Övningar till Matematisk analys III Erik Svensson

MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Avd. Matematik -8-8 Övningar till Matematisk analys III Erik Svensson. För varje gränsvärde nedan bestäm gränsvärdet eller visa att gränsvärdet inte existerar. a b c d lim x,y lim x,y, x x y x + y xy 5 x sin πy x + y x 5 + y lim x,y, x 4 + y x y lim x,y, x 4 + y. Låt f vara den funktion för vilken f, och fx, y kontinuerlig i origo? Är f differentierbar i origo? x y x + y då x, y,. Är f L. För ett godtyckligt reellt tal α > låt f vara den tvåvariabelfunktion för vilken f, och fx, y xy α x +xy+y då x, y,. För vilka reella tal α > är f kontinuerlig i origo respektive differentierbar i origo? 4. Låt f vara funktionen fx, y 4x y + xy. a En person befinner sig i punkten, på räta linjen x + y 5 och kan bara röra sig längs denna räta linje. I vilken av de två möjliga rörelseriktningarna skall personen gå för att funktionen f åtminstone till att börja med skall växa. b Bestäm i punkten, den riktning från punkten i vilken tillväxten av f per längdenhet är störst samt bestäm också hur stor denna största tillväxt per längdenhet är. c Bestäm ekvationen för tangenten till kurvan fx, y f, i punkten, på kurvan. d Bestäm ekvationen för tangentplanet till ytan z fx, y i den punkt på ytan där x och y. L 5. Låt f vara den funktion för vilken f, och fx, y x y + xy x + y då x, y,. Avgör om f är kontinuerlig i origo. Visa att f, och f, båda existerar och ange värdena. Visa att f, och f, båda existerar och ange värdena. L 6. Betrakta funktionen fx, y x y + axy där a är en reell konstant. För ett visst värde på konstanten a har f i punkten, sin största tillväxt per längdenhet i riktningen,. Ange detta värde på a samt också hur stor den största tillväxten per längdenhet av f i punkten, är för detta värde på a. Visa även att det inte finns något värde på a så att f i punkten, har sin största tillväxt per längdenhet i riktningen,.

7. Bestäm alla skärningspunkter mellan kurvorna x xy y + 6 och xy. Bestäm också skärningsvinkeln mellan kurvorna i varje skärningspunkt. 8. Bestäm varje tal a > för vilket de båda kurvorna xy + y och x + y a skär varandra under rät vinkel i minst en punkt. Ange också för varje sådant a varje punkt där de båda kurvorna skär varandra under rät vinkel. L 9. Bestäm ekvationen för den kurva som går genom punkten, och är vinkelrät mot alla nivåkurvor till funktionen fx, y x y. L. På en karta över en kulle finns ett ortonormerat koordinatsystem inplacerat. Kullens höjd z över havet i en punkt x, y på kartan är z 5e x +y. En person som skall gå till kullens topp väljer i varje punkt på sin väg att gå åt det håll där kullen är brantast uppåt. Personen startar i en punkt som på kartan har koordinaterna 4, 8. Bestäm ekvationen för den kurva på kartan som personens gångväg svarar mot. L. Bestäm ekvationen för den kurva som går genom punkten, och skär alla nivåkurvor till funktionen fx, y x 6 + y 4 under rät vinkel.. Bestäm ekvationen för den kurva i första kvadranten som går genom punkten, och skär alla nivåkurvor till funktionen fx, y x /4 y /, x >, y > under rät vinkel.. Bestäm ekvationen för den kurva som går genom punkten, och skär alla nivåkurvor till funktionen fx, y e x y, under rät vinkel. 4. På mängden x >, y > införs nya koordinater genom att sätta u xy, v x/y. Låt z vara en C -funktion i variablerna x och y på mängden x >, y >. Ange hur differentialuttrycket xz x+yz y +z ser ut i variablerna u och v. Bestäm sedan den C -lösning z till differentialekvationen xz x +yz y +z, x >, y > för vilken z e x då x > och y 4. 5. Bestäm alla kontinuerligt deriverbara lösningar till partiella differentialekvationen x z x + y z y z i området x >, y > genom att införa de nya variablerna u x, v y x. L 6. Betrakta partiella differentialekvationen T x + T y + T z i området x + y + z 4. Bestäm den lösning T x, y, z för vilken följande gäller: i T x, y, z är en funktion enbart av avståndet från x, y, z till origo, dvs T x, y, z fr för någon funktion f, där r x + y + z. ii T x, y, z då x + y + z, och T x, y, z då x + y + z 4. 7. Låt z vara en C -funktion i x och y på R. Genom ett ett koordinatbyte av typen u x+ay, v x+by, där a och b är lämpliga reella tal, överförs differentialuttrycket 6z xx 5z xy +z yy i ett differentialuttryck av typen cz uv där c är en konstant. Bestäm sådana reella tal a och b. Bestäm också alla C -funktioner z sådana att 6z xx 5z xy + z yy på R. L 8. På mängden x >, y > införs nya koordinater u och v genom att sätta u xy, v x/y. Låt z vara en C -funktion i x och y på mängden x >, y >. Ange hur differentialuttrycket x z xx+xyz xy y z yy ser ut i variablerna u och v. Bestäm också alla C -funktioner z sådana att x z xx + xyz xy y z yy då x >, y >.

