Lunds tekniska högskola Matematikcentrum Matematisk statistik FMSF20: MATEMATISK STATISTIK, ALLMÄN KURS, 7.5HP FÖR E, HT-15 Datorövning 2 Diskret fördelning och betingning Syftet med den här laborationen är att du skall bli mer förtrogen med några viktiga områden inom kursen nämligen Diskreta fördelningar Betingade fördelningar Specialrutiner finns att hämta på kursens hemsida: http://www.maths.lth.se/matstat/kurser/fmsf20/ 1 Förberedelseuppgifter 1. Läs igenom denna handledning. 2. Förvissa dig om att du förstår vad en sannolikhetsfunktion är. 3. Redovisas vid laborationens start! Vi köper en påse med 7 solrosfrön. På baksidan i den finstilta texten står det att grobarheten är 75 %. Ange fördelningen för antalet frön som kommer att gro (om de gror oberoende av varandra) samt dess väntevärde och varians. 2 Diskret variabel: Grobarhet hos solrosfrön Vi vill simulera antalet frön som kommer att gro bland de sju fröna i påsen. Det kan vi göra på två sätt. Det mest rättframma är att simulera 7 frön och räkna antalet som gror. Funktionen rand(1,n) ger en radvektor med n rektangelfördelade slumptal, U, mellan 0 och 1. För att sannolikheten att ett frö kommer att gro skall bli p kan vi helt enkelt se efter om U p. I så fall kommer fröet att gro. Om U > p så kommer det inte att gro. För att få reda på antalet frön som kommer att gro bland de 7 summerar vi den resulterande 0/1-variabeln: >> n = 7; >> p = 0.75; >> U=rand(1,n) % 1 rad och n kolumner med observation från R(0,1) >> U<=p % 0 = gror inte, 1 = gror >> X=sum(U<=p) % antal frön som gror
2 DATORÖVNING 2, FMSF20 HT-15 Uppgift: Jämför resultatet av U=rand(1,n) och U<=p och förvissa dig om att du förstår vad som hände. Uppgift: Hur många frön grodde? Ett smidigare sätt är att utnyttja att vi vet att antalet frön som kommer att gro är Bin(7, 0.75)- fördelat. Då kan vi simulera X direkt med hjälp av MATLABs färdiga rutiner: >> help binornd >> X=binornd(n,p) Uppgift: Gör om proceduren några gånger. Hur många frön brukar gro? Antalet frön som kommer att gro varierar uppenbarligen från gång till gång, dvs från påse till påse. För att se hur vanligt det är med olika antal frön som kommer att gro simulerar vi N = 100 påsar och ritar ett stolpdiagram (vi har ju en diskret variabel). >> N=100; % antal fröpåsar >> X=binornd(n,p,N,1) % X = antal groende frön i var och en av Nx1 påsar >> antal=hist(x,0:n) % antal = antal av påsarna som ger 0,...,n frön >> bar(0:n,antal) % stolpdiagram >> ylabel( antal påsar ) Uppgift: Var det någon av påsarna som inte hade några groende frön alls? Uppgift: Hur många av påsarna gav 5 groende frön? Uppgift: Hur många av påsarna gav högst 2 groende frön? Vi vill nu jämföra våra 100 påsar med den teoretiska sannolikhetsfunktionen. För att göra det måste vi skala om y-axeln. >> bar(0:n,[antal/n; binopdf(0:n,n,p)] ) % rita två uppsättningar staplar >> ylabel( andel påsar ) >> legend( simulering, exakt, Location, NorthWest )
DATORÖVNING 2, FMSF20 HT-15 3 De blå stolparna är vårt simulerade resultat och de röda är den teoretiska sannolikhetsfunktionen. Uppgift: Hur stor andel av de simulerade 100 påsarna hade 5 groende frön? Uppgift: Hur stor andel av de simulerade 100 påsarna hade högst 2 groende frön? Uppgift: Hur stor är sannolikheten att en påse ska ha 5 groende frön? (Kolla att det stämmer med binopdf(5,n,p)) Uppgift: Hur stor är sannolikheten att en påse ska ha högst 2 groende frön? (Kolla att det stämmer med binocdf(2,n,p)) Uppgift: Experimentera med att ändra grobarheten från 0.75 till nått annat. Hur ändrar sig fördelningen? Hur ändrar sig sannolikheten att få högst 2 frön som gror? Uppgift: Ändra också antalet frön i påsarna. Hur ändrar sig fördelningen när n minskar eller ökar? Hur ändrar sig sannolikheten att få högst 2 frön som gror? Uppgift: Ändra också på n och p samtidigt. Om np(1 p) > 10 kan binomialfördelningen approximeras med en normalfördelning. Vi kan jämföra fördelningsfunktionerna och se hur bra det blir: >> n=7; >> p=0.75; >> np = n*p % väntevärde >> npq = np*(1-p) % varians >> x=linspace(np-4*sqrt(npq),np+4*sqrt(npq)); % mu +/- 4 sigma >> stairs(0:n,binocdf(0:n,n,p), b- ) % Stegfunktion p.g.a diskret s.v. >> hold on >> plot(x,normcdf(x,np,sqrt(npq)), r-. ) % men den här är kontinuerlig >> hold off Uppgift: Pröva med lite olika värden på n och p. Testa både när det går bra att normalapproximera och när det inte går. Beräkna sannolikheten att högst 2 frön gror, både exakt och med normalapproximation (gärna med halvkorrektion).
