Föreläsningsanteckningar i linjär algebra

1 Föreläsningsanteckningar i linjär algebra Per Jönsson och Stefan Gustafsson Malmö högskola Malmö 2014

2

Kapitel 1 Linjära ekvationssystem Att lösa ekvationer Vi vill lösa ekvationen 2x 6 = 0 Att lösa ekvationen är detsamma som att ta reda på det x som gör högerledet (HL) lika med vänsterledet (VL) Lösningsförfarande 2x 6 = 0 2x 6 + 6 = 0 + 6 2x = 6 2x 2 = 6 2 x = 3 addera 6 till båda leden förenkla dividera båda leden med 2 förenkla I de flesta fall skriver man inte upp alla steg lika noga Kontroll av svar Vi kontrollerar att det beräknade värdet på x verkligen är en lösning genom att sätta in x = 3 i ursprungsekvationen VL = 2 }{{} 3 6 = 6 6 = 0 = HL x Ja, lösningen är korrekt eftersom VH = HL En linjär ekvation har formen ax + by + cz = d, där a, b, c, d är reella tal Olika lösningstyper Ekvationen 2x = 6 har precis lösningen x = 6/2 = 3 Ekvationen 0x = 6 saknar lösning Det finns inget värde på x så att VL = HL Ekvationen 0x = 0 har oändligt många lösningar För vilket värde vi än har på x så gäller att V L = HL 3

4 KAPITEL 1 LINJÄRA EKVATIONSSYSTEM Linjära ekvationssystem Ett linjärt ekvationssystem består av ett antal linjära ekvationer som skall vara uppfyllda samtidigt Ett exempel på ett linjärt ekvationssystem ges av x + 2y + z = 1 2x + 3y 2z = 1 3x + 4y 4z = 1 Linjära ekvationssystem löses enklast med så kallad Gausselimination Vi ska beskriva Gausselimination genom ett antal exempel Exempel 11 x + 2y + z = 1 2x + 3y 2z = 1 3x + 4y 4z = 1 Vi behåller ekvation 1 oförändrad och tar bort termer med x i ekvation 2 och 3 genom att addera en lämplig multipel av ekvation 1 till ekvation 2 och en lämplig multipel av ekvation 1 till ekvation 3 Vi ser att termer med x går bort i ekvation 2 om vi multiplicerar ekvation 1 med 2 och adderar till ekvation 2 På samma sätt ser vi att termer med x går bort i ekvation 3 om vi multiplicerar ekvation 1 med 3 och adderar till ekvation 3 x + 2y + z = 1 2x + 3y 2z = 1 3x + 4y 4z = 1 x + 2y + z = 1 y 4z = 1 2y 7z = 2 Vi använder nu ekvation 2 för att få bort termer med y i ekvation 3 Vi ser att termer med y går bort i ekvation 3 om vi multiplicerar ekvation 2 med 2 och adderar till ekvation 3 x + 2y + z = 1 y 4z = 1 2y 7z = 2 x + 2y + z = 1 y 4z = 1 z = 0 Ur sista ekvationen får vi värdet på z Genom att sätta detta värde i ekvation 2 får vi värdet på y Slutligen genom att sätta in värden på z och y i ekvation 1 får vi värdet på x I vårt fall har vi x = 1 y = 1 z = 0 Då man har löst ett linjärt ekvationsystem skall man alltid kontrollera sin lösning genom att sätta in i ekvationerna Detta enkelt och snabbt gjort och minskar risken för onödiga slarvfel Exempel 12 2x 6y + 11z = 35 x 2y + z = 2 3x + 5y + z = 8 Vi behåller ekvation 1 oförändrad och tar bort termer med x i ekvation 2 och 3 genom att addera en lämplig multipel av ekvation 1 till ekvation 2 och en lämplig

5 multipel av ekvation 1 till ekvation 3 Vi ser att termer med x går bort i ekvation 2 om vi adderar ekvation 1 med 2 gånger ekvation 2 På samma sätt ser vi att med x går bort i ekvation 3 om vi multiplicerar ekvation 1 med 3 och adderar till 2 gånger ekvation 3 2x 6y + 11z = 35 x 2y + z = 2 3x + 5y + z = 8 2x 6y + 11z = 35 2y + 9z = 31 8y + 35z = 121 Vi använder nu ekvation 2 för att få bort termer med y i ekvation 3 Vi ser att termer med y går bort i ekvation 3 om vi multiplicerar ekvation 2 med 4 och adderar till ekvation 3 2x 6y + 11z = 35 2y + 9z = 31 8y + 35z = 121 2x 6y + 11z = 35 2y + 9z = 31 z = 3 Ur sista ekvationen får vi värdet på z Genom att sätta detta värde i ekvation 2 får vi värdet på y Slutligen genom att sätta in värden på z och y i ekvation 1 får vi värdet på x I vårt fall har vi x = 5 y = 2 z = 3 Insättning i ursprungsekvationerna visar att lösningen är korrekt Exempel 13 x + 2y + z = 1 2x + 3y 2z = 1 3x + 4y 5z = 1 Vi behåller ekvation 1 oförändrad och tar bort termer med x i ekvation 2 och 3 genom att addera en lämplig multipel av ekvation 1 till ekvation 2 och en lämplig multipel av ekvation 1 till ekvation 3 Vi ser att termer med x går bort i ekvation 2 om vi adderar 2 gånger ekvation 1 till ekvation 2 På samma sätt ser vi att termer med x går bort i ekvation 3 om vi adderar 3 gånger ekvation 1 till ekvation 3 x + 2y + z = 1 2x + 3y 2z = 1 3x + 4y 5z = 1 x + 2y + z = 1 y 4z = 1 2y 8z = 2 Vi använder nu ekvation 2 för att få bort termer med y i ekvation 3 Vi ser att termer med y går bort i ekvation 3 om vi multiplicerar ekvation 2 med 2 och adderar till ekvation 3 x + 2y + z = 1 y 4z = 1 2y 8z = 2 x + 2y + z = 1 y 4z = 1 0 = 0 Tredje ekvationen är alltid uppfylld, vilket innebär att vi kan välja z fritt Man brukar sätta z = t där t R t kallas då en parameter Insättning i ekvation 1 och ekvation 2 ger x = 1 + 7t y = 1 4t z = t, t R

6 KAPITEL 1 LINJÄRA EKVATIONSSYSTEM Ekvationssystemet har alltså oändligt många lösningar Sätt in ett värde på t och vi får värden på x, y och z som uppfyller ekvationen Sätt in ett annat värde på t så får vi återigen värden på x, y och z som uppfyller ekvationen osv Som vi skall se senare kan lösningsmängden tolkas som att (x, y, z) ligger på en linje som går genom punkten ( 1, 1, 0) och som har riktningsvektor (7, 4, 1) Återigen kontrollerar vi lösningen genom insättning Ekvation 1: V L = ( 1 + 7t) + 2(1 4t) + t = 1 + 7t + 2 8t + t = 1 = HL Ekvation 2: V L = 2( 1 + 7t) + 3(1 4t) 2t = 2 + 14t + 3 12t 2t = 1 = HL Ekvation 3: V L = 3( 1 + 7t) + 4(1 4t) 5t = 3 + 21t + 4 16t 5t = 1 = HL Här står VL för vänsterledet och HL för högerledet VL = HL innebär att ekvationen är uppfylld Exempel 14 I de fall ett ekvationssystem har parameterlösningar kan man alltid välja dessa på olika sätt Vissa val kan leda till enklare räkningar Som ett exempel tittar vi på systemet x y + 2z = 4 x + 2y + z = 10 x 4y + 3z = 2 Vi har räkningarna x y + 2z = 4 3y + z = 6 3y z = 6 x y + 2z = 4 3y + z = 6 0 = 0 Vi kan välja z fritt och sätter z = t där är en parameter Detta ger x = 6 5 3 t y = 2 + t 3 z = t, t R Vi noterar att vi kan förenkla räkningarna och slippa rationella tal genom att sätta z = 3t där t är en parameter Insättning ger nu att x = 6 5t y = 2 + t, t R z = 3t Formen på parametriseringen är olika men lösningsmängden är densamma i båda fallen Varje lösning x, y, z som kan fås genom insättning av ett värde t i den första formeln kan också fås ur den andra genom insättning av något lämpligt t och vice versa Ur matematisk synpunkt är båda parameterformerna lika bra och lika rätt Ur praktisk synpunkt verkar den andra parameterformen bättreom du får en lösning på parameterform och den inte råkar stämma med vad som står i facit så sätt in din lösning i ekvationerna och se om det stämmer Du är då säker på att den

