Differentialformer och lite vektoranalys

Analys 360 En webbaserad analyskurs Analys på mångfalder Differentialformer och lite vektoranalys Anders Källén MatematikCentrum LTH anderskallen@gmail.com

Differentialformer och lite vektoranalys 1 (15) 1 Introduktion Att räkna med differentialformer är ett alternativ till den mer klassiska vektoranalysen som är, sedan man väl satt grunderna, enklare och mer flexibelt. Styrkan med det är att man arbetar oberoende av koordinater, eller snarare, att man på ett enkelt sätt kan välja vilka koordinater man vill arbeta i. Det gör att de är naturliga objekt på olika mångfalder, och som sådana också de naturliga objekten att integrera på sådana. I detta kapitel ska vi inte integrera differentialformer utan endast införa dem och visa på deras grundläggande räknelagar. Med hjälp av dem får man tydliga algoritmer för hur t.ex. derivation går till. Vi följer upp denna diskussion med att koppla ihop det med derivation i vektoranalysen. 2 Kilprodukten och k-former En reellvärd funktion f på R n sägs vara differentierbar i punkten x om det gäller att f(x + h) f(x) = n A i (x, h)h i i=1 där h A i (x, h) är en funktioner som är kontinuerliga i h = 0. Vi kallar A k (x, 0) = i f(x) för den partiella derivatan av f med avseende på x i. Funktionen df(x) : v n 1 if(x)v i är en linjär funktion i v för fixt x och kallas differentialen av f. För funktionen x x i gäller att dess differential blir avbildningen v v i, d.v.s. dx i (v) = v i, vilket betyder att differentialen kan skrivas df(x)[v] = n i=1 if(x)dx i (v), och utelämnar vi v från beteckningen får vi att n df(x) = i f(x)dx i. i Detta är alltså en beskrivning av den linjära funktionen df(x) som en linjärkombination av de linjära funktionerna dx 1,..., dx n. Allmänt kan en linjär avbildning α : R n R skrivas på formen α(v) = n 1 a iv i, vilket vi därför kan skriva som α = n 1 a idx i. Om koefficienterna a i beror av x får vi vad vi kallar 1-former på R n : n α(x) = a i (x)dx i. 1 Om vi för fixt x ska beräkna denna i en vektor v R n skriver vi, som ovan, α(x)[v] (istället för det kanske mer naturliga α(x, v)). Uttrycket är linjärt i argument som omges av hakparanteser. Anmärkning För fixt x är α en linjär avbildning R n R som beräknas genom α(x)[v] = n a i (x)v i = A(x)v, i=1 där v är kolonnmatrisen v = (v 1,..., v n ) och A(x) radmatrisen (a 1 (x),..., a n (x)). Den senare är alltså 1-formens avbildningsmatris och kan uppfattas som en vektor i R n.

Differentialformer och lite vektoranalys 2 (15) Anmärkning Vi kan också se det som att α(x)[v] = A(x) v, där A(x) och v är vektorer, och multiplikationen är skalärprodukten i R n. Vi ser då att till varje 1-form α i R n hör ett vektorfält A(x), alltså en funktion R n R n. Och, omvänt, till varje vektorfält finns en 1-form. Det vektorfält som hör till 1-formen α betecknas ibland α, medan den 1-form som hör till vektorfältet A(x) på motsvarande sätt betecknas A. I sin förlängning kan vi tänka på dx = (dx 1,..., dx n ) som en vektorvärd 1-form. När den beräknas i en vektor får vi dx[v] = (dx 1 [v],..., dx n [v]) = (v 1,..., v n ) = v. Den är alltså inget annat än identitetsavbildningen. Med hjälp av den kan vi skriva α = α dx. Speciellt får vi att df(x) = grad f(x) dx, eftersom grad f(x) = df (x). Eller, om vi vill, df(x) = (grad f) (x). Den sista anmärkningen ovan leder naturligt till den viktigaste fysikaliska tolkningen av 1-former: som kraftfält. Normalt beskriver vi ett kraftfält i R n som ett vektorfält u(x). Det man gör i ett kraftfält är att se efter hur mycket arbete som går åt när man förflyttar en partikel (som påverkas av det) i fältet. Då beräknar man först kraften i rörelsens riktning, vilket görs genom att man tar en riktningsvektor v med längden ett och bildar skalärprodukten u(x) v. Men detta definierar en 1-form, så det är mer naturligt att från början definiera ett kraftfält som en 1-form α sådan att α(x)[v] betecknar hur stor kraften är i punkten x i riktningen v (om dess längd är ett). Anmärkning Vi kan också notera att f(x + tv) f(x) df(x)[v] = lim, t 0 t så om v har längden ett så kan vi tolka df(x)[v] som lutningen i riktningen v för tangentrummet till grafen till f i punkten x. Det som ofta kallas riktningsderivatan av f. I resten av detta avsnitt ska vi huvudsakligen diskutera egenskaper hos 1-former som bara har med argumentet v att göra, och inte i vilken punkt x den linjära avbildningen beräknas. När så sker utelämnar vi därför oftast x från beteckningen. Vi börjar med att införa kilprodukten av två 1-former genom (α β)(u, v) = α(u) α(v) β(u) β(v). Eftersom determinanten byter tecken när vi byter två rader ser vi att (β α)(u, v) = (α β)(u, v), vilket speciellt medför att (α α)(u, v) = 0 för alla u, v. Speciellt ser vi att vi härigenom definierar innebörden av dx i dx j som blir en funktion av två variabler u, v R n : (dx i dx j )(u, v) = u i v j u j v i,

