Jämvikt Vid jämvikt (ekvilibrium) är en kropp i vila eller i rätlinjig rörelse med konstant hastighet. Jämvikt kräver att: Alla verkande krafter tar ut varandra, Σ F = 0 (translationsjämvikt) Alla verkande moment tar ut varandra, Σ M = 0 (rotationsjämvikt) Ofta delar man upp krafterna i t. ex. horisontellt och vertikalt verkande komposanter. Detta ger tre jämviktsvillkor (i det tvådimensionella fallet): Σ F V = 0 Σ F H = 0 Σ M = 0 I det tredimensionella fallet finns det 6 jämviktsvillkor att ställa upp, krafter i tre riktningar och moment längs tre axlar. Inre och yttre krafter En kropp påverkas av både yttre och inre krafter Yttre krafter o tyngdkrafterna på delarna, representerad av deras resultant o kontaktkrafter o olika yttre, pålaga krafter Inre krafter krafter som verkar mellan kroppens olika, inre delar Vad som är inre och yttre krafter beror på vilket system man studerar! P. Carlsson 1
Reaktionslagen. Vid en dragtävling påverkar person A person B med kraften S BA. Denna kraft ger enligt Newtons 3:e lag upphov till en lika stor och motriktad reaktionskraft S AB på personen A från personen B. Leder då inte Newtons 3:e lag till en paradox? Hur kan någon av dem vinna? Här är det viktigt att förstå att Newtons 3:e lag beskriver verkan och motverkan på olika kroppar. För att se vilken av dem som vinner måste man betrakta den totala kraften på var och en av dem. Om friktionskraften på B, F B är större än friktionskraften på A, F A då vinner B i enlighet med Newtons 2:a lag. Kraftekvation för A och B: A: m A a = S AB - F A B: m B a = F B - S BA Vilket ger: F a = m Alternativt betraktelsesätt: B A F + m Kraftekvation för A och B tillsammans ger: A B a = 0 F A = F B = S AB = S BA (jämvikt, statik) A och B: (m A +m B ) a = F B - F A Vilket ger: F a = m B A F + m A B P. Carlsson 2
Friläggning Problemlösandet underlättas betydligt av en ordentlig friläggning! Välj ut det system som ska studeras, det är på det systemet jämviktsvillkoren ska tillämpas. En förenklad bild av det system som ska studeras ritas, samtliga yttre krafter ritas in och så kallade snittkrafter förs in i snittytorna. (Obligatoriskt!) Inledande exempel: Hur stora krafter påverkas de båda lådorna av i figuren på första sidan, om den övre lådan väger 3 kg och den undre 8 kg? Ex 1. En person tränar överarmen med en 10 kg:s hantel på det sätt som visas i figuren. Brachialismuskelgruppen (som består av brachialis och biceps) är de muskler som har störst påkänning under övningen. Bestäm storleken på kraften F som 10 kg brachialismuskelgruppen utövar i läget i figuren samt storleken på den påkänning som uppstår i armbågen vid punkt E i samma läge (rörelsen anses ske så långsamt att statikens lagar gäller). Använd de angivna måtten som angreppspunkter för de två muskelgrupperna, alltså 8 direkt ovanför E och 2 rakt höger om E. Inkludera inverkan av underarmens massa om 1,5 kg med masscentrum vid G. Svar: F = 753 N, E = 644 N P. Carlsson 3
Ex 2. Beräkna dragkraften T i de rep som lyfter 500 kg:s vikten i figuren. Varje hjul rullar utan friktion och alla massor är försumbara jämfört med lasten. Beräkna även storleken på den totala kraft som verkar på övre hjulets lagring vid C. Svar: T = 1226 N, resulterande kraft vid övre hjulets lagring vid C, R = 1226 N 500 kg P. Carlsson 4
Tyngdpunkt Parallella krafter kan enligt tidigare reduceras till en enda kraft. Tyngdkrafterna på smådelarna i en kropp bildar ett parallellkraftsystem. De kan därför ersättas med en enda, linjebunden kraft Q. storleken på denna resulterande kraft blir: Q ( m g) = ( m ) g mg = i i = Var resultanten hamnar för oregelbundna kroppar kommer senare! Linkrafter stångkrafter I stänger, liksom i linor, där tyngden är försumbar och inga krafter verkar utom i ändarna, ligger krafterna alltid utefter den linje som sammanbinder ändarna. Varför? Vad händer om tyngden inte är försumbar? P. Carlsson 5
Ex 3. Gymnasten i figuren som övar romerska ringar är under en kort stund i vila i ett läge då armarna bildar vinkeln α med vertikalen. Bestäm den kraft F och det moment M som krävs i punkt A vid axeln om varje arms massa är m 1 och massan av resten av kroppen förutom armarna är m 2. Symmetri kring mittlinjen förutsätts. Svar: m2g F = 2 m2 ( b + c) M = g sinα m1c + 2 P. Carlsson 6
Ex 4. En träningsmaskin är konstruerad med en lätt vagn som rullar utan nämnvärt motstånd på ett sluttande plan enl. figuren ovan. Två vajrar är fastade vid vagnen, en för varje hand. Om händerna hålls tillsammans så att vajrarna är parallella och varje vajer ligger nära ett vertikalt plan, beräkna med hur stor kraft P varje hand måste dra för att vagnen med mannen på ska vara i jämvikt i det utritade läget. Mannen väger 70 kg, planet lutar Θ = 15 o och vinkeln β = 18 o. Beräkna även storleken på den kraft R som det sluttande planet måste ta upp från vagnen. Svar: P = 45,5 N, R = 691 N P. Carlsson 7
Mer om friläggning utritande av krafter och moment P. Carlsson 8
Finn fem fel! P. Carlsson 9
Olika kontakt- tvångskrafter P. Carlsson 10
Alternativa jämviktsekvationer I systemet bredvid kan t.ex. följande tre jämviktsekvationer tecknas: F F x y M = 0 = 0 A = 0 Följande alternativa ekvationer ger dock precis samma resultat: x 0 M A = 0 M B = F = 0 (en kraft- två momentevkationer) A 0 M B = 0 M C = M = 0 (tre momentevkationer) eller, om en alternativ koordinatriktning, ξ, används: x 0 F = 0 M A = F = ξ 0 (två kraft- en momentekvation) Fler ekvationer än tre går inte att ställa upp, tillkommande ekvationer kommer att vara linjärt beroende av de tre första! P. Carlsson 11
Ex 5. En lastbom bär upp en vikt med massan m. Bommen är fäst vid O med en cylinderled så den kan rotera fritt kring en horisontell axel runt O. Bommen hålls i jämvikt med hjälp av en vajer BC enligt figur. Bestäm dragkraften i vajern samt reaktionskraften på bommen vid O. (Bommens massa försummas.) Friläggning I detta fall är tre olika lösningar möjliga. I. Lösning med två kraftekvationer och en momentekvation. II. Lösning med två momentekvationer och en kraftekvation. III. Lösning med tre momentekvationer. Svar: R x = 2mg, R y = -mg 4 S = mg 2 P. Carlsson 12
P. Carlsson 13
Ex 6. Bestäm storleken på den kraft P som krävs för att lyfta den ena ändan på 250 kg:s lådan i figuren så den nätt och jämt lättar från golvet vid A. Svar: P = 225 N P. Carlsson 14
Statisk obestämdhet Vi studerar en vikt med massan m som i fallet a) är upphängd med två linor och i fallet b) med tre linor. Fall a): Fall b) Antalet ekvationer vi kan ställa upp är detsamma, nämligen ΣF x och ΣF y. En momentekvation ger ingen ytterligare information då krafterna angriper i samma punkt! Vi har alltså 3 obekanta krafter men bara tillgång till två jämviktsekvationer. Problemet är vad man kallar statiskt obestämt. För att lösa problemet måste man ha information om linornas elasticitet. Vi hamnar då inom belastningsanalysen (hållfasthetsläran). P. Carlsson 15