L 9. På mängden x >, y > införs nya koordinater u och v genom att sätta u x y, v x/y. Låt z vara en C -funktion i x och y på mängden x >, y >. Ange hur differentialuttrycket x z xx y z yy + xz x ser ut i variablerna u och v. Bestäm också alla C -funktioner z sådana att x z xx y z yy + xz x då x >, y >.. På mängden x >, y > införs nya koordinater u och v genom att sätta u y/x, v x /y. Låt z vara en C -funktion i x och y på mängden x >, y >. Ange hur differentialuttrycket x z xx + xyz xy + y z yy ser ut i variablerna u och v. Bestäm också alla C -funktioner z sådana att x z xx + xyz xy + y z yy y då x >, y >. L. Bestäm alla stationära punkter till fx, y x 4 + y 4 4x y och ange varje stationär punkts karaktär. L. Bestäm alla stationära punkter till fx, y x 4 y 4 e 8x 4y karaktär. och ange varje stationär punkts L. Bestäm alla stationära punkter till fx, y xy under bivillkoret x + xy + 8y. 4. Bestäm alla stationära punkter till fx, y, z x + y + z under bivillkoret x + y + z + xyz 4. 5. Bestäm alla stationära punkter till fx, y, z x + y + z under bivillkoren xy + yz och xz + yz 4. 6. Beräkna dubbelintegralen x y dxdy, där är området x, y. 7. Beräkna x x x e y dy dx + 8 8 x x e y dy dx. 8. Beräkna dubbelintegralen x + y dxdy där är området x + xy + y. 9. Beräkna dubbelintegralen x + y dxdy där är området x + y x.. Beräkna dubbelintegralen x + y dxdy där är området y x + y x. x L. Beräkna dubbelintegralen x y sin y + x dx dy där är området π/ x y π, π/ x y y π.. Beräkna dubbelintegralen x/y4 e x /y dx dy där är området y < x < y, y < x < 4y.. Beräkna dubbelintegralen L 4. Beräkna dubbelintegralen ln y x e xy dx dy där är området x y x, xy. x + y dx dy, där är området x < y < x, x < y < x. L 5. Visa att den generaliserade dubbelintegralen R + x + y dx dy är konvergent och beräkna dess värde. L 6. Låt vara det obegränsade området x 4 y >, xy 4 >. Visa att den generaliserade dubbelintegralen x + y 4 dx dy är konvergent och beräkna dess värde.

L 7. Bestäm volymen av området x + y + z, z x + y. 8. Bestäm volymen av kroppen x + y + z 4, x + y, x + + y. L 9. Bestäm volymen av den del av området x + y + z som ligger mellan planen z x + och z x. L 4. Beräkna trippelintegralen x dx dy dz där är området x + y + z. L 4. Beräkna trippelintegralen x + y + z dx dy dz där är området x + y z. L 4. Beräkna trippelintegralen z dx dy dz där är området z 7 x y, x + y + z 9. L 4. Beräkna trippelintegralen z dx dy dz där är området z, z x +y, x +y +z. L 44. Beräkna de båda trippelintegralerna z dx dy dz och z dx dy dz där är området z x + y, z + x. 4

Svar till övningarna. a. b. c. d Existerar ej.. Kontinuerlig men inte differentierbar i origo.. Kontinuerlig i origo precis om α > och differentierbar i origo precis om α >. 4. a I riktning,. b I riktning,, 6 5. c x + y 4. d z x + 6y 48. 5. Kontinuerlig i origo. f, f,. f,, f,. 6. a,. 7. Skärningspunkterna, och,. Skärningsvinkeln är arccos 5 i båda skärningspunkterna. 8. a 7 4,,. 9. y ln x, x >.. y x / från punkten 4, 8 till punkten,.. Parabeln y x.. y x, x.. Parabeln x y +. 4. z 4 y e 4x y. 5. z e x ϕ y x där ϕ C R är godtycklig. 6. T x, y, z +. x +y +z 7. z x + yx + y + ϕx + y + ψx + y där ϕ, ψ C R + är godtyckliga. 8. 9uvz uv vz v. z x ln y ln x + x/ y / ϕ + ψxy, x >, y > där ϕ, ψ C R + är y godtyckliga. 9. 8uvz uv + 4uz u. z y x ln x + ln y + x ϕx y + ψ, x >, y > där ϕ, ψ C R + är y godtyckliga.. uvz uv uz u. z y 4 + x y y ϕ + ψ x x y, x >, y > där ϕ, ψ C R + är godtyckliga..,,, och,. Sadelpunkt, strängt lokalt minimum respektive strängt lokalt minimum. 5

.,, och,. Sadelpunkt respektive strängt lokalt maximum.., ]. 4.,,,,,,,,,,,, och,,. 5.,,,, +,,,, och, +,. 6. 5. 7. 6 6e 64 + e. 8. 4π 9. 9. 4 9.. 8.... e 4.. 4 ln e e. 4. ln 4. 5. π. 6. 6. 7. 9π 8. 8. 8 9. 9. 5 π 6. 4. 6π 5. 4. 6 π. 4. 9π 4. 4. π 4 6 6. 44. 8π 9 respektive 6π 5. 6