Differentialformer och lite vektoranalys 3 (15) sådana att dx i dx i = 0 och dx i dx j = dx j dx i om i j. Det betyder att vi endast har de ( n 2) storheterna dxi dx j, i < j som är olika. Ett uttryck på formen ω = i<j a ij dx i dx j kallas en 2-form. Exempel 1 I planet, där vi ofta använder variablerna x och y betyder det att alla 2- former kan skrivas ω(x, y) = f(x, y)dx dy för någon reellvärd funktion f. I rummet, där vi använder variabler x, y, z, betyder det att alla 2-former kan skrivas ω = f 1 (x, y, z)dx dy + f 2 (x, y, z)dx dz + f 3 (x, y, z)dy dz, för tre reellvärda funktioner f 1, f 2, f 3. Ofta vill man emellertid skriva detta ω = f x (x, y, z)dy dz + f y (x, y, z)dz dx + f z (x, y, z)dx dy. Anledningen till det är att vi här har cykliska permutationer av (x, y, z) i uttrycken. Vissa formler blir enklare då. Anmärkning För fixt x R n är en 2-form en funktion av två vektorer u, v R n ω(x)[u, v] = i<j a ij (x)(u i v j u j v i ) Den är linjär i varje argument, d.v.s u ω[u, v] är en 1-form för varje fixt v och v ω[u, v] är en 1-form för varje fixt u. En sådan funktion sägs vara bilinjär. Från uttrycket ser vi också att om vi byter u och v så byter ω tecken, dvs en 2-form är skevsymmetrisk: ω[u, v] = ω[v, u]. Vi kan därför alternativt karakterisera 2-former ω(x) som att de för fixt x ska vara skevsymmetriska bilinjärformer Exempel 2 Det finns många fysikaliska storheter som naturligt tolkas som 2-former. För att ta en, betrakta en stationär gas eller vätska. För att mäta hur den flödar, eller strömmar, igenom en punkt x, är det naturligt att stoppa in en liten genomsläpplig membranplatta med ett hörn i x och mäta hur många partiklar som passerar vinkelrätt igenom membranet per tidsenhet. Det svar vi får beror dock av hur plattan är vinklad i rummet. Om plattan spänns upp av vektorerna u och v så blir därför flödet i punkten en bilinjär funktion ω(u, v). Dessutom gäller att ω[v, u] = ω[u, v] av följande skäl. Den platta som spänns upp av u, v har två sidor. När vi mäter ω[u, v] så mäter vi strömmen av partiklar från ena sidan till andra sidan, när vi mäter ω[v, u] mäter vi strömmen i motsatt riktning, och den är lika stor, fast med motsatt tecken. Det betyder att vi ska uppfatta flödet som en 2-form i (en del av) R n. Naturligtvis fungerar inte detta om vi inte har en väldigt liten platta, eller flödet är konstant i det område vi stoppar in plattan i. Men vi har att ω(x)[u, v] = ɛ 2 ω(x)[ɛu, ɛv]

