Labboration 2 Rotationsrörelse Abbas Jafari, Julius Jensen och Joseph Byström 22 april 2017 1
1 Introduktion Rotationsrörelser är mycket vanligt i ingenjörsmässiga sammanhang. En kropp har egenskapen rörelsemängdsmoment som beror på kroppens rotationshastighet och dess tröghetsmoment. Tröghetsmomentet beskriver ett objekts förmåga att motverka yttre krafter. Detta är, inom området rotationsrörelser, motsvarigheten till massa i linjär rörelse. Men tröghetsmoment är mer komplicerad och beror på faktorer så som momentpunt, kroppens geometri, masscentrum etc. Rotationsrörelser är även väsentligt i vardagen då olika objekt påverkas av olika typer av rörelser, inte bara linjära rörelser. I den första delen av den här labborationen kommer tröghetsmomentet för en metall ring att bestämmas. I den andra delen kommer tröghetsmomentet för några olika punktmassor beräknas och i den sista delen kommer prallellaxelteoremet undersökas med en metall stav. 2 Teori Som ovan nämnt finns det för linjär rörelse en motsvarighet för rotationsrörelser; rotationsacceleration. Genom att då mäta rotationsaccelerationen för en punkt kan ett objekts tröghetsmoment bestämmas enligt: M = I α (1) Där M är summan av alla verkande kraftmoment på kroppen, I är tröghetsmomentet och α är vinkelaccelerationen. I den första fallet nedan har vi en ihålig cylinder vars tröghetsmoment skall bestämmas. Uttrycket för tröghetsmenten för en sådan kropp ges av: I x = I y = 1 2 I z = 1 4 m(r2 1 + r 2 2) (2) 1
För en cirkelskiva ges tröghetsmomentet av I x = I y = 1 2 I z = m r2 4 Där m anger massan som är homogent fördelat över hela kroppen. (3) 2.1 Tröghetsmoment för punktmassor Tröghetsmomentet för en roterande punkt med massa m kring en rotationsaxel ges av: I = mr 2 (4) Där m är massan och r är avståndet till rotationsaxeln. 2.2 Empiriska formeln För att finna ett uttryck för tröghetsmomentet konstatear vi först att M = Io ᾱ (5) där M är momentet, I o är tröghetsmomentet och ᾱ är vinkelaccelerationen. Momentet M kan även uttryckas som M = F r (6) där F anger kraften i snöret som aluminiumskivan dras med och r är radien (hävarmen) av skivan, alltså avståndet till den punkten där kraften från snörret verkar på. Eftersom F r i samtliga fall så gäller det att: M = Io α (7) Vi kan nu ersätta vänster leddet i 5 med högerledet i 6 och får då F r = I o α (8) I o = F r α (9) För för att färdigställa samband 9 måste vi uttrycka kraften i snöret på något sätt. Enligt Newtons andra lag är F = mā (10) 2
Figur 1: En friläggning av vikt hängandes i ett snörre. Där T är snörrkraften och W = mḡ är tyngdkraften där ā är accelerationen och m är massan. Om vi frilägger vikten i snöret, enligt figur figur 1, så gäller de att Vi vill ha snörrkraften T så av 11 får vi att T + W = mā (11) T = mā W (12) Eftersom snörret drar aluminiumskivan kan man se de som att skivan rullar på ett underlag bestående av snörret. Den har alltså ett rullvillkor Insättning av 13 i 12 ger att ā = ᾱ r (13) T = mā W (14) T = m(ᾱ r) W (15) 3