Lösningar till de med L markerade övningarna. Kontinuitet i origo. En funktion fx, y är kontinuerlig i en punkt a, b precis om fx, y fa, b då x, y a, b. I vårt fall är f,. en givna funktionen är alltså kontinuerlig i origo precis om fx, y då x, y,. Med hjälp av polära koordinater x r cos θ, y r sin θ får vi att fx, y xy α x + xy + y rα cos θ sin θ α r + r cos θ sin θ α cos θ sin θ α r + sin θ rα r α x + y α, vilket visar att fx, y då x, y, om α >. Vidare har vi för godtyckligt t > att ft, t tα, som inte går mot då t + om < α, vilket visar att fx, y inte går mot då x, y, om < α. Funktionen fx, y är således kontinuerlig i origo precis om α >. ifferentierbarhet i origo. En funktion gx, y är differentierbar i en punkt a, b precis om g a, b och g a, b existerar samt gx, y ga, b g a, bx a g a, by b x a + y b då x, y a, b. Vi tillämpar nu detta på funktionen fx, y i origo. Notera först att f + h, f, h fh, f, h h för alla h för alla α >, och alltså att f + h, f, då h h för alla α >, dvs f, existerar och är för alla α >. Eftersom fx, y är symmetrisk i x och y följer sedan direkt att även f, existerar och är för alla α >. Funktionen fx, y är såldes differentierbar för alla α > för vilka ϕx, y fx, y f, f, x f, y x + y fx, y x y x + y fx, y x + y xy α x + xy + y då x, y,. x + y Med hjälp av polära koordinater x r cos θ, y r sin θ får vi att ϕx, y xy α x + xy + y x + y rα cos θ sin θ α r + r cos θ sin θ r α cos θ sin θ α r + sin θ rα r α x + y α /, vilket visar att ϕx, y då x, y, om α >. Vidare har vi för godtyckligt t > att ϕt, t tα, som inte går mot då t + om < α /, 7

vilket visar att ϕx, y inte går mot då x, y, om < α. Funktionen fx, y är således differentierbar i origo precis om α >. 5. Kontinuitet i origo? Vi har att fx, y f, x y + xy x + y x y + xy x + y enligt triangelolikheten x y + x y x + y inför polära koordinater x r cos θ, y r sin θ r4 cos θ sin θ + r 4 cos θ sin θ r r cos θ sin θ + r cos θ sin θ vs vi har att ty cos θ, sin θ för alla θ r + r r x + y för alla x, y,. fx, y f, x + y för alla x, y,. et följer att fx, y f, då x, y,. Funktionen f är alltså kontinuerlig i origo. erivatan f, Vi har att f + h, f, h fh, f, h h och alltså att f + h, f, då h h erivatan f, existerar alltså och är. erivatan f, Vi har att f, + k f, k f, k f, k k och alltså att f, + k f, då k k erivatan f, existerar alltså och är. erivatan f, erivering ger att för alla h. för alla k. f x, y x y + y x + y x y + xy x x + y för alla x, y, och alltså är f, k + k + k + k k för alla k 8

Vi får att f, + k f, k f, k f, k och alltså att f, + k f, k erivatan f, existerar alltså och är. erivatan f, erivering ger att och alltså är Vi får att k k då k. för alla k f x, y x + 6xy x + y x y + xy y x + y för alla x, y, f h, h + h + h + h för alla h f + h, f, h f h, f, k och alltså att f + h, f, h erivatan f, existerar alltså och är. h h då h. 6. Vi ska betrakta funktionen fx, y x y + axy. Vi noterar att fx, y f x, y, f x, y xy + ay, x + ax, för alla h det vill säga f, + a, + a. Enligt den allmänna teorin har f i punkten, sin största tillväxt per längdenhet i riktningen f,. et följer att f i punkten, har sin största tillväxt per längdenhet i riktningen, om och endast om + a, + a är parallell med, och riktad åt samma håll. Vi ska alltså undersöka för vilka a som det går att hitta ett positivt tal λ så att { λ + a λ + a. Ekvationssystemet har den enda lösningen λ och a. Eftersom λ > i lösningen kan alltså f i punkten, ha sin största tillväxt i riktningen, och det inträffar för a. Största tillväxten per längdenhet i en punkt är lika med längden av gradienten i punkten. För a är f,,, och största tillväxten per längdenhet i punkten, är alltså f, +. Vi ska nu undersöka om det är möjligt att finna ett a så att f i punkten, har sin största tillväxt per längdenhet i riktningen,. Ekvationen som ska studeras är i detta fall { λ + a λ + a. en enda lösningen är λ, a 5. Eftersom λ < i den enda lösningen finns det alltså inget a sådant att f i punkten, har sin största tillväxt per längdenhet i riktningen,. 9

9. Låt y gx vara ekvationen för den kurva som söks. Sätt hx, y gx y. en sökta kurvan är då hx, y. Låt x, y vara en godtycklig punkt på den sökta kurvan hx, y. I varje sådan punkt x, y gäller: i hx, y är vinkelrät mot den nivåkurva till f som går genom punkten. ii fx, y är vinkelrät mot den nivåkurva till f som går genom punkten. iii hx, y är vinkelrät mot kurvan hx, y. Att i gäller är givet i problemtexten. Att ii och iii gäller är en egenskap hos gradientvektorn. et följer att fx, y är vinkelrät mot hx, y. Eftersom fx, y x, och hx, y g x,, så ger det x, g x, x g x +. Men x, y är en godtycklig punkt på kurvan y gx. Alltså gäller xg x + för alla x, dvs vi har att Vi har alltså att och att g x x för alla x. y gx ln x + C om x > y gx ln x + C om x <. Eftersom sökt kurva ska gå genom punkten, är det kurvan vi söker. x, y insatt i ger att C. Sökt kurva är alltså kurvan y ln x, x >.. Kullens höjd i punkten x, y ges av z 5e x +y. Kullen är som brantast uppåt i gradientens riktning; grad z z x, z y 5e x +y 4x, 6y e x +y x, y. Personen som hela tiden rör sig i gradientens riktning kommer därför att hela tiden gå till vänster och nedåt så länge hon befinner sig i första kvadranten. På hela den sökta vägen kan alltså y uttryckas som en enda funktion av x. Låt y ϕx vara den sökta vägen. Att personen rör sig i gradientens riktning kan tolkas som att normalvektorn ϕ x, till kurvan y ϕx i punkten x, ϕx hela tiden är vinkelrät mot grad z i samma punkt x, ϕx, dvs ϕ x, är hela tiden vinkelrät mot x, ϕx. Med andra ord har vi att vilket innebär att ϕ x, x, ϕx xϕ x ϕx, ϕ x ϕx x. Från bergets geometri är det klart att på kartan är personens väg mot toppen hela tiden en väg i första kvadranten och alltså är hela tiden x > på den sökta vägen. Integration av differentialekvationen ovan ger därför att ln ϕx ln x + C ϕx ±ec x /,