7 lösning du räknat fram är korrekt Exempel 15 x + 2y + z = 1 2x + 3y 2z = 1 3x + 4y 5z = 2 Vi behåller ekvation 1 oförändrad och tar bort termer med x i ekvation 2 och 3 genom att addera en lämplig multipel av ekvation 1 till ekvation 2 och en lämplig multipel av ekvation 1 till ekvation 3 Vi ser att termer med x går bort i ekvation 2 om vi adderar 2 gånger ekvation 1 till ekvation 2 På samma sätt ser vi att med x går bort i ekvation 3 om vi adderar 3 gånger ekvation 1 till ekvation 3 x + 2y + z = 1 2x + 3y 2z = 1 3x + 4y 5z = 2 x + 2y + z = 1 y 4z = 1 2y 8z = 1 Vi använder nu ekvation 2 för att få bort termer med y i ekvation 3 Vi ser att termer med y går bort i ekvation 3 om vi multiplicerar ekvation 2 med 2 och adderar till ekvation 3 x + 2y + z = 1 y 4z = 1 2y 8z = 1 x + 2y + z = 1 y 4z = 1 0 = 1 Tredje ekvationen är aldrig uppfylld Detta innebär att ekvationssystemet saknar lösning Tillämpningar Linjära ekvationssystem har en otrolig mängd tillämpningar Kraft och momentjämnvikt som är viktiga begrepp i byggnadsmekanik leder till ekvationssystem Mer om detta i kursen byggnadsmekanik Exempel 16 En lätt stång vilar på två bockar Stången är belastad med yttre krafter F 1 = 100 N och F 2 = 25 N Beräkna reaktionskrafterna R 1 och R 2 från bockarna Längden L = 1 m R 1 F 1 R 2 F 2 2L 2L L Kraftjämvikt i vertikal led ger R 1 + R 2 = F 1 + F 2 Momentjämvikt (moment = kraft hävarm) kring vänstra bocken ger R 2 4L = F 1 2L + F 2 5L

8 KAPITEL 1 LINJÄRA EKVATIONSSYSTEM Båda ekvationerna skall vara uppfyllda { R1 + R 2 = 125 4R 2 = 325 Sista ekvationen ger R 2 = 325/4 = 8125 Insättning i första ekvationen ger R 1 = 125 8125 = 4375 Exempel 17 Genom två punkter går en rät linje (förstagradspolynom), genom tre punkter går en parabel (andragradspolynom), genom fyra punkter går ett tredjegradspolynom osv Bestäm andragradspolynomet y = c 0 + c 1 x + c 2 x 2 Som går igenom de tre punkterna (0, 4), (1, 3), (2, 2) Insättning av x = 0 skall ge y = 4, insättning av x = 1 skall ge y = 3 och slutligen skall x = 2 ge y = 2 Detta leder till ekvationssystemet c 0 + c 1 0 + c 2 0 2 = 4 c 0 + c 1 1 + c 2 1 2 = 3 c 0 + c 1 2 + c 2 2 2 = 2 c 0 = 4 c 0 + c 1 + c 2 = 3 c 0 + 2c 1 + 4c 2 = 2 Gausselimination ger lösningen c 0 = 4, c 1 = 1 och c 2 = 2, dvs y = 4 x + 2x 2 I figuren har vi ritat andragradspolynomet som går genom punkterna 3 2 C 1 4 3 2 1 1 0 1 2 3 4 5 2 3 B A 4 Ett nätverk en uppsättning grenar i vilka något flödar Det kan vara ett avloppssystem, gator med ett flöde av bilar osv Punkter där grenarna möts kallas nodpunkter Vi ska ta ett exempel med gator och ett flöde av bilar Exempel 18 Bilden nedan visar ett närverk av enkelriktade gator Antalet bilar som passerar gatan per timme är markerat Kan vi säga något om antalet bilar x 1, x 2, x 3?

9 200 400 500 C x 3 B 400 400 x 2 700 D x 1 A 400 600 Antalet bilar in i varje nod (korsning) måste vara lika med antalet bilar ut Korsning Bilar in Bilar ut A 400 + 600 = x 1 + x 2 B x 2 + x 3 = 400 + 600 C 500 + 200 = x 3 + 400 D x 1 + 400 = 700 Vi får följande linjära ekvationssystem x 1 + x 2 = 1000 x 2 + x 3 = 1000 x 3 = 300 x 1 = 300 Lösning av ekvationssystemet ger x 1 = 300, x 2 = 700, x 3 = 300 Ekvationssystem med Maxima Linjära ekvationssystem löses enkelt med Maxima Även lösningar där svaret innehåller en parameter kan hanteras För att lösa det linjära ekvationssystemet x + 2y + z = 1 2x + 3y 2z = 1 3x + 4y 4z = 1 Börjar vi med att klicka på Equations i rullgardinsmenyn och sedan väljer vi Solve Linear System

10 KAPITEL 1 LINJÄRA EKVATIONSSYSTEM Figur 11: Välj Equations och sen Solve Linear System Efter att ha specificerat att det är tre ekvationer matar vi in dessa på följande sätt samt anger att de obekanta variablerna är x, y och z Figur 12: Mata in ekvationerna och ange vilka variabler vi ska lösa ut Maxima svarar med att skriva ut lösningen som är x = 1, y = 1, z = 0 Maxima löser alltid ekvationssystemet exakt och ger lösningen som rationella tal Vi kan även lösa ekvationssystemet på kommandoraden på följande sätt ekv1 : x + 2*y + z = 1; ekv2 : 2*x + 3*y - 2*z = 1; ekv3 : 3*x + 4*y -4*z = 1; linsolve([ekv1,ekv2,ekv3],[x,y,z]); Åter igen svarar Maxima med att skriva ut lösningen x = 1, y = 1, z = 0 Notera att Maxima finns on-line http://maxima-onlineorg/ och du behöver inte installera programmet om du inte vill! Exempel 19 En generell metod inom matematisk problemlösning är att approximera en komplicerad funktion f(x) med ett polynom p(x) Polynom är ju som bekant enkla att arbeta med Polynomet bestäms genom kravet att det ska anta samma värde som den ursprungliga funktionen f(x) i ett antal punkter Vilket gradtal polynomet ska ha och hur många punkter behövs bestäms delvis av det aktuella problemet och vilken noggrannhet man önskar I bland kan ett polynom med ganska lågt gradtal ge en tillräcklig bra approximation I Vi ska beräkna integralen 1 ( ) πx 2 sin dx 0 2 ( ) Funktionen f(x) = sin πx 2 2 är komplicerad och vi ersätter den med ett fjärdegradspolynom p(x) = c 0 + c 1 x + c 2 x 2 + c 3 x 3 + c 4 x 4, där koefficienterna bestäms från kravet att polynomet ska anta samma värden som den ursprungliga funktionen i de fem punkterna x 0 = 0, x 1 = 025, x 2 = 05, x 3 = 075, x 4 = 10 Vi får ekvationssystemet c 0 + c 1 x 0 + c 2 x 2 0 + c 3 x 3 0 + c 4 x 4 0 = f(x 0 ) c 0 + c 1 x 1 + c 2 x 2 1 + c 3 x 3 1 + c 4 x 4 1 = f(x 1 ) c 0 + c 1 x 2 + c 2 x 2 2 + c 3 x 3 2 + c 4 x 4 2 = f(x 2 ) c 0 + c 1 x 3 + c 2 x 2 + c 3 x 3 3 + c 4 x 4 3 = f(x 3 ) c 0 + c 1 x 4 + c 2 x 2 4 + c 3 x 3 4 + c 4 x 4 4 = f(x 4 ) Vi gör beräkningarna med Maxima och börjar definiera funktionen f(x) och punkterna x 0, x 1, x 2, x 3, x 4

