ösningsskiss för tentamen Vektorfält och klassisk fysik FFM232) Tid och plats: ösningsskiss: Måndagen den 24 oktober 2016 klockan 14.00-18.00 i M-huset. Christian Forssén och Tobias Wenger Detta är enbart en skiss av den fullständiga lösningen. Det kan innebära att vissa mellansteg i uträkningarna, som egentligen är nödvändiga för en komplett lösning, inte redovisas. 1. Svara på följande delfrågor endast svar skall ges): a) Skissa nivåytor och fältlinjer för en punktkälla, dvs φ = 1 F = 1 ˆr. 4πr 2 b) Beräkna integralen δ x) cosx)dx, notera derivatan). 4πr och c) Teckna följande tre uttryck med indexnotation: i) a b c), ii) M a, iii) MN, där a, b, c är vektorer och M, N är 3 3 matriser. 3 poäng per korrekt besvarad deluppgift, 10 poäng för alla tre.) a) Nivåytorna blir sfärer cirklar i genomskärning vilket isf bör påpekas) medan fältlinjerna blir strålar ut från origo dvs tiktade i positiv ˆr-led. b) 0. c) i) a b c) = a i ε ijk b j c k, ii) M a = M ij a j, iii) MN = M ik N kj. 2. Maxwells ekvationer är E = ρ ɛ 0, 1) E = B t, 2) B = 0, 3) B E = µ 0 j + µ 0 ɛ 0 t. 4) a) Använd Faradays induktionslag, U = dφ/dt, för att visa Maxwells andra ekvation E = B. Notera att Φ är det magnetiska t flödet genom en yta S och U är den inducerade spänningen längs randen S. 5 poäng)
ösningsskiss för tentamen Vektorfält och klassisk fysik FFM232)2016-10-24 b) Använd Maxwells ekvationer för att visa att kontinuitetsekvationen ρ/ t = j är uppfylld för ρ r, t) = elektrisk laddningstäthet och j r, t) = elektrisk strömtäthet. 5 poäng) Se kurskompendium, avsnitt 11.2. 3. Ett klot med radien R har ett litet klot med radien r 0 urkarvad ur sig se figur). Båda kloten är centrerade i origo. Området mellan radierna r 0 och R har en konstant massdensitet ρ 0. Notera att gravitationsfält är kontinuerliga till skillnad från elektriska fält som ju har diskontinuiteter vid ytladdningar). Gravitationspotentialen uppfyller Poissons ekvation vi antar att vi använder smarta enheter så att Newtons konstant G = 1) Φr) = ρr). 5) Notera att tecknet i Poissons ekvation är motsatt mot vad man har för elektriska fält, detta beror på att två massor attraherar varandra. a) Beräkna gravitationsfältet F = Φr). Skissa den radiella komponenten F r r) som en funktion av r. 7 poäng) b) Om man betraktar fältet i en punkt r där r = r > R så ser fältet ut som fältet från en punktkälla. Vilken massa styrka) har en punktkälla som producerar samma fält? 2 poäng) c) Hur rör sig en liten testmassa som placeras utan initialhastighet) i gravitationsfältet i området r < r 0? 1 poäng) Figure 1: Klotet till gravitationsuppgiften. Institutionen för fysik, Chalmers Page 2 Examinator: C. Forssén
ösningsskiss för tentamen Vektorfält och klassisk fysik FFM232)2016-10-24 Sfärisk geometri med konstant källfördelning, perfekt för att lösa med Gauss sats. Med F r r) = Φr) skriver vi Poissons ekvations som Φr)) = ρr) 6) F = ρr) 7) och om vi integrerar båda sidor över klotet V som har radien r, får vi F dv = ρr)dv 8) och om vi applicerar Gauss sats på vänsterledet får vi F ds = ρr)dv. 9) }{{} Total innesluten massa Eftersom V är en klot har vi att ds = ˆrr 2 sin θ och geometrin säger oss att på konstant radie är F r r) konstant så vi kan enkelt beräkna ytintegralen och få fram 4πr 2 F r r) = ρr)dv. 10) Rummet delas nu enkelt in i 3 olika delar med olika masstäthet r < r 0, ρr) = 0 11) r 0 r R, ρr) = ρ 0 12) r > R, ρr) = 0. 