UPPSALA UNIVERSITET Inst. för fysik och astronomi ID-Kod: Program: TENTAMEN 16-10-20 MEKANIK II 1FA102 SKRIVTID: 5 timmar, kl 08.00 13.00, LOKAL: BMC B1:3 Hjälpmedel: Nordling-Österman: PhysicsHandbook Råde-Westergren: MathematicsHandbook Räknedosa Börja varje uppgift på nytt blad! Skriv TYDLIGT ID-kod i övre högra hörnet på varje blad du lämnar in. Maximalt 5 poäng per uppgift. För betyg 3 krävs godkänd A-del (12 av maximalt 20 (+4 från duggorna) poäng). För betyg 4 och 5 krävs godkänd A-del samt framgångsrikt genomförd B-del. Notera att A-del och B-del måste göras vid samma tillfälle. OM E och V E-uppgift och/eller V-uppgift behöver inte lösas av den som registrerats första gången på kursen Mekanik II under år 2016. De behöver inte heller lösas av den som genomfört (eller avser att genomföra) motsvarande mini-projekt och blivit godkänd (blir godkänd senare). För övriga gäller att E-uppgiften och V- uppgiften måste vara godkänd. Om ett miniprojekt är godkänt betraktas motsvarande E/V uppgift som godkänd. Obs att miniprojekten alltså kan genomföras inom rimlig tid efter en tenta som i övrigt är godkänd. Observera även att examinator förbehåller sig rätten att utifrån en helhetsbedömning något avvika från ovanstående kriterier. LYCKA TILL! Inlämnat antal lösningsblad till uppgifterna Uppgift A1 A2 A3 A4 B1 B2 E1 V1 [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 1
Motiveringar Motiveringarna utgör en väsentlig del av problemets lösning och avgör poängbedömningen. En FIGUR med alla relevanta krafter markerade är oftast en viktig del av en motivering! Definiera införda beteckningar i text eller i figuren. Ange vilka grundläggande samband du utnyttjar. För samband som bara gäller under vissa förutsättningar måste du redovisa varför dessa förutsättningar är uppfyllda. Markera vektorer som vektorer. Markera inte skalärer som vektorer. Ange vilka vektor-skalär -relationer som du använder i din lösning. Dvs. följande typ av relationer: aa = aaxx, vv = vvxx, ff = ffxx, FF = FFyy, FF = FF xx, FF yy, FF zz ω = ωzz.. Med alternativa formuleringar av typ: aa = aaxx, vv = vvxx, ff = ffxx, FF = FFyy, ω = ωzz.. om du valt att använda någon sådan form med minustecken. Ange de enheter och riktningar som behövs för ett korrekt svar. Enheter kan behövas om du har satt in värden, inte annars. Ange val av koordinatsystem och eventuellt val av momentpunkt. Positiv moment- och rotations-riktning antas vara i koordinatsystemets zz -riktning (högersystem!) om du ej anger något annat. Om uppgiften löses med icke-inertiala referenssystem skall detta tydligt anges. 2
DEL A A1 Skeppet Vidfamne 1 har en mast som är 11,5 m hög. Seglet är i överkant fäst i en rå (en stång av trä, ungefär horisontell vid segling). För att kontrollera seglets vinkel relativt vinden används linor som fästs i ändarna på denna rå. Även om rån kan vridas runt masten utan att masten själv vrids kan vi bestämma vilket kraftmoment med avseende på en axel genom masten som en kraft i en av dessa linor ger upphov till. I ett koordinatsystem med origo i mastens fot, x-axel rakt förut, y-axeln vertikal (rakt uppåt) och z-axeln horisontell (åt styrbord, skeppets högra sida) befinner sig en punkt på masten, nära toppen, i läget rr tt = ( 1, 11, 2)mmmmmmmmmm. En lina är fäst vid rån i en punkt med koordinaterna rr ll = (1, 9, 2)mmmmmmmmmm och den andra änden är fäst vid båten i en punkt rr BB = ( 8, 1, 2)mmmmmmmmmm. Kraften som drar i linan har beloppet 1000 N. Bestäm beloppet av det kraftmoment med avseende på en axel genom mastens fot och topp som denna kraft ger upphov till. (5p) 1 Vidfamne är en replik av ett vikingatida handelsskepp med stort lastutrymme och god seglingsförmåga. För mer info, se Wikipedia: https://sv.wikipedia.org/wiki/vidfamne (efter tentan!). Bilden hämtad från denna källa. 3