dvs y ϕx Ax /, där A är en konstant. Startvillkoret x 4, y 8 ger 8 A 4 / A, dvs y x /. Kullens högsta punkt ligger i origo. Sökt väg på kartan är alltså kurvan y x / från punkten 4,8 till punkten,.. Låt y gx vara ekvationen för den kurva som söks. Sätt hx, y gx y. en sökta kurvan är då hx, y. Låt x, y vara en godtycklig punkt på den sökta kurvan hx, y. I varje sådan punkt x, y gäller: i hx, y är vinkelrät mot den nivåkurva till f som går genom punkten. ii fx, y är vinkelrät mot den nivåkurva till f som går genom punkten. iii hx, y är vinkelrät mot kurvan hx, y. Att i ska gälla är givet i problemtexten. Att ii och iii gäller är en egenskap hos gradientvektorn. et följer att fx, y är vinkelrät mot hx, y. Men fx, y 6x 5, y och hx, y g x,. Alltså x 5, y g x, x 5 g x y. Används sedan att y gx, som gäller eftersom x, y är en punkt på kurvan y gx, så fås att x 5 g x gx. Men x, y är en godtycklig punkt på kurvan y gx. Alltså gäller x 5 g x gx för alla x. enna differentialekvation kan skrivas g x gx, som direkt kan x5 integreras och ger att gx + C. Eftersom g så är C och det följer att x4 gx x 4. Alltså gx ±x. Men g så endast gx x går. Sökt kurva är alltså kurvan y x. 6. erivering av T x, y, z fr där r x + y + z / ger enligt kedjeregeln för funktioner av en variabel att T xx, y, z f rr x f r x r och att T xxx, y, z f rr x x r + f r r x r x r f r x x r x x r r + f r r r. vs det gäller att T xxx, y, z f r x r + f r r x r. På grund av symmetri gäller vidare att Vi får att T yyx, y, z f r y r + f r r y r, T zzx, y, z f r z r + f r r z r. T xx + T yy + T zz f r x + y + z r + f r r x y z r f r + r f r. erivatan f r kan bestämmas från med metoden med integrerande faktor. fr fås sedan genom integration av f r. dr ln r +konstant ty r > ln r ln r r

ln r En integrerande faktor till är alltså e r. Multiplikation av med r ger r f r + rf r d dr r f r. Integration ger Ny integration ger r f r A f r A r. fr A r + B. Här är A och B konstanter. Men det är givet att f, f skall gälla. et ger A B och alltså att fr r +. Sökt lösning till givna partiella differentialekvationen är alltså T x, y, z x + y + z +. 8. Eftersom z är en C -funktion kan vi använda kedjeregeln på z och dess partiella förstaderivator. Kedjeregeln tillsammans med sambanden u xy, v x ger att y z x z uu x + z vv x y z u + y z v Vi fortsätter att derivera. z y z uu y + z vv y xyz u x y z v erivatan z xx erivatan z xy z xx x z x enligt x y z u + y z v y x z u + y xz v enligt med z utbytt mot z u repektive z v y y u z u + y vz u + y u z v + y y vz v y y z uu + y z uv + y z y vu + y z vv ty z vu z uv eftersom z C y 4 z uu + yz uv + y z vv z xy y z x

enligt y y z u + y z v enligt produktregeln för derivering yz u + y y z u y z v + y yz v enligt med z utbytt mot z u repektive z v yz u + y xy u z u x y vz u y z v + xy u z v x y y vz v yz u + xy z uu xz uv y z v + xz vu x y z vv ty z vu z uv eftersom z C xy z uu + xz uv x y z vv + yz u y z v 4 erivatan z yy z yy y z y enligt y xyz u x y z v enligt produktregeln för derivering xz u + xy y z u + x y z v x y yz v enligt med z utbytt mot z u repektive z v xz u + xy xy u z u x y vz u + x y z v x y xy u z v x y vz v xz u + 4x y z uu x y z uv + x y z v x y z vu + x y 4 z vv ty z vu z uv eftersom z C 4x y z uu 4x y z uv + x y 4 z vv + xz u + x y z v 5 Vi får att x z xx + xyz xy y z yy enligt, 4 och 5 9x yz uv x y z v

eftersom x y xy x y uv och x y v 9uvz uv vz v, som är det givna differentialuttrycket uttryckt i u och v. Området x >, y > övergår genom avbildningen u xy, v x y för den givna differentialekvationen att i området u >, v >, och vi får x z xx + xyz xy y z yy, x >, y > 9uvz uv vz v, u >, v > z uv u z v 9 u v, u >, v > ty z uv z vu eftersom z C z vu u z v 9 u v, u >, v > u z v u z v 9 u v, u >, v > 6 Ekvationen 6 är för varje fixt v en första ordningens differentialekvation i u och kan lösas med metoden med integrerande faktor. u du ln u + godtycklig funktion av v eftersom u > i vårt område ln u ln u /. ln u / En integrerande faktor till 6 är alltså e u /. Multiplikation av 6 med u / ger Integration med avseende på u ger sedan u / u z v u 4/ z v 9 u 4/ v, u >, v > u u / z v 9 u 4/ v, u >, v >. u / z v u / v + ωv, u >, v > z v v + u / ωv, u >, v >. Här är ω en godtycklig funktion i C R +. Integration med avseende på v ger därefter till slut z ln v + u/ ϕv + ψu, u >, v >, där ϕ ω. Eftersom z C på u >, v > så måste ϕ, ψ C R +, för övrigt är ϕ, ψ godtyckliga. Går vi tillbaka till de ursprungliga variablerna x, y har vi alltså visat att lösningarna z C till givna differentialekvationen x z xx + xyz xy y z yy, x >, y > är funktionerna där ϕ, ψ C R + är godtyckliga. x z ln y ln x + x/ y / ϕ + ψxy, x >, y > y 4

