potentialströmningsmetoden användas. Potentialströmningsteorin förutsätter att man kan bortse från gränsskiktseffekter, vilket är rimligt så länge strömningen är anliggande. Vid laborationen används MATLAB programmet thickpot för att beräkna lyftkraftskoefficienten vid ett flertal olika anfallsvinklar. Den teoretiska tryckprofilen för 10 anfallsvinkel är uppritad längst bak i detta PM. Vid stora anfallsvinklar, när strömningen över vingen löser av, krävs metoder som tar med gränsskiktet i beräkningen. XFOIL är ett kommersiellt program som kombinerar en inviskös metod för beräkning av friströmmen med en gränsskiktsberäkning närmast vingens yta. En sådan beräkning 9

går relativt snabbt att göra på en vanlig dator. Ett annat sätt är att betrakta hela strömningsfältet som visköst. På det sistnämnda sättet har tryckfördelningarna i förväg beräknats med det kommersiella programmet CFX. CFX beräkningar på en vanlig dator tar dock flera timmar. Dessa data finns tillgängliga för jämförelse under laborationen. Förberedelseuppgifter - Vingprofil (Uppgifterna lämnas till assistenen vid lab-tillfället) 1. I laborationsanvisningarna beskrivs två olika sätt att bestämma lyftkraften på en vingprofil, nämligen (i) integration av trycket runtom vingen och (ii) beräkning av cirkulationen utifrån trycket på vindtunnelns väggar. Ange vilka antaganden som ligger till grund för de olika metoderna. Svar i) ii) 2. I laborationen studeras tryckfördelningen över en vingprofil som är monterad i mätsträckan i en vindtunnel. Friströmshastigheten (U ) bestäms ur Bernoulli s ekvation: p + 1 2 ρu 2 = p 0 (p 0 är stagnationstrycket). Man mäter tryckskillnaden p 0 p med en manometer eller med en differenstryckgivare. Föreslå lämpliga ställen att ansluta tryckslangarna för att känna av p 0 : p : 10

3. I figur 7 finns en skiss av hur multimanometern fungerar. Tryckskillnaden P 1 P 2 ger upphov till en sträcka, s, som sedan läses av och registreras. Antag att vätskan i manometern är rödsprit, samt att stagnationstryckslangen är kopplad till P 1 i figuren samt tryckslangen för det statiska trycket är kopplad till P 2 i figuren. Bestäm då sträckan s om laborationen utföres vid friströmshastigheten 20 m/s. Antag vinkeln θ = 30. Figur 7: Skiss av hur multimanometern fungerar. Vidare ansluts tryckslangarena även till en differenstryckgivare, kalibrerad så att 1 Volt motsvarar 100 Pa. Hur stort blir utslaget, E, på differenstryckgivaren? s = E= 4. Visa sambandet: ( ) U 2 c p = 1, U 11

5. Om man förenklat betraktar vingen som en linjevirvel så kan man bestämma Γ, och därmed lyftkraften, enligt formel (19) i laborationsanvisningen. a) Var ska man ansluta tryckslangarna för att mäta p u och pö? b) Antag att man mäter p u pö = 125 Pa. Hur stor är då lyftkraften per breddenhet uttryckt i N/m? c) Beräkna lyftkraftskoefficienten c l om U är 20 m/s. Svar: a) b) L = c) c l = 6. Figur 8 nedan visar den teoretiska tryckfördelningen (1 c p ) över en NACA0018-profil vid 10 anfallsvinkel (övre kurvan gäller för ovansidan och nedre kurvan för undersidan). a) Om man antar att friktionen är försumbar, och använder formlerna (14, 15 och 16) så får man uttrycket c l = cos α c c 0 (c p,u c p,ö ) dx sin α c c 0 dyö (c p,ö dx c dy u p,u dx ) dx för att beräkna lyftkraftskoefficienten c l. Antag att anfallsvinkeln, α, är liten. Då är cos α 1 och sin α α. Antag vidare att vingprofilen är tunn. Då är lutningarna dy/dx små och den andra termen ovan kan försummas. Detta ger c l = 1 c c 0 (c p,u c p,ö ) dx Integrera fram c l genom att räkna rutorna i figur 8. OBS: enheterna på axlarna. 12

b) För denna NACA-profil är kvoten c l /c d 15 då α = 2 och Reynolds tal, Re c = 1, 6 10 5 (dvs. lyftkraften är ca femton gånger större än motståndet). Beräkna motståndskoefficienten c d. Svar a) c l = b) c d = 7. I laborationen antas att friktionskraften längs vingprofilen är försumbar. Vi ska nedan göra en uppskattning av hur stort friktionsbidraget är. a) Reynoldstalet definieras som. Re c = ρu c µ Beräkna Re c om friströmningshastigheten U = 20 m/s, luftens densitet ρ = 1,2 kg/m 3 och dess dynamiska viskositet µ = 1,8 10 5 kg m 1 s 1. Tror du gränsskiktet är laminärt eller turbulent? b) Antag att vingen ur friktionssynpunkt kan approximeras med en plan platta utan tryckgradient. Då ger följande formler för den totala friktionskoefficienten och för en sida av plattan: (laminärt gränsskikt), resp. C F = 0,074 Rec 1/5 (turbulent gränsskikt). Hur stort är detta jämfört med den lyft- resp. motståndskoefficient som beräknades i uppgift 6? Glöm inte att plattan har en översida och en undersida. C F = 1,328 Re 1/2 c Re c : gränsskiktet antas laminärt / turbulent Är friktionen försumbar?: Motivera: 13

8. Vad är det för skillnad mellan CFX och XFOIL? Svar: 5.0 4.5 4.0 3.5 3.0 2.5 2.0 1.5 1.0 0.5 0.0 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 x/c Figur 8: Tryckfördelningen över en NACA0018-profil vid 10 anfallsvinkel. 14