1. Grundläggande strömningslära och hemodynamik

1. Grundläggande strömningslära och hemodynamik Per Ask Institutionen för medicinsk teknik Linköpings universitet Blodets transport av syre, bundet till hemoglobinet, från lungorna till kroppens olika delar och den omvända transporten av koldioxid är grundstenen i kroppens metabolism. Vidare är blodet transportör av näringsämnen och signalsubstanser ut till kroppens olika delar samt ombesörjer elimineringen av metaboliter. Dessa välkända fakta pekar på cirkulationssystemets ytterst centrala funktion samt hur viktig förståelsen för cirkulationssystemets fysiologi är för att vi korrekt skall kunna beskriva människokroppens funktion. Traditionell medicinsk beskrivning av cirkulationssystemets fysiologi bygger ofta på en verbal beskrivning baserad på en intuitiv förståelse av de fysikaliska processer som ligger bakom de fysiologiska skeendena. En sådan beskrivning har fördelen att den inte förutsätter ingående fysikaliska kunskaper men har nackdelen att det kan vara svårt att korrekt förutsäga hur utvariabler förändras som svar på ändrade invariabler. En beskrivning baserad på en fysikalisk modell kräver ibland relativt djupa kunskaper i matematik och fysik, men har bl a den stora fördelen att man kan studera komplicerade orsakssamband mellan in- och utvariabler. Cirkulationssystemet lämpar sig mycket väl för att beskrivas med hjälp av fysikaliska modeller. Vi kan då dra nytta av det faktum att ingående komponenter har samma egenskaper som liknande komponenter vilka ingår i tekniska system. För att korrekt kunna förstå cirkulationssystemet behövs dock kunskap om strömningslärans grunder. Hemodynamik är en beskrivning av cirkulationssystemet baserad på fysikaliska samband. 1.1 Egenskaper hos fluider Ordet fluid är i strömningstekniska sammanhang en samlande benämning på vätskor och gaser. En viktig egenskap hos en fluid är dess densitet, ρ (kg/m3). Om strömningen sker under det att densiteten ändras talar man om kompressibel strömning. Kompressibel strömning uppträder t ex vid höghastighetsströmning kring en flygplansvinge. I cirkulationssystemet kan blodets densitetsförändring på grund av varierande tryck försummas och man kan därför betrakta strömningen som inkompressibel. Densiteten för blod är ca 1060 kg/m3 vid kroppstemperatur. En vätskas viskositet, η, är ett mått på inre friktion i vätskan. SI-enheten för viskositet är Ns/m. En annan vanligt använd enhet är cp (centi pois) där 1 cp = 1 10-3 Ns/m. Ett sätt att beskriva viskositeten är att den bestämmer den friktionskraft som uppträder mellan vätskelager som rör sig med olika hastighet. Vi kan studera detta genom att ha ett plan varpå en vätskefilm med tjockleken h är utbredd (Figur 1.1). Ovanpå vätskefilmen finns en skiva som rör sig med hastigheten v. Vi antar att skivan är rektangulär med längden l 1

och bredden b. Studerar vi vätskeskiktet mellan planet och skivan kommer allra närmast skivan att röra sig med samma hastighet som denna, dvs v. På samma sätt kommer vätskelagret närmast planet ha hastigheten noll. Vätskelagren från planet till skivan kommer i detta fall att röra sig med hastigheter som ökar linjärt med avståndet från planet. Om avståndet från planet är y ges hastigheten av δv/δy. Denna hastighetsgradient ger upphov till en skjuvkraft mellan vätskeskikten och δv/δy kallas också för skjuvhastigheten. Figur 1.1 Illustrering av viskositetsbegreppet. En vätskefilm med tjockleken h finns på en plan yta. En skiva rör sig med den konstanta hastigheten v i förhållande till den plana ytan. I nedre figurdelen visas också hastighetsprofilen. Newton postulerade allmänt att skjuvspänningen, τ, mellan två angränsande vätskelager är proportionell mot hastighetsgradienten med viskositeten som proportionalitetskonstant, dvs δ v τ = η (1.1) δ y För fallet ovan med linjär hastighetsprofil ges alltså hastighetsgradienten av δ v v = (1.) δ y h

