Uppsala universitet Institutionen för fysik och astronomi Tentamen i ELEKTROMAGNETISM I, 05-06-04 för F och Q (FA54) Skrivtid: 5 tim Kan även skrivas av studenter på andra program där FA54 ingår Hjälpmedel: Physics Handbook, miniräknare Även Beta är tillåten Anvisningar: för godkänd tentamen (betyg 3) krävs normalt /3 av poängsumman på nivå (uppgifterna -6) alternativt ca 50 % av totala poängsumman (30 p) på hela skrivningen För högre betyg (4 eller 5) krävs dessutom att problem på nivå behandlats, och betyget beror på det sammanlagda resultatet på hela skrivningen Resultatet anslås på Studentportalen om ca 3 veckor Studenter som fått godkänt betyg på duggan 3 april 05 tillgodoräknar sig problem som fullständigt löst Ta nytt blad för varje löst problem Skriv din tentamenskod på samtliga blad Använda beteckningar skall definieras och uppställda samband skall motiveras Detta omslagsblad lämnas in vikt kring dina lösningar, ordnade i nummerordning Häfta ej ihop bunten Sätt kryss här för inlämnad lösning till respektive uppgift: ( ) ( ) 3 ( ) 4 ( ) 5 ( ) 6 ( ) 7 ( ) 8 ( ) 9 ( ) Markera här om du har bonus från duggan 3/4: ( ) Obs: detta kontrolleras mot duggans resultatlista efter avslutad rättning Kod: Program:
FA54 Elektromagnetism I, 05-06-04 Nivå OBS Ska inte lösas av studenter med godkända dugga 3 April 05 Figuren visar tre elektriska laddningar A" a) Vad är tecknet för varje laddning? Berätta hur du tänker? b) För vilka punkter på axeln mellan laddningarna, är E-fältets styrka minimal? c) Vad gäller för Gaussytan A, och inneslutna laddningen 𝑄""# 𝑄 och för 𝑄, 𝑄 och 𝑄? a 𝑄""# 0, och 𝑄 < 𝑄 + 𝑄 b 𝑄""# 0, och 𝑄 > 𝑄 + 𝑄 c 𝑄""# 0, och 𝑄 > 𝑄 + 𝑄 d 𝑄""# 0, och 𝑄 < 𝑄 + 𝑄 Motivering krävs för alla svar Q" Q" Q3" I figuren visas ett system av fem kondensatorer Spänningen 𝑉" ligger på 50 V 0#μF# 0#μF# a) Vad är den ersättningskapacitansen mellan a och b? b) Hur mycket laddning lagras i 5 µf kondensatorn? c) Bestäm spänningen över 5µF kondensatorn 3 Betrakta kretsen i figuren till höger a) Bestäm, 𝑉", 𝑉" och 𝑉" b) Beräkna effekt som utvecklas 6 Ω-motståndet 0#μF# 5#μF# b# 0#μF# "Ω" a" 5"V" b" 6"Ω" i c" 3"Ω" 9"Ω" OBS Fler uppgifter på nästa sida "Ω" 0"V"
FA54 Elektromagnetism I, 05-06-04 4 En stationär laddning q - µc är monterad på en icke ledande stolpe och en rörlig laddning vm/s q -8 µc med massa m g, placeras enligt figuren På ett avstånd 08 m har q en hastighet v m,$q $ q $ m/s a) Vilken hastighet får laddningen q på ett 08m avstånd 06 m från q? b) För vilket avstånd blir hastigheten noll? OBS Anta att gravitationen är försumbar och laddningarna liknar punktladdningar 5 En cirkulär slinga har radie R och ström I Cirkelns centrum ligger på ett avstånd D ovanför en lång rak ledare som leder ström I Vilken riktning och styrka gäller på I gör så att B-fältet i slingans centrum blir noll ( p) I # I # R# D" 6 En tvärslå med massa m rör sig i ett homogent B-fält, är i elektrisk kontakt med en ledande slinga och har resistansen R Tvärslån accelereras till hastigheten v 0 och släpps sen fri a) Hur stor kraft F påverkar tvärslån när den har en hastighet v? Vad har F för riktning? b) Beräkna tvärslåns hastighet efter en tid t v" L" B Nivå 7 a) Visa att E, för är linjär Q" laddningsfördelning λ [C/m] på oändligt L" lång rak ledare och avståndet r från ledaren d" b) En rak ledare med längd L och laddning Q (jämnt fördelat över λ" längden L) ligger enligt figuren ovanför en oändligt lång rak ledare som har linjär laddningsfördelning λ Hur stor kraft verkar på ledaren med längden L (OBS b-delen beror inte på a-delen, man får använda E- fältets formel direkt)? OBS Fler uppgifter på nästa sida