Figur 2: skiss över roterande skiva Här är T = F för att T anger kraften i snörret, men de gör även F med. Därför kan vi substituera 15 mot F i 9 och erhåller därför I o = (mᾱ r w) r ᾱ (16) Eftersom F r så medför de att i samtliga fall gäller M o = F r. Detta i sin tur medför att tröghetsmomentet blir I o = (w m(α r)) r α (17) Hittills har vi betraktat tröghetsmomentet för ett specifikt objekt. Men i ett system av kroppar i rörelse är den totala tröghetsmomentet annorlunda. De ges av I tot = I ring + I utrustning (18) I ring = I tot I utrustning (19) där I ring är tröghetsmomentet för ringen, I tot är den totala tröghetsmomentet och I utrustning är tröghetsmomentet för hela uppställningen. 2.3 Parallellaxelteoremet Tröghetsmomentet för några vanliga geometrier hittar man i olika tabeller, t: ex Phsyics Handbook. Men för kroppar vars rotation sker kring en annan punkt än dess masscentrum används parallellaxelteoremet. Den lyder: I Q = I CM + ml 2 (20) 4
Där m är massan, I CM är tröghetsmomentet kring masscentrum och L anger avståndet till rotationscentrum. Följande fortplantningsformel användes för beräkning av medelvärdets osäkerhet: n (x i x) 2 i=1 u( x) = (21) n(n 1) Ekvationen nedan användes för att beräkna osäkerheten för u då u beror på flera osäkerheter. u( x) = n (u i dx ) da 2 (22) i i=1 Ekvation 23 och 24 mäter osäkerheten för en digital mätning(u dig ) samt en analog mätning (u ana ). a är i båda fallen upplösningen för instrumenten u dig = u ana = a 2 3 a 2 6 2.4 Kalibrering av försöksuppställning (23) (24) Innan labborationen kan påbörjas måste försöksuppställningen plankalibreras, dvs att aliminiumskivan måste rotera så horisontellt så möjligt. För att kalibrera skivan ställdes en tung metallring assymetriskt med hjälp av rotationsaxeln på skivan. Aluminiumskivan uttsates sedan för rotation. När metall ringens rotation avtog på samma position vid varje försök så var de ett tecken på att ställningen är felkalibrerat. Därför justerades försökuppställningens stödben för att ringens slutposition inte berodde på höjdskillnader i försökuppställningen. När kalibreringen var utfört påbörjades testerna. 3 Metod 3.1 Utrustning Metall stav Vikter 5
Aluminiumskiva Metall ring Snörre Handdator Plattform för uppställningen Labborationen genomfördes i tre fall. 3.2 Fall 1: Bestämning av ett föremåls tröghetsmoment med hjälp av momentlagen Figur 3: Figur över uppställningen i försök 1 I den första försöket, där endast aluminium skivan roterade, lindades ett snörre runt trissan. I den andra änden av snörret händes en vikt på 50 gram. Vikten släpptes sedan från sitt högsta läge och accelererade mot marken. En handdator uppmätte sedan vinkelhastigheten med en samplingsfrekvens på 50 Hz. Fallet uppreades fem gånger och resultatet används för att bestämma tröghetsmomentet för en metall ring med hjälp av ekvation 5, där kryssprodukten i täljaren anger momentet som kraften från trissan utgör på aliminiumskivan från ett avstånd r till rotationscentrum. 6
Figur 4: bild över skivan sett ovanfrån Den andra delen av uppgift ett utfördes på samma sätt men den här gången ställdes en metall ring på aluminiumskivan. Även den här gången upprepades försöket fem gånger och mätvärderesultaten uppmätes av handdatorn. Tröghetsmomentet beräknades på samma sätt som tidigare men den här gången tas hänsyn till ekvation 6. 3.3 Fall 2: Tröghetmoment för roterande punktmassor på olika avstånd från rotationsaxeln I uppgift två vändes aluminiumskivan och en metall stav skruvades fast på den. Sedan skruvades två vikter, med samma avstånd från rotationsaxeln, på staven. I försök ett skruvades vikterna nära stavens ändar för att sedan Figur 5: Figur 3: Försöksuppställning för försök 2 med de två vikterna placerade så långt som möjligt från rotationsaxeln. föras allt längre in vid varje försök. Sedan släpptes vikterna, hängandes i 7