Kraften, F, som krävs för att driva skivan framåt ges då av v F = τda= ηlb (1.3) h varför kraften ökar med ökande hastighet och minskar med vätskeskiktets tjocklek. En fluid som uppfyller sambandet 1.1 kallas för newtonsk. Vatten är en sådan vätska. Dess viskositet vid 0 C är 1.00 10-3 Ns/m och vid 37 C 0.68 10-3 Ns/m. Eftersom blod innehåller partiklar är det i strikt mening ingen newtonsk vätska. Av nedanstående stycke framgår dock att blod i de flesta fall kan behandlas som en vätska med newtonska egenskaper. 1. Blodets viskösa egenskaper Blod är en heterogen vätska som består av en suspension av blodkroppar i plasma. Viskositeten för blod avviker från den hos en newtonsk vätska genom att den vid låga skjuvhastigheter beror av skjuvhastighetens storlek (se Figur 1.). Det här beroendet är kopplat till blodkropparnas orientering i flödet. Blodkropparna liknar cirkulära skivor med en diameter på några µm. Vid mycket låga skjuvhastigheter är blodkropparna slumpvis orienterade varvid blodkroppar som är tvärställda flödet ökar friktionen mellan vätskeskikt. Vid högre skjuvhastigheter orienteras blodkropparna parallellt strömningen, vilket resulterar i att friktionen mellan vätskeskikten minskar. Omorienteringen sker vid läget för knät hos graferna i Figur 1.. För skjuvhastigheter över ett visst värde är blodkropparna alltid orienterade parallellt strömningen och blodets viskositet blir oberoende av skjuvhastigheten. Figur 1. Blodviskositeten som funktion av skjuvhastigheten (shear rate) för blod med hematokriten 60, 40, för plasma och för koksaltlösning. 3

I normalfallet är skjuvhastigheten för blodet i cirkulationssystemet så stor att viskositeten kan betraktas som oberoende av skjuvhastigheten och vi kan behandla blodet som en newtonsk vätska. Vid chocktillstånd med extremt låg flödeshastighet kan dock den med minskad skjuvhastighet ökande viskositeten bli av betydelse och nutritionen hos vävnaden försvåras då ytterligare. Ett typiskt värde för blodets viskositet vid 37 C och normal hematokrit är 3 10-3 Ns/m. Eftersom blodkropparna bidrar väsentligt till blodets viskositet är det naturligt att blodviskositeten är hematokritberoende. Figur 1.3 visar hur viskositeten ökar med ökande hematokrit. Man kan också notera viskositetens beroende av kärldiametern. Beroendet av hematokriten är minst för de allra minsta kärlen. Detta förhållande kan förklaras med den s k Fåhreaus-Lindqvisteffekten. Figur 1.3 Blodviskositetens beroende av hematokriten vid olika kärldiametrar. Fåhreaus-Lindqvisteffekten innebär att blodets viskositet minskar med minskande kärldiameter (se Figur 1.4). Effekten är mest märkbar för kärl, vars diameter är mindre än ca 100 00 µm och påvisades av de svenska forskarna Fåhreaus och Lindqvist 1931. En förklaring till effekten är att strömmande blodkroppar med omgivande plasma förs samman till relativt långa kolonner med bredd av samma storleksordning som en blodkropp. I kolonnen sker ingen vätskerörelse varför det inte heller uppträder några friktionsförluster här. Inre friktionen uppträder i stället i plasmaskikt mellan strömmande kolonner. Den funna effekten skulle förklaras av att ju mindre kärldiametern är desto färre blir antalet kolonner med blodkroppar som strömmar i kärlet och därmed minskar friktionen. En alternativ förklaring är att vidden hos den zon närmast blodkärlväggen som är fri från blodkroppar skulle vara tämligen konstant oberoende av kärldiameter. Eftersom plasma har mindre viskositet än helblod skulle detta resultera i en minskad effektiv viskositet. 4

