KVANTMEKANIK SAMMANFATTNING Om du hittar fel eller oklarheter, skicka mig ett mail.

MW 6 oktober 0 KVANTMEKANIK SAMMANFATTNING Om du hittar fel eller oklarheter, skicka mig ett mail. Stern-Gerlach experiment SGZ: En mätning av S z ger något av de två möjliga resultaten S z = ± / som kallas spinn upp och spinn ner. Sekvenser av SG experiment: Exp: SGZ SGZ: Om S z mäts upprepade gånger fås samma resultat som vid första mätningen. Exp: SGZ SGX: Om tillståndet preparerats till S z = + / så ger en följande mätning av S x resultatet ± / med sannolikhet 0.5 vardera. Exp3: SGZ SGX SGZ: Om tillståndet preparerats till S z = + / och splittras i en SGX analysator och en av de utgående strålarna skickas till en SGZ analysator, så är sannolikheten att få S z = ± / lika med 0.5. Eftersom samma utfall INTE fås som i Exp så visar detta att mätningen med SGX analysatorn ändrar systemets tillstånd. Exp4: SGZ MSGX SGZ: Om tillståndet preparerats till S z = + /, och skickas till en SGX analysator och sedan blandas och skickas till en SGX analysator, så är sannolikheten att få S z = + / lika med, och sannolikheten att få S z = / är 0. Dvs samma utfall fås som i Exp, precis som om MSGX analysatorn inte fanns. Postulat: Kvantmekaniska tillstånd Ψ är vektorer i ett vektorrum Hilbert-rum och innehåller all information som man kan ha om systemet. Spinn upp och ner tillstånden hos S z bildar en bas och skrivs som enhets-kolumnvektorerna: + = 0, = 0 Ett allmänt spinntillstånd kan skrivas som en superposition av basvektorerna och ges av kolumnvektorn Ψ = a + + b = a b där a, b är komplexa tal. Kolumnvektorerna kallas även ket-vektorer. Motsvarande radvektorer kallas bra-vektor och skrivs + =, 0, = 0,, Ψ = a + + b = a, b Inre produkten av två tillståndsvektorer Ψ = a + + b, Φ = c + + d definieras som Ψ Φ = a c + b d = Φ Ψ och är ett komplext tal. Detta kallas Dirac notation eller bra-ket notation. Inre produkten är positivt definit: Ψ Ψ = a + b 0. Normen av en vektor är Ψ Ψ /. Basvektorerna är ON: + + = =, + = + = 0. a, b fås genom a = + Ψ, b = Ψ. Alla kvantmekaniska tillståndsvektorer ska vara normerade: Ψ Ψ = a a + b b = a + b = Postulat: Sannolikheten att få spinn upp vid en mätning av S z i tillståndet Ψ = a + + b är P + = a = + Ψ, och pss är P = b = Ψ. En mätning av S z som ger spinn upp ändrar systemets tillstånd till +, och spinn ner ändrar tillståndet till kollaps eller projektion av tillståndet. En mätning av S x som ger resultatet S x = ± / ändrar systemets tillstånd till + x = + + =, x = +, = En mätning S y som ger resultatet S y = ± / ändrar tillståndet till + y = + +i = i, y = + i, = i

Operatorer och egenvärdesproblem I kvantmekaniken representeras en observabel A av en operator  som verkar på ket-vektorerna och ger nya ket-vektorer som resultat: Â Ψ = Φ. Operatorn konstrueras så att den ger resultat som stämmer med experiment och med motsvarande klassiska resultat. Ofta utelämnasˆtecknet på operatorn. Spinnoperatorer i S z -basen: S x = 0 0, S y = 0 i i 0, Sz = 0 0 Spinnkomponenten i riktningen n = sin θ cos φ, sin θ sin φ, cos θ ges av operatorn S n = S n = S x sin θ cos