9. Eftersom z är en C -funktion kan vi använda kedjeregeln på z och dess partiella förstaderivator. Kedjeregeln tillsammans med sambanden u x y, v x ger att y z x z uu x + z vv x xy z u + y z v z y z uu y + z vv y x yz u x y z v Fortsatt derivering ger z xx x z x enligt x xy z u + y z v enligt produktregeln för derivering y z u + xy x z u + y xz v enligt med z utbytt mot z u repektive z v y z u + xy xy u z u + y vz u + xy u z v + y y vz v y z u + xy xy z uu + y z uv + xy z y vu + y z vv ty z vu z uv eftersom z C 4x y 4 z uu + 4xyz uv + y z vv + y z u samt z yy y z y enligt y x yz u x y z v enligt produktregeln för derivering x z u + x y y z u + x y z v x y yz v enligt med z utbytt mot z u repektive z v x z u + x y x y u z u x y vz u + x y z v x y x y u z v x y vz v x z u + 4x 4 y z uu x y z uv + x y z v x y z vu + x y 4 z vv ty z vu z uv eftersom z C 5

Vi får alltså att 4x 4 y z uu 4x y z uv + x y 4 z vv + x z u + x y z v 4 x z xx y z yy + xz x enligt, och 4 8x yz uv + 4x y z u eftersom x y x y x y uv och x y u 8uvz uv + 4uz u, som är det givna differentialuttrycket uttryckt i u och v. Området x >, y > övergår genom avbildningen u x y, v x y för den givna differentialekvationen att i området u >, v >, och vi får x z xx y z yy + xz x, x >, y > 8uvz uv + 4uz u, u >, v > z uv + v z u 8 u v, u >, v > v z u + v z u 8 u v, u >, v > 5 Ekvationen 5 är för varje fixt u en första ordningens differentialekvation i v och kan lösas med metoden med integrerande faktor. v dv ln v + godtycklig funktion av u eftersom v > i vårt område ln v ln v/. En integrerande faktor till 5 är alltså e ln v/ v /. Multiplikation av 5 med v / ger Integration med avseende på v ger sedan v / v z u + v / z u 8 u v /, u >, v > Integration med avseende på u ger till slut sedan v v / z u 8 u v /, u >, v >. v / z u 4 u v / + ωu, u >, v > z u 4 u + v / ωu, u >, v >. z 4 ln u + v / ϕu + ψv, u >, v >, där ϕ ω. Eftersom z C på u >, v > så måste ϕ, ψ C R +, för övrigt är ϕ, ψ godtyckliga. Går vi tillbaka till de ursprungliga variablerna x, y har vi alltså visat att lösningarna z C till givna differentialekvationen x z xx y z xy + xz x, x >, y > är funktionerna där ϕ, ψ C R + är godtyckliga. x z ln x + ln y + y/ x / ϕx y +ψ, x >, y > y 6

. Stationära punkter. f x, y 8xx y, f x, y 4y x. Vi har alltså att f x, y f x, y { xx y y x. Första ekvationen ovan är uppfylld då x och då y x. Insättning av x i andra ekvationen ovan ger y med enda lösningen y. Insättning av y x i andra ekvationen ovan ger x 6 x x x 4 som har de reella lösningarna x, x och x. Av y x fås att motsvarande y-värden är y, y och y respektive. e stationära punkterna till f är således punkterna,,, och,. e stationära punkternas karaktär. f x, y 8x y, f x, y 8x, f x, y y. Qh, k f h + f hk + f k. I den stationära punkten, är Qh, k för alla h, k så ingen säker slutsats kan dras från Qh, k om karaktären av den stationära punkten,. Eftersom f är en så enkel funktion är det dock lätt att direkt se vad som gäller i,. Till exempel så är ft, t t 4 4t t t 4, varav följer att ft, t < f, för alla t ], 4 [ och att ft, t > f, för alla t <. Funktionen f har således varken lokalt maximum eller lokalt minimum i,, och följaktligen har f en sadelpunkt i punkten,. I den stationära punkten, är Qh, k 6h 6hk+k 44h 4hk+k 4 h k + k, varav följer att Qh, k för alla h, k samt att Qh, k h k k h k, och alltså har vi att Qh, k > för alla h, k,. Funktionen fx, y har således ett strängt lokalt minimum i punkten,. I den stationära punkten, är Qh, k 6h +6hk+k 44h +4hk+k 4 h + k + k, varav följer att Qh, k för alla h, k samt att Qh, k h + k k h k, och alltså har vi att Qh, k > för alla h, k,. Funktionen fx, y har således ett strängt lokalt minimum i punkten,.. Stationära punkter f x, y 8x x 4 y 4 e 8x 4y f x, y 4 y x 4 y 4 e 8x 4y. Vi får att f x, y f x, y { x x 4 y 4 y x 4 y 4, som ger y x, dvs y x, och detta insatt i någon av ekvationerna ovan ger sedan att x 4 x, en ekvation med lösningarna x och x. Lösningarna till ekvationssystemet ovan är alltså x, y, och x, y,. Funktionen f har alltså de båda stationära punkterna, och,. e stationära punkternas karaktär f x, y 86x 4 6x + x 8y 4 e 8x 4y f x, y x 4 x y 4 + y e 8x 4y f x, y 48x 4 4y 4 + 8y y e 8x 4y Qh, k f h + f hk + f k Punkten, : Qh, k 4h 64hk 8k e 4 4e 4 h + 8 5 hk + 7 k 4e 4 h + 4 5 k + 5 k, vilket visar att Qh, k för alla h, k och att Qh, k h + 4 5k k h k, dvs 7