11 f(x) := sin(%pi*x^2/2) x0 : 0; x1 : 025; x2 : 05; x3 : 075; x4 : 1; Därekfter ger vi ekvationerna och kommandot för att lösa ekvationssystemet ekv1 : c0+c1*x0+c2*x0^2+c3*x0^3+c4*x0^4 = f(x0); ekv2 : c0+c1*x1+c2*x1^2+c3*x1^3+c4*x1^4 = f(x1); ekv3 : c0+c1*x2+c2*x2^2+c3*x2^3+c4*x2^4 = f(x2); ekv4 : c0+c1*x3+c2*x3^2+c3*x3^3+c4*x3^4 = f(x3); ekv5 : c0+c1*x4+c2*x4^2+c3*x4^3+c4*x4^4 = f(x4); linsolve([ekv1,ekv2,ekv3,ekv4,ekv5],[c0,c1,c2,c3,c4]); Maxima spottar ur sig lösningen [c0=00,c1=009879547482649,c2=076236220468844, c3=214427997999069,c4=-2005437659505621] Detta ger polynomet p(x) = 009879547482649 x + 076236220468844 x 2 + +214427997999069 x 3 2005437659505621 x 4 Polynomet (sträckad) och den ursprungliga funktionen (heldragen) är plottade i figuren nedan 1 05 0 025 05 075 1 125 15 Som vi ser att polynomet en mycket bra approximation till den ursprungliga funktionen f(x) Integration av polynomfunktionen ger 1 0 p(x) dx = 043850093540594 vilket är en bra approximation till den ursprungliga integralen Uppgifter 1 Lös uppgifterna i exempel 11 15 med Maxima 2 Betrakta exempel 17 Skriv upp momentjämvikten med avseende på det högra stödet Lös det resulterande ekvationssystemet och visa att du får samma lösning som tidigare

12 KAPITEL 1 LINJÄRA EKVATIONSSYSTEM 3 Bestäm det polynom som går genom punterna (0, 4), (1, 0), (2, 0), (3, 40) Använd Maxima för beräkningarna 4 Betrakta den elektriska kretsen nedan Enligt Kirchhoffs lagar är summan av 3 Ω 4 Ω I 2 I 5 Ω 3 6 Ω 2 Ω 7 Ω 1 Ω I 1 I 4 9 Ω 8 Ω + + V 0 2V 0 potentialfallen i en sluten slinga lika med noll De fyra slingorna ger då upphov till ekvationerna V 0 I 1 2(I 1 I 2 ) 9(I 1 I 4 ) = 0 3I 2 5(I 2 I 3 ) 2(I 2 I 1 ) = 0 4I 3 6I 3 7(I 3 I 4 ) 5(I 3 I 2 ) = 0 2V 0 7(I 4 I 3 ) 8I 4 9(I 4 I 1 ) = 0 Bestäm strömmarna I 1, I 2, I 3, I 4 då V 0 = 100 V Använd Maxima för beräkningen 5 Strukturer som konstrueras med hjälp av triangulära element tål ofta stora belastningar W 3 F 13 F 23 H 1 α β V 1 F 12 V 2 De okända spännkrafterna (som strävar efter att hålla ihop strukturen) betecknas med F 12, F 13 och F 23 V 1 och V 2 är de okända vertikala krafterna som stöder konstruktionen vid nod 1 och 2 H 1 är den okända horisontella kraften vid nod 1 Slutligen är W 3 den kända kraften som representerar tyngden av strukturen Kraftjämvikt i vertikal och horisontell led i var och en av de tre noderna ger följande ekvationssystem V 1 + F 13 sin α = 0 H 1 + F 12 + F 13 cos α = 0 V 2 + F 23 sin β = 0 F 12 F 23 cos β = 0 F 13 sin α F 23 sin β = W 3 F 13 cos α + F 23 cos β = 0

13 Låt α = π/6, β = π/3 och W 3 = 100 Lös ekvationssystemet och bestäm de okända krafterna F 12, F 13, F 23, V 1, V 2, H 1 Använd Maxima för beräkningen 6 Approximera funktionen f(x) = x ln(x 2 + 1) med ett polynom p(x) = c 0 + c 1 x + c 2 x 2 + c 3 x 3 + c 4 x 4 i intervallet [0, 2] Koefficienterna c 0, c 1, c 2, c 3, c 4 bestäms genom att polynomet och ursprungsfunktionen ska anta samma värden i de fem punkterna x 0 = 0, x 1 = 05, x 2 = 1, x 3 = 15, x 4 = 2 Använd Maxima för beräkningarna Plotta ursprungsfunktionen och det approximerande polynomet i samma figur 7 En cirkel med medelpunkt (a, b) och radie r ges av ekvationen (x a) 2 + (y b) 2 = r 2 Det räcker med att känna tre punkter på en cirkel för att bestämma a, b och r Bestäm medelpunkten (a, b) och radien r till cirkeln nedan Ledning: använd att (x a) 2 + (y b) 2 = r 2 x 2 2xa + a 2 + y 2 2yb + b 2 = r 2 Insättning av de tre punkterna ger tre ekvationer, med vars hjälp man kan lösa ut a och b om man är listig Sedan kan man också få fram r 2 C r 1 (a, b) B A 0 1 2 3

14 KAPITEL 1 LINJÄRA EKVATIONSSYSTEM

Kapitel 2 Vektorer Inledning Vektorer är ett mycket viktigt begrepp inom fysik, mekanik och hållfasthetslära Vektorer behövs också för att förstå komplexa tal, vilka geometriskt kan representeras som vektorer Riktade sträckor Låt A och B vara två punkter i planet (eller i rummet) AB betecknar då den riktade sträckan från A till B B A En riktad sträcka har: (1) riktning, (2) storlek (längd), (3) begynnelsepunkt Två riktade sträckor AB och CD säges vara ekvivalenta om de kan överföras i varandra genom parallellförskjutning B D A C Vektorer En vektor u är mängden av alla riktade sträckor som är ekvivalenta med en given riktad sträcka AB Varje riktad sträcka säges vara en representant för vektorn u Om AB är en representant för u skriver man ofta u = AB Nollvektorn 0 svarar mot att A = B, dvs AA 15

16 KAPITEL 2 VEKTORER Två vektorer u och v som är lika riktade eller motsatt riktade kallas parallella (skrivs u v ) u v u v Summa av två vektorer Summan u + v av två vektorer definieras enligt figuren nedan u + v v u Tag en representant för u och en representant för v som startar i spetsen på u Den riktade sträckan som är markerad i figuren är då en representant för u + v Alternativt kan addition definieras utgående från följande procedur Avsätt u och v från samma punkt och konstruera en parallellogram Diagonalen i parallellogramen är då en representant för u + v v u + v u Multiplikation med tal (skalär) Låt λ R och u en vektor (1) Om λ > 0 så är λu den vektor som är lika riktad som u och vars längd är λ gånger längden av u (2) Om λ < 0 så är λu den vektor som är motsatt riktad som u och vars längd är λ gånger längden av u (3) Om λ = 0 så är λu nollvektorn

17 u 2u 15u Längden av en vektor u betecknas u och enligt definitionen av multiplikation med skalär λ har vi λu = λ u Subtraktion Subtraktion u v definieras som addition av vektorn u och ( 1)v på följande sätt u v = u + ( 1)v På samma sätt definieras den negativa vektorn v som ( 1)v v v v u u u + v u v u Enhetsvektorer En enhetsvektor är en vektor med längden 1 Enhetsvektorer är mycket viktiga i tillämpningar De brukar betecknas e Låt u vara en godtycklig vektor och låt u vara längden av vektorn Vi kan då få en enhetsvektor e med samma riktning som u genom att dividera u med u e = u u Exempel 21 Låt u vara en vektor med längden 2, dvs u = 2 Vektorn e = u u = u 2 är då en enhetsvektor med samma riktning som u

18 KAPITEL 2 VEKTORER Räknelagar för vektorer Följande räknelagar gäller för vektorer u + v = v + u kommutativa lagen u + (v + w) = (u + v) + w u + ( 1)u = 0 u + 0 = u λ(µu) = (λµ)u 1 u = u 0 u = 0 λ 0 = 0 associativa lagen (λ + µ)u = λu + µu distributiva lagen λ(u + v) = λu + λv distributiva lagen Observera att man utifrån definitionen av addition och multiplikation med tal måste bevisa dessa räknelagar innan vi accepterar dem och börjar räkna med dem Bevisen för räknelagarna ges i Gunnar Sparrs bok sid 23 Exempel 21 Betrakta figuren nedan u w v Vektorn w kan skrivas som vektorn till spetsen minus vektorn till fotpunkten w = v u Vi har nämligen u + w = v w = v u Exempel 22 Låt M vara mittpunkten på sträckan AB och O en godtycklig punkt A M B Visa att O OM = 1 (OA + OB) 2