φ + S y sin θ sin φ + S z cos θ = cos θ sin θe iφ sin θe iφ cos θ Bra-vektorn som motsvarar ket-vektorn A Ψ = Φ innehåller en ny operator: Φ = Ψ A som kallas Hermiteska konjugatet eller adjungerade operatorn till A A-kors, A-dagger på engelska. Matriselementen är relaterade genom α A β = β A α, dvs A-kors = A transponat-konjugat. A kallas Hermitesk eller självadjungerande om A = A. Egenvärdesproblemet för A: A a n = a n a n, där a n är egenvärden och a n motsvarande egenvektorer. Egenvärden och egenvektorer konstrueras genom att lösa den sekulära ekvationen deta λi = 0, där I är enhetsoperatorn. Egenvektorerna diagonaliserar en operator eller en matris eftersom en operator blir diagonal i basen av sina egenvektorer, med egenvärdena som diagonalelement. Egenvektorerna är enhetsvektorer i sin egen bas. Exempel: S z ± = ± / ±, S x ± x = ± / ± x, S y ± y = ± / ± y. Sats Sturm-Liouville teori:. Egenvärdena till Hermiteska operatorer är reella.. Egenvektorer till olika egenvärden är ortogonala. 3. Egenvektorerna bildar en fullständig bas. Postulat: Varje fysikalisk observabel representeras av en Hermitesk operator. Exempel: S x = S x, S y = S y, S z = S z. Fullständighetsrelationen: Ett allmänt tillstånd Ψ kan skrivas som en superposition av en fullständig mängd basvektorer a n : Ψ = n c n a n = n a n a n Ψ n a n a n = I, där I är enhetsoperatorn Enhetsoperatorns termer kallas projektionsoperatorer: p n = a n a n och fullständighetsrelationen kan skrivas n p n = I Postulat: Egenvärdena a n är de möjliga mätresultaten vid en mätning av observabeln A. Om ett system är i ett normerat superpositionstillstånd Ψ = n a n a n Ψ så är sannolikheten att en mätning av A ger resultatet a n lika med P n = a n Ψ. En mätning som ger resultatet a n ändrar eller kollapsar, eller projicerar systemets tillstånd till motsvarande normerade egentillstånd a n. Väntevärdet hos en operator A i tillståndet Ψ = c n a n definieras som A = Ψ A Ψ och uppfyller A = a n P n =summa av mätvärdena gånger sannolikheterna. Väntevärdet ger medelvärdet av ett stort antal upprepningar av en mätning av A i det identiskt preparerade tillståndet Ψ Osäkerheten hos en operator A i tillståndet Ψ definieras som A = A A = A A. Om systemet är i ett egentillstånd till A så blir A = 0 och A kallas bestämd, annars blir A > 0 och A kallas osäker. Kommutatorn mellan två operatorer A, B definieras [A, B] = AB BA. Om AB = BA så är [A, B] = 0 och A, B säges kommutera. Sats: A, B kommuterar A, B har gemensamma egenfunktioner. Om A, B kommuterar så kallas A, B kompatibla eller samtidigt mätbara, eftersom de kan vara bestämda samtidigt om systemet är i ett gemensamt egentillstånd. Om [A, B] 0 så kallas observablerna inkompatibla och kan inte vara samtidigt bestämda. Osäkerhetsprincipen: A B [A, B] Spinnkomponenterna inkompatibla: [S x, S y ] = i S z cykl.perm. saknar gemensamma egenfunktioner. Totala spinnoperatorn i kvadrat ges av S = Sx + Sy + Sz = 3 4 0 0, dvs S I. S kommuterar med alla spinnkomponentoperatorerna och är samtidigt mätbar med en av dessa. Egenfunktionerna +, till S z är gemensamma egenfunktioner med S.