snöret, och rotationen registerades av handdatorn med samma inställningar som förra i uppgiften. Försöket upprepades fem gånger för varje avstånd. Med dessa mätvärden kan den gemensamma tröghetsmomentetet för både staven och vikterna bestämmas med hjälp av 1, som efter anpassning till situationen lyder I tot = I stav + m 1 r 2 1 + m 2 r 2 2 (25) där m 1, m 2 är massan för vikterna och r 1 respektive r 2 är avståndet från rotationsaxeln för de båda vikterna. I ett sista försök så skruvades endast en vikt på staven och rotationen registerereades av handdatorn. I stav = 1 12 ml2 (26) Då L är stavens längd 3.4 Fall 3: Parallellaxelteoremet I de här försöket ändrade vi rotationsaxeln för en metall stav till fem olika punkter (ej dess masscentrum) och inledde rotationen genom att släppa vikten i trissan. Rotationrörelsen för tre olika hål registererades fem gånger av handdatorn. 8
4 Resultat Mätosäkerheten för massan m som hänger i snöret fås utav ekvation 23. Mätosäkerheten för radien på cirkeln fås utav ekvation 24. Sedan finns en godtycklig osäkerhet som kommer ifrån avläsningen av det analoga instrumentet. Sedan användes ekvation 21 för att räkna ut osäkerheten för vinkelhastigheten (w) och tiden (t). För att räkna ut mätosäkerheten för vinkelaccelerationen och tröghetsmomentet användes ekvation 22. En till godtycklig osäkerhet uppkommer vid antagandet att snöret rullar friktionsfritt kring trissan. Denna osäkerhet påverkar den uppmätta tiden (t) och vinkelhastigheten (w). För att räkna ut I ring användes ekvation 19 då I instrument fås utav medelvärdet på Tabell 1. Sedan för att räkna ut I vikt så användes samma ekvation (22) Men I tot fås utav medelvärdet på tabell 7 Viktens massa : m = 0.05000(1) enhet(kg) Aluminumringens radie: R al = 0.0473(3) enhet(m) Aluminumringens massa: M al = 0.12126(3) enhet(kg) Radien för lilla cirkeln : r = 0.0245(40) enhet(m) Metallringens inreradie: R 1 = 0.02618(3) enhet(m) Metallringens ytterradie: R 2 = 0.0382(3) enhet(m) Metallringens massa M ring = 0.4672 enhet(kg) Stavens massa : M stav = 0.054(0) enhet(kg) Stavens längd : L = 0.32(0) enhet(m) Vikterna på stavens massa : M vikt = 0.080(0) enhet(kg) Tabell 1: Tabell över tröghetsmomenten för endast aluminiumskivan. Försök ω[rad/s] t(s) α( α ) I s 2 tot 10 4 [kgm 2 ] 1 36.44 0.550 66.25 1.52 2 32.52 0.490 66.37 1.51 3 23.25 0.350 66.43 1.51 Medel 30.74 0.46 66.35 1.513 Mätosäkerhet 2.256 0.0342 0.0678 0.117 9
Tabell 2: Tabell över tröghetsmomenten för aluminiumskivan med metall ringen. Försök ω[rad/s] t(s) α α I s 2 tot 10 4 [kgm 2 ] I ring 10 4 [kgm 2 ] 1 16.18 0.950 17.03 6.76 5.247 2 16.18 0.950 17.03 6.76 5.247 3 16.02 0.950 16.86 6.83 5.317 Medel 16.13 0.950 16.97 6.78 5.27 Mätosäkerhet 0.03 4.5 10 17 0.0616 0.0289 0.0734 Teoretiskt värde från metallringens bidrag: I teo 2.50 10 4 kgm 2. Tabell 3: Mätningar av tröghetsmomentet med stav och vikter(avstånd mellan vikter, d 1 = 8.0 cm, massa: 80 g per vikt). Försök ω[rad/s] t(s) α α I 10 4 [kgm 2 ] I s 2 vikt 10 4 [kgm 2 ] 1 9.11 1.29 7.06 17 13.26 2 10.52 1.48 7.11 17 13.26 3 11.00 1.54 7.14 17 13.26 Medel 10.21 1.44 7.10 17 13.26 Mätosäkerhet 0.33 0.0435 0.061 0.039 0.052 Teoretiskt värde för vikternas bidrag: I teo 10.02 10 4 kgm 2 Tabell 4: Mätningar av tröghetsmomentet med stav och vikter(avstånd mellan vikter, d 2 =10 cm, massa: 80 g per vikt) Försök ω[rad/s] t(s) α α I 10 4 [kgm 2 ] I s 2 vikt 10 4 [kgm 2 ] 1 7.70 1.56 4.94 24 20.26 2 6.58 1.33 4.95 24 20.26 3 8.64 1.74 4.97 24 20.26 Medel 7.64 1.54 4.95 24 20.26 Mätosäkerhet 0.343 0.0685 0.0508 0.16 0.31 Teoretiskt värde för vikternas bidrag: I teo 16 10 4 kgm 2 10