19 Lösning: Vi har följande räkningar OM = OA + AM = OA + 1 2 AB = OA + 1 2 (OB OA) = 1 (OA + OB) 2 Här har vi använt att AB kan skrivas som OB OA (vektorn till spetsen minus vektorn till fotpunkten) Bas och koordinater Vi har infört vektorer och definierat räkneoperationer rent geometriskt Vi ska nu översätta räkneoperationerna och räknelagarna till analytisk form, dvs till räkning med tal Det senare visar sig vara mycket kraftfullt och användbart För att kunna formulera räkneoperationer på analytisk form inför vi begreppen bas och koordinater Vi behandlar vektorer i planet och i rummet var för sig Vektorer i planet Låt e 1 och e 2 vara två icke-parallella vektorer i planet Då kan varje vektor u i planet skrivas u = x 1 e 1 + x 2 e 2, där x 1 och x 2 entydigt bestämda tal

20 KAPITEL 2 VEKTORER Bevis: Börja med att bilda en parallellogram enligt figuren med u som diagonal och med sidor som är parallella med e 1 och e 2 Härigenom erhålles en uppdelning av u i en summa av två vektorer u = u 1 + u 2 u 2 u e 2 e 1 u 1 Eftersom u 1 och u 2 är parallella med e 1 respektive e 2 finns entydigt bestämda tal x 1 och x 2 sådana att u 1 = x 1 e 1 och u 2 = x 2 e 2 Vi har alltså att u = x 1 e 1 + x 2 e 2 e 1, e 2 säges vara en bas för vektorerna i planet x 1, x 2 är koordinaterna för u i basen e 1, e 2 Då basen är fastlagd skriver man ofta u = (x 1, x 2 ) istället för u = x 1 e 1 +x 2 e 2 (x 1, x 2 ) kallas för ett talpar Speciellt gäller att e 1 = (1, 0) och e 2 = (0, 1) Vektorer i rummet Låt e 1, e 2 och e 3 vara tre vektorer i rummet som inte ligger i ett plan Då kan varje vektor u i rummet skrivas u = x 1 e 1 + x 2 e 2 + x 3 e 3, där x 1, x 2 och x 3 entydigt bestämda tal Bevis: Börja med att bilda en parallellepiped enligt figuren med u som diagonal och med sidor som är parallella med e 1, e 2 och e 3 Härigenom erhålles en uppdelning av u i en summa av två vektorer u = u + u 3 (se figur) u u 3 u 2 e 3 e 2 u e 1 u 1 Då u ligger i planet som definieras av e 1 och e 2 finns enligt ovan entydigt bestämda tal x 1 och x 2 sådana att u = x 1 e 1 + x 2 e 2 Eftersom u 3 är parallell med e 3 finns också ett entydigt bestämt tal x 3 sådant att u 3 = x 3 e 3 Vi har alltså u = x 1 e 1 + x 2 e 2 + x 3 e 3 e 1, e 2, e 3 säges vara en bas för vektorerna i rummet x 1, x 2, x 3 är koordinaterna för u i basen e 1, e 2, e 3 Man skriver ofta u = (x 1, x 2, x 3 ) istället för u = x 1 e 1 +x 2 e 2 +x 3 e 3 (x 1, x 2, x 3 ) kallas för en taltrippel Speciellt gäller att e 1 = (1, 0, 0), e 2 = (0, 1, 0) och e 3 = (0, 0, 1)

21 Räkneoperationer i koordinatform När man väl infört en bas kan man övergå till att räkna med talpar och taltripplar istället för med vektorer Om u = x 1 e 1 +x 2 e 2 +x 3 e 3 och v = y 1 e 1 +y 2 e 2 +y 3 e 3 så gäller enligt räknelagarna för vektorer på sidan 6 att u + v = x 1 e 1 + x 2 e 2 + x 3 e 3 + y 1 e 1 + y 2 e 2 + y 3 e 3 = = (x 1 + y 1 )e 1 + (x 2 + y 2 )e 2 + (x 3 + y 3 )e 3 λu = λ(x 1 e 1 + x 2 e 2 + x 3 e 3 ) = λx 1 e 1 + λx 2 e 2 + λx 3 e 3 Räkneoperationerna för vektorer övergår alltså i följande räkneoperationer för taltripplar u + v = (x 1, x 2, x 3 ) + (y 1, y 2, y 3 ) = (x 1 + y 1, x 2 + y 2, x 3 + y 3 ) λu = λ(x 1, x 2, x 3 ) = (λx 1, λx 2, λx 3 ) Koordinatsystem I det tidigare avsnittet införde vi bas och koordinater för att kunna representera och räkna med vektorer Vi går nu vidare och inför begreppet koordinatsystem för att kunna beskriva punkter och punktmängder Speciellt skall vi titta på linjer och plan Koordinatsystem i planet Fixera en punkt O, kallad origo, i planet Mot varje punkt P svarar då en och endast en vektor u = OP Vektorn OP kallas ortsvektorn för punkten P För en given bas e 1, e 2 finns det då entydigt bestämda tal x 1, x 2 sådana att OP = x 1 e 1 + x 2 e 2 Oe 1 e 2 kallas ett koordinatsystem i planet x 1, x 2 är koordinaterna för punkten P i koordinatsystemet Oe 1 e 2 Då koordinatsystemet är givet betecknas punkten ofta P : (x 1, x 2 ) Istället för e 1, e 2 använder man ofta e x, e y som beteckning för basvektorerna Motsvarande koordinater betecknas då x och y Linjen genom O med riktning e x kallas för x-axeln Punkten med ortsvektor e x säges vara enhetspunkt längs x-axeln och har koordinaterna (1, 0) På samma sätt definieras y-axeln som linjen genom O med riktning e y Enhetspunkten på y-axeln ges av e y och har koordinater (0, 1) I figurer brukar man markera axelriktningarna med pilar (ej basvektorerna) och markera enhetspunkterna y u P (0, 1) O (1, 0) x Koordinatsystem i rummet Fixera en punkt O, kallad origo, i planet Mot varje punkt P svarar då en och endast

22 KAPITEL 2 VEKTORER en vektor u = OP För en given bas e 1, e 2, e 3 finns det då entydigt bestämda tal x 1, x 2, x 3 sådana att OP = x 1 e 1 + x 2 e 2 + x 3 e 3 Oe 1 e 2 e 3 kallas ett koordinatsystem i rummet x 1, x 2, x 3 är koordinaterna för punkten P i koordinatsystemet Oe 1 e 2 e 3 Då koordinatsystemet är givet betecknas punkten ofta P : (x 1, x 2, x 3 ) Istället för e 1, e 2, e 3 använder man ofta e x, e y, e z som beteckning för basvektorerna Motsvarande koordinater betecknas då x, y och z På samma sätt som i planet pratar man om koordinataxlar och enhetspunkter För koordinatsystem i rummet har man även koordinatplan; planet genom O som innehåller x- och y-axlarna kallas xy-planet, planet genom O som innehåller x- och z-axlarna kallas xz-planet och planet genom O som innehåller y- och z-axlarna kallas yz-planet z y (0, 0, 1) (0, 1, 0) u (1, 0, 0) Exempel 23 Låt P : (x 1, y 1, z 1 ) och Q : (x 2, y 2, z 2 ) vara två punkter i rummet Då är vektorn P Q = (x 2 x 1, y 2 y 1, z 2 z 1 ) P x O Q Bevis: Vi skriver P Q med hjälp av ortsvektorerna P Q = OQ OP }{{} spets minus fotpunkt = (x 2, y 2, z 2 ) (x 1, y 1, z 1 ) = (x 2 x 1, y 2 y 1, z 2 z 1 ) Linjärt beroende och linjärt oberoende Två vektorer u 1 och u 2 i planet som inte är parallella utgör en bas i planet Tre vektorer u 1, u 2 och u 3 i rummet som inte ligger i ett plan utgör en bas i rummet Ovanstående är geometriska villkor som är svåra att hantera praktiskt Givet tre