3 Schrödingerekvationen Postulat: Tidsutvecklingen hos ett kvantsystem ges av Hamiltonianen H som är operatorn som motsvarar systemets totala energi, genom Schrödinger-ekvationen: H Ψ = i d dt Ψ. Energiegenfunktionerna uppfyller H E n = E n E n. I energibasen ges tidsberoendet av Ψt = 0 = n c n E n Ψt = n c ne ient/ E n Denna enkla form på tidsberoendet gäller bara i energibasen. Sannolikheten att en energimätning ger E n är tidsoberoende: P n = E n Ψt = c n. Energiegentillstånden kallas därför stationära tillstånd. Energiväntevärdet är tidsoberoende: H = n c n E n. 4 Kvantmekaniska paradoxer Flera kvantmekaniska förutsägelser som ursprungligen formulerades som kvantmekaniska paradoxer har senare bekräftats experimentellt och är idag aktiva forskningsområden. Grundforskning bl.a. vid Alba- Nova om sådana exotiska kvanteffekter är idag under snabb utveckling mot nya teknikområden inom främst kvantkommunikation och kvantinformation. EPR argumentet visar att kvantmekaniska korrelationer är icke-lokala och framfördes först för att visa att kvantmekaniken är ofullständig och att det borde gå att formulera en mer fullständig teori. Senare experimentella studier av Bells olikhet har kunnat utesluta sådana möjligheter och visar att kvantmekaniken fungerar. Även Schrödingers katt paradoxen studeras numera experimentellt men inte i form av några djurförsök!. En utmaning är att få makroskopiska kvantmekaniska tillstånd att ha så långa koherenstider att de kan studeras i experiment. 3

5 Bundna tillstånd Egenvärdesrelationen för positionsobservabeln är ˆx x = x x, där ˆx är positionsoperatorn, egenvärdena x är möjliga positionsmätvärden som är kontinuerliga reella tal, och x är basegenfunktionerna för partiklar i positionen x. För att studera rumsberoende kvanttillstånd är detta en bekväm bas som kallas positionsrepresentationen. Med diskreta egenvärden a n kan ett allmänt tillstånd utvecklas som en superposition Ψ = n c n a n = n a n a n Ψ, och inre produkten med tillståndet Φ = n d n a n definieras Φ Ψ = n d nc n. I övergången till kontinuerliga egenvärden x blir sådana summor oftast divergenta. Inre produkten definieras därför om som en s.k. överlappsintegral: Φ Ψ = Φ xψxdx där vågfunktionen definieras som Ψx = x Ψ, analogt med c n = a n Ψ i diskreta fallet. Väntevärden av operatorer i positionsrepresentationen definieras som A = Ψ xaψx Normeringskravet i diskreta fallet är Ψ Ψ = n a n Ψ =. Sannolikheten att en mätning av A ska ge värdet a n är P n = a n Ψ. I kontinuerliga fallet är normeringskravet Ψ Ψ = x Ψ dx = Ψx dx =. Sannolikheten att en positionsmätning ska hitta partikeln i x, x + dx är Ψx dx, dvs Ψx är en sannolikhetstäthet. Sannolikheten att hitta partikeln i ett intervall är P a < x < b = b a Ψx dx. Allmänt är sannolikheten att hitta en partikel som preparerats i tillståndet Ψ i tillståndet Ψ lika med Φ Ψ = Φ xψxdx Ett allmänt tillstånd kan skrivas som en superposition av positionsegentillstånd på integralform Ψ = x x Ψ dx, vilket ger den kontinuerliga versionen av fullständighetsrelationen: x x dx = I. Postulat: Position och rörelsemängd representeras i kvantmekaniken av operatorerna ˆx = x och ˆp = i