13) Eftersom ingen laddning innesluts i område 1 ser vi direkt att F 1) r r) = 0. 14) I område 2 finns en konstant masstäthet, vi behöver därför bara vet hur stor volym som innesluter massa. Det inses relativt lätt att volymen som innesluter massa är klotet med radie r med r i område 2) minus den innersta tomma klotets volym den innesluter ju ingen massa). Vi får då 4πr 4πr 2 F r 2) 3 r) = ρ 0 4πr3 0 3 3 ) 15) ur vilket vi enkelt löser ut ) F r 2) r) = r r3 0 ρ0 r 2 3. 16) Institutionen för fysik, Chalmers Page 3 Examinator: C. Forssén
ösningsskiss för tentamen Vektorfält och klassisk fysik FFM232)2016-10-24 I område 3 innesluter vi all den massa som finns så vi behöver endast multiplicera ρ 0 med den total volymen av skalet dvs klotet med radie R minus klotet med radie r 0 ). ) 4πR 4πr 2 F r 3) 3 r) = ρ 0 4πr3 0 17) 3 3 F r 3) r) = ρ 0R 3 r0) 3 1 3 r. 18) 2 Slutsvaret för graviationsfältet blir F r r) = F 1) r r) = 0, r a F 2) r F 3) r) = r r) = ρ 0R 3 r 3 0 ) ) r r3 0 ρ 0, a < r R r 2 3 3 1, r 2 r > R 19) 1.0 0.5 ρ 0 0.0 Φr) F r r) -0.5 0 1 2 3 4 5 r/r0 Figure 2: Skiss av gravitationsfältet även potentialen visas, den efterfrågas dock inte i uppgiften). Här har vi satt R = 2r 0. Vi kan läsa av fältet från den ekvivalenta punktkällan genom att komma ihåg att fältet från en puktkälla är F r r) = q. Genom att jämföra 4πr 2 med vårt fält i området r > R ser vi att vi har styrkan q = 4π 3 R3 r0)ρ 3 0. Utanför volymen ser fältet alltså ut som att det skapats av en attraktiv) punktkälla med kroppens totala massa. En liten testmassa som placeras i området r < r 0 kommer att påverkas av kraften F r 1) r) = 0 och kommer således inte röra på sig alls. Den beter sig som om det inte fanns någon massa runtomkring alla krafter som påverkar den tar ut varandra pga den sfäriska symmetrin). 4. Betrakta de tre vektorfälten: F1 = ρê θ, F 2 = zê z och F 3 = zê ρ. Institutionen för fysik, Chalmers Page 4 Examinator: C. Forssén
ösningsskiss för tentamen Vektorfält och klassisk fysik FFM232)2016-10-24 a) Vilket av dessa tre fält kan skrivas i termer av en vektorpotential? 2 poäng) b) Ange en explicit form för en vektorpotential, A, som ger detta fält. 4 poäng) c) Samma som b) men med det extra gauge-)villkoret att A = 0 detta kan alltså vara samma vektorpotential som du redan har konstruerat). 4 poäng) a) Endast fält F 1 är divergensfri. Det kan alltså skrivas i termer av en vektorpotential. För de andra gäller att F 2 = 1, F 3 = z/ρ. b) Vektorpotentialen A skall uppfylla F = A vilket ger 1 ρ θa z z A θ = F ρ = 0 z A ρ ρ A z = F θ = ρ 1 ρ ρρa θ ) θ A ρ ) = F z = 0 En enkel lösning till detta är att sätta A θ = A z = 0 och A ρ = ρz. Dvs A = ρzê ρ. c) Tyvärr är ovanstående lösning inte divergensfri A = 2z). Men vi kan utnyttja gaugeinvariansen A A + Λ och välja Λ så att Λ = Λ = A. Utgående från vårt svar på uppgift b) väljer vi Λ = z 3 /3 vilket ger Λ = z 2 ê z och finner den divergensfria vektorpotentialen A = ρzê ρ z 2 ê z. 20) 5. I en mycket lång homogen cylinder med radien R kan temperaturfördelningen skrivas T = T ρ, θ) i cylindriska koordinater, dvs temperaturen kan antas vara z-oberoende. Den stationära temperaturfördelningen i cylindern uppfyller aplaces ekvation T ρ, θ) = 0. 21) a) Beräkna temperaturfördelning i hela cylindern givet Dirichlet randvillkoret T R, θ) = T 0 + T 1 cos θ. 6 poäng) Institutionen för fysik, Chalmers Page 5 Examinator: C. Forssén