4 DATORÖVNING 2, FMSF20 HT-15 3 Simulering med hjälp av betingad fördelning: Skördeutfall Vi tänker oss nu att varje solrosfrö som gror ger upphov till ett Poissonfördelat antal nya frön, i medeltal 50 frön per groende solros. Frön som inte gror ger naturligtvis inga nya frön. Vi är intresserade av fördelningen för det totala antalet nya frön som en fröpåse med 7 frön och 75 % grobarhet kan ge upphov till. Vi har, som tidigare, X = antal frön som gror Bin(7, 0.75). Då kommer vi att få att den betingade fördelningen för Y = antal nya frön, givet att vi fick X = x frön som grodde, blir Y X = x Po(50 x) där x = 0,..., 7. Det är alltså summan av x stycken oberoende Po(50)-fördelade variabler, en för varje groende frö. Fördelningen för Y ges då av (Satsen om Total Sannolikhet) p Y (y) = P(Y = y) = k = 7 k=0 e 50k (50k)y y! P(Y = y X = k) P(X = k) = 7 p Y X (y k) p X (k) k=0 ( ) 7 0.75 k 0.25 7 k = Nått gräsligt! k För att ta reda på hur denna hiskliga fördelning ser ut börjar vi med att rita upp var och en av de 8 olika möjliga Poissonfördelningarna. Detta är de 8 olika varianterna av betingade fördelningar vi har: Po(0), Po(50), Po(100),..., Po(350). Vi ritar de 8 sannolikhetsfunktionerna i samma figurfönster men i varsin delfigur för att få lite överblick. >> close all >> figure(1) >> bar(0:7,binopdf(0:7,7,0.75)) % antalet frön som gror >> figure(2) >> y=0:450; % ett lagom intervall för x-axeln >> for k=0:7 subplot(4,2,k+1) % rita i delfönster nr 1..8 i en 4x2-plan bar(y,poisspdf(y,50*k)) xlabel( antal nya frön ) end Uppgift: Hur ändrar sig fördelningen när antalet groende frön ändrar sig? Uppgift: Tänk efter hur fördelningen för Y borde se ut, när vi viktat ihop dessa 8 fördelningar med vikter enligt binomialfördelningen för antalet groende frön. Även om vi inte vill räkna ut sannolikhetsfunktionen för Y så är det ganska enkelt att låta Matlab göra det: >> py=zeros(size(y)); % Fyll först p_y(y) med nollor. >> for k=0:7 % Uppdatera p_y(y) för varje k py=py+poisspdf(y,50*k)*binopdf(k,7,0.75);
DATORÖVNING 2, FMSF20 HT-15 5 end >> figure(3) >> bar(y,py) >> xlabel( antal nya frön ) Uppgift: Ser fördelningen ut som du hade väntat dig? Den specialskriva funktionen solrosor.m, som finns på kurshemsidan, ritar upp sannolikhetsfunktionen för Y där Y X = x Po(m k) och X Bin(n, p) för valfria värden på n, p och m. Spara ner funktionen på din dator och använd den för att rita om figuren: >> help solrosor >> solrosor(7, 0.75, 50) Uppgift: Experimentera med olika värden på n, p och m. Vad händer om antalet frön i påsen, n, minskar eller ökar? Om grobarheten, p, minskar eller ökar? Om medelantalet nya frön per frö som gror, m, minskar eller ökar? Uppgift: Vad händer om grobarheten är 100 %? Uppgift: Kan du få fördelningen att se normalfördelad ut?