Differentialformer och lite vektoranalys 4 (15) och låter vi här ɛ 0 får vi en tolkning av ω(x)[u, v] som flödet genom en infinitesimal platta. Och den blir en storhet som mäts i per area-enhet. Inom fysiken tänker man ofta på ett sådant flöde som en vektor, och vi har ju sett ovan att vi kan skriva ω = u 3 dx 1 dx 2 + u 2 dx 3 dx 1 + u 1 dx 2 dx 3, så det finns ett tillhörande vektorfält u = (u 1, u 2, u 3 ). Notera dock indexordningen, som är samma som i föregående exempel. Åter till kilprodukten. Asvbildningen (α, β) α β är linjär i varje argument, vilket betyder att α β = ( i a i dx i ) ( j b j dx j ) = i,j a i b j dx i dx j = i<j (a i b j a j b i )dx i dx j. Exempel 3 I rummet kan vi identifiera en 1-form α = adx + bdy + cdz med vektorn (a, b, c) R 3. Om vi multiplicerar två 1-former får vi en 2-form: (adx + bdy + cdz) (edx + fdy + gdz) = (bg cf)dy dz + (ce ag)dz dx + (ae bf)dx dy. Med konventionen från ovan svarar denna mot vektorn (bg cf, ce ag, ae bf), vilken vi känner igen som vektorprodukten (a, b, c) (e, f, g) i R 3. Detta fungerar bara i tre dimensioner! Identifikationen har uppkommit genom att vi kan identifiera både 1-former och 2-former i tre variabler med vektorer i rummet. Vi ska se på en generalisering av detta (Hodges stjärnavbildning) längre fram i detta kapitel. Anmärkning I den linjära algebran lär man sig att vektorprodukten av två vektorer är en vektor. Men lite konstig är den, ty om t.ex. de ursprungliga vektorerna mäts i meter, så får vektorprodukten enheten m 2. Vi kan generalisera kilprodukten så att vi definierar produkter av fler än två 1-former genom α 1 (v 1 )... α 1 (v k ) (α 1... α k )(v 1,..., v k ) =... α k (v 1 )... α k (v k ) Ur determinantens egenskaper ser vi då att om vi permuterar två av 1-formerna så ändrar produkten tecken och speciellt ser vi att om två av dem är lika, så är produkten noll. Härigenom definierar vi produkter av dx i, och för att korta våra formler inför vi en kompakt, men kraftfull, beteckning. Om I = (i 1,..., i k ) är ett multindex sådant att 1 i 1 <... < i k n sätter vi dx I = dx i1 dx i2... dx ik. Vi inför också beteckningen I för antalet element i I (alltså k). En k-form är nu ett uttryck på formen ω = a I (x)dx I I =k

Differentialformer och lite vektoranalys 5 (15) där a I är reellvärda funktioner. För fixt x är α(x) en funktion av k variabler v 1,..., v k som är linjär i varje argument och sådan att om vi permuterar två v i :n så ändrar uttrycket tecken. Antalet olika sådana former dx I är ( n k), eftersom det handlar om att välja ut k variabler från n stycken utan att bry sig om ordningen. Exempel 4 Av speciellt intresse är att n-former alla har formen f(x)σ där f är en reellvärd funktion och σ = dx 1 dx 2... dx n. Varje n-form svarar alltså entydigt mot en reellvärd funktion på R n. Vi kan nu definiera kilprodukten ω η mellan en k-form ω och en l-form η genom att kräva att den är linjär i varje argument. Vi ser då att ω η = ( a I b J dx I dx J, I =k a I dx I ) ( J =l b J dx J ) = I,J så resultatet är en k + l-form. Den viktiga räkneregeln är att ω η = ( 1) kl η ω, så formerna kommuterar om ett av k, l är jämnt, medan de antikommuterar (d.v.s. det gäller att ω η = η ω) om både k och l är udda. Exempel 5 Låt a = (a 1, a 2, a 3 ) och b = (b 1, b 2, b 3 ) vara två vektorer i rummet och definiera 1- respektive 2-formen α = a 1 dx + a 2 dy + a 3 dz, β = b 1 dy dz + b 2 dz dx + b 3 dx dy. Då gäller att α β = (a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 )dx dy dz = (a b)σ, vilket visar hur kilprodukten och skalärprodukten av två vektorer i rummet är relaterad. Vi ska snart se hela sambandet när vi diskuterar Hodges stjärnoperator. En annan viktig observation är att om α är en 1-form och ω en k-form, så gäller att k+1 (α ω)(v 1,..., v k+1 ) = ( 1) i 1 α(v i )ω(v i ), där v i betyder att v i inte ingår i bland argumenten 1. Om ω är en produkt av 1-former svarar detta mot formeln för determinantberäkning genom utveckling efter första raden. Nästa exempel illustrerar hur vi räknar med kilprodukten. Exempel 6 I planet ges polära koordinater av i=1 x = r cos φ, y = r sin φ vars differentialer ges av dx = cos φ dr r sin φ dφ, dy = sin φ dr + r cos φ dφ.