ösningsskiss för tentamen Vektorfält och klassisk fysik FFM232)2016-10-24 a) Beräkna värmeflödet genom den halvan av cylinderytan som beskrivs av ρ = R, π/2 < θ < π/2 streckade halvan i Figur 3.). Kommentera kort svaret och ange om värmen flödar in eller ut och ange även enheten på det beräknade värmeflödet. Värmeströmtätheten beräknas med q = λ T ρ, θ), där λ är en materialberoende konstant som antas vara känd.) 4 poäng) Figure 3: Cylindern i genomskärning. Cylindern antas vara mycket lång och därmed blir lösningen z-oberoende. Vi börjar med att ansätta en allmän lösning på formen T ρ, θ) = fρ) + gρ) cos θ 22) där vi har en term som följer randvillkorets vinkelberoende och en term som endast har ett radiellt beroende. Stoppar vi in denna ansatsen i aplace ekvation kom ihåg polär aplaceoperator) får vi 1 ρ ρ ρ fρ) ρ ) + 1 ρ ρ ) ρ ρ gρ) cos θ) + 1ρ 2 2 vilket vi kan skriva om till 1 ρ fρ) ) = 1 ρ ρ ρ ρ ρ gρ) cos θ) = 0 θ2 23) ρ gρ) ) + gρ) ) cos θ = 0 24) ρ ρ 2 där vi inser att båda termerna måste separat vara noll pga att de har olika vinkelberoende). Vi får då de två ekvationerna 1 ρ fρ) ) = 0 25) ρ ρ ρ 1 ρ gρ) ) + gρ) ) = 0 26) ρ ρ ρ ρ 2 Institutionen för fysik, Chalmers Page 6 Examinator: C. Forssén
ösningsskiss för tentamen Vektorfält och klassisk fysik FFM232)2016-10-24 ösningen för fρ) kan enkelt integreras fram till att vara fρ) = A log ρ + B. 27) Här måste A = 0 då denna term har ett singulärt beteende i ρ = 0. För att lösa ut gρ) ansätter vi gρ) = Cρ p och sätter in i ekvationen vilket löses av p = ±1. Dvs vi ska ansätta Cρ p 2 p 2 1 ) = 0 28) gρ) = C 1 ρ + C 2 /ρ 29) men vi ser genast att C 2 ska vara noll då den termen har singulärt beteende i ρ = 0 det är också fältet från en linjekälla i z = 0 och någon sådan har vi ju inte). Slutligen har vi att beteendet för T ρ, θ) ska vara T ρ, θ) = B + C 1 ρ cos θ 30) och genom att matcha till randvilkoret ser vi att T R, θ) = T 0 + T 1 cos θ = B + C 1 R cos θ 31) dvs, B = T 0 samt C 1 = T 1 /R. Slutlösningen för temperaturfördelningen är T ρ, θ) = T 0 + T 1ρ cos θ. 32) R Vi ska även beräkna värmeflödet genom den högra ytan av cylindern. Normalen till denna yta pekar i ˆρ-led och vi behöver bara räkna denna komponenten utav värmeströmmen T ρ, θ) q ρ = λ ρ = λt 1 R cos θ. 33) Vi betraktar en sträcka z 1 z 0 = av cylindern. Det totala värmeflödet fås av integralen π/2 q ds = q ˆρρdθdz = q ρ Rdθ S S = λt 1 π/2 π/2 π/2 cos θdθ = λt 1 [sin θ] π/2 π/2 = 2λT 1. Vi kan dela med för att få värmeflödet per längdenhet. Mängden värme som flödar in är alltså 2λT 1 genom den högra delen utav cylindern, mätt i effekt per längdenhet W/m i SI-enheter). Institutionen för fysik, Chalmers Page 7 Examinator: C. Forssén