Qh, k < för alla h, k,. Funktionen f har alltså ett strängt lokalt maximum i,. Punkten, : I denna punkt är f f f och det går alltså inte att använda Q för att avgöra karaktären hos den stationära punkten,. et är dock inte svårt att se vad som gäller i,. Vi ser att fx, x 4 e 8x > för alla x, samt att f, y y 4 e 4y < för alla y, och alltså har f varken lokalt maximum eller minimum i,, dvs f har en sadelpunkt i,.. Sätt gx, y x + xy + 8y. e stationära punkterna till fx, y under bivillkoret att gx, y är de punkter x, y där fx, y och gx, y är linjärt beroende. erivering ger fx, y y, x och gx, y x + y, x + 8y. Enligt teorin för determinanter är två vektorer i R linjärt beroende om och endast om deras determinant är. et följer att fx, y och gx, y är linjärt beroende y x x + y x + 8y xy + 8y x + xy x 8y x y. Insättning av x y i gx, y ger 8y + y, en ekvation som uppenbarligen löses av y. ivision av 8y + y med y ger kvoten 8y + y +, ett polynom som saknar reella nollställen. Lösningen y är alltså den enda reella lösnigen till ekvationen 8y + y. Av y fås x y en erhållna punkten, är alltså den enda punkt där fx, y och gx, y är linjärt beroende. en enda stationära punkten är således,.. Gör variabelsubstitutionen u x y, v x y. Området övergår då i området π/ u π, π/ v π. Multipliceras sambanden i fås att x uv, x u / v /. et ger sedan att y u / v /. Vidare får vi att och att dx, y du, v x u y u x v y v x u / y v / u / v 4/ u / v / u / v / u/ v / u / v / u/ v 5/ u / v 4/. Formeln för variabelsubstitution i dubbelintegral och fortsatt räkning ger sedan att x x y sin y + x dx dy u / v 4/ sinu + v y π/ u π u / v 4/ du dv π/ v π sinu + v du dv π π sinu + v dv du π/ u π π/ π/ π/ v π π [ ] vπ cosu + v du π vπ/ cosu + π/ cosu + π du π/ π/ [ sinu + π/ sinu + π ] π π/. 8

4. Olikheten x < y < x, som gäller i, medför x > x, dvs x >. Även y > i ty y > x > i. Eftersom x > i området, kan skrivas < y x <, < y x <. Vi försöker med variabelsubstitutionen u y x, v y x. Området övergår då i området < u <, < v <, och vidare gäller att x u v, y u v. Substitutionens funktionaldeterminant x x dx, y du, v u v u v u v y y u v u v u 4 v. u v Formeln för variabelsubstitution i dubbelintegral och fortsatt räkning ger sedan x dx dy + y u 6 v 6 + u v 6 u 4 v du dv [ ln + u /<u< <v< ] / /<u< <v< u + u v du dv [ ] v / ln ln 9 8 u + u du v dv 4 ln 4. 5. Vi har att R + x + y dx dy gör variabelsubstitutionen u x, v y x u, y v, dx, y substitutionens funktionaldeterminant du, v. du dv R + u + v R + u + v du dv inför polära koordinater u r cos θ, v r sin θ. lim T r< θ<π + r rdrdθ π r + r dr lim T r + r dr, där enkelintegralen här är generaliserad enbart genom att den övre integrationsgränsen är. Men T [ ] T. + r en givna dubbelintegralen är således konvergent och har värdet π. 6. Vi fösöker med variabelsubstitutionen u x 4 y, v xy 4. Området övergår då i området u >, v >. Av u x 4 y fås y x 4 u, som insatt i v xy 4 ger v x 5 u 4, varav följer att x u 4/5 v /5. Insättning av x u 4/5 v /5 i y x 4 u ger sedan att y u /5 v 4/5. en valda variabelsubstitutionen har alltså den entydiga inversen x u 4/5 v /5, y u /5 v 4/5 och ger således en bijektionen av på området u >, v >. Substitutionens funktionaldeterminant dx, y du, v x u y u x v y v 4 5 u /5 v /5 5 u4/5 v 6/5 5 u 6/5 v 4/5 4 5 u /5 v /5 9 5 u 4/5 v 4/5.

