1. Bestäm definitionsmängden och värdemängden till funktionen f(x,y) = 1 2x 2 3y 2. Skissera definitionsmängden, nivålinjerna och grafen till f. 2. Beräkna gränsvärdet (eller visa att det inte finns): a. lim x 2 cos y + y 2 cos x (x,y) (0,0) x 2 + xy + y 2 b. lim x 2 y (x,y) (0,0) x 2 + xy + y 2 3. Kan funktionen f(x,y) = y2 xy 2x 2 y 2x så att f blir kontinuerlig? definieras i punkterna på linjen y = 2x 4. Skissera grafen och nivålinjerna till funktionen z = x 2. 5. Undersök om mängden M är öppen, sluten, varken öppen eller sluten då M ges i xy planet av a. y 2x 1, x 2 3y 2, 2x + 4y 5. b. y 2x < 1, x 2 3y 2, 2x + 4y 5. c. y 2x < 1, x 2 3y < 2, 2x + 4y < 5. 6. Bestäm inre punkter och randpunkter till mängderna i uppgift 5. 7. Beräkna de partiella derivatorna av andra ordningen till f(x,y ) = arctan 1 2xy 2x + y. 8. Låt f vara en deriverbar funktion av en variabel. Visa att funktionen z = f y x satisfierar ekvationen x z x + y z y = 0. 9. Bestäm ekvationen till tangentplanet till ytan z = x 2 y 2 i punkten (1,1,0). 10. Bestäm z xy då z = f(u,v), u = x + y och v = xy. Svaret får inte innehålla variabler x och y. 11. Bestäm z xy då z = f(u,v), u = x 2 + y 2 och v = xy. Svaret får inte innehålla variabler x och y. 12. Bestäm z xx + z yy då z = f(u,v), u = x 2 + y 2 och v = x y. Svaret får inte innehålla variabler x och y. 13. Bestäm z xx + z yy då z = f(u,v), u = x 2 + y 2 och v = x 2 y 2. Svaret får inte innehålla variabler x och y. 14. Bestäm z xy då z = f(u,v), u = e x + e y och v = x + y. Svaret får inte innehålla variabler x och y. 1
15. Bestäm z xx z yy då z = f(u,v), u = e x + y och v = x y. Svaret får inte innehålla variabler x och y. 16. En funktion z(u,v) satisfierar ekvationen z uu z vv = 0. Hur förändras denna ekvation om man ersätter funktionen z med funktionen f enligt z = f(x,y), x = u v, y = u + v? 17. Bestäm x z xx y z xy + z x då z = f(u,v), u = xy, v = 1 y. 18. Bestäm en linjär approximation till funktionen f(x,y) = x 2 + y sin(1 1 2x + 4y) i en omgivning till punkten (2,1) och beräkna ett approximativt värde av f(2.1, 1.2). 19. Bestäm en linjär approximation till funktionen f(x,y) = y + arctan( x + y 2x) i en omgivning till punkten (1,3) och beräkna ett approximativt värde av f(1.2, 3.4). 20. Bestäm en linjär approximation till funktionen f(x,y) = cos(2x y) e xy 2 i en omgivning till punkten (1,2) och beräkna ett approximativt värde av f(1.1, 2.2). 21. Bestäm en linjär approximation till funktionen f(x,y) = x ln(y 2 + sin(x 3y) i en omgivning till punkten (3,1) och beräkna ett approximativt värde av f(3.2, 1.1). 22. Beräkna den mot vektorn v = (0, 3,4) svarande riktningsderivatan till funktionen f(x,y,z) = x arctan y z i punkten (5,2, 1). 23. Beräkna den vinkel som tangenplanet till ytan 2x 3 x 2 y y 3 2z + z 3 = 8 i punkten (1, 1,2) bildar med xy planet. Bestäm även tangentplanets ekvation. 