Figur 1.4 Blodviskositetens minskning med kärldiametern på grund av Fåhreaus-Lindqvisteffekten. 1.3 Laminärt flöde genom rör Poiseuilles ekvation Ett hjälpmedel för att bestämma om strömningen utgör en välordnad skiktströmning, dvs är laminär, eller om den är oordnad, turbulent, är att beräkna det dimensionslösa Reynoldstalet. Detta tal utgör en kvot mellan uppskattade tröghetskrafter och viskösa krafter för ett visst strömningsfall. För ett rör ges Reynoldstalet av ρdvmedel Re = (1.4) η där ρ är fluidens densitet, d rörets diameter och v medel medelhastigheten för strömningen i röret. Om Reynoldstalet är mindre än ca 000 antas strömningen vara laminär. I blodkärlsystemet råder mestadels laminär strömning i medelstora och mindre artärer samt i arteriolerna. Figur 1.5 Strömningsprofilen vid laminär strömning i rör. Vi antar att vi har laminär stationär strömning i ett rakt rör och att strömningen är fullt utbildad. Det senare förutsätter att röret är långt i förhållande till sin diameter. Antag att röret är horisontellt och att det har radien R och längden L (se Figur 1.5). Om trycket vid 5

rörets inlopp respektive utlopp är p 1 och p ges den kraft som driver vätskan framåt i röret av F p p R p = ( 1 ) π (1.5) Studera en cylinder i röret med radien r. På grund av vätskefriktion utsätts cylinderskalet för en bromsande friktionskraft som ges av produkten av skjuvkraften och skalets yta. Friktionskraften är därför Ff = τ π rl (1.6) Med y = r fås friktionskraften från ekvation 1.1 och vi erhåller F f δ v = πηlr (1.7) δ r Vid jämvikt är F p = F f och vi får vilket ger δ v p p r = πηlr (1.8) δ r ( 1 ) π δ v δr ( p p ) r ηl 1 = (1.9) Integrering av 1.9 ger vr () ( p p ) r 4ηL 1 = + Konst (1.10) Med randvillkoret v(r) = 0 fås för hastigheten som funktion av radien r att ( p1 p) vr () = ( R r) (1.11) 4ηL Uttrycket svarar mot en parabolisk hastighetsprofil (jämför Figur 1.5). Den maximala flödeshastigheten i centrum ges då av v ( p p ) R 4ηL 1 max = (1.1) 6

Genom integrering av 1.11 erhålles medelhastigheten som v m ( p1 p) R 1 = = vmax (1.13) 8ηL Genom integrering av 1.11 över tvärsnittet erhåller vi volymsflödet Q R 4 1 π 1 ( p p ) R ( p p ) Q= ( R r )π rdr 4ηL = (1.14) 8ηL 0 vilket är Poiseuilles ekvation. Vi noterar att flödet genom ett rör i detta fall beror av fjärde potensen av rörets radie. I cirkulationssystemet har arteriolerna den flödesreglerande funktionen. På grund av flödets mycket starka beroende av kärlets diameter inser vi att det är tillräckligt med en relativt måttlig dimensionsförändring för att kraftigt påverka flödet. Laminärt flöde genom ett rör kan vi i analogi med Ohms lag se som en flödesresistans som ges av kvoten mellan tryckskillnad och flöde. Från Poiseuilles ekvation får vi då flödesresistensen som R ( p p ) 8η l Q π R 1 f = = (1.15) 4 7