ösningsskiss för tentamen Vektorfält och klassisk fysik FFM232)2016-10-24 6. Betrakta Poissons ekvation φ = ρ i det endimensionella området {x : 0 x } med Dirichlets homogena randvillkor. För detta problem är Greensfunktionen { ) 1 Gx, x x ) = x 0 x < x, 1 x ) x x x. a) Använd denna Greensfunktion för att beräkna potentialen för två punktladdningar i det givna området med de givna randvillkoren): En laddning +q i punkten /2 + ε/2 och en laddning q i punkten /2 ε/2 där ε är en kort sträcka. 6 poäng) b) Verifiera att den givna Greensfunktionen verkligen är korrekt. I uppgiften ingår alltså att inse vad det är som skall verifieras. Även ett tydligt resonemang kring detta kan ge delpoäng.4 poäng) Situationen motsvarar en slags endimensionell dipol med randvillkor φ0) = φ) = 0. addningsfördelning kan skrivas ρx ) = +qδx /2 ε/2) qδx /2 + ε/2), 34) och lösningen kan skrivas i termer av den givna Greensfunktionen φx) = 0 Gx, x )ρx )dx. 35) Pga Greensfunktionens utseende får vi betrakta tre separata områden: För x < /2 ε/2: Här är G = 1 x /)x för bidragen från bägge punktkällorna och vi får ) ) /2 + ε/2 /2 ε/2 φx) = q 1 x q 1 x = q ε x. 36) För x > /2 + ε/2: Här är G = 1 x/)x för bidragen från bägge punktkällorna och vi får φx) = q 1 x ) 2 + ε ) q 1 x ) 2 2 ε ) = q ε x). 2 37) Institutionen för fysik, Chalmers Page 8 Examinator: C. Forssén
ösningsskiss för tentamen Vektorfält och klassisk fysik FFM232)2016-10-24 För /2 ε/2 < x < /2 + ε/2: /2 + ε/2 φx) = q 1 = q x ) 1 ε 2 Olika G för de två punktkällorna. ) x q 1 x ) 2 ε ) 2 Potentialen kan med fördel skissas upp. Då ser man att den avtar linjärt från noll vid x = 0 till qε/2 vid x = /2 ε/2 för att sedan öka linjärt till +qε/2 på den korta sträckan ε och sedan avta linjärt till noll igen vid x =. ). Verifiera Greensfunktionen Greensfunktion skall vi visa att För att verifiera att detta är korrekt Den löser Poissons ekvation för en punktkälla med styrkan 1 i x, dvs Gx, x ) = δx x ), inne i området {x : 0 x }. Notera att aplacianen verkar på x-koordinaten, dvs = d 2 /dx 2 i vårt en-dimensionella fall. Den uppfyller randvillkoren, dvs G0, x ) = G, x ) = 0 x. Det är enkelt att visa att randvillkoren är uppfyllda för den givna Greensfunktionen notera att x = 0 och x = ligger i de två olika områdena). Vad gäller aplacianen så noterar vi att derivatan är diskontinuerlig i punkten x = x. Utanför denna gäller { ) d 1 dx Gx, x ) = G x, x x ) = 0 x < x, x x < x, d och följdaktligen att 2 Gx, x ) = G x, x ) = 0, x x. Detta dx 2 motsvarar ett av de nödvändiga villkoren som en deltafunktion skall uppfylla, nämligen att δx x ) = 0, x x. Det andra villkoret gäller integralen över en deltafunktion. Här visar vi att 0 G x, x ))dx = 1. Institutionen för fysik, Chalmers Page 9 Examinator: C. Forssén
ösningsskiss för tentamen Vektorfält och klassisk fysik FFM232)2016-10-24 Integralen får enbart ett bidrag från området med diskontinuiteten 0 G x, x ))dx = lim x 0 + x + x x x G x, x ))dx = G x, x ) G +x, x ) ) = 1 x x = 1, där G och G + betecknar förstaderivatan till vänster, respektive till höger, om diskontinuiteten vid x = x. Detta avslutar vårt bevis. Institutionen för fysik, Chalmers Page 10 Examinator: C. Forssén