23 vektorer i rummet tex u 1 = (1, 2, 1), u 2 = ( 1, 0, 2), u 3 = (1, 1, 3) finns där någon möjlighet att räkna fram om u 1, u 2, u 3 ligger i ett plan eller inte och därmed kunna avgöra frågan om de utgör en bas Ja, det finns ett mycket enkelt sätt att göra detta via lösningen till ett linjärt ekvationssystem Innan vi kommer dit skall vi införa lite användbara begrepp Linjärkombination w sägs vara en linjärkombination av u 1, u 2,, u p om w = λ 1 u 1 + λ 2 u 2 + + λ p u p för några tal λ 1, λ 2,, λ p Linjärt beroende och linjärt oberoende Vektorerna u 1, u 2,, u p säges vara linjärt beroende om någon eller några av dem är en linjärkombination av de övriga Vektorerna u 1, u 2,, u p säges vara linjärt oberoende om ingen av dem är en linjärkombination av de övriga Exempel 24 Vektorerna u 1 = (1, 2, 1), u 2 = ( 1, 0, 2), u 3 = (5, 4, 4) är linjärt beroende ty u 3 kan till exempel skrivas som en linjärkombination av u 1 och u 2 på följande sätt u 3 = 2u 1 3u 2 vilket verifieras genom räkningarna Bassatsen 2u 1 3u 2 = 2(1, 2, 1) 3( 1, 0, 2) = (2, 4, 2) + (3, 0, 6) = (5, 4, 2) = u 3 Två vektorer u 1 och u 2 i planet är en bas (dvs de är icke-parallella) om och endast om de är linjärt oberoende Om u 1 och u 2 är linjärt beroende då är de parallella och utgör ingen bas Fler än två vektorer i planet är alltid linjärt beroende Tre vektorer u 1, u 2 och u 3 i rummet är en bas (dvs de ligger inte i ett plan) om och endast om de är linjärt oberoende Om u 1, u 2 och u 3 är linjärt beroende så ligger de i ett plan och utgör ingen bas Fler än tre vektorer i rummet är alltid linjärt beroende Frågan om vektorer är linjärt beroende eller linjärt oberoende och kan utgöra en bas avgörs enklast utifrån följande sats Sats Om ekvationen λ 1 u 1 + λ 2 u 2 + + λ p u p = 0 är uppfylld för några tal λ 1, λ 2,, λ p, där minst ett är skilt från noll, så är u 1, u 2,, u p linjärt beroende

24 KAPITEL 2 VEKTORER Om ekvationen Om ekvationen λ 1 u 1 + λ 2 u 2 + + +λ p u p = 0 endast är uppfylld för λ 1 = λ 2 = = λ p = 0, så är u 1, u 2,, u p linjärt oberoende Exempel 25 Låt en bas i rummet vara given Vektorerna u 1, u 2, u 3 har koordinaterna u 1 = (1, 2, 2), u 2 = ( 2, 3, 1), u 3 = ( 1, 3, 2) Är u 1, u 2, u 3 linjärt oberoende? Bildar de en bas? Vi använder satsen ovan λ 1 u 1 + λ 2 u 2 + λ 3 u 3 = 0 λ 1 (1, 2, 2) + λ 2 ( 2, 3, 1) + λ 3 ( 1, 3, 2) = (0, 0, 0) Vi får en ekvation för första koordinaten, en för andra koordinaten och en för tredje koordinaten λ 1 2λ 2 λ 3 = 0 λ 1 u 1 + λ 2 u 2 + λ 3 u 3 = 0 2λ 1 + 3λ 2 + 3λ 3 = 0 2λ 1 + λ 2 + 2λ 3 = 0 λ 1 2λ 2 λ 3 = 0 λ 2 + λ 3 = 0 5λ 2 + 4λ 3 = 0 λ 1 2λ 2 λ 3 = 0 λ 2 + λ 3 = 0 9λ 3 = 0 λ 1 = 0 λ 2 = 0 λ 3 = 0 Vektorerna är linjärt oberoende och bildar enligt bassatsen en bas Exempel 26 Uttryck vektorn w = (1, 2, 0) i basen u 1 = (1, 2, 2), u 2 = ( 2, 3, 1), u 3 = ( 1, 3, 2) ovan För att uttrycka w i basen u 1, u 2, u 3 skall bestämma x 1, x 2, x 3 så att Vi har w = x 1 u 1 + x 2 u 2 + x 3 u 3 w = x 1 u 1 + x 2 u 2 + x 3 u 3 (1, 2, 1) = x 1 (1, 2, 2) + x 2 ( 2, 3, 1) + x 3 ( 1, 3, 2) Vi får en ekvation för första koordinaten, en för andra koordinaten och en för tredje koordinaten x 1 2x 2 x 3 = 1 w = x 1 u 1 + x 2 u 2 + x 3 u 3 2x 1 + 3x 2 + 3x 3 = 2 2x 1 + x 2 + 2x 3 = 1 x 1 2x 2 x 3 = 1 x 2 + x 3 = 4 5x 2 + 4x 3 = 1 x 1 2x 2 x 3 = 1 x 2 + x 3 = 4 9x 3 = 19 x 1 = 2/3 x 2 = 17/9 x 3 = 19/9 Exempel 27 Låt en bas i rummet vara given Vektorerna u 1, u 2, u 3 har koordinaterna u 1 = (1, 2, 1), u 2 = (2, 3, 2), u 3 = (1, 3, 1) Är u 1, u 2, u 3 linjärt oberoende? Bildar de en bas? Vi använder satsen ovan λ 1 u 1 + λ 2 u 2 + λ 3 u 3 = 0 λ 1 (1, 2, 1) + λ 2 (2, 3, 2) + λ 3 (1, 3, 1) = (0, 0, 0)

25 Vi får en ekvation för första koordinaten, en för andra koordinaten och en för tredje koordinaten λ 1 + 2λ 2 + λ 3 = 0 λ 1 u 1 + λ 2 u 2 + λ 3 u 3 = 0 2λ 1 + 3λ 2 + 3λ 3 = 0 λ 1 2λ 2 λ 3 = 0 λ 1 2λ 2 + λ 3 = 0 λ 2 + λ 3 = 0 0 = 0 Ekvationen har oändligt många lösningar skilda från λ 1 = λ 2 = λ 3 = 0 Vektorerna är linjärt beroende och bildar ingen bas Basbyte Praktiskt arbete förenklas ofta om basen för koordinatsystemet är val på ett bra sätt Vi Krafter En kraft F är en storhet som har längd och riktning Enheten för kraft är Newton För att beräkna resultatet av en krafts verkan på en stel kropp behöver vi också veta kraftens angreppspunkt Matematiskt beskrivs en kraft F med hjälp av en vektor och en angreppspunkt I bilden nedan verkar två krafter F 1 och F 2 på en mast Det är uppenbart att angreppspunkten har stor betydelse för vad som händer med systemet eller konstruktionen Om krafterna ovan hade gripit an i punkter nära marken hade de inte alls stadgat upp masten som tänkt F 1 F 2 Vi räknar med krafter på samma sätt som med vektorer Speciellt kan två krafter adderas Ofta används följande konstruktion, den så kallade kraftparallellogrammen

26 KAPITEL 2 VEKTORER F 2 F = F 1 + F 2 F 1 Exempel xx I problemlösning har vi ofta anledning att dela upp krafter i komposanter Som ett exempel tar vi en låda som står på lutande plan Tyngdkraften F griper an i lådans masscentrum Vi delar upp tyngdkraften i två komposanter F 1 och F 2, där den ena är vinkelrät mot planet och den andra är parallell med planet F 2 F 1 F Kinematik I kinematiken beskriver man rörelsen av en partikel med hjälp av begreppen läge, hastighet och acceleration Vi inför ett koordinatsystem Oe x e y e z i rummet och tänker oss att basvektorerna alla har längden ett och är ömsesidigt vinkelräta (vi återkommer till detta längre fram) Med partikelbanan menar vi den kurva i rummet längs vilken partikeln rör sig Partikelbanan beskrivs normalt med hjälp av ortsvektorn r(t) som beror av tiden t

27 z y partikelbana v(t) = (x (t), y (t), z (t)) hastighetsvektor r(t) = (x(t), y(t), z(t)) ortsvektor x Ortsvektorn kan beskrivas med hjälpa av de tre tidsberoende koordinaterna r(t) = (x(t), y(t), z(t)) Derivatan av ortsvektorn ger hastighetsvektorn v(t) = (v x (t), v y (t), v z (t)) = r (t) = (x (t), y (t), z (t)) Notera noga att hastighet är en vektor medan fart är ett tal som är längden av hastighetsvektorn Deriverar vi ytterligare en gång får vi accelerationsvektorn a(t) = (a x (t), a y (t), a z (t)) = v (t) = (v x(t), v y(t), v z(t)) = r (t) = (x (t), y (t), z (t)) Accelerationen är förbunden med nettokraften F(t) som verkar på partikeln enligt Newtons andra lag F(t) = ma(t) där m är partikelns massa Exempel 28 Låt Oe x e y vara ett koordinatsystem i planet där basvektorerna har längden ett och är vinkelräta Vid tiden t = 0 kastar vi en boll med massan m och försummar friktionen Bollen kommer att beskriva en parabelformad bana, en så kallad kastparabel Den enda kraft som verkar på bollen är tyngdkraften F = (0, g) där g = 981 kg m/s 2 är tyngdaccelerationen Detta ger accelerationsvektorn a(t) = F ( m = 0, g ) m Integration av accelerationsvektorn ger hastighetsvektorn v(t) = (v x0, v y0 g ) m t där de två integrationskonstanterna v x0 och v y0 är koordinaterna för bollens hastighet vid tiden t = 0 Vektorn v 0 = (v x0, v y0 ) är alltså bollens utgångshastighet Ytterliggare integration ger positionsvektorn r(t) = ( x 0 + v x0 t, y 0 + v y0 t g 2m t2)

