Doktorandkurs i flera komplexa variabler, vt 2010

Doktorandkurs i flera komplexa variabler, vt 2010 Frank Wikström 10 februari 2010 Frank Wikström () Doktorandkurs i flera komplexa variabler, vt 2010 10 februari 2010 1 / 20

Dagens program Plurisubharmoniska funktioner Konvexa och pseudokonvexa områden Frank Wikström () Doktorandkurs i flera komplexa variabler, vt 2010 10 februari 2010 2 / 20

Plurisubharmoniska funktioner Definition En funktion u : Ω R { } kallas plurisubharmonisk om den är uppåt halvkontinuerlig och C ζ u(z + ζw) är subharmonisk (där den är definierad) för alla z Ω, w C n. Låt PSH(Ω) beteckna mängden av plurisubharmoniska funktioner på Ω. Dvs, en funktion är plurisubharmonisk om den är subharmonisk på varje 1-dimensionellt komplext affint underrum till C n. (Observera att det finns gott om 2-dimensionella reella underrum till C n som inte är 1-dimensionella komplexa affina underrum.) Exempel Om f O(Ω), så är log f PSH(Ω) och f p PSH(Ω) för p > 0. Frank Wikström () Doktorandkurs i flera komplexa variabler, vt 2010 10 februari 2010 3 / 20

Pluriharmoniska funktioner Definition En (C 2 -)funktion kallas pluriharmonisk om den är harmonisk på varje 1-dimensionellt komplext affint underrum till C n. Observera att realdelen till en holomorf funktion är pluriharmonisk. (Inte bara harmonisk.) Omvänt är varje pluriharmonisk funktion lokalt realdelen av en holomorf funktion. Exempel Om u C 2, så är ζ (u(z + ζw)) ζ=0 = 2 u z j z k (z)w j w k. Med andra ord, om u är pluriharmonisk så 2 u z j z j = 0 för alla j (sätt w = e j). Omvändningen är också sann och lämnas som övning. Frank Wikström () Doktorandkurs i flera komplexa variabler, vt 2010 10 februari 2010 4 / 20

Pluriharmoniska funktioner, forts Pluriharmoniska funktioner spelar inte riktigt samma framträdande roll i C n som harmoniska funktioner gör i C. En anledning är ett det finns förhållandevis få pluriharmoniska funktioner. Exempel Låt B vara enhetsbollen i C 2. Välj en funktion φ C( B), sådan att φ = 0 på en omgivning av (1, 0) och φ = 1 på en omgivning av ( 1, 0). Då finns ingen pluriharmonisk funktion på B vars randvärden ges av φ. Frank Wikström () Doktorandkurs i flera komplexa variabler, vt 2010 10 februari 2010 5 / 20

Differentialvillkor för plurisubharmonicitet Sats Om u C 2 (Ω), så är u PSH(Ω) om och endast om matrisen «2 u är positivt semi-definit. z j z k Även om det inte finns någon enkel differentialekvation som karakteriserar plurisubharmoniska funktioner, så finns det en intressant differentialoperator i bakgrunden, nämligen den komplexa Monge-Ampèreoperatorn, som för C 2 -funktioner definieras som «MA(u) = 4 n 2 u n! det. z j z k Observera att MA(u) 0 om u C 2 PSH, men detta karakteriserar inte plurisubharmoniska funktioner. Det är omöjligt att utvidga MA till hela PSH, men det går till exempel bra att definiera MA(u) för u PSH L loc. En ordentlig genomgång av MA får vänta till en senare kurs... Frank Wikström () Doktorandkurs i flera komplexa variabler, vt 2010 10 februari 2010 6 / 20

Några egenskaper för psh funktioner Proposition Låt u PSH(Ω) och anta att φ är en växande, konvex, funktion. Då är φ u PSH(Ω). Proposition Låt u PSH(Ω) och sätt Ω ε = {z Ω : dist(z, Ω) > ε}. Då finns det en familj f ε PSH(Ω ε) C (Ω ε), sådan att f j f. Bevis. Välj φ C 0 (C n ), sådan att R φ = 1 och φ(z 1,..., z n) = φ( z 1,..., z n ). Sätt Z f ε = f(z εζ)φ(ζ) dv (ζ). Man kontrollerar förhållandevis lätt att f ε har rätt egenskaper (jfr situationen med subharmoniska funktioner). Frank Wikström () Doktorandkurs i flera komplexa variabler, vt 2010 10 februari 2010 7 / 20

Maximala plurisubharmoniska funktioner Definition En funktion u PSH(Ω) kallas maximal om den uppfyller följande villkor: Till varje Ω Ω och varje v PSH(Ω) som uppfyller att u v på Ω \ Ω följer att u v på Ω. Obs! Motsvarande definition med plurisubharmonisk utbytt mot subharmonisk ger att maximala subharmoniska funktioner är samma sak som harmoniska funktioner. I en ordentlig behandling av pluripotentialteori, ser man att maximala psh funktioner i många avseenden är rätt generalisering av harmoniska funktioner till C n. Tex är det sant för C 2 -funktioner att u PSH(Ω) är maximal omm MA(u) = 0. I allmänhet behöver dock inte maximala psh funktioner vara C 2 (eller ens kontinuerliga). Frank Wikström () Doktorandkurs i flera komplexa variabler, vt 2010 10 februari 2010 8 / 20

Konvexitet Definition En mängd S R n kallas (geometriskt) konvex om P, Q S medför att linjestycket (1 λ)p + λq S för alla 0 λ 1. Problem med definitionen: Inte lokal, inte (särskilt) kvantitatvi, inte formulerat i termer av funktioner. Frank Wikström () Doktorandkurs i flera komplexa variabler, vt 2010 10 februari 2010 9 / 20

Definierande funktioner Låt Ω R n vara ett område med C 1 -rand. En definierande funktion för Ω är en funktion ρ : R n R som är C 1 och uppfyller 1. Ω = {x : ρ(x) < 0}. 2. Ω = {x : ρ(x) > 0}. 3. ρ(x) 0 för alla x Ω. Varje område med C 1 -rand har en definierande funktion. För områden med C k -rand, kan den definierande funktionen tas C k. (Om k 2 är avståndet till randen med tecken en definierande funktion.) Frank Wikström () Doktorandkurs i flera komplexa variabler, vt 2010 10 februari 2010 10 / 20

Tangentrummet till Ω Definition Låt Ω R n ha C 1 -rand, och låt ρ C 1 vara en definierande funktion för Ω. Om P Ω och w = (w 1,..., w n) är en vektor, som uppfyller att j=1 ρ x j (P ) w j = 0, så kallas w en tangentvektor till Ω i P. Vi skriver detta som w T P ( Ω). Man kan kontrollera att definitionen är oberoende av valet av definierande funktion. (Se Krantz för detaljer. För C 1 -rand är argumentet ganska tekniskt, men det är enklare för C k, k 2.) Frank Wikström () Doktorandkurs i flera komplexa variabler, vt 2010 10 februari 2010 11 / 20

Analytisk konvexitet Definition Låt Ω vara ett område i R n med C 2 -rand och ρ en definierande funktion förω. Låt P Ω. Vi säger att Ω är (svagt) konvex i P om 2 ρ x j x k (P ) w jw k 0, för alla w T P ( Ω). Om olikheten är strikt för alla w 0, säger vi att Ω är strängt konvex i P. (Ibland skiljer man på begreppen strängt och strikt konvex. Man kan visa att varje strängt konvex randpunkt är en konvex extrempunkt, men omvändningen gäller inte. Jfr området { x 4 + y 4 < 1}.) Frank Wikström () Doktorandkurs i flera komplexa variabler, vt 2010 10 februari 2010 12 / 20

Analytisk konvexitet, forts Lemma Om Ω R n är strängt konvex, så finns en definierande funktion ρ och en konstant C > 0 så att 2 ρ (P ) w jw k C w 2, x j x k för alla P Ω och alla w R n. (Inte bara tangentvektorer, alltså.) Beviset är tekniskt och jag hänvisar till Krantz för detaljer. Resultatet är förstås inte sant för svagt konvexa ränder. Frank Wikström () Doktorandkurs i flera komplexa variabler, vt 2010 10 februari 2010 13 / 20

Geometrisk kontra analytisk konvexitet Proposition Om Ω är strängt konvex, så är Ω geometriskt konvex. Bevis. Observera att Ω Ω är sammanhängande. Definiera S = {(P, Q) Ω Ω : (1 λ)p + λq Ω, för alla 0 < λ < 1. Det är klart att S är öppen och icke-tom. För att se att S är sluten, ta en definierande funktion som i föregående proposition. Om S inte är sluten, finns det P, Q i Ω så att funktionen t ρ((1 t)p + tq) antar ett maximum 0 i en inre punkt av [0, 1], men detta motsäger att Hessianen av ρ är positivt definit. Frank Wikström () Doktorandkurs i flera komplexa variabler, vt 2010 10 februari 2010 14 / 20

Geometrisk kontra analytisk konvexitet, forts Proposition Om Ω är (svagt) konvex, så är Ω geometriskt konvex. Bevis. För enkelhets skull, anta att Ω är C 3. Sätt ρ ε = ρ + ε x 2M /M. Om ε > 0 är litet och M stort, så är Ω ε = {ρ ε < 0} strängt konvex och därmed geometriskt konvex. Skriv Ω som en växande följd av lämpligt valda Ω ε. Frank Wikström () Doktorandkurs i flera komplexa variabler, vt 2010 10 februari 2010 15 / 20

För t = 0 och ε litet är alltså ρ(q) > 0. Å andra sidan, för samma ε och t tillräckligt stort blir ρ(q) < 0, vilket motsäger att Ω är geometriskt konvex. Frank Wikström () Doktorandkurs i flera komplexa variabler, vt 2010 10 februari 2010 16 / 20 Geometrisk kontra analytisk konvexitet, forts Proposition Om Ω har C 2 -rand och är geometriskt konvex, så är Ω svagt konvex. Bevis. Anta att det finns en P Ω och ett w T P ( Ω) så att 2 ρ x j x k (P ) w jw k = 2K < 0. Vi kan anta att vi har valt koordinater så att P = 0 och e n = (0,..., 0, 1) är den yttre ρ enhetsnormalen till Ω i P. Normalisera den definierande funktionen, så att x n (0) = 1. Sätt Q = tw + εe n, där ε > 0 och t R. Taylorutveckla ρ: ρ(q) = ρ(0) + j=1 = ε ρ x n (0) + t2 2 ρ x j (0) Q j + 1 2 2 ρ x j x k (0) Q jq k + o( Q 2 ) 2 ρ x j x k (0) w jw k + O(ε 2 ) + o(t 2 ).

Konvexitet i C n Låt Ω vara ett (begränsat) område i C n med C 2 -rand och anta att Ω är konvext i P Ω. Uttryckt i komplexa koordinater, blir villkoret att w T P ( Ω) (se Krantz för detaljer):! ρ 2 Re (P ) w j = 0. z j j=1 Observera att rummet av vektorer T P ( Ω) inte är slutet under multiplikation med i. Om vi i stället fokuserar på mängden av vektorer, T P ( Ω) som uppfyller att j=1 ρ z j (P ) w j = 0, får vi ett komplext underrum till T P ( Ω). (I själva verket det största komplexa underrummet.) Vi kallar T P ( Ω) för det komplexa tangentrummet till Ω i P. Övning Vad blir det komplexa tangentrummet till randen av ett område i C? Frank Wikström () Doktorandkurs i flera komplexa variabler, vt 2010 10 februari 2010 17 / 20

Leviformen Om vi skriver om konvexitetsvillkoret för komplex tangentvektorer i komplexa koordinater, blir detta (se Krantz för detaljer) 0 = «2 ρ 2 Re (P ) w jw k + z j z k 2 2 ρ z j z k (P ) w j w k. Ytterligare en lång beräkning visar att den första termen i HL inte transformerar på ett naturligt sätt under komplexa koordinatbyten, medan den andra gör det. Uttrycket L Ω (P ; w) = kallas Leviformen (till Ω eller Ω). 2 ρ z j z k (P ) w j w k Frank Wikström () Doktorandkurs i flera komplexa variabler, vt 2010 10 februari 2010 18 / 20

Pseudokonvexitet Definition Låt Ω C n vara ett område med C 2 -rand och låt P Ω. Låt ρ vara en definierande funktion för Ω. Vi säger att Ω är (Levi-)pseudokonvex i P om 2 ρ z j z k (P ) w j w k 0 för alla w T P ( Ω). Om vi har strikt olikhet för w 0, säger vi att Ω är strikt pseudokonvex i P. Observera att definitionen säger att ρ ska vara plurisubharmonisk i komplexa tangentriktningar. Proposition Om Ω är konvex, så är Ω pseudokonvex. Bevis. Använd konvexitetsvillkoret på w T P ( Ω) och på iw. Frank Wikström () Doktorandkurs i flera komplexa variabler, vt 2010 10 februari 2010 19 / 20

Bra att veta om pseudokonvexa områden Proposition Om Ω är begränsat med C 2 -rand och strikt pseudokonvext, så finns en definierande funktion ρ och ett C > 0 sådan att 2 ρ z j z k (P ) w j w k C w 2 för alla w 0. (Inte bara komplexa tangentvektorer, dvs ρ är strikt plurisubharmonisk.) Proposition (Narasimhans lemma) Om Ω är begränsat med C 2 -rand och Ω är strikt pseudokonvext i P, finns det en omgivning U till P och en biholomorf avbildning Φ, så att Φ(U Ω) är strängt konvex. Motsvarande resultat är inte sant för svagt pseudokonvexa områden, även om man länge trodde det. Den lokala biholomorfin kan inte nödvändigtvis väljas global; det finns exempel på strikt pseudokonvexa områden som inte är biholmorfa med något konvext område. Däremot kan strikt pseudokonvxa områden bäddas in i strängt konvexa områden (i högre dimension). Se Fornæss inbäddningssats för detaljer. Frank Wikström () Doktorandkurs i flera komplexa variabler, vt 2010 10 februari 2010 20 / 20