A2 Några barn leker med en rullbana och låter två olika objekt rulla ner på de parallella pinnarna. Barnen ser att ett av objekten rör sig snabbare nerför banan och undrar varför. På bilden är rullbanan fotograferad snett uppifrån, och objektens mått framgår i ritningen. Pinnarnas lutning mot horisontalplanet är 10 grader och de har en sträv yta så att glidning inte uppstår (under den i uppgiften studerade delen av förloppet). Under rörelsen neråt har endast den centrala axeln kontakt med pinnarna, den cylindriska skivan (blå i bilden) kommer inte i kontakt med pinnarna. a. Bestäm två uttryck, ett för accelerationen och ett för vinkelaccelerationen, hos ett objekt som rullar nerför banans översta del. Objektet har startat från vila högst upp i banan. Beteckna skivans massa mm SS, de två pinnarna som sticker ut åt sidan har vardera massan mm PP. Skivans radie är R och pinnarnas radie är r. Med avseende på en axel vinkelrät mot skivan och genom objektets mass-centrum har objektet tröghetsmomentet I. (4p) b. Bestäm värdet för tröghetsmomentet I för objekt 1 i ritningen (det översta). Det är tillverkat av ett hårt träslag med densiteten ρ = 0.8 g/cm 3. (1p) A3 En golfboll (approximera som homogen sfär) med massa m och radie R fa r ett tillslag da r tillslagets (kraftens 2 ) verkanslinje ej ga r genom masscentrum utan karakteriseras av det i figuren angivna avsta ndet d. Omedelbart efter tillslaget har golfbollens hastighet beloppet v. Notera att ett golfslag av detta slag har en kontakttid mellan klubba och boll av storleksordningen 0,00015 sekund då också d kan antas konstant. Numeriskt: R = 0.021m, d =R/10, v = 40m/s, m= 0,046 kg. a) Besta m beloppet av golfbollens vinkelhastighet direkt efter tillslaget och ange om rotationen är med eller moturs för den i bilden beskrivna situationen. (4p) b) Bestäm bollens mekaniska energi efter slaget. (1p) 2 Kraften kan ses som en kombination av en normalkraft riktad mot bollens centrum och en friktionskraft riktad tangentiellt. Under stöten deformeras dock bollen, en tillplattning uppstår. Den intresserade kan t.ex. leta upp Golfteori i praktiken av Sven A. Svennberg 4
A4 Systemet som representeras i figur till höger (ur Bedford- Fowler) har en fjäder med fjäderkonstant k, en dämpare med dämpkonstant c. Massan som hänger i linan är m lika stor som massan m som bärs av de små lätta hjulen. Eftersom hjulen rullar lätt och planet är jämnt kan vi beskriva rörelsen som friktionsfri. Trissan radie är R och dess tröghetsmoment med avseende på rotationsaxeln genom centrum är I. Systemet släpps från vila när tiden t=0 och den hängande vikten befinner sig i läget x=0 där fjädern ej är spänd. Numeriskt: k= 800 N/m, c= 250 Ns/m, massa vikt=massa vagn=m=30 kg, R=0.12 m, I= 0.03 kgm 2 a) Bestäm systemets rörelseekvation (3p) b) Ange en lösning till denna samt beräkna värdet för x när tiden t=10 s. (2p) DEL B B1 En apparat, se fig, består av en lång smal stång med massa ms och längd L. Den stöds på mitten (just under sitt mass-centrum av en vass kant. Stången har en skåra just här så att den skall ligga i rätt läge. Det syns inte i figuren men det triangelformade stödet står på en stabil yta. I stångens båda ändar finns likadana trissor, som kan rotera friktionsfritt. Vi approximerar dessa som masslösa och med tröghetsmoment =0 kgm 2. Tre vikter har hängts upp som framgår i bild. Den högra vikten har massan 3m och hänger i en lina fäst vid den högra trissans axel, de två vikterna till vänster hänger i varsin ände av en lina som går runt vänster trissa. Dessa två vikter har respektive massor m och 2m. Linorna anses vara masslösa. a) Bestäm vinkelaccelerationen (storlek och riktning skall framgå) som stången får när systemet släpps från läget i figuren. (3p) b) Beskriv med ord och/eller formler hur du skall göra om hänsyn behöver tas till trissornas massa och tröghetsmoment (2p) 5