Differentialformer och lite vektoranalys 6 (15) Det följer att dx dy = (cos φ dr r sin φ dφ) (sin φ dr + r cos φ dφ) = rdr dφ. Vi kan också notera att vi kan lösa ut dr, dθ ur det linjära ekvationssystemet ovan till rdr = xdx + ydy, r 2 dθ = ydx + xdy. Om vi istället tar rymdpolära koordinater x = r sin θ cos φ, y = r sin θ sin φ, z = r cos θ så ger motsvarande räkningar att dx dy dz = r 2 sin θ dr dθ dφ. 3 Differentialen av differentialformer Vi har sett hur man definierar differentialen df(x) av en reellvärd funktion f. Vi ska nu utvidga den definitionen så att vi får en differential av godtyckliga k-former ω = I u Idx I. Detta gör vi genom formeln dω = du I dx I. I Denna operation har många egenskaper som gör den behändig att arbeta med. I detta avsnitt tar vi de mest grundläggande, medan vi i nästa avsnitt diskuterar det som är dess viktigaste egenskap: differentialens invarians. Anmärkning Att räkna med differentialformer kallas ofta yttre differentialkalkyl, och differentialen ovan kallas då den yttre differentialen. Vi använder ibland den termen när vi vill poängtera att det vi räknar med är en differentialoperator på differentialformer. Det första vi ser ur definitionen är att d(dx i ) = 0 eftersom d(dx i ) = d(1) dx i = 0 dx i = 0. Eftersom d(fω) = I d(fu I ) dx I = I (u I df + fdu I ) dx I = df ( I u I dx I ) + f I u I dx I. ser vi direkt ur detta att vi har följande variant av Leibniz formel: d(fω) = df ω + fdω. Följande exempel gör vissa kopplingar till vektoranalysen. Exempel 7 För en 1-form ω = i u i(x)dx i får vi dω = i du i dx i = i,j j u i dx j dx i = i<j ( i u j j u i )dx i dx j.

Differentialformer och lite vektoranalys 7 (15) I två dimensioner står här att dω = ( 1 u 2 2 u 1 )dx 1 dx 2, där vi känner igen funktionen i högerledet som integranden i Greens formel. I tre dimensioner står här dω = ( 2 u 3 3 u 2 )dx 2 dx 3 + ( 3 u 1 1 u 3 )dx 1 dx 3 + ( 1 u 2 2 u 1 )dx 1 dx 2, och om vi inför den vektorvärda 2-formen ds = (dx 2 dx 3, dx 3 dx 1, dx 1 dx 2 ) och den s.k. rotationen av vektorfältet u = (u 1, u 2, u 3 ), som definieras av så kan vi skriva rot(u) = ( 2 u 3 3 u 2, 3 u 1 1 u 3, 1 u 2 2 u 1 ) dω = rot(u) ds. Naturligtvis, om u 3 = 0 så vi har att ω saknar dx 3 -del (alternativt, om vi har ett vektorfält i planet), så blir detta formeln ovan. Ett annat tre-dimensionellt exempel är som följer. Betrakta 2-formen Eftersom ω = u 3 dx 1 dx 2 + u 2 dx 3 dx 1 + u 1 dx 2 dx 3. d(u 3 dx 1 dx 2 ) = du 3 dx 1 dx 2 = 3 u 3 dx 3 dx 1 dx 2 = 3 u 3 dx 1 dx 2 dx 3 och motsvarande för de andra, ser vi att dω = ( 1 u 1 + 2 u 2 + 3 u 3 )dx 1 dx 2 dx 3. Koefficienten här kallas divergensen av vektorfältet u = (u 1, u 2, u 3 ). Detta generaliseras till godtyckliga dimensioner genom att vi sätter ω = i ( 1) i 1 u i dx i, där dx i är kilprodukten av alla dx 1,..., dx n utom just dx i, så får vi att dω = i ( 1) i 1 du i dx i = i ( 1) i 1 i u i dx i dx i. Men ( 1) i 1 dx i dx i = dx 1... dx n, så om vi, som ovan, kallar denna form för σ, så vi kan skriva detta som dω = div(u)σ, där div(u) = i i u i.