FA54 Elektromagnetism I, 05-06-04 8 Efter en lång tid är laddningen på kondensatorn 000 µc a) Beräkna spänningen över 0 Ω resistorn b) Beräkna batteriets ström c) Beräkna resistanserna R, R och R 3 9 Ledaren i figuren leder en ström I Beräkna B-fältet vid punkten P De två parallella delarna är mycket långa och har ett avstånd a P#
FA54 Elektromagnetism I, 05-06-04 Korta lösningar: a) 𝑄 : +, 𝑄 : -, 𝑄 : + b) Mellan 𝑄 och 𝑄, 𝑄 och 𝑄 Då är fältlinjernas täthet lokalt minimal c) 𝑄""# 0, och 𝑄 < 𝑄 + 𝑄 a) 𝑄" 0𝜇𝐹 + (" + " + ) 𝜇𝐹 + 0𝜇𝐹 385𝜇𝐹 b) 0, 0 och 5 µf är seriekopplad Laddningen på 5 µf blir samma som på ekvivalenta kapacitansen 𝑄 𝐶𝑉 (" + " + ) 50𝜇𝐶 45𝜇𝐶 c) 𝑉 3 "# 85 V "Ω" a) Kirchoffs IIa ger: 0𝑉 𝐼 𝛺 𝐼 9𝛺 𝐼 3𝛺 𝐼 𝛺 5𝑉 𝐼 6𝛺 0 𝐼 0𝛺 5𝑉 𝐼 05 A 𝑉 𝐼 𝛺 5𝑉 𝑉 𝑉 𝑉 𝐼 𝛺 + 5𝑉 𝑉" 55 V 𝑉" 𝐼 6𝛺 𝑉" 5 V 𝑉 + 0𝑉- 𝐼 𝛺 𝐼 9𝛺 𝐼 3𝛺 𝑉 𝑉" 675 V eller: 𝑉" + 𝑉" + 𝑉" 0 𝑉" 675 V b) 𝑃 𝑉" 𝐼 5𝑉 05𝐴 0375 W 4 b" 6"Ω" c" 9"Ω" "Ω" 0"V" a) Konservering av energi (kinetiskt och potentiell): 𝐸 + 𝑈 𝐸 + 𝑈 𝑞 𝑞 𝑚𝑣 + 𝑞 𝑉 𝑚𝑣 + 𝑞 𝑉 𝑚𝑣 + 𝑞 𝑚𝑣 + 𝑞 4𝜋𝜀 𝑟 4𝜋𝜀 𝑟 𝑣 06 m/s b) För den ny avständ blir 𝐸 0 𝐸 + 𝑈 𝑈 𝑚𝑣 + 𝑞 𝑉 𝑞 𝑉 𝑚𝑣 + 𝑞 𝑞 𝑟 0 m Slingan skapar ett fält med rikting in i pappret Då behövs en stöm I med rikting ått höger så att B-fältet blit noll i slingans centrum Fältet från rak ledaren: 𝐵 " Fältet från slingan: 𝐵 𝐵 𝐵 6 3"Ω" 5 5"V" a" " 𝐼 ", åt höger a) Inducerad ems: 𝜀 𝑣𝐵𝐿 Ström från Ohms lag: 𝐼 Kraft: 𝐹 𝐼𝐿𝐵, motverkar 𝑣, så rikting åt vänster b) Rikting åt höger antas som +x "#
FA54 Elektromagnetism I, 05-06-04 𝐹 𝑚𝑎 𝑎 " Integrering av a ger hastigheten: 𝑑𝑣 𝑣𝐵 𝐿 𝑑𝑣 𝐵 𝐿 𝑎 𝑑𝑣 𝑎𝑑𝑡 𝑑𝑣 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑚𝑅 𝑣 𝑚𝑅 " " 𝑑𝑡 ln Efter en långt tid (𝑡 ) blir 𝑣 0 7 " 𝑡 𝑣 𝑣 𝑒 a) E-fältet har en raddielt rikting uttåt Gauss lag ger: ""# 𝐸 𝑑𝐴 𝐸 𝜋𝑟ℎ " E" 𝜆ℎ 𝜀 r" λ" 𝐸 h" df" 𝑑𝐹 𝐸 𝑑𝑄 dx" x" Kraft på hela ledare: 𝑑𝑥 dq" L" d" 𝐹 𝑑𝐹 𝐸 𝑑𝑄 𝑑𝑥 " Q" b) Kraft på längd-element dx: λ" " ln ( ) Kraftens rikting är uppåt 8 a) Kondensatorn är parallelkopplat over resistansen Då blir spanning över resistorn: """ 𝑉 00 V "" b) Ohms lag ger för 0 Ω resistorn: 𝐼 " 0 A Kirchhoffs Ia ger för batteriets ström: 𝐼 0𝐴 + 5𝐴 5 A
FA54 Elektromagnetism I, 05-06-04 c) Kirchhoffs IIa för () ger: 5𝐴 50𝛺 0𝐴 0𝛺 5𝐴 𝑅 0 𝑅 0𝛺 ()$ Kirchhoffs IIa för () ger: 0𝐴 0𝛺 5𝐴 𝑅 + 0𝐴 5𝛺 + 5𝐴 50𝛺 0 𝑅 667𝛺 ()$ (3)$ Kirchhoffs IIa för (3) ger: 30𝑉 5𝐴 𝑅 5𝐴 50𝛺 0𝐴 5𝛺 0 𝑅 04𝛺 9 Alla 𝐵 bidrag har rikting ut från papprets plan Bidrag från () och (3) 𝐵 𝑑𝐵 𝜇 4𝜋 ~ dl 𝐼𝑑𝑙 𝑟 𝑟 ~r ()$ och, "# 𝑟 𝜇 𝑑𝜃 4𝜋𝛼 𝑟 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑑𝜃 𝜇 𝐼 ( + ) 4𝜋𝑎 På samma sätt för bidragen från (): 𝑟 𝜇 𝑑𝜃 4𝜋𝛼 𝑟 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑑𝜃 Total B-fältet vid P blir: 𝐵" 𝐵 + 𝐵 + 𝐵 𝜇 𝐼 ( + ) 𝜋𝑎 𝑟𝑑𝜃 𝜋 𝑑𝑙 𝑟 𝑟 sin 𝜃 𝑟 𝑑𝜃 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝜇 𝐵 4𝜋 P# 𝑟 "#$, 𝑑𝑙 "#$ 𝜇 𝐵 𝐵 4𝜋 θ# (3)$ 𝜇 𝐼 4𝜋𝑎 ()$