Angiven variabelsubstitution ger därför enligt formeln för variabelsubstitution i dubbelintegral att x + y 4 dx dy u 4/5 v /5 + u /5 v 4/5 4 5 u 4/5 v 4/5 du dv u> v> 5 u> v> du dv. u + v 4 Betrakta nu den itererade enkelintegralen u + v 4 du dv, den ena av de båda itererade enkelintegraler som hör till sista dubbelintegralen i. en inre enkelintegralen i är generaliserad genom att övre integrationsfränsen är. Vi har att T [ u + v 4 du u + v ] ut u en inre integralen i är således konvergent och har värdet ger enkelintegralen + v T + v, som + v då T för varje v >. +v som är generaliserad genom att övre integrationsgränsen är. Vi har att T + v dv [ + v ] vt v 6 för varje v >. etta insatt i dv, + v 4 + T, som 4 då T. en generaliserade enkelintegralen är således konvergent och har värdet 4, dvs den itererade enkelintegralen är konvergent och har värdet 4. Eftersom integranden är positiv gäller detsamma motsvarande dubbelintegral, dvs den sista dubbelintegralen i är konvergent och har värdet 4. Följaktligen är även den första dubbelintegralen i konvergent och har värdet 5 4, dvs x + y 4 dx dy 6. 7. Låt beteckna det givna området x + y + z, z x + y, låt γ vara skärningskurvan mellan planet x + y + z och paraboloiden z x + y, låt Γ vara projektionen av γ på xy-planet och låt E vara området innanför Γ i xy-planet. å gäller rita figur att givna området är området bestående av alla x, y, z sådana att x, y E och x + y z x y. Sambandet z x y från planets ekvation insatt i paraboloidens ekvation ger att x y x + y, vilket kan skrivas x + + y + och z x y. Kurvan Γ är alltså kurvan x + + y + området x + + y + vol E. Kurvan γ består alltså av alla x, y, z sådana att x + + y + i xy-planet, och E är alltså i xy-planet. Vi får att dx dy dz E x y x +y x y x y dx dy E [z ] z x y dz dx dy dx dy zx +y E x + y + dx dy

gör substitutionen u x +, v y +, dvs x u, y v, u +v substitutionens funktionaldeterminant dx, y du, v. u v du dv u +v u v du dv inför polära koordinater u r cos θ, v r sin θ r θ π r r dr dθ π r r dr [ π 4 r ] 4 r4 9π 8. 9. Sökt volym är volymen av området Ω, där Ω är området x + y + z, x z x + x +y +z, z x. Vi använder att vol Ω dxdydz och gör variabelsubsttutionen Ω u x, v y, w z x x u, y v, z u + w. Substitutionens funktionaldeterminant dx,y,z du,v,w som en enkel räkning visar, och x, y, z Ω övergår i u, v, w Ω där Ω är området u +v +u+w, w u uw+v +w, w u w +v +w, w. Vi får att vol Ω dxdydz dudvdw 4 Ω Ω dudvdw dudv dw. Ω u w +v +w I dubbelintegralen ovan gör vi för varje fixt w substitutionen s u w, t v u s + w, v t. Substitutionens funktionaldeterminant du,v ds,t, och u w + v + w övergår i s + t + w. et följer att dudv dsdt dsdt 5 u w +v +w s +t +w s +t +w Av 4 och 5 får vi att area s + t + w π + w π + w. vol Ω π + w dw π [ w + ] w 5 π. 6 4. Vi har att x dxdydz Gör variabelsubstitutionen u z, v y, w x x w, y v, z u, substitutionens funktionaldeterminant är dx, y, z du, v, w.

w dudvdw w dudvdw u +v +w u +v +w Rymdpolära koordinater u r sin θ cos ϕ, v r sin θ sin ϕ, w r cos θ införs. r θ π ϕ<π r cos θ r sin θ drdθdϕ r 4 dr [ 5 r5 ] π [ ] π cos θ π 6π 5. cos θ sin θ dθ Anmärkning: en avslutande trippelintegralen kan också beräknas genom att enbart använda vanliga polära koordinater. Se lösningen av uppgift, där en likartad trippelintegral beräknas på detta sätt. 4. Vi har att rita figur π x + y + z dx dy dz x + y + z dx dy dz x +y z π inför polära koordinater x r cos θ, y r sin θ r z θ<π r + z r dr dθ dz π [ r + z ] / z dz π z r + z r dr dz z dz π. 6 dϕ 4. Vi bestämmer först skärningen mellan de båda ytorna z 7 x y och x + y + z 9. Sambandet x + y 7 z från den ena ytans ekvation ger insatt i den andra ytans ekvation att 7 z + z 9, en andragradsekvation med lösningarna z och z. Skärningen mellan ytorna är alltså dels kurvan bestående av alla x, y, z sådana att z och x + y 5 samt dels kurvan bestående av alla x, y, z sådana att z och x + y 8. Området kan därför delas upp i följande delområden rita figur: bestående av alla x, y, z sådana att z < och x + y 9 z, bestående av alla x, y, z sådana att z < och x + y 7 z, bestående av alla x, y, z sådana att z och x + y 9 z. Vi får att z dx dy dz z dx dy dz + z dx dy dz + z dx dy dz z dx dy dz + z dx dy dz+ x +y 9 z x +y 7 z + z dx dy dz eftersom x +y 9 z A dx dy areaa

π zπ9 z dz + zπ7 z dz + 9z z dz + π 7z z dz + π zπ9 z dz 9z z dz 9π 4. Anmärkning: Området kan också delas upp i följande delområden: E bestående av alla x, y, z sådana att 5 x + y 8 och 9 x y z 7 x y, E bestående av alla x, y, z sådana att x + y < 5 och 9 x y z 9 x y. Använder vi den uppdelningen får vi istället att z dx dy dz z dx dy dz + E z dx dy dz E 5 x +y 8 5 x +y 8 5 r 8 θ π 7 x y 9 x y z dz dx dy + z dz dx dy 9 x y x +y <5 9 x y [ z ] 7 x y 9 x y 5 x +y 8 [ ] 9 x y dx dy + x +y <5 z dx dy 9 x y 7 x y 9 + x + y dx dy + inför polära koordinater x r cos θ, y r sin θ 7 r 9 + r r dr dθ π 8 5 r7 r 9r + r dr 9π 4. 4. Vi bestämmer först skärningen mellan de båda ytorna z x + y och x + y + z. Sambandet z x + y från första ytans ekvation ger insatt i den andra ytans ekvation att x +y +x +y, dvs x +4y 4. Skärningen mellan ytorna är alltså dels kurvan bestående av alla x, y, z sådana att x + 4y 4 och z x + y samt dels kurvan bestående av alla x, y, z sådana att x +4y 4 och z x + y. Området kan därför delas upp i följande delområden rita figur: bestående av alla x, y, z sådana att x + y < och z x y, bestående av alla x, y, z sådana att x, y E och x + y z x y, där E är området i xy-planet mellan de båda kurvorna x + y och x + 4y 4. Vi får att z dx dy dz z dx dy dz + z dx dy dz x y x y z dx dx dy + E z dx x +y dx dy x +y < x +y < [ z ] z x y z x +y < x y dx dy + [ ] z x y dx dy + E z dx dy z x +y 4 x 4y dx dy E

