Lösningsförslag till tentamensskrivning i Matematik IV, 5B0 Måndagen den 0 oktober 00, kl 400-900 Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook Redovisa lösningarna på ett sådant sätt att beräkningar och resonemang är lätta att följa varen skall ges på reell form Del är avsedd för betyg och omfattar 7 uppgifter För godkänt krävs alla moduler godkända Del är avsedd för högre betyg, 4 och 5, och omfattar 0 poäng Poängfördelning på del : -, 6 ger poäng vardera, 4-5 ger 4 poäng vardera För betyg 4 krävs förutom godkänt på del även minst 8 poäng på del För betyg 5 krävs förutom godkänt på del även minst 4 poäng på del OB! GODKÄNDA MODULER TILLGODORÄKNA ENDAT FRÅN PERIOD 00 OB! Detta sker enligt följande: Godkänd modul nr i ger uppgift nr i godkänd, i,,7 Uppgift Nr 4 5 6 7 Modul BioK Nr 5 4 6 7 Modul BM Nr 7 4 5 6 Del Beräkna volymen av det område som begränsas av paraboloiden z 4 - x - y och xy-planet Volymen erhålles som V dxdydz V Ï 4- x - y Integrera först i z-led V dxdydz dz V D xy z 0 dxdy ( 4 - x - y ) dxdy Bestäm området D xy kärningskurvan mellan paraboloiden och xy-planet är x + y 4 Integrationsområdet D xy (x, y):x + y 4 D rv ( ) { } Inför polära koordinater V 4 - r rdrdv p (4r - r )dr p r - r4 4 r 0 VAR: Den sökta volymen V 8p È Î D xy 8p r 0 Beräkna (z - + y )ds, där är den del av planet x + y + 6z som ligger i första oktanten Vi projicerar ytan på xy-planet Dess projektion ges av D xy {(x, y):x + y } Integrationselementet ds dxdy ersättes med cosg En enhetsnormal till ges av n Den sökta ytintegralen övergår då i en dubbelintegral (,,6) Riktningscosinen cos g 6 7 7 F (z - + y )ds ( dxdy ( - x - y) - + y) 7 6 D xy 8 7 Integranden är en funktion av x Integrerar först med avseende på y - x Ï 6 6 6 F 7 9 x 0 y 0 7 ( - x )dy dx 9 x 0 (6 - x) 4 ( - x )dx 7 x 0 D xy ( - x )dxdy (8-9x + x )dx
F [ 4 x x 8x - 9 + 7 VAR: Den sökta 6 ] 4 8 (8 6-9 8 + 4 8) x 0 7 8 ytintegralen (z - + y)ds Lös följande variant av värmeledningsproblemet: Ï u(x,t) u(x, t), 0< x < p, t >0 t u(0, t) u( p, t)!! 0, t >0 u(x,0) (+ cosx ), 0 < x < p Vi separerar variablerna: u(x, t ) X (x )T (t ) Insättning i den partiella differentialekvationen ger: X (x)t(t) X (x )T (t) X (x) T (t) Dividera med X (x)t (t) : konstant l X (x) T (t) ÏX (x) - l X(x) 0 