1.4 Turbulent flöde Över ett visst Reynoldstal börjar den välordnade laminära strömningen att ersättas med oordnad virvelströmning. Flödesprofilen övergår från parabolisk till en mer flat flödesprofil. Medelhastigheten på olika avstånd från rörets vägg skiljer sig därför inte så mycket åt. Medan laminärt flöde är relativt lätt att beskriva är turbulent flöde väsentligt mer komplicerat. Detaljerna hos flödet kan inte alls beskrivas med traditionell matematik. För turbulent rörströmning har man dock kommit fram till vissa empiriska samband mellan tryckfallet längs röret samt flödet eller flödeshastigheten i röret. Om trycket vid rörets inlopp respektive utlopp är p 1 och p, medelhastigheten i röret v m, radien R och längden L ges tryckfallet över röret på grund av viskösa förluster av L ( p p ) f f vm R 1 = (1.16) där f f är en friktionsfaktor som beror på egenskaperna hos rörets inneryta samt av Reynoldstalet. För rör med något skrovlig yta är dock beroendet av Reynoldstalet litet. I ekvation 1.16 kan vi således notera att tryckfallet vid fullt utbildat turbulent flöde beror av flödet eller flödeshastigheten i kvadrat. I aorta uppträder under delar av hjärtcykeln turbulent flöde. Maximala flödeshastigheten i aorta är i vila ca 1 m/s. Med en diameter på uppskattningsvis 5 mm, bloddensitet på 1060 kg/m3 och viskositet på 3 10-3 Ns/m, erhålles ett Reynoldstal runt 8300 vilket indikerar ett klart turbulent flöde. Vidare uppträder turbulent flöde i cirkulationssystemet vid förgreningar och där kärl avgår från ett annan kärl. 1.5 Kontinuitetsekvationen Kontinuitetsekvationen används för att relatera hastighetsförändringar till areaförändringar. Figur 1.6 visar ett system där arean ökar från ett värde A 1 till ett värde A. Medelhastigheterna vid respektive tvärsnittsytor är v 1 och v. Kontinuitetsekvationen kan för en stationär inkompressibel strömning skrivas Q = Av 1 1= Av (1.17) 8

Figur 1.6 Illustrering av kontinuitetsekvationen. Sambandet förklarar bl a skillnaden i flödeshastighet mellan centrala och perifera blodkärl. Antag att medelhastigheten i aorta är 0. m/s och att tvärsnittsarean är 5 cm. Med mikroskop kan vi uppskatta att flödeshastigheten i kapillärerna är ca 1 mm/s. Kontinuitetsekvationen ger då att den sammanlagda ytan av kapillärernas tvärsnitt är ca 0.1 m. 1.6 Bernoullis ekvation Om vi önskar studera sambandet mellan tryckskillnad och flöde genom korta rör eller strypningar är det inte enbart friktionsförlusterna som bestämmer detta samband. Det är snarare så att friktionsförlusterna kan försummas i många fall och vi kan då använda principen om energins oförstörbarhet för att beskriva flödet. Dessa antaganden är de helt motsatta jämfört med Poiseuilles ekvation, där friktionen orsakar tryckdifferensen. Figur 1.7 Strömning genom två sektioner hos ett rör för illustrering av Bernoullis ekvation. Studerar vi strömning genom ett strömrör med två sektioner enligt Figur 1.7 och antar att flödet är stationärt och friktionsfritt ger Bernoullis ekvation att 1 1 p1+ ρv1 + ρgh1 = p + ρv + ρgh (1.18) 9

Den första termen är det statiska trycket och utgör den energi per volymsenhet som finns tillgänglig i form av tryck. Term nummer två utgör kinetisk energi per volymsenhet och kallas för dynamiskt tryck. Den tredje termen svarar mot den potentiella energin per volymsenhet och kan benämnas höjdtryck. Som exempel på en tillämpning av Bernoullis ekvation kan vi studera flödet från hjärtats kammare ut genom en förträngd hjärtklaff enligt Figur 1.8. Vi kan då använda Bernoullis ekvation för att beskriva flödet genom två tvärsnitt, ett i hjärtats kammare och ett genom den förträngda klaffen. Tvärsnittsarean för kammaren antas vara lika med A 1 och tvärsnittsarean för den förträngda klaffen är A. Om A 1 >> A kan vi försumma flödeshastigheten v 1 i kammaren jämfört med v i klaffen. Vidare antar vi att vi kan försumma höjdskillnaden mellan de två tvärsnitten. Med antagandet att flödet är stationärt får vi då från Bernoullis ekvation att eller 1 p1 = p + ρv (1.19) v = ( p 1 p ) (1.0) ρ Klaffarean fås ur uttrycket Q A = (1.1) v eller med ekvation 1.0 A = Q ( p ) 1 p ρ (1.) Ett sätt att betrakta ekvation 1.19 är att se tryckdifferensen över klaffen som den energi, egentligen per volymsenhet, som finns tillgänglig för att accelerera upp blodet i kammaren till en viss hastighet i klaffen. Tillgänglig energi i form av tryck omvandlas då till rörelseenergi hos blodet i klaffen. 10