Eftersom E är området mellan de båda kurvorna x + y och x + 4y 4, och kurvan x + y helt och hållet ligger innanför kurvan x + 4y 4. x x +y < y dx dy + 4 x 4y dx dy x +4y 4 4 x 4y dx dy x +y < x +y <x + y dx dy + 4 x 4y dx dy x +4y 4 Gör substitutionen u x, v y, dvs x u, y v i den första integralen. Substitutionens funktionaldeterminant dx, y du, v. 6 Gör substitutionen u x, v y, dvs x u, y v i den andra integralen. Substitutionens funktionaldeterminant dx, y du, v. u + v du dv + 6 u +v < 4 4 u v du dv u +v 4 Övergå till polära koordinater i båda integralerna. r r dr dθ + 6 r 4 θ π r θ π 4 r r dr dθ π r r dr + π 6 4r r dr π [ 6 4 r4 ] r + π [ r ] 4 r4 π 4 6 6. 44 Låt γ vara skärningskurvan mellan planet z + x och konen z x + y. Insättning av z + x i z x + y ger + x x + y, vilket efter kvadrering kan skrivas 4 x 4 +y 4. Kurvan γ består alltså av alla x.y, z sådana att 4 x 4 +y 4 och z + x. Projektionen av kurvan γ på xy-planet är således kurvan 4 x +y 4 4 i xy-planet. Låt E vara området 4 x +y 4 4 i xy-planet. å gäller rita figur att givna området är området bestående av alla x, y, z sådana att x, y E och x + y z + x. Använder vi denna beskrivning av får vi att + x [ ] z+ x z dx dy dz z dz dx dy E x +y E z dx dy z x +y och att E x x + y dx dy 4 E x y dx dy 4 4 z dx dy dz E + x [ ] z+ x z dz dx dy x +y E z dx dy z x +y 4

E x x + y / dx dy en erhållna dubbelintegralen på slutet för den första trippelintegralen ovan kan sedan enkelt beräknas genom att först göra variabelsubstitutionen u x 4, v y, och sedan använda polära koordinater. en erhållna dubbelintegralen på slutet för den andra trippelintegralen ovan kan dock inte enkel beräknas. Båda trippelintegralerna ovan ska dock beräknas och vi gör istället på följande sätt. Med hjälp av en linjär variabelsubstitution inför vi nya koordinater som överför planet z + x till ett plan parallellt med ett koordinatplan i de nya koordinaterna. Sedan beräknar vi de båda trippelintegralerna i de nya koordinaterna genom att genom att snitta integrationskroppen med plan parallella med detta koordinatplanet. Mera precist gör vi såhär. Vi gör varibelsubstitutionen u x, v y, w z x x u, y v, z u + w. Variabelsubstitutionen överför planet z + x till planet w. Insättning av x u, y v, z u + w i z x + y ger u + w u + v, vilket efter kvadrering kan skrivas 4 u w + v 4 w. Planet z x, planet w i de nya koordinaterna, går genom punkten x, y, z,,, spetsen på konytan z x + y. Med den använda variabelsubstitutionen avbildas således området i xyz-rummet på området i uvw-rummet där är området 4 u w + v 4 w, w. en använda variabelsubstitutionens funktionaldeterminant är som en enkel räkning visar. Vi får att dx,y,z du,v,w och att z dx dy dz 4u w +v 4 w z dx dy dz 4u w +v 4 w u + w du dv dw u + w du dv dw u + w du dv dw u + w du dv dw. I de båda inre dubbelintegralerna ovan gör vi för varje fixt w substitutionen s u w, t v u s + du,v w, v t. Substitutionens funktionaldeterminant ds,t, och 4 u w + v 4 w övergår i s + t 4 w. et följer att och att 4u w +v 4 w u + w du dv s +t 4 w s +t 4 w s + w + w ds dt s + 4 w ds dt Eftersom s är udda i s och området s + t 4 w är symmetriskt kring s. 4 8 w ds dt s +t 4 w ds dt w s +t 4 w 8 s w area + t 4 w 8 w π 4 w π 9 w 4u w +v 4 w u + w du dv s + s +t 4 w + w ds dt w 5

etta visar att och att s +t 4 w s + 4 w ds dt s + 8 ws + 6 s +t 4 w ds dt w Eftersom s är udda i s och området s + t 4 w är symmetriskt kring s. s + 6 w ds dt s +t 4 w Eftersom området s + t 4 w är symmetriskt i s och t. s +t 4 s + t + 6 w ds dt w Inför polära koordinater s r cos θ, t r sin θ. r w r + 6 w r dr dθ θ<π 4π w 4π [ 8 r4 + 8 ] w w r 6π 7 w4. z dx dy dz z dx dy dz π 9 w dw 8π 9 6π 7 w4 dw 6π 5. r + 6 w r dr 6