STYRNING AV PORTFÖLJER MED FLERA TILLGÅNGAR

1 STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Avd. för Matematisk statistik Thomas Höglund FINANSMATEMATIK I. KOMPLEMENT DAG 13. STYRNING AV PORTFÖLJER MED FLERA TILLGÅNGAR Hittills har vi betraktat portföljer som bestått av två tillgångar; kassa och en aktie. Här ska vi betrakta den mer allmänna situationen då portföljen består av m tillgångar. En av dessa kan men behöver inte vara kassan. För att framställninmgen ska vara helt analog med den i Komplement dag 11, Black-Scholes ekvation, ska vi till att börja med ge en osymmetrisk framställning och behandla kassan separat. Vi har alltså kassa och andra tillgångar. Räntan antages vara konstant = r vid kontinuerlig förräntning. Som tidigare genomför vi beräkningarna för nuvärdena av kassan, tillgångarna och portföljen: Vi sätter alltså r = 0. Portföljvärdet uppfyller P n (t) = c k 1 +a 1 (k 1)S 1 (t)+...+a (k 1)S (t) för t k 1 t < t k, k = 1,..., n. (1) Här är 0 = t 0 < t 1 <... < t n = T och S 1 (t),...,s (t) är priserna på tillgångarna vid tiden t. Med en tillgång ska vi här mena en tillgång med en rimligt kontinuerlig prisutveckling och där innehavet av tillgången går att öka eller minska gradvis till låg kostnad och med kort varsel. Exempel på sådana tillgångar är vissa bankkonton, obligationer och likvida aktier. Även ett lager bestående av 1000 fat olja är en sådan tillgång eftersom olja är en likvid tillgång som handlas per fat. Vissa aktier med låg likviditet är däremot inte en tillgång i denna mening. Vi ska formulera en modell för prisutvecklingen som motsvarar Black-Scholes modell i en dimension. Låt W(t) beteckna en vektor bestående av m oberoende Wienerprocesser och sätt X(t) = AW(t) där A är en m m matris. Övning 1 Visa att kovariansmatrisen för X(t) är Qt, där Q = AA T. Vi ska anta att S k (t) = S k (0)e ν kt+x k (t). I det fall kassan är en av tillgångarna (vilket är fallet till att börja med) låter vi den vara tillgång nr m. I detta fall har vi alltså q m m = 0. Här är q ij elementen i Q. Vi ska styra portföljvärdet vid tiden T mot f(s T ), där f är en given kontinuerlig funktion i m 1 variabler. Vi kan nu gå fram på samma sätt som tidigare. Skillnaden är att vi får Taylorutveckla en funktion i flera variabler istället för en: F (T, S T ) P T = ɛ 1 + ɛ 2 +... + ɛ n + O( t).

2 Denna skillnad går mot noll om P n (0) = F (0, S(0)) och a i (k) = s i F (t k, S(t k )) och om F (t, s) löser ekvationen I detta fall är ɛ k = F t + 1 2 j=1 s i s j q ij 2 j=1 2 F s i s j q ij = 0. (2) 2 f (Z i (k)z j (k) q ij ) t, där Z i (k) = (X i (t k ) X i (t k 1 ))/ t. Som tidigare är ɛ 1,...,ɛ n okorrelerade och har väntevärde 0. Funktionen F (t, s) definierad av F (t, s)) = Ef(s 1 e q 11 2 τ+x 1(τ),..., s e q 2 τ+x (τ) ), där τ = T t, löser ekvationen (2) och F (T, s) = f(s). (3) Ovanstående formel gäller alltså om räntan är noll. På samma sätt som i beviset av Sats 2 i Komplement dag 6, Handelsstrategier 2, får vi F (t, s) = e rτ Ef(s 1 e rτ q 11 2 τ+x 1(τ),..., s e rτ q 2 τ+x (τ) ) (4) då räntan är r. Även i detta fall gäller uppenbarligen (3). Sats 1 Antag att F är som i (4) och P n (t) som i (1) med a i (k 1) = s i F (t k 1, S(t k 1 )). Om P n (0) = F (0, S(0)), så P n (t) F (t, S(t)) i sannolikhet, då n och max 1 k n (t k t k 1 ) 0. Övning 2 Genomför detaljerna i beviset av satsen. Övning 3 Visa att ekvationen (2) tar formen F t + r då räntan är konstant = r. s i F s i + 1 2 j=1 2 F s i s j q ij = rf. (5) En symmetrisk formulering Vi ska här betrakta en portfölj som består av m tillgångar av vilka kassan kan (men behöver inte) vara en. För att hålla isär begreppen ska vi skriva g och