Differentialformer och lite vektoranalys 8 (15) Ett annat sätt att skriva definitionen av differentialen av ω = I u Idx I är som dω = i dx i i ω, där vi med i ω menar den k-form vi får om vi tar den i:te partiella derivatan av koefficienterna i ω: i ω = i u I dx I. I Att så är fallet följer av en enkel omkastning av summationsordningen. dω = I ( j j u I dx j ) dx I = j dx j ( I j u I dx I ) = j dx j j ω. Notera att k (dx I ) = 0. Möjligen förtydligar följande exempel räkningen- Exempel 8 För gäller att ω = sin(x 2 )dx 1 + cos(x 3 )dx 2 + 2x 2 1dx 3 dω = cos(x 2 )dx 2 dx 1 sin(x 3 )dx 3 dx 2 + 4x 1 dx 1 dx 3. Omskrivningen vi gör är att vi skriver detta som dω = dx 1 (4x 1 dx 3 ) + dx 2 (cos(x 2 )dx 1 ) + dx 3 ( sin(x 3 )dx 2 ) = dx 1 1 ω + dx 2 2 ω + dx 3 3 ω. Ur denna omskrivningen är det lätt att härleda två fundamentala räkneregler för differentialen: Sats 1 För den yttre differentialen gäller följande två räkneregler a) d 2 ω = d(dω) = 0. b) Om ω 1 är en k-form gäller att d(ω 1 ω 2 ) = (dω 1 ) ω 2 + ( 1) k ω 1 (dω 2 ). Den andra formeln här är en generalisering av Leibniz formel ovan. Bevis. a) Vi har att d 2 ω är lika med dx i i ( dx k k ω) = dx i dx k ikω 2 = (dx i dx k +dx k dx i ) ikω 2 = 0. i k i,k i<k Här använde vi att de blandade andraderivatorna av en reellvärd funktion är lika. b) Notera först att Leibniz formel för funktioner ger att i (ω 1 ω 2 ) = ( i ω 1 ) ω 2 + ω 1 ( i ω 2 ) Ur det följer sedan att d(ω 1 ω 2 ) = dx i ( i ω 1 ω 2 + ω 1 i ω 2 ) = (dω 1 ) ω 2 + ( 1) k ω 1 ( i i och summan i högerledet är dω 2. dx i i ω 2 ) Med hjälp av dessa räkneregler beräknar vi lätt differentialen av differentialformer.

Differentialformer och lite vektoranalys 9 (15) 4 Differentialens invarians Vi kommer nu till den kanske viktigaste egenskapen hos den yttre differentialen. Den är en utvidgning och översättning av kedjeregeln till differentialformer. Kedjeregeln handlar om sammansättning av funktioner med en funktion så vi ska börja med att definiera samma operation för differentialformer Låt därför φ vara en funktion R m R n och låt ω(x) = I u I(x)dx I vara en k-form på R n. Om vi kallar variabeln i R m för t = (t 1,..., t m ) så definierar vi φ ω(t) = I u I (φ(t))dφ I (t). Om vi sedan uttrycket dφ k som linjärkombinationer av dt 1,..., dt m så ser vi att detta kan skrivas I a I(t)dt I (det lämnas åt den intesserade läsaren att beräkna a I ). Resultatet φ ω blir en k-form på R m och kallas tillbakadragningen av ω till R m med hjälp av φ. Exempel 9 Om vi låter ω = ydx + xdy x 2 + y 2 och definierar φ : R 2 R 2 genom φ(r, θ) = (r cos θ, r sin θ), så gäller enligt vad vi såg i Exempel 6 att φ ω = dθ. Notera att för en 0-form, alltså en reellvärd funktion, har vi här infört en ny beteckning för sammansättning: φ f(t) = f(φ(t)) = (f φ)(t). Notera också att enligt definitionen är därför (φ dx i )(t) = dφ i (t) = d(x i φ)(t)) = d(φ x i )(t), vilket är det enklaste exemplet på differentialens invarians. Följande två formler för tillbakadragningen är i allt väsentligt självklara och lämnas till läsaren att bevisa: a) φ (ω η) = φ ω φ η, b) (φ ψ) ω = ψ φ ω. Som en tillämpning av dessa formler kan vi härleda formeln för determinanten av en produkt av matriser. Exempel 10 Låt A : R n R n vara en linjär avbildning och sätt σ = dx 1... dx n. Då gäller att A σ = det A σ Ur detta får vi att d.v.s. det(ab)σ = (AB) σ = B A σ = (det A)B σ = det A det B σ. det(ab) = det A det B. Notera att eftersom rummet av n-former är 1-dimensionellt följer generellt att A ω = det A ω för n-former.