Figur 1.8 Schematisk illustrering av flödet genom en hjärtklaff. I förutsättningarna för beräkningarna ovan ingår att flödet är stationärt vilket strikt innebär att flödeshastigheten i en godtycklig punkt i systemet inte får ändra sig med tiden. I fallet med hjärtklaffen är det uppenbart att flödet inte är strikt stationärt eftersom flödet ändras vid olika delar av hjärtcykeln. Betrakta den konvektiva accelerationen, dvs den acceleration som en partikel som ursprungligen befinner sig i kammaren utsätts för på sin väg genom klaffen. För att antagandet om stationaritet skall vara korrekt är det tillräckligt att kraften som behövs för den konvektiva accelerationen skall vara väsentligt mindre än den kraft som behövs för att med tiden ändra hastigheten i en viss punkt, t ex att i hjärtklaffen erhålla de olika flödeshastigheter som uppträder under de olika delarna av hjärtcykeln. Detta antagande är normalt uppfyllt i det beskrivna fallet. 1.7 Kontraktion och friktionsförluster När en fluid strömmar genom en förträngning är arean hos vätskestrålen ej fullt lika stor som förträngningen. Strömlinjerna närmar sig förträngningen under en viss vinkel i förhållande till strömningens längdriktning, flödet kontraherar (se Figur 1.9). Strömlinjerna kan inte direkt ändra sin riktning efter passagen in i hålet varför kontraktionen fortsätter. Vätskestrålen når därför sin minsta tvärsnittsyta nedströms det läge där hålet är som trängst. Figur 1.9 Kontraktion hos flödet genom en förträngning. 11

Läget för den minimala ytan hos strålen kallas för vena contrakta. Om man med ekvation 1.1 försöker att beräkna arean hos hålet kommer man i stället att få arean hos vena contrakta. Förhållandet mellan arean för vena contrakta, A c, och verkliga hålarean, A 0, kan beräknas med hjälp av kontraktionskoefficienten C c A A c = (1.3) 0 Kontraktionskoefficienten finns empiriskt framtagen för olika geometrier och strömningsfall. I Bernoullis ekvation har vi försummat inverkan av friktion. Även om strömningen huvudsakligen är förlustfri påverkas den dock i varierande grad av friktion. Flödeshastigheten i vena contrakta blir då inte fullt så stor som den Bernoullis ekvation förutsäger. Man kan då ta hänsyn till friktionen genom att använda en hastighetskoefficient C v v f = (1.4) v fl där v f är den reella flödeshastigheten och v fl den hastighet som t ex ekvation 1.0 förutsäger. Den samlade effekten av kontraktion och friktion kan uttryckas med hjälp av en hålkoefficient C Q f d = CcCv = (1.5) Q fl där Q f är det reella flödet och Q fl är flödet beräknat som produkten av flödeshastigheten erhållen från Bernoullis ekvation (t ex ekvation 1.0) och hålets verkliga storlek. 1

1.8 Impulssatsen Studera en kontrollvolym enligt Figur 1.10 där ett medium strömmar ut och in endast genom ett inlopp 1 och ett utlopp. Figur 1.10 En kontrollvolym med ett inlopp och ett utlopp. v 1 och v är flödeshastigheterna vid inlopp respektive utlopp. F är den totala kraften på kontrollvolymen. Från Newtons andra lag kan man då visa att kontrollvolymen utsätts för en kraft F x i riktningen x som ges av di dm dm1 Fx = + vx v1x (1.6) dt dt dt vilket utgör impulssatsen för den aktuella geometrin. dm/dt är massflöde och v flödeshastighet. Om vi förutsätter stationär strömning (impulsförändringen di/dt = 0) och kontinuitet (dm 1 /dt = dm /dt = dm/dt) erhålles från ekvation 1.6 dm Fx = ( vx v1x) (1.7) dt Vi kan t ex använda impulssatsen för att beräkna kraften på aortabågen orsakad av att flödet avlänkas på grund av aortabågens krökning. Vi studerar då en kontrollvolym enligt Figur 1.11. Om medeltrycket i aorta är p och dess tvärsnittsarea är A utsätts kontrollvolymen vid in- och utflödena för två krafter på vardera p A. Om F x är reaktionskraften på aorta ger impulssatsen dm pa+ pa+ Fx = v= ρq( v) (1.8) dt där ρ är blodets densitet, Q volymsflödet och v flödeshastigheten i aorta. 13