3 G för målfunktionen respektive portföljvärdet (i stället för f och F ). I detta fall är alltså g en funktion av m variabler s = (s 1,..., s m ) och G ska uppfylla och G t + 1 2 m j=1 Detta randvärdesproblem har lösningen m 2 G s i s j q ij = 0. (6) G(T, s) = g(s). (7) G(t, s)) = Eg(s 1 e q 11 2 τ+x 1(τ)),..., s m e qmm 2 τ+x m(τ)) ). (8) Vikterna i portföljen ges av Därför måste b(t, s) = grad s G(t, s). G(t, s) = b(t, s) s. (9) Vi ska ge ett villkor på g som gör att (9) är uppfyllt. Definition En målfunktion är en kontinuerlig funktion (0, ) m s g(s) R som uppfyller för alla k > 0. Här är ks = (ks 1,..., ks m ). g(ks) = kg(s) (10) Det följer av (8) att villkoret (10) medför att G(t, ks) = kg(t, ks) och det följer av Lemmat nedan att detta i sin tur medför att (9) är uppfyllt. Lemma 2 Låt H(s) vara en differentierbar funktion definierad för s (0, ) m. Då gäller H(s) = grad H(s) s (11) för alla s (0, ) m om och endast om för alla s (0, ) m och alla k > 0. H(ks) = kh(s) (12) Bevis Antag att (11) gäller. Fixera s och sätt h(k) = H(ks). Då h (k) = grad H(ks) s = h(k)/k, och därför h(k) = h(1)k. Antag att (12) gäller. k = 1. Derivera bägge sidor med avseende på k och sätt Man startar vid t = t 0 med portföljvärdet P n (0) = b(t 0, S(t 0 )) S(t 0 ) vid t = t 1 är denna värd P n (t 1 ) = b(t 0, S(t 0 )) S(t 1 ). Omedelbart efter ombalanseringen vid t = t 1 är den emellertid värd b(t 1, S(t 1 )) S(t 1 ) vilket i allmänhet är skilt från P n (t 1 ). Detta problem kan lösas t.ex. genom att man inför en

4 transaktionskassa och går tillväga som tidigare. Transaktionskassan blir försumbar då man handlar allt oftare, d.v.s. då n. Portföljen konstrueras så här: P n (0) = b(0, S(0)) S(0) och P n (t) = P n (t k 1 )+b(t k 1, S(t k 1 ) (S(t) S(t k 1 )) för t k 1 t < t k, k = 1,..., n. (13) Vi har därför följande sats. Sats 3 Om G är som i (8) och P n (t) som i (13), så P n (t) F (t, S(t)) i sannolikhet, då n och max 1 k n (t k t k 1 ) 0. Sambandet mellan funktionerna f och g är g(s 1,..., s m ) = s m f( s 1 s m,..., s s m ), f(s 1,..., s ) = g(s 1,..., s, 1). (14) Övning 4 Låt f vara en godtycklig kontinuerlig funktion definierad på (0, ) och definiera g som i (14). Visa att g är en målfunktion. Om kassan är tillgång nr m, så S m (t) = S m (0)e rt och vi har där S (t) = (S 1 (t),..., S (t)). G(t, S(t)) = S m (0)e rt F (t, e rt S (t)/s m (0)), Exempel 1 I fallet m = 2 och f(x) = max(0, x K), får vi g(s 1 (T ), S 2 (T )) = max(0, S 1 (T ) e rt S 2 (0)K). I detta fall är g alltså målfunktion för en köpoption med lösenpris K om S 2 (0) är nuvärdet vid tiden 0 av en krona vid tiden T, S 2 (0) = e rt. Övning 5 Antag att S i (0) = 1. (D.v.s. ersätt S i (t) med S i (t)/s i (0).) Låt v 1,..., v m vara givna (konstanta) vikter; v 1 +...v m = 1. Betrakta de två funktionerna: a) g(s) = m v is i och b) g(s) = m svi i. Visa att bägge funktionerna är målfunktioner samt beräkna portföljvärdena och de olika tillgångarnas vikter i portföljerna vid tiden t. Istället för att utgå från en given målfunktion kan man utgå från givna vikter och beräkna portföljvädet. Övning 6 Antag att S i (0) = 1 och att portföljen ombalanseras kontinuerligt så att tillgång i alltid har vikten v i, där v 1,..., v m är givna (konstanta) vikter. Bestäm portföljvädet vid tiden t förutsatt att G(0, 1) = 1. Målfunktionen för den första optionsstrategien i Komplement dag 12, Tre optionsstrategier, har formen c max(s 1, s 2 ) medan den tredje strategien har en målfunktion av formen C max(s 1, s 2 ). För ett allmänt m har vi.