Differentialformer och lite vektoranalys 10 (15) Den kanske viktigaste egenskapen hos differentialen är att den kommuterar med tillbakadragningar, vilket är innebörden av följande sats. Sats 2 (Differentialens invarians) Om φ : R m R n är en kontinuerligt deriverbar funktion och ω är en k-form på R n, så gäller att φ dω = dφ ω. Anmärkning I ord: vi kan antingen först differentiera en differentialform och sedan göra ett koordinatbyte eller först göra koordinatbytet och sedan differentiera. Resultatet blir detsamma det är det som är differentialens invarians. Bevis. Detta följer av att d(φ ω) = i dx i i (φ ω) = i dx i k k (φ ω) i φ k = ( i k i φ k dx i ) k φ ω) = k dφ k φ k ω = φ ( k dx k k ω) = φ dω. Vi avslutar med följande observation som följer upp exemplet ovan. Exempel 11 Antag att A : R m R n, där m < n, är en injektiv linjär avbildning. Vi vill då bestämma m-formen A (dx 1... dx n ) uttryckt i variablerna t 1..., t m i R m. Låt e m+1,..., e n vara en ON-bas för det ortogonala komplementet V (A) till bilden av A. Vi kan då definiera den linjära avbildningen L : R n R n genom Lt = m n t j A j + t j e j i=1 j=m+1 för vilken vi har att L σ = det L σ. Men det L = det L t L = eftersom E t E = id, och ur det följer att det ( ) A t A 0 0 E t = det A E t A, A (dx 1... dx n ) = det A t A dt 1... dt m. Ur detta följer att om Σ = ψ(u) är ett m-dimensionellt ytstycke i R n och σ = dx 1... dx n så är ψ σ = det ψ (t) t ψ(t) dt 1... dt m. 5 Skalärprodukter av differentialformer Vi ska nu införa en skalärprodukt på k-former. Vi har redan en skalärprodukt på R n som tillåter oss att beräkna u v då u, v är vektorer. Vi kan då också definiera en skalärprodukt (.,.) på vektorrummet av linjära avbildningar på R n genom att om α och β är två sådana

Differentialformer och lite vektoranalys 11 (15) så sätter vi (α, β) = α β. Konkret betyder det att vi bestämmar att {dx i } är en ortonormerad bas för de linjära avbildningarna. Vi har ju nämligen att dx i = ɛ i är den i:te enhetsvektorn i R n. Ofta vill man inte uttrycka en differentialform i just den ortonormerade basen dx i, utan i andra koordinater. Det är då ofta lämpligt att hitta en ortonormerad bas för 1-formerna i dessa koordinater. Exempel 12 I R 2 är alltså dx, dy en ortonormerad bas. Vad gäller för dr, dφ i de polära koordinaterna givna av x = r cos φ, y = r sin φ istället? Vi har sett att rdr = xdx + ydy, r 2 dφ = xdy ydx, från vilket det följer att r 2 (dr, dr) = x 2 + y 2 = r 2, r 4 (dφ, dφ) = x 2 + y 2 = r 2, r 3 (dr, dφ) = xy xy = 0. Med andra ord: (dr, dr) = (rdφ, rdφ) = 1, (dr, rdφ) = 0. Det följer att {dr, rdφ} utgör en ortonormerad bas för 1-formerna i planet. Vi kan fortsätta detta och definiera skalärprodukter av 2-former på formen α β genom att sätta (α β, γ δ) = (α, γ) (α, δ) (β, γ) (β, δ). Man ser då att 2-formerna dx i dx j, i < j utgör en ortonormerad bas för 2-formerna. Anmärkning Att denna skalärprodukt är positivt definit, alltså är ekvivalent med Cauchy-Schwartz olikhet (α β, α β) 0, (α, β) 2 (α, α)(β, β). Vi kan sedan fortsätta processen ovan och definiera skalärprodukten av 3-former som är kilprodukten av 3 stycken 1-former som en 3 3-determinant och sedan fortsätta på samma sätt. Kontentan är att på rummet av k-former finns en skalärprodukt sådan att formerna dx I, där I är växande indexsviter av längd k, utgör en ortonormerad bas för alla k-former. 6 Hodges stjärnavbildningen Vi har tidigare sett att det finns en naturlig 1-1-relation mellan 0-former och n-former, i det att en n-form alltid kan skrivas ω = f dx 1... dx n för någon 0-form f. Vi har också sett att både 1-former och 2-former i rummet på ett naturligt sätt kan identifieras med vektorfält. Men dessa observationer är endast specialfall av en mer generell identifikation man kan göra, som definierar en avbildning som vi kallar Hodges stjärnavbildning.