Reaktionskraften fås därför som F = ( pa+ ρqv) (1.9) x Figur 1.11 Schematisk bild för beräkning av kraften på aortabågen på grund av att flödet böjer av. 1.9 Navier-Stokes ekvationer Antag att vi har ett koordinatsystem med axlarna x 1, x och x 3. Från Newtons andra lag kan då de fullständiga rörelseekvationerna för inkompressibel strömning ställas upp. I riktningen i gäller att δ v i vi vi vi pi vi vi vi v δ 1 v δ v δ 3 F δ δ δ δ ρ + ρ + + = i + η + + δt δx1 δx δx3 δxi δx1 δx δx3 (1.30) vilket är Navier-Stokes ekvation. Ekvationen utgör en balans av krafter av olika slag. Term för term räknat per volymsenhet kan ekvationen beskrivas som transient tröghet + konvektiv tröghet = masskraft + tryckkraft + viskös kraft Den transienta tröghetstermen accelererar fluiden i en punkt fix i rummet på grund av att flödet varierar med tiden. Denna term är noll vid stationär strömning. Den konvektiva tröghetstermen accelererar fluiden längs en strömlinje, på grund av att t ex hastigheten ändrar sig vid ändrad tvärsnittsyta i systemet. Från denna senare term tillsammans med mass- och tryckkrafttermerna kan man härleda Bernoullis ekvation. Masskrafterna är yttre krafter på systemet, vanligen tyngdkraften. 14

Tryckkrafttermen svarar mot den tryckgradient per längdenhet som utgör en drivkraft för flödet. Den viskösa termen svarar mot tryckfall orsakad av friktionsförluster i vätskan. Ur tryckgradienttermen och den viskösa termen kan Poiseuilles ekvation härledas. 15

1.10 Problemsamling 1. En viskometer består av en stationär inre cylinder (diameter 40 mm) och en yttre roterande cylinder (diameter 4 mm). Cylindrarnas höjd är 80 mm. Mätning sker med blod av normal hematokrit (40%) och vid 37 o C. Cylindern roterar med vinkelhastigheten 60 r/min. Beräkna: a) skjuvhastigheten hos blodet b) vilket moment som krävs för att rotera den yttre cylindern.. Vid strömning hos blod genom ett rör är blodkroppskoncentrationen störst i centrum av röret och minst närmast väggen. En orsak till detta kan vara att det finns en nettokraft på blodkropparna (erytrocyterna) som vill förflytta dem mot centrum. Denna kraft kan förklaras med Bernoullis ekvation och av det faktum att strömningshastigheten är något större på blodkroppsytan närmast centrum jämfört med den närmast väggen. Beräkna den kraft riktad mot centrum som påverkar en blodkropp belägen precis vid blodkärlväggen på grund av detta fenomen. Strömningen i röret antas vara laminär. Kärlradie = 0.5 mm, längd 1 mm, tryckfall 5 mmhg, blodets viskositet 3. 10-3 Ns/m, blodkroppsdiameter 8 µm, blodkroppstjocklek µm. 3. I ett litet blodkärl (diameter 1 mm, längd 0 mm) strömmar i ett perifert område enbart plasma och i ett kärnområde en blandning av plasma och blodkroppar (se bild nedan). Hastighetsprofilen i kärlet är parabolisk. Kärlet tillförs ett flöde på 15.7 mm3/s av blod med en hematokrit av 45%. Detta flöde fördelar sig på 1 mm3/s i kärnområdet och 3.7 mm3/s i det perifera området. Volymen för kärnområdet i 16