d/dx. Operatorerna vars motsvarande klassiska uttryck är funktioner Ax, p ges av  = Aˆx, ˆp. Hamiltonoperatorn är Ĥ = ˆp m är en vågekvation: ĤΨx = m + V x vilket ger Schrödingerekvationen i positionsrepresentationen som d Ψx dx + V xψx = EΨx Kontinuitetsvillkor på vågfunktionen:. Ψx är kontinuerlig i alla punkter x.. Ψ x är kontinuerlig om inte V x =. Tillstånd i en attraktiv potential med energi E < V kallas bundna. För bundna tillstånd är de tillåtna energiegenvärdena kvantiserade. Vågfunktionen för ett bundet tillstånd i en ändlig potential tränger in i det klassiskt förbjudna området där E < V x. Bundna energiegentillstånd har p = 0. I ett tidsberoende bundet tillstånd som är en superposition av energiegentillstånd kan x och p vara tidsberoende så att partikeln kan studsa fram och tillbaka i potentialbrunnen. Väntevärdena uppfyller Ehrenfests teorem: pt = md xt /dt vilket motsvarar det klassiska sambandet p = mv. OBS: kvantmekaniskt gäller sambandet bara för väntevärden. Oändlig potentialbrunn: V x = { x<0,x>l 0 0<x<L. Energiegentillstånd: φ nx = L sin k nx, E n = k n m, k n = nπ L, n =,, 3,...,, m n = φ mxφ n xdx = δ m,n Ett allmänt tillstånd vid tiden t kan skrivas som en superposition Ψx, t = n c nφ n xe ient/ där c n = φ n Ψ = φ nxψx, t = 0dx Dubbelspaltexperiment: Vågfunktionen från de båda spaltöppningarna i en punkt på detektorskärmen ges av Ψ A e ipr/ + e ipr/. Sannolikhetstätheten blir Ψ = A e ipr / + e ipr r/ } {{ } = = A + cos pr r /. Inför de Broglie våglängden genom p/ = π/λ. Interferensmaximum fås då cos πr r /λ = r r = λ heltal. Experimentet har genomförts för ljus, elektroner, atomer och molekyler: http://en.wikipedia.org/wiki/double-slit_experiment 4

6 Obundna tillstånd Rörelsemängdsegenfunktionerna är plana vågor: ˆpφ p x = i d dx φ px = pφ p x φ p x = x p = e ipx/ / π För en fri partikel V = 0 är rörelsemängdsegenfunktionerna även energiegenfunktioner: Ĥφ E = m φ E x = Eφ Ex, φ E x = e ipx/ / π, E = p /m En fri partikel har en våglängd λ som uppfyller de Broglie relationen: p = k = h/λ där k = π/λ är vågvektorn. Egenfunktioner till operatorer med kontinuerliga egenvärden normeras med delta-funktionsnormering. Rörelsemängdsegenfunktionernas normering: p p = δp p Positionsegenfunktionerna i positionsrepresentationen ges av: φ x0 x = x x 0 = δx x 0 I p-representationen rörelsemängdsbasen är positions och rörelsemängdsoperatorerna: ˆp = p, ˆx = i d dp Egentillstånden är φ p0 p = p p 0 = δp p 0, φ x p = p x = x p = e ipx/ / π eftersom ˆxφ x p = i d dp e ipx/ / π = xφ x p Kommuteringsrelation: [x, p] = i Osäkerhetsprincipen: x p / Tunnling genom rektangulär potentialbarriär: V x = { V0 x <a 0 x >a Transmissionssannolikhet T = Ψ transmitterad /Ψ infallande / Reflektionssannolikhet R = Ψ reflekterad /Ψ infallande / T + R = E > V 0 : T = / + k q sin qa, k = me/, q = me V 0 / 4k q E < V 0 : T = / + k +q 4k q sinh qa, k = me/, q = mv 0 E/ För tunnling genom en barriär med bredden d = a i gränsen för en bred barriär, qd, blir T = + k +q sinh 6k q k qd +q e qd e qd 4k q }{{} e qd /4 Denna formel ger den teoretiska basen för STM metoden: Scanning Tunneling Micoscropy. En tunnelström beror exponentiellt på avståndet mellan en atomärt skarp metallspets och en metallyta. Genom att mäta tunnelströmmens positionsberoende vid svep med spetsen över ytan möjliggörs en bestämning av atomernas positioner på ytan med atomär upplösning. 5