Differentialformer och lite vektoranalys 12 (15) Vi vet att en bas för k-formerna består av ( n k) stycken element. Eftersom ( ) ( ) n n = n k k finns det lika många n k former som k-former i R n. För k = 0 innebär det att det finns lika många funktioner som n-former, och vi har redan sett att relationen är att varje n- form kan skrivas fσ där σ = dx 1... dx n. För k = 1 innebär det att varje 1-form svarar mot en n 1-form. Det är något vi redan observerat för n = 3 då vi identifierade både 1-formen adx+bdy +cdz och 2-formen ady dz +bdz dx+cdx dy med vektorn, (a, b, c). Vårt mål är nu att konstruera en allmän bijektion mellan k-former och n k-former på R n. Vi vet att en bas för k-former utgörs av formerna dx I där I är en växande indexsvit av längd k. Låt I c vara de index i {1,..., n} som inte ingår i den och definiera dx I som ±dx I c där tecknet väljs så att dx I dx I = σ. Härigenom definieras en avbildning som avbildar ett baselement för k-former på en n k-form av samma typ. Vi utvidgar sedan denna linjärt, så att om ω = I =k a Idx I, så ω = I =n a I( dx I ). Vi ser då att ω ω = (ω, ω)σ, där (ω, ω) = a 2 I. Ur detta får vi att om η = I =k b Idx I, så gäller att I =k ω η = (ω, η)σ, där (ω, η) = a I b I. Eftersom dx I dx I = ( 1) k(n k) dx I dx I om I = k, så ser vi att 2 dx I = ( 1) k(n k) dx I, och därför allmänt att 2 = ( 1) k(n k). Anmärkning Denna observation gör att definitionen ovan av stjärnoperatorn är ekvivalent med att ω, där ω är en k-form, är det element som är sådant att ω η = ( ω, η)σ för alla n k-former. Detta är den allmänna definitionen av Hodge s stjärnoperator i fallet när metriken inte nödvändigtvis är positivt definit. Exempel 13 I R 2 får vi att dx = dy eftersom produkten då blir σ = dx dy. Däremot gäller att dy = dx, ty dy ( dx) = dx dy. Det följer att (adx + bdy) = ady bdx. Exempel 14 För polära koordinater i planet vet vi att dr, rdφ är en ortonormerad bas och att dr (rdφ) = dx dy = σ. Per definition gäller att dr dr = (dr, dr)σ, så vi ser att dr = rdφ. Vidare, om vi byter ordning får vi relationen (rdφ) dr = dx dy, får vilket vi ser att (rdφ) = dr. Exempel 15 I R 3 ser vi på samma sätt att I =k dx = dy dz, dy = dz dx, dz = dx dy.

Differentialformer och lite vektoranalys 13 (15) Det följer att (adx + bdy + cdz) = ady dz + bdz dx + cdx dy, men också att (ady dz + bdz dx + cdx dy) = adx + bdy + cdz eftersom (dy dz) = dx, (dz dx) = dy, (dx dy) = dz. Allt kontrolleras genom att vi går tillbaka till definitionen ovan. Allmänt har vi för de euklidiska koordinaterna att dx k = ( 1) k 1 dx k, dx k = dx 1... dx k... dx n där dx k betyder att dx k inte ingår i produkten; dx k är alltså en (n 1)-form. Detta därför att dx k dx k = ( 1) k 1 dx 1... dx n. Vi vill också utvidga definitionen så att den också fungerar på 0-former, alltså funktioner. Vi har då att 1 = 1 1 = σ, men också att σ σ = σ, och alltså att σ = 1. Vi kan notera att om α, β är två k-former så gäller att (α, β) = (α β). Exempel 16 Vi vill beräkna dr i allmänt R n. Eftersom r 2 = k x2 k k x kdx k /r och alltså har vi att dr = dr = k x k r ( dx k) = k ( 1) k 1 x k r dx k. Den s.k. vinkelformen definieras av τ = dr r n 1 = k ( 1) k 1 x k x n dx k och vi ser då att för n = 2 gäller att τ = dφ medan då n = 3 vi har att τ = sin θdθ dφ.