kärlet är 10 mm3 och för det perifera området 5.7 mm3. Beräkna hematokriten i kärnflödesområdet och i kärlet som helhet. 4. Diametrar och flödeshastigheter för blodkärl hos människa visas i tabellen nedan. Struktur Diameter (mm) Flödeshastighet (m/s) Aorta ascendens 0-30 0.6 1 Aorta descendens 16-0 0.3 1 Större artär -6 0.-0.5 1 Större ven 5-10 0.1-0. Vena cava 0 0.1-0. 1: Maximalt värde under systole : Medelvärde över hela hjärtcykeln Beräkna Reynoldstal och bedöm om flödet är laminärt eller turbulent i de olika kärlen. 5. Vi studerar ett resistanskärl med längden 10 mm och med en tryckdifferens över kärlet på 5 mmhg. Vad blir relativa ändringen i flödeshastighet när diametern hos kärlet ändras från 0.4 mm till 0.5 mm? 6. Du skall konstruera en perfusionsutrustning (en anordning som ger ett konstant flöde) till ett tryckmätningssystem. Du har valt en lösning där ett vattenflöde erhålles från ett tryckkärl med det konstanta övertrycket 100 kpa via ett tunt stålrör (innerdiameter 0.1 mm, längd 0.6 m). Beräkna utflödet från stålröret om vattnets temperatur är 0 C. Hur ändras flödet om vattentemperaturen ökas till 37 C? 7. En kateter för tryckmätning perfunderas med ett flöde på 1 ml/min (vatten, temperatur 0 C) för att förhindra tilltäppning. Katetern har en innerdiameter på 0.7 mm och en längd av 1.5 m. Beräkna tryckfallet i katetern på grund av flödet. 8. En patient har en förträngning i aortaklaffen, en s k aortastenos. Med ultraljudsdoppler uppmätes flödeshastigheten under hjärtats arbetsfas (systole) i 17

den förträngda hjärtklaffen till 3.8 m/s. Flödet genom klaffen ut till aorta under systole uppskattades genom cardiac-outputmätning till 300 ml/s. Uppskatta tryckfallet över hjärtklaffen och gör en bestämning av klaffhålets area. Efter undersökning opererades patienten varvid en konstgjord klaff sattes in. Arean hos den förträngda hjärtklaffen kunde då bestämmas till 91 mm. Beräkna från detta och de tidigare uppmätta värdena kontraktionskoefficienten C c för flödet genom klaffhålet. 9. Bestäm sambandet mellan tryckfallet över en förträngd aortaklaff och flödeshastigheten genom aortaklaffhålet. Uttrycket skall bestämmas för det fall att flödeshastigheten i vänster kammare inte kan försummas jämfört med flödeshastigheten i klaffen. Flödeshastigheten i kammaren skall vara eliminerad i det presenterade uttrycket. 10. En venturimeter används för att mäta volymsflödet för en gas från tryckmätning före och i en förträngning i ett rör (se bilden). Ge ett uttryck för flödet Q genom venturimetern samt tryck och areor vid mätpunkterna 1 och. 11. I aortabågen böjs flödet av 180 o. Beräkna reaktionskraften på aortabågen på grund av denna avböjning. Vi gör förenklingarna att vi antar att aortaflödet är stationärt, att vi kan använda medeltrycket 100 mmhg i aorta samt att aorta har en konstant tvärsnittyta på 500 mm. Flödeshastigheten i aorta antas vara 0.6 m/s och blodets densitet 1060 kg/m 3. 18

1.11 Svar till problemen 1. a) Skjuvhastigheten = 130 s-1 b) Momentet = 84 µnm. Kraften =.3 10-1 N 3. Hematokrit i kärnområdet = 59% Total hematokrit = 38% 4. Reynoldstalet Aorta ascendens = 5300 Aorta descendens = 1900 Större artär = 700 Större ven = 400 Vena cava = 1060 5. Relativ ändring i flödeshastighet =.4 6. T = 0 C: Utflöde = 4.1 10-10 m3/s = 0.03 ml/min T = 37 C: Utflöde = 5.9 10-10 m3/s 7. Tryckfallet = 4. kpa 8. Tryckfallet = 7.6 kpa C c = 0.87 9. A ( p p ) ρ = 1 v 1 A 1 (med förklaringar enligt avsnitt 1.6) ( p1 p) 10. Q = A1 A 1 ρ 1 A 11. Reaktionskraften = 13.4 N 19