7 Rörelsemängdsmoment Studera två partiklar i r, r med massor m, m bundna av en centralpotential: H = p m + p m + V r r = H CM + H rel, H CM = P M, H rel = p µ + V r, där R = m r + m r /M, M = m + m, P = p + p är masscentrumkoordinater, och r = r r, p = µp /m p /m är relativa kooordinater, samt µ är reducerade massan: µ = m m /M. Masscentrumrörelsen är är samma som rörelsen hos en fri partikel med massan M och har plana vågor som egentillstånd. Sök stationära tillstånd hos den relativa rörelsen: HΨ = µ Ψ + V rψ = EΨr. Rörelsemängdsmomentoperatorer: L = r p med L x = yp z zp y = i y z z y, L y = i z x x z, Lz = i x y y x, L = L x + L y + L z Kommutatorer: [L x, L y ] = i L z cykl. perm., [L, L x ] = [L, L y ] = [L, L z ] = 0. L, L z har gemensamma egenfunktioner. L x, L y, L z saknar gemensamma egenfunktioner. Laplace operator i sfäriska koordinater: = r r r r + r sin θ Rörelsemängdsmomentoperatorer i sfäriska koordinater: L z = i θ sin θ θ + r sin θ [ φ, L = sin θ SE i sfäriska koordinater: HΨ = µr r r r Ψ + L µr Ψ + V rψ = EΨr, θ, φ Separera variabler Ψr = RrY θ, φ d R dr r dr dr µ E V r = ll + = L Y Y L Y = ll + Y θ, φ Separera mera: Y θ, φ = ΘθΦφ Egenfunktioner till L z : L z Φ m φ = m Φ m φ, Φ m φ = e imφ / π Gemensamma egenfunktioner till L, L z i Dirac-notation: L lm = ll + lm, L z lm = m lm. φ θ sin θ θ + sin θ Kvanttalen l, m är heltal. l kallas rörelsemängdsmomentkvanttalet och m magnetiska kvanttalet. Möjliga värden: m = l, l,..., 0,..., l, l = 0,,, 3,..., I positionsrepresentationen: L Yl m θ, φ = ll + Yl m θ, φ, L z Yl m θ, φ = m Yl m θ, φ kallas sfäriska funktioner och finns tabellerade. Y m l ON villkor: l m l m = π sin θdθ π 0 0 m dφyl θ, φ Y m l θ, φ = δ l,l δ m,m Sannolikhet att hitta en partikel i tillståndet lm i rymdvinkelelementet dω = sin θdθdφ är Yl m sin θdθdφ. ] φ 6

8 Väteatomen Radiella Schrödinger-ekvationen µr d dr r dr dr + V rr + ll+ µρ R = ERr Coulomb-potentialen med kärnladdning Ze väte: Z = : V r = Ze 4πɛ 0r Eftersom m proton 000m elektron så är µ m e Sätt Rr = Ur/r, ρ = r/a, a = a 0 /Z, a 0 = 4πɛ 0 /µe = 0.59 Å, E = γ /µa U + γ + ρ ll+ ρ U = 0 Bohr-radien: a 0 = 0.59 Å. Energinivåer: E n = µa n = Ze µ n 4πɛ 0 = 3.6/n ev Joniseringsenergin för väte Z = : E E = 3.6 ev Huvudkvanttalet: n =,, 3,...,. Lösningen visar även att: l = 0,,,..., n, m = l, l +,..., 0,..., l, l Radiella vågfunktioner: R nl r 3/ 3/ [ ] 3/ Z R 0 = a 0 e Zr/a 0 Z, R 0 = a 0 Zr a 0 e Zr/a0 Z, R = Zr a 0 a 0 e Zr/a0, osv Polynomdelen kallas Laguerre-polynom av grad n l Fulla vågfunktionen: Ψr, θ, φ = R nl ry n l θ, φ Normering: nlm n l m = δ nn δ ll δ mm Sannolikhet att hitta partikeln i dr: R nl r r dr, 0 [R nl r] r dr =, π 0 sin θ dθ π 0 dφ Y m l = Sannolikhet att hitta partikeln i dv : Ψr, θ, φ dv = R nl r r dr Y n l θ, φ sin θ dθ dφ 7