Differentialformer och lite vektoranalys 14 (15) 7 Några formler från vektoranalysen Vi ska nu se hur räkning med differentialformer tillsammans med Hodges stjärnoperator på ett naturligt sätt skapar olika operationer som förekommer inom den klassiska vektoranalysens och vi börjar med att se hur vi beräknar divergensen av ett vektorfält u = (u 1,..., u n ). För detta inför vi 1-formen α = u dx och får då att α = u ( dx) = k ( 1) k 1 u k dx k. Tar vi differentialen av det får vi divergensen: d( α) = (div u)σ. Tar vi stjärnoperatorn en gång till får vi att div u = d( α) eftersom σ = 1. Vi ska så se närmare på några operationer i R 3. Vi börjar med att notera att vi från ovan vet att α β = (α β), där vi i vänsterledet menar vektorprodukten av motsvarande vektorfält, omskrivet till en 1-form 2. Detta fungerar bara i rummet, i annat fall är högerledet inte en 1-form. Vidare har vi att dx = ds = (dx 2 dx 3, dx 3 dx 1, dx 1 dx 2 ). Med α = u dx = i u idx i har vi att dα = rot(u) ds och därför att dα = rot(u) dx. Med andra ord, rotationen av ett vektorfält svarar mot operationen d på motsvarande 1-form. Vi ska nu se vad räknereglerna för d svarar mot i vektoranalysen. Vi kan börjar med att konstatera att om f är en funktion, är rot(grad f) = d 2 f = 0, div(rot u) = d( ( dα)) = d 2 α = 0. Vidare, med beteckningar från ovan, vilket svarar mot att Vidare har vi att ur vilket vi får att d(fα) = (df α) + f dα, rot(fu) = grad f u + f rot u. d( (fα)) = (df α) + f d( α), div fu = grad f u + f div u. Dessa är välkända formler i vektoranalysen. En mindre välkänd formel får vi ur d( (α β)) = d(α β) = (β dα α dβ) = (β ( dα)) (α ( dβ)), vilket svarar mot att (β = v dx) div(u v) = v rot u u rot v.

Differentialformer och lite vektoranalys 15 (15) 8 Byte av koordinatsystem En annan fråga är hur vektoranalysens operatorer ser ut i andra koordinatsystem. Följande exempel visar hur vi kan utreda det. Det första exemplet handlar om Laplace-operatorn av en funktion, som definieras av Vi kan skriva den alternativt som f = 2 1f +... + 2 nf = div(grad f). f = d( df). Exempel 17 Vi vill hitta uttrycket för Laplaceoperatorn av en funktion given i polära koordinater i planet. Vi vet då att {dr, rdφ} är en ON-bas och att dr = rdφ medan (dφ) = dr. Vi kan nu beräkna Laplace-operatorn på funktioner genom f = d( df) = d( ( r fdr + 1 r φf(rdφ))) = d( r frdφ 1 r φfdr) = (d(r r f) dφ d( 1 r φf) dr) = ( 1 [ r (r r f) + φ ( 1 ] r r φf) dr rdφ) = 1 r r(r r f) + 1 r 2 2 φf. Exempel 18 Som en andra illustration, låt oss skissera hur vi bestämmer rotationen av ett vektorfält i rummet i rymdpolära koordinater. Vi ska då använda att dr, rdθ, r sin θdφ utgör en ortonormerad bas för 1-formerna sådan att Sätt nu dr = r 2 sin θ dθ dφ, (rdθ) = r sin θ dr dφ, (r sin θ dφ) = rdr dθ. Då gäller att α = a r dr + a θ rdθ + a φ r sin θdφ. dα = da r dr + d(ra θ ) dθ + d(r sin θa φ ) dφ = ( r (ra θ ) θ a r )dr dθ + ( r (ra φ ) sin θ φ a r )dr dφ + r( θ (sin θa φ ) φ a θ )dθ dφ. Det följer att dα = ( r (ra θ ) θ a r ) sin θdφ ( r (ra φ ) sin θ φ a r ) dθ sin θ + ( dr θ(sin θa φ ) φ a θ ) r sin θ = 1 r sin θ ( θ(sin θa φ ) φ a θ )dr + 1 r ( 1 sin θ φa r r (ra φ ))rdθ + 1 r ( r(ra θ ) θ a r )r sin θdφ, och alltså ges rotationen i polära koordinater av vektorn 1 ( r sin θ ( θ(sin θa φ ) φ a θ ), 1 r ( 1 sin θ φa r r (ra φ ))r, 1 r ( r(ra θ ) θ a r )r sin θ), ett uttryck som vi gärna vill slippa arbeta direkt med! Noteringar 1. Om vi har (v 1, v 2, v 3 ) så betyder v 1 paret (v 2, v 3 ) och v 2 paret (v 1, v 3 ). Och så vidare. 2. Vänsterledet är alltså egentligen (α β ).