5 Övning 7 Låt s (1) <... < s (m) vara s 1,..., s m ordnade i växande storleksordning. Sätt g(s) = s (r), där 1 r m. Visa att g är en målfunktion. I det här fallet är det lämpligt att använda dator för att beräkna vikterna av de olika tillgångarna. I fallet m = 2 kan man få ett explicit uttryck för portföljvärdet som nästa exempel visar. Exempel 2 Låt m = 2 och låt φ Qt (x 1, x 2 ) beteckna täthetsfunktionen för (X 1 (t), X 2 (t)). Vi ska beräkna portföljvärdena för de två målfunktionerna g 1 (s 1, s 2 ) = max(s 1, s 2 ) och g 2 (s 1, s 2 ) = min(s 1, s 2 ) och börjar med den första. Vi har G 1 (t, s 1, s 2 ) = E max(s 1 e q 11 2 τ+x 1(τ), s 2 e q 22 2 τ+x 2(τ) ) = s 1 I 12 + s 2 I 21, där och I ij = x i x j> λ ij e q ii 2 τ+xi φ Qτ (x 1, x 2 )dx 1 dx 2 λ ij = ln s i ln s j + q ii q jj τ. 2 Övning 8 Visa t.ex. genom att beräkna den momentgenerterande funktionen att e q 11 2 τ+x 1 φ Qτ (x 1, x 2 ) = φ Qτ (x 1 q 11 τ, x 2 q 12 τ). där Det följer att I 12 = φ Qτ (y 1, y 2 )dx 1 dx 2, y 2 y 1>ln s 1 ln s 2+ ω2 12 2 τ ω 2 ij = q ii + q jj 2q ij. Observera att om (Y 1, Y 2 ) är normalfördelad med väntevärde 0 och kovariansmatris Qτ, så är Y 2 Y 1 normalfördelad med väntevärde 0 och varians ω 2 12τ. Därför är I ij = Φ(d ij ), där Det följer att d ij = ln(s i/s j ) ω ij τ + ω ij τ. 2 G 1 (t, s 1, s 2 ) = s 1 Φ(d 12 ) + s 2 Φ(d 21 ). Om vi istället har målfunktionen g 2 och använder sambandet min(s 1, s 2 ) = s 1 + s 2 max(s 1, s 2 ) samt identiteterna Ee q ii 2 τ+xi(τ) = 1 och 1 Φ(x) = Φ( x),

6 så får vi G 2 (t, s 1, s 2 ) = s 1 Φ( d 12 ) + s 2 Φ( d 21 ). Övning 9 Beräkna antalen av de två tillgångarna, i de två portföljerna i exemplet ovan, som funktion av tiden och aktiepriserna. (Här kan du få användnig av Övning 3 i Övningar till dag 8.) Den första strategien kan kanske synas vara mer lockande än den andra men bilden blir mer nyanserad om vi jämför strategier som är lika mycket värda från början. Övning 10 Antag att S 1 (0) = S 2 (0) = 1. a) Bestäm c och C så att cg 1 (0, 1, 1) = 1 och CG 2 (0, 1, 1) = 1. Speciellt: Vad blir c och C om T = 1, q 11 = 0.16, q 22 = 0.25 och korrelationen q 12 / q 11 q 22 = 0.35? b) För vilka värden på S 1 (T ) och S 2 (T ) går de två strategierna med vinst? c) För vilka värden på S 1 (T ) och S 2 (T ) är den andra strategien att föredra framför den första? Svar till övningarna 5 a) Portföljvärde: G(t, S(t)), där G(t, s) = m v is i = v s. Vikter: (v i s i,..., v m s m )/v s. b) G(t, s) = e L(T t) m s i( vi, där L = 1 2 ( m v iq ii v Qv). Vikter v. 6 G(t, s) = e Lt m svi i. 9 (Φ(d 12 ), Φ(d 21 )) för max och (Φ( d 12 ), Φ( d 21 )) för min. 10 a) c = 1/(2Φ( ω12 2 T )) = 0.83, C = 1/(2Φ( ω 12 2 T )) = 1.26. b) max(s 1 (T ), S 2 (T )) > 1/c = 1.21 respektive min(s 1 (T ), S 2 (T )) > 1/C = 0.80. c) Den andra är bättre om c/c < S 2 (T )/S 1 (T ) < C/c. Speciellt: (c/c, C/c) = (0.66, 1.52).