9 Harmoniska oscillatorn Hamiltonoperatorn: H = p m + mω x = a a + ω = N + ω Stegoperatorer: a = mω x + i p mω, a = mω x i p mω x = a + a, p = i a a mω mω Nummeroperatorn: N = a a, [N, H] = 0 Kommutatorer: [a, a ] =, [H, a] = ωa, [H, a ] = ωa Normering: a n = n n, a n = n + n + Energiegenvärden: H E n = E n E n, E n = n + / ω, n = 0,,,..., Nummeroperatorns egenvärden: N n = n n, n = E n, n = 0,,,..., ON egenvektorer: m n = δ m,n Matriselement: m a n = nδ m,n, m a n = n + δ m,n+ Grundtillståndsvågfunktion: φ 0 x = mω /4 π e x /x 0 Klassisk vändpunkt: x 0 = /mω Exciterade tillstånd: n = n! a n 0 Vågfunktioner: φ n x = mω n! π n/ Hn ξe ξ /, ξ = x/x 0 Hermite-polynomen H n = n:te gradspolynom: H 0 =, H = ξ, H = 4ξ, H 3 = 8ξ 3 ξ Grundtillståndsväntevärden: x = 0 x 0 = mω 0 a + a 0 = mω 0 a 0 + 0 a 0 = 0 }{{}}{{} =0 =0 x = 0 x 0 = mω 0 a + a 0 = mω 0 a 0 + 0 a 0 På liknande sätt fås: p = 0, p = mω/ Osäkerheter: x = /mω, p = mω/ } {{ } =0 } {{ } =0 + 0 a a 0 }{{} =0 Osäkerhetsprodukt: x p = /, dvs osäkerhetsrelationen uppfylls som en likhet. Den Gaussiska grundtillståndsvågfunktionen säges därför ha minimal osäkerhet. + 0 aa 0 = }{{} mω = 0 a = 0 0 = Exempel på superposition av stationära tillstånd. Antag att en oscillator är i en superposition av de två lägsta energiegentillstånden: Ψt = 0 e ie 0t/ + e iet/ = e iωt/ 0 + e iωt x = Ψt x Ψt = e+iωt/ 0 + e +iωt mω a + a e iωt/ 0 + e iωt = mω cos ωt p = Ψt p Ψt = e+iωt/ 0 + e +iωt mω i a a e iωt/ 0 + e iωt mω = sin ωt Detta demonstrerar återigen Ehrenfests teorem: p = m d dt x Den första kvantmaskinen har nyligen konstruerats i form av en mekanisk oscillator, som bla kan oscillera som en superposition liknande exemplet ovan. Denna bedrift utsågs till 00 års största vetenskapliga genombrott i tidskriften Science: http://en.wikipedia.org/wiki/quantum_machine http://www.sciencemag.org/content/330/60/604 8

0 Störningsräkning H = H 0 + H, H 0 = ostörd Hamiltonian, H = störning som antas vara liten och ger en liten ändring av det ostörda systemet. Ostörda systemet antas ha känd lösning: H 0 n 0 = E 0 n n 0 Sök lösning till det störda systemet: H 0 + H n = E n n Ansätt lösningen till det störda systemet som en serie: E n = E n 0 + E n + E n +... n = n 0 + n + n +... där superscript m betecknar m:te ordningens korrektion och är proportionell mot störningen upphöjt till m enligt formlerna nedan. Om störningsräkning ska vara motiverad så ska högre ordningens korrektioner vara små så att en användbar approximation fås genom att ta med ett litet antal korrektionstermer, vilket i ofta gäller. Första ordningens störningsteori: E n = E n 0 + E n, E n = n 0 H n 0 = φ 0 n H φ 0 n dx där φ 0 n x = x n 0 är den ostörda vågfunktionen. n = n 0 + n, n = m n Andra ordningens störningsteori: E n = m n m 0 H n 0 E n 0 E m 0 m 0 m 0 H n 0 E n 0 E m 0 m 0 Formlerna ovan gäller för icke-degenererade ostörda energinivåer. För degenererade ostörda energinivåer fås de störda energinivåerna genom att diagonalisera störningen i det degenererade underrummet. I regel kan dock basfunktionerna väljas på förhand så att H blir diagonal. Då sparas räknearbete eftersom första ordningens energikorrektionerna fås med samma formel som ovan för det icke-degenererade fallet. Exempel på degenererad störningsräkning: Stark-effekt i väte för n = tillstånd. 9