28 KAPITEL 2 VEKTORER där integrationskonstanterna x 0 och y 0 är koordinaterna för bollens position vid t = 0 Vektorn r 0 = (x 0, y 0 ) är alltså bollens utgångsposition Låt m = 1, g = 10, r 0 = (0, 0) och v 0 = (10, 10) Motsvarande kastparabel blir då r(t) = (10t, 10t 5t 2 ) Vi plottar kastparabeln för t [0, 2] Tiden t = 2 motsvarar tiden då bollen slår i marken y = 0 12 10 v 0 = (10, 10) 8 6 r(t) = (10t, 10t 5t 2 ) 4 2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 Exempel 29 Låt Oe x e y vara ett koordinatsystem i planet där basvektorerna har längden ett och är vinkelräta Vi har en partikel som rör sig längs en cirkulär bana med centrum i (0, 0) och radie 1 r(t) = (cos(ωt), sin(ωt)) Konstanten ω kallas vinkelhastighet, enhet radianer per sekund Då ω = 2π rör sig partikeln 1 varv per sekund Då ω = 4π rör partikeln 2 varv per sekund Hastighetsvektorn blir v(t) = r (t) = ω( sin(ωt), cos(ωt)) medan accelerationsvektorn ges av a(t) = r (t) = ( ω 2 cos(ωt), ω 2 sin(ωt)) = ω 2 r(t) Vi ser att accelerationsvektorn är motsatt riktad positionsvektorn Accelerationsvektorn är hela tiden riktad mot origo, vilket känns ganska naturligt I figuren nedan har vi plottat postions- och hastighetsvektorn för ω = π 2

29 2 v(t) = π 2 ( sin( π 2 t), cos( π 2 t)) 1 r(t) = ( cos( π 2 t), sin( π 2 t)) 1 0 1 2 1 Koordinatsystem i samhället Positioner i Sverige anges ofta med GPS-koordinater (WGS) eller i förhållande till ett rikstäckande rätvinkligt plant koordinatsystem som kallas rikets triangelnät (RT90) En koordinat i rikets nät skrivs på formen x-koordinat y-koordinat där x-koordinaten växer mot norr och y-koordinaten åt öster Rikets triangelnät håller successivt på att ersättas av SWEREF99 På Eniros kartsida kan man genom att klicka på en godtycklig punkt få fram koordinaterna för denna Se figuren nedan Det finns mycket viktiga tillämpningar av koordinatgeometri inom olika samhällssektorer Marknaden för positioneringstjänster växer mycket starkt och omsätter idag miljardbelopp! När Europa färdigställer Galileoprojektet kommer man att kunna positionerna sig på 1 cm när http://enwikipediaorg/wiki/galileo_(satellite_navigation) Detta kommer bland annat att användas av byggsektorn för att placera ut byggelement på rätt plats och ersätter på så sätt omständliga mätarbeten Uppgifter 1 Gå in på Eniro och bestäm GPS- och SWEREF99-koordinaterna för din bostad 2 Bestäm koordinaterna för vektorn mellan din bostad och entren på skolan givet koordinatsystemet SWEREF99 3 Chefen har köpt ett Gustavianskt skåp av Gottlieb Iwersson på myrornas loppis Åke har fått i uppgift att transpotera hem skåpet och låter det glida ner för en träramp med ett litet stopp Vid vilken vinkel på rampen tippar skåpet? Tips: skåpet tippar då kraftlinjen från skåpets tyngdpunkt hamnar utanför benet Skåpet är kvadratiskt med måtten 60 cm 60 cm Benens höjd är 30 cm Gör räkningar med miniräknare eller med GNU Octave på din dator

30 KAPITEL 2 VEKTORER Figur 21: Koordinater för ingången till Kranen från Eniros kartor SWEREF99- koordinaterna är x = 6165175 och y = 373132 Enheten för koordinaterna i SWEREF99 är meter och givet koordinaterna för ett antal punkter kan man enkelt beräkna avstånd, se vidare kapitel 4

Kapitel 3 Linjer och plan Ekvation för linje i planet Vi antar att vi har infört ett koordinatsystem Oe x e y En linje L är entydigt bestämd om vi känner en av dess punkter P 0 : (x 0, y 0 ) och om vi vet att linjen är parallell med en given vektor v = (α, β) (linjens riktningsvektor) En godtycklig punkt P : (x, y) ligger på linjen om och endast om P 0 P är parallell med riktningsvektorn v, dvs om P 0 P = t v för något tal t R O L P : (x, y) P 0 : (x 0, y 0 ) v = (α, β) Vi skriver P 0 P med hjälp av ortsvektorerna (spets minus fotpunkt) och har P 0 P = OP OP 0 = tv (x x 0, y y 0 ) = t(α, β) Ekvationen ovan är linjens ekvation på så kallad parameterform Ekvationen skrivs ofta på följande sätt { x = x0 + αt y = y 0 + βt där t R Då vi sätter in ett värde på t hamnar vi i en punkt på linjen Omvänt så svarar varje punkt på linjen mot ett t Linjens ekvation på parameterform är ett annat sätt att beskriva linjen än genom y = kx+m (affin form) som vi är vana vid Man kan omvandla mellan de två beskrivningarna och vi återkommer till det i exempel 31 Ekvation för linje i rummet Beskrivningen av en linje i rummet skiljer sig inte från beskrivningen i planet Vi antar att vi har infört ett koordinatsystem Oe x e y e z En linje L är entydigt bestämd om vi känner en av dess punkter P 0 : (x 0, y 0, z 0 ) och om vi vet att 31

32 KAPITEL 3 LINJER OCH PLAN linjen är parallell med en given vektor v = (α, β, γ) (linjens riktningsvektor) En godtycklig punkt P : (x, y, z) ligger på linjen om och endast om P 0 P är parallell med riktningsvektorn v, dvs om P 0 P = t v för något tal t R Vi skriver P 0 P med hjälp av ortsvektorerna (spets minus fotpunkt) och har P 0 P = OP OP 0 = tv (x x 0, y y 0, z z 0 ) = t(α, β, γ) Ekvationen ovan är linjens ekvation på så kallad parameterform Ekvationen skrivs ofta på följande sätt x = x 0 + αt y = y 0 + βt z = z 0 + γt där t R I rummet är parameterformen den enda möjliga beskrivningen av linjen och det finns ingen affin form Exempel 31 Ange en ekvation på parameterform för linjen L genom punkterna P : (1, 0) och Q : (2, 2) Skriv sedan om ekvationen på affin form Lösning: En riktningsvektor för linjen ges av P Q = OQ OP = (2, 2) (1, 0) = (1, 2) Eftersom L går genom P : (1, 0) blir linjens ekvation { x = 1 + t t R y = 0 + 2t För att skriva om linjen på affin form ax + by + c = 0 gör vi på följande sätt { x = 1 + t y = 0 + 2t { t = x 1 t = y/2 y/2 = x 1 2x y 2 = 0 I analytisk geometri skriver man ofta linjer på formen ax + by + c = 0 snarare än y = kx+m Den första formen har vissa fördelar som vi kommer till Exempel 32 Linjen L har ekvationen x 3y + 3 = 0 i affin form Skriv om ekvationen på parameterform och bestäm linjens riktningsvektor Lösning: Vi sätter y = t och uttrycker x med hjälp av t { x = 3y 3 = 3 + 3t x 3y + 3 = 0 y = t { x = 3 + 3t y = 0 + t Linjen har riktningsvektorn v = (3, 1) och går genom punkten ( 3, 0) Exempel 33 Vi har två linjer L 1 : (x, y) = (1, 2) + s( 2, 3) och L 2 : (x, y) = (2, 4) + t(1, 2) Bestäm skärningspunkten mellan linjerna Lösning: I ekvationerna för linjerna står s och t för tal Dessa tal är olika för de två linjerna och därför betecknar vi dem med olika bokstäver Linjerna skär varandra precis då koordinaterna är lika 1 2s = 2 + t x-koordinaterna lika 2 + 3s = 4 + 2t y-koordinaterna lika

33 Vi flyttar över allt med s och t till vänsterledet och löser ekvationssystemet med Gausselimination { { 2s t = 1 2s t = 1 3s 2t = 6 7t = 15 Vi har t = 15/7 och s = 4/7 Då vi sätter in s i ekvationen för L 1 får vi att detta motsvarar punkten (x, y) = ( 1/7, 2/7) vilken är skärningspunkten Vi får samma punkt om vi sätter in t = 15/7 i ekvationen för L 2 Exempel 34 Ange en ekvation på parameterform för linjen L som går genom punkterna P : (3, 6, 5) och Q : (4, 3, 3) Lösning: En riktningsvektor för L ges av P Q = OQ OP = (4, 3, 3) (3, 6, 5) = (1, 3, 2) Eftersom L går genom P : (3, 6, 5) blir linjens ekvation x = 3 + t y = 6 + 3t t R z = 5 + 2t Exempel 35 Linjen L ges av ekvationen x = 3 + t y = 6 + 3t t R z = 5 + 2t (a) Ligger punkten (2, 8, 7) på linjen? (b) Ligger punkten (4, 3, 3) på linjen? Lösning: (a) (2, 8, 7) ligger på linjen om och endast om det finns ett t sådant att 2 = 3 + t 8 = 6 + 3t 7 = 5 + 2t Vi har 2 = 3 + t 8 = 6 + 3t 7 = 5 + 2t t = 1 t = 2/3 t = 1 Ekvationerna ger olika värden på t vilket säger att punkten inte ligger på linjen (b) (4, 3, 3) ligger på linjen om och endast om det finns ett t sådant att 4 = 3 + t 3 = 6 + 3t 3 = 5 + 2t Vi har 4 = 3 + t 3 = 6 + 3t 3 = 5 + 2t t = 1 t = 1 t = 1 Punkten ligger på linjen och motsvarar parametervärdet t = 1

34 KAPITEL 3 LINJER OCH PLAN Ekvation för plan i rummet Antag att vi har infört ett koordinatsystem Oe x e y e z Ett plan π är entydigt bestämd om vi känner en av dess punkter P 0 : (x 0, y 0, z 0 ) och om vi vet att planet är parallell med två givna vektorer v 1 = (α 1, β 1, γ 1 ) och v 2 = (α 2, β 2, γ 2 ) (planets riktningsvektorer) En godtycklig punkt P : (x, y, z) ligger i planet om och endast om P 0 P kan skrivas som en kombination av riktningsvektorerna, dvs om P 0 P = t 1 v 1 + t 2 v 2 för några tal t 1, t 2 R v 2 P : (x, y, z) P 0 : (x, y, z) v 1 O Vi skriver P 0 P med hjälp av ortsvektorerna (spets minus fotpunkt) och har P 0 P = OP OP 0 = t 1 v 1 + t 2 v 2 (x x 0, y y 0, z z 0 ) = t 1 v 1 + t 2 v 2 (x x 0, y y 0, z z 0 ) = t 1 (α 1, β 1, γ 1 ) + t 2 (α 2, β 2, γ 2 ) Ekvationen ovan är planets ekvation på så kallad parameterform Ekvationen skrivs ofta på följande sätt x = x 0 + α 1 t 1 + α 2 t 2 y = y 0 + β 1 t 1 + β 2 t 2 z = z 0 + γ 1 t 1 + γ 2 t 2 där t 1, t 2 R Då vi sätter in värde på t 1 och t 2 hamnar vi i en punkt i planet Omvänt så svarar varje punkt i planet mot bestämda värden på t 1 och t 2 Planets ekvation kan också beskrivas som ax + by + cz + d = 0 (affin form) Exempel 36 Ange en ekvation på parameterform för planet π genom punkterna P : (1, 2, 0), Q : (0, 1, 1), R : (2, 1, 3) Skriv även planets ekvation på affin form Lösning: Vi bestämmer två riktningsvektorer (andra riktningsvektorer är möjliga) v 1 = P Q = OQ OP = ( 1, 1, 1) v 2 = P R = OR OP = (1, 3, 3) Eftersom planet går genom P 0 : (1, 2, 0) är x = 1 t 1 + t 2 y = 2 t 1 3t 2 z = 0 + t 1 3t 2 där t 1, t 2 R

35 För att skriva om planet på affin form ax + by + cz + d = 0 gör vi på följande sätt x = 1 t 1 + t 2 y = 2 t 1 3t 2 z = 0 + t 1 3t 2 t 1 + t 2 = x 1 4t 2 = x + y 1 2t 2 = x + z 1 t 1 + t 2 = x 1 t 1 3t 2 = y 2 t 1 3t 2 = z t 1 + t 2 = x 1 4t 2 = x + y 1 0 = 3x + y 2z + 1 Eftersom man alltid kan välja t 1 och t 2 så att ekvation 1 och 2 blir uppfyllda så tillhör punkten (x, y, z) planet om och endast om ekvationen 3x y+2z 1 = 0 är uppfylld Exempel 37 Bestäm skärningspunkten mellan linjen L och planet π x = 3 + t 1 x = 1 t 2 + t 3 L : y = 6 + 3t 1 π : y = 2 t 2 3t 3 z = 5 + 2t 1 z = 0 + t 2 3t 3 Lösning: I skärningspunkten skall x, y, z värdena vara lika dvs 3 + t 1 = 1 t 2 + t 3 6 + 3t 1 = 2 t 2 3t 3 5 + 2t 1 = 0 + t 2 3t 3 t 1 + t 2 t 3 = 2 3t 1 + t 2 + 3t 3 = 8 2t 1 t 2 + 3t 3 = 5 Då vi löser ekvationssystemet med Gausselemination får vi t 1 = 1, t 2 = 2, t 3 = 3 Genom att sätta in t 1 = 1 i ekvationen för L så får vi skärningspunkten (x, y, z) = (2, 9, 7) Vi får samma punkt om vi sätter in t 2 = 2, t 3 = 3 i ekvationen för π Exempel 38 Bestäm ekvationen för skärningslinjen mellan planen 2x + y 3z 5 = 0 och x + 2y z 4 = 0 Lösning: Punkterna på skärningslinjen ligger i bägge planen, dvs de uppfyller båda ekvationerna samtidigt { 2x + y 3z = 5 { 2x + y 3z = 5 x + 2y z = 4 3y z = 3 Vi sätter z = t och uttrycker x och y med hjälp av t x = 2 + 5t/3 y = 1 t/3 z = 0 + t Skärningslinjen beskrivs alltså av en linje genom punkten P : (2, 1, 0) med riktningsvektor v = (5/3, 1/3, 1)

36 KAPITEL 3 LINJER OCH PLAN

Kapitel 4 Skalärprodukt Skalärprodukten mellan två vektorer u och v betecknas med u v och ges av u v = u v cos(θ) där θ är vinkeln mellan vektorerna Om u v = 0 så är vektorerna vinkelräta (ortogonala) vilket ofta skrivs u v v θ u Exempel 41 Skalärprodukt har en mängd tillämpningar inom teknik och naturvetenskap Vi ska använda begreppet för att beräkna arbetet en kraft utför vid en förflyttning En släde dras 2 m längs ett plan med en kraft F = 100 N som bildar vinkeln 60 o med planet Vilket arbete har kraften utfört? F θ = 60 o r Lösning: Vi betecknar kraftvektorn med F och förflyttningsvektorn med r då ges arbetet av W = F r = F r cos 60 o = 100 2 1 2 = 100 Annorlunda uttryckt har vi att arbetet fås genom att ta kraftkomponenten i rörelseriktningen F cos 60 o och multiplicera med förflyttningen r 37

38 KAPITEL 4 SKALÄRPRODUKT Projektion Med hjälp av skalärprodukten kan man beräkna projektionen av en vektor på en annan vektor Detta är mycket användbart och vi kommer att använda det då vi ska titta på avstånd mellan olika geometriska objekt ụ u v Vi har beteckningar enligt figuren ovan Vektorn u säges vara den ortogonala (vinkelräta) projektionen av u på v Alternativt kan vi säga att u är komposanten av u längs v Vektorn u fås genom u = u v v 2 v Notera strukturen på formeln u v v 2 vektorn v för att få projektionen u är ett tal Detta tal multipliceras med Bevis: Låt e vara en vektor som är lika riktad med v och med längden 1 En sådan vektor fås som e = v/ v Vi har nu u = u cos θ e Vi förlänger med v och använder att e = v/ v vilket ger u = u v cos θ v 2 v = u v v 2 v Räknelagar för skalärprodukt Vi har följande räknelagar för skalärprodukt u u = u 2 u v = v u (u 1 + u 2 ) v = u 1 v + u 2 v (λ u) v = λ (u v) u (v 1 + v 2 ) = u v 1 + u v 2 u (λ v) = λ (u v) För bevis se Sparrs bok sid 66 Räknelagarna för skalärprodukt liknar lagarna som styr räkning med vanliga tal varför vi kan utföra räkningar på samma sätt som vi är vana vid

39 Exempel 42 (u + v)(u + v) = u u + u v + v u + v v = u 2 + 2 u v + v 2 (u + v)(u v) = u u u v + v u v v = u 2 v 2 Exempel 43 Vi ska uttrycka längden av en av sidorna i triangeln med hjälp av längderna för de två övriga sidorna och cosinus för mellanliggande vinkel v u v θ u u v 2 = (u v) (u v) = u u 2 u v v v = = u 2 + v 2 2 u v = u 2 + v 2 2 u v cos θ Resultat är känt som cosinussatsen och kan ses som en generalisering av Pythagoras sats Exempel 44 Vi har en parallellogram enligt figuren Vi ska visa den så kallade diagonalsatsen för parallellogrammer, vilken säger att summan av de kvadratiska diagonallängderna är lika med två gånger summan av de kvadratiska kantlängderna u u v u + v v u + v 2 + u v 2 = (u + v) (u + v) + (u v) (u v) = u u + 2 u v + v v + u u 2 u v + v v = 2 u u + 2 v v = 2 ( u 2 + v 2 )

40 KAPITEL 4 SKALÄRPRODUKT Ortonormerad bas (ON-bas) Låt e 1, e 2, e 3 vara en bas i rummet Basen säges vara ortonormerad om basvektorerna är vinkelräta och har längden 1, dvs om e 1 e 2 = e 1 e 3 = e 2 e 3 = 0 e 1 = e 2 = e 3 = 1 Ovanstående relationer skriver man ibland e i e j = δ ij, i, j = 1, 2, 3 där δ ij är Kroneckers delta som har egenskapen att det är 1 då i och j är lika och är 0 då i och j är olika e 2 e 1 e 3 Ortonormerade baser (ON-baser) har många bra egenskaper som vi ska utnyttja i nästa avsnitt Skalärprodukt i koordinatform (ON-bas) Vi ska nu ta fram ett uttryck för skalärprodukten i koordinatform Låt för den sakens skull e 1, e 2, e 3 vara en ON-bas i rummet och låt u = x 1 e 1 + x 2 e 2 + x 3 e 3, v = y 1 e 1 + y 2 e 2 + y 3 e 3 Räknereglerna för skalärprodukt ger u v = (x 1 e 1 + x 2 e 2 + x 3 e 3 ) (y 1 e 1 + y 2 e 2 + y 3 e 3 ) = x 1 y 1 e 1 e }{{} 1 +x 1 y 2 e 1 e 2 +x }{{} 1 y 3 e 1 e 3 + }{{} 1 0 0 +x 2 y 1 e 2 e }{{} 1 +x 2 y 2 e 2 e 2 +x }{{} 2 y 3 e 2 e 3 + }{{} 0 1 0 +x 3 y 1 e 3 e 1 = +x 3 y 2 e 3 e }{{} 2 0 }{{} 0 = x 1 y 1 + x 2 y 2 + x 3 y 3 +x 3 y 3 e 3 e 3 }{{} 1 Vi kan alltså beräkna skalärprodukten u v på två sätt Genom längderna och vinkeln u v = u v cos θ eller genom att använda koordinaterna u v = x 1 y 1 + x 2 y 2 + x 3 y 3

41 Med u = v fås ett uttryck för längden i kvadrat u 2 = u u = x 2 1 + x 2 2 + x 2 3 Vi känner igen det sista uttrycket som Pythagoras sats i rummet I de följande övningarna antar vi att vi har en ON-bas Exempel 45 Betrakta två punkter P : (x 1, x 2, x 3 ), Q : (y 1, y 2, y 3 ) Q : (x, y, z) O P : (x, y, z) Avståndet mellan punkterna fås som längden av vektorn P Q = OQ OP = (y 1 x 1, y 2 x 2, y 3 x 3 ) Vi har P Q = (y 1 x 1 ) 2 + (y 2 x 2 ) 2 + (y 3 x 3 ) 2 Exempel 46 Bestäm vinkeln mellan vektorerna u = (1, 3) och v = (2, 1) Lösning: Vi skriver skalärprodukten med hjälp av längder och vinklar u v = u v cos θ = 1 2 + 3 2 2 2 + 1 2 cos θ = 10 5 cos θ och med hjälp av koordinater u v = 1 2 + 3 1 = 5 Detta ger cos θ = 5 = 1 θ = arccos 1 = π/4 5 10 2 2 Exempel 47 Vi har två vektorer enligt figuren u = (1, 2, 3) u v = ( 1, 2, 4)

42 KAPITEL 4 SKALÄRPRODUKT Vi ska bestämma den ortogonala projektionen u Lösning: Enligt tidigare fås projektionen som u = u v v 2 v = 1 ( 1) + 2 2 + 3 4 ( 1) 2 + 2 2 + 4 2 ( 1, 2, 4) = 15 21 ( 1, 2, 4) Exempel 48 Skalärprodukten kan användas för att härleda de trigonometriska additionsformlerna Vi har två enhetsvektorer (längd 1) u och v som bildar vinkeln α, resp β med basvektorn e 1 (se figur) u e 2 α β v e 1 u och v kan skrivas u = (cos α, sin α), v = (cos β, sin β) Vi skriver skalärprodukten u v med hjälp av längder och vinklar u v = u v cos(α β) = cos(α β) }{{}}{{} 1 1 och med hjälp av koordinater u v = cos α cos β + sin α sin β Detta ger additionsformeln för cosinus cos(α β) = cos α cos β + sin α sin β Ekvationer för linjer med hjälp av skalärprodukt Vi antar att vi har en ON-bas e x, e y i planet Låt L vara en linje i planet och låt P 0 : (x 0, y 0 ) vara en punkt på linjen Låt vidare n = (a, b) vara en normalvektor, dvs en vektor som är vinkelrät mot linjen n = (a, b) L P 0 P P 0 : (x 0, y 0 ) P : (x, y)

43 En punkt P : (x, y) ligger på linjen om och endast om vektorn P 0 P = (x x 0, y y 0 ) är vinkelrät mot normalvektorn n Detta ger n P 0 P = a(x x 0 ) + b(y y 0 ) = ax + by ax 0 by }{{} 0 = 0 c Vi kallar ax 0 by 0 för c och får ax + by + c = 0 Detta är linjens ekvation på affin form Med hjälp av skalärprodukten har vi nu alltså fått en geometrisk tolkning av ekvationen Exempel 49 Bestäm ekvationen för linjen L som går genom punkten (1, 1) och som är vinkelrät mot vektorn (2, 3) Lösning: Normalvektorn ges av n = (2, 3) och punkt på linjen P 0 : (1, 1) Insättning i ekvationen ger 2(x 1) + 3(y ( 1)) = 0 2x + 3y + 1 = 0 Exempel 410 Bestäm vinkeln mellan de två linjerna L 1 : 2x + 3y 5 = 0 och L 2 : 3x y + 6 = 0 Lösning: Vinkeln mellan linjerna är lika med vinkeln mellan linjernas normalvektorer Normalvektorerna fås genom att avläsa koefficienten framför x och y Normalvektorn för första linjen är n 1 = (2, 3) och normalvektorn för andra linjen är n 2 = (3, 1) Vi uttrycker skalärprodukten n 1 n 2 med hjälp av längder och vinklar n 1 n 2 = n 1 n 2 cos θ = 2 2 + 3 2 3 2 + ( 1) 2 cos θ = 13 10 cos θ och med koordinater Detta ger n 1 n 2 = 2 3 + 3 ( 1) = 3 cos θ = 3 3 θ = arccos 13 10 13 10 Ekvationer för plan med hjälp av skalärprodukt Vi antar att vi har en ON-bas e x, e y, e z i rummet Låt π vara ett plan i rummet och låt P 0 : (x 0, y 0, z 0 ) vara en punkt i planet Låt vidare n = (a, b, c) vara en normalvektor, dvs en vektor som är vinkelrät mot planet