24. I vilken riktning bör punkten (x,y) röra sig utgående från (1,2) för att värdet av xy 5 ln(x + y 2 ) skall växa så snabbt som möjligt? 25. I vilken punkt är planet 2x + y 3z = 8 tangentplan till ellipsoiden x 2 + y 2 + 3z 2 = 8? 26*. Låt f s vara derivatan av funktionen f i riktningen av vektorn s = (cos α, sin β). Uttryck f med hjälp av derivator av f med avseende på u s och v, då x = u cos α v sin α, y = u sin α + v cos α och α är en konstant. Funktionen f är differentierbar. 2
27. Bestäm ekvationen för tangentplanet till a. ytan xy 3 + 9y z x3 z 2 = 5 i punkten (1,2,3). b. ytan z = 8x y xy + 1 i punkten (1,2,3). 28. Bestäm ekvationen för tangentlinjen till skärningskurvan mellan ytorna x 2 yz = 1 och x 3 y + y 3 z + z 3 x = 3 i punkten (1,1,1). 29. Visa att det i en omgivning till origo finns precis en funktion z(x,y) som satisfierar ekvationen x 3 + y 3 + z 3 + x 2 z yz z = 0. Beräkna för denna funktion z x och z ý uttryckta i x, y och z. 30. Beräkna J g f, d f d u och d f d (u,v) i origo, då f : x = 2 u 3 v y = 3 u + 2 v z = 4 uv + 1 och g : r = xy s = yz t = xz. 31. Bestäm Taylorpolynomet av andra grad till funktionen f(x,y) = 8 x + 2 cos(2x y) kring punkten (1,2). Använd detta polynom för att beräkna ett approximativt värde av f(1.1, 2.2). 32. Bestäm eventuella lokala extrempunkter till f(x,y) = 2xy 2 + x 2 + 4y. Bestäm också punkternas karaktär. 33. Bestäm eventuella lokala extrempunkter till f(x,y) = 2x + y + 3 1 + x 2 + y 2. Bestäm också punkternas karaktär. 34. Bestäm eventuella lokala extrempunkter (och deras karaktär) till f(x,y) = x 3 3xy + y 3. 35. Bestäm eventuella lokala extrempunkter (och karaktär) till f(x,y) = 3x 3 9x + 3y y 3. 36. Bestäm eventuella lokala extrempunkter (och deras karaktär) till f(x,y) = x 2 + 2xy y 3. 37.* För vilka värden på konstanten a har funktionen f(x,y) = (4x 2 + axy + y 2 )(a + x) ett lokalt extremvärde i punkten (0,0)? 38. Verifiera att funktionen f(x,y) = (1 + y) 3 x 2 + y 2 endast har en kritisk punkt och att f antar i denna ett lokalt minimivärde. Är detta värde funktionens minsta värde? 39. Är det sant att 2x 2 + 3y 2 + 4 sin x sin y 0 om (x,y) ligger tillräckligt nära origo? 3
40. Sök största och minsta värdet av funktionen f(x,y) = x 2 + 2y 2 x på cirkeln x 2 + y 2 = 1. 41. Sök största och minsta värdet av funktionen f(x,y) = x 2 2xy + 2y 2 2y på och inom triangeln med hörnen i punkterna (2, 2), (2,3) och ( 3, 2). 42. Sök största och minsta värdet av funktionen f(x,y) = x 2 y 2 + 4y då x 2 + y 2 9 och y 1. 43. Visa att 1 + x 2 + 1 + y 2 6 om x 2 + y 2 1. 44. Kan summan av tre positiva tal vara 5 om deras produkt är 8? 45. Bestäm värdemängden till funktionen f(x,y) = x 2 y + 2y 2 4xy då definitionsmängden ges av 0 x 4 och 0 y x 2. 46. Beräkna dubbelintegralen D 47. Beräkna dubbelintegralen D (3x 2 + 2y)dxdy då D ges av 0 x 1, 0 y 1. x 2 ydxdy då D ges av 0 x 1, 0 y x 2. 48. Beräkna dubbelintegralen (x 2 y + xy 2 )dxdy då D begränsas av parabeln D y = x 2 1, x axeln och linjerna x = ±2. 49. Beräkna dubbelintegralen xy dxdy då D är triangeln med hörnen i 1 + y4 D punkterna (0,0), (1,1) och (0,1). 2 x 50. Integrationen dx f(x,y) dy kan uppfattas som beräkning av en 1 x dubbelintegral över ett område D. Ange D. 1 51. Kasta om integrationsordningen i 0 x dx 2 f(x,y) dy. x 3 Svar: 1. Definitionsmängden = alla punkter inom och på ellipsen 2x 2 + 3y 2 = 1. Värdemängden = [0, 1]. 4
Skisser av definitionsmängden, grafen och nivålinjerna: 2a. Finns inte. 2b. 0. 3. Funktionen f blir kontinuerlig i hela xy planet om man i varje punkt (x,y) på linjen y = 2x definierar f(x,y) = x + y. 4. 5a. Sluten. 5b. Varken sluten eller öppen. 5c. Öppen. 6. För alla dessa mängder: Inre punkter ges av y 2x < 1, x 2 3y < 2, 2x + 4y < 5 och randpunkterna ges av y 2x = 1, x 2 3y = 2, 2x + 4y = 5. 7. f xx = 16x (4x 2 + 1) 2, f yy = 2y (y 2 + 1) 2, f xy = f yx = 0 9. 2x 2y z = 0. 10. f uu + v f vv + u f uv + f v. 11. 4 v f uu + v f vv + 2 u f uv + f v. 12. 4 u f uu + 2 f vv + 4 v f uv + 4 f ú. 13. 4 u f uu + 4 u f vv + 8 v f uv + 4 f ú. 14. e v f uu + u f uv + f vv. 15. 4 u f uv. 16. f xy = 0 (man kan förkorta med 4). 17. f uv. 18. L(x,y) = 5x 2y 4 och f(2.1, 1.2) 4,1. 5
19. L(x,y) = 1 7 4 x + 5 4 y (eller L(h,k) = 3 7 4 h + 5 k där h = x 1, k = y 3), 4 f(1.2, 3.4) 3,15. 20. L(x,y) = 3 + 2x + y (eller L(h,k) = 1 + 2 h + k där h = x 1, k = y 2), f(1.1, 2.2) 1,4. 21. L(x,y) = 6 + 3x 3y (eller L(h,k) = 3h 3k där h = x 3, k = y 1), f(1.1, 2.2) 0,3. 22. 1. 23. arccos 24. (1, 3). 25. (2,1, 1). 26. f u. 5, 4x 2y + 5z = 16. 3 27a. 19x 15y + 8z = 13. 27b. 2x 3y z + 7 = 0. 28. r(t) = (1, 1 + t, 1 t). 29. z x = 3x 2 + 2xz 3z 2 + x 2 y 1, zý = 3y 2 z 3z 2 + x 2 y 1. 0 0 30. J g f = 3 2 2 3. d f 2 2 3 d u = 3 0, d f d (u,v) = 3 2 0 0. 31. p(h,k) = 10 + 4h 5h 2 + 4hk k 2, där h = x 1 och k = y 2; f(1.1, 2.2) 10,39. 32. Det finns inga lokala extrempunkter. Det finns en sadelpunkt ( 1,1). 33. Lokalt minimum i ( 1, 1/2). 34. Lokalt minimum i (1,1). (sadel i (0,0).) 35. Lokalt minimum i (1, 1), lokalt maximum i ( 1,1). (sadel i (1,1) och ( 1, 1).) 36. Lokalt minimum i (2/3, 2/3), lokalt maximum i ( 1,1). (sadel i (0,0).) 37. Lokal minimum för 0 < a 4, lokal maximum för 4 a < 0. 38. Lokal minimum i (0,0). f(0,0) är inte funktionens minsta värde då t.ex f(0,0) > f(3, 2). (Jämför detta med funktioner av en variabel: Om f(x) endast har en kritisk punkt och om f antar i denna ett lokalt minimivärde så är detta värde funktionens minsta värde.) 39. Ja. 40. 9/4 och 0. 41. 24 och 1. 42. 11 och 3. 44. Aldrig i livet! 45. Intervallet [ 2, 512]. 6
46. 2. 47. 1/14. 48. 8. 49. ln 2 8. 50. 1 x 2, x y x. 1 51. 0 3 y dy f(x,y)dy. y 7