Tabell 5: Mätningar av tröghetsmomentet med stav och vikter. r 1 = r 2 =12 cm Försök ω[rad/s] t(s) α α I 10 4 [kgm 2 ] I s 2 vikt 10 4 [kgm 2 ] 1 7.88 1.67 4.72 25 21.26 2 9.98 1.94 5.14 23 19.26 3 6.48 1.33 4.78 24 20.26 Medel 8.11 1.64 4.91 23 20.26 Mätosäkerhet 0.587 0.10 0.06 0.163 0.44 Teoretiskt värde: I teo 18.44 10 4 kgm 2 Tabell 6: Mätningar av tröghetsmomentet med stav och en vikt. d 2 =12 cm, massa: 80 g per vikt Försök ω[rad/s] t(s) α α I 10 4 [kgm 2 ] I s 2 vikt 10 4 [kgm 2 ] 1 9.27 1.23 7.54 16 12.24 2 10.83 1.46 7.42 16 12.24 3 9.11 1.23 7.40 16 12.24 Medel 9.74 1.31 7.45 16 12.24 Mätosäkerhet 0.318 0.044 0.053 0.017 0.036 Teoretisk värde: I teo 16.1 10 4 kgm 2 Tabell 7: Undersökning av parallellaxelteoremet. Stav som roterar kring annan punkt än masscentrum. Stav som roterar kring annan punkt än masscentrum. Avstånd från centrum: 0 cm Försök ω[rad/s] t(s) α α I 10 4 [kgm 2 ] s 2 1 21.05 0.70 30.07 3.7 2 18.38 0.62 29.65 3.76 3 16.02 0.54 29.67 3.76 Medel 18.48 0.62 29.79 3.74 Mätosäkerhet 0.84 0.027 0.049 0.073 Teoretisk värde : I teo 4.608 10 4 kgm 2 11
Tabell 8: Undersökning av parallellaxelteoremet. Stav som roterar kring annan punkt än masscentrum. Avstånd från centrum: 5.5 cm Försök ω[rad/s] t(s) α α I 10 4 [kgm 2 ] s 2 1 15.87 0.69 23 4.9 2 13.67 0.58 23.6 4.8 3 14.61 0.62 23.6 4.8 Medel 14.72 0.63 23.4 4.84 Mätosäkerhet 0.369 0.019 0.038 0.054 Teoretisk värde : I teo 6.24 10 4 kgm 2 Tabell 9: Undersökning av parallellaxelteoremet. Stav som roterar kring annan punkt än masscentrum. Avstånd från centrum: 16.5 cm Försök ω[rad/s] t(s) α α I 10 4 [kgm 2 ] s 2 1 10.84 1.23 8.8 13 2 10.68 1.22 8.75 13 3 8.01 0.97 8.25 14 Medel 9.84 1.14 8.61 13.3 Mätosäkerhet 0.53 0.049 0.049 0.0034 Teoretisk värde : I teo 19.3 10 4 kgm 2 12
Lutningen på grafen är 35.24 10 4 [kg] 5 Diskussion 5.1 Aluminiumskivan Det uppmätta värdet för tröghetsmomentets bidrag som metallenringen gav var nästan dubbelt så stort. Detta kan bero på felkalibrering av utrustningen eller fel när datan hämtades ut från handdatorn. 5.2 Punktmassor För fallet med punktmassor på en tunnstav avvek de dynamiskavärdena för tröghetsmoment ungefär med 3.4 10 4 (kgm 2 ). När två vikter hängdes på staven så var det dynamiska värdet större medans när en vikt hängdes upp var värdet mindre. Rent teoretiskt borde de dynamiska värdena vara större än de teoretiska då ett fel uppstår vid antagandet att trisstan inte har något tröghetsmoment. Så vid experimentet med en vikt så kan mätvärderna avlästs fel. 13
6 Appendix w = [f rsk1f rsk2f rsk3]; uppmttdeltavinkelhastighet medelw = mean(w) oskw = std(w)/3 t = [f rsk1f rsk2f rsk3]; uppmttdeltat medeltid = mean(t) osktid = std(t)/3 m = 0.05; oskm = 0.00005/(2 sqrt(3)) g = 9.82; r = 0.0245; oskr = 0.0001/(2 sqrt(6)) + 0.004 vacc = (w./t) medelvacc = mean(vacc) oskacc = sqrt((oskw medeltid r) 2 + (osktid medelw r) 2 + ((oskr medelw medeltid) 2 )) I = (m (g vacc. r). r)./vacc medeli = mean(i) Im = ((g vacc. r). r)./vacc; Iacc = (m g r)./vacc; Ir = (g vacc)./vacc; osakerheti = ((oskm mean(im) 2 ) + ((oskacc (mean(iacc))) 2 )+ ((oskr mean(ir)) 2 )) 14