B2 Du skall placera ut en flytboj i havet. Bojen har formen av en smal cylinder och inne i cylindern finns en vikt placerad i botten så att den cylindern håller sig i ett vertikalt läge när den flyter. Cylinderns massa är m, dess radie R och längden är L. En lugn vågrörelse (dyning) finns på havsytan och kan beskrivas så att havsytan på en viss punkt rör sig i höjdled med en sinusfunktion i vilken vinkelfrekvensen är ωω VV och höjden d relativt medelnivån ges av dd(tt) = HH sin(ωω VV tt + φφ) som illustreras i figuren. (tyvärr lite otydlig, i den högra delen står bokstaven y till vänster om bojen och d till höger om bojen, y avser bojens läge och d är vågens utslag) Du släpper bojen vid en tid när en vågdal just passerar. Bojens höjd när du släpper den är det läge den skulle ha haft i jämvikt om ingen vågrörelse hade förekommit. Numeriskt m=100 kg, R= 20 cm, L= 2.5 m. Vattnets densitet sätts för enkelhets skull till 1000 kg/m 3. Vågrörelsens periodtid har du mätt, den är 5 sekunder. H är 0.75 meter. Vi antar även, något orealisitiskt, att ingen dämpning av svängningsrörelsen sker. Bestäm en tidsberoende funktion som beskriver bojens vertikala rörelse och räkna ut detta läge vid tiden t= 1000 s! 6
E1. (Se försättsbladet angående vilka studenter som kan ha nytta av att lämna in lösning på E1) Den metriska standarden används ofta för skruvar och muttrar. Vi har en M6*55 skruv med 6-kant-skalle, tillverkad i stål. Den har diametern 6 mm och längden 55 mm. Vi använder skruven till att sammanfoga två metallplattor, se figur. (Figurens proportioner avviker från vårt fall). Hållfasthetsklass 8.8 är stämplat på skruvens 6-kantiga huvud. Det första talet anger 100 -del av nominella brottgränsen i N/mm 2. Det andra talet anger 10 ggr förhållandet mellan undre sträckgränsen och nominella brottgränsen. Klass 8.8 betyder alltså att nominella brottgränsen är 800 N/mm 2, och undre sträckgränsen är 640 N/mm 2. Poissons tal för materialet är 0.3. a) Beräkna skruvens förlängning om vi vill förspänna skruven till 80 % av undre sträckgränsen i skruvens svagaste del. Skruven är svagast där den har sin gänga. Gängans djup är ca 0.5 mm varför den centrala delen av skruven innanför gängan har diameter 5 mm. Största delen av skruvens längd har ingen gänga. (2p) b) Beräkna ändringen av diametern på skruven när den förspänns som i uppgift a) (1p) c) Uppskatta vilket kraftmoment som behöver appliceras på muttern för att åstadkomma denna förspänning. Gängan har en stigning på 1 mm. (2p) (Stigningen är avståndet mellan spåren i gängan. Gängan på skruven kan ses som ett lutande plan som lindats runt skruven. Mutterns gänga kan ses som en kil som lindats runt på insidan av muttern. När muttern skruvas på trycks alltså denna kil in mellan brickan under muttern och det lutande planet på skruven.) Inför vid behov motiverade approximationer när du löser deluppgifterna ovan! Det kan vara av intresse att känna till att en väl förspänd skruv har mindre risk att råka ut för utmattningsbrott än en dåligt förspänd skruv. Den förspända skruven står under konstant belastning och materialet utsätts därför i mindre grad för upprepade deformationer. Tabeller på rekommenderade kraftmoment finns och bör konsulteras, dock ej under denna tentamen. 7
V1. (Se försättsbladet angående vilka studenter som kan ha nytta av att lämna in lösning på V1) En 50 m lång metalltråd har spänts mellan två fästpunkter. Vid den ena fästpunkten finns en vibrator som kan röra trådens ände i en riktning vinkelrät mot tråden. Då uppstår en vågrörelse som rör sig på tråden. a) Vilka parametrar påverkar vågens utbredningshastighet? b) Hur påverkas fashastigheten av amplitud och frekvens på vibratorn? c) Intensiteten hos vågen beskriver den effekt som transporteras av vågen. Hur förändras intensiteten om vibratorns rörelse i sidled halveras samtidigt som antalet svängningar per sekund tredubblas? Välj det av nedanstående alternativ som bäst beskriver kvoten mellan intensiteten efter förändringen och intensiteten före förändringen: 0.10 0.25 0.50 0.75 1.00 1.25 1.50 1.75 2.00 2.25 2.50 2.75 3.00 3.50 4.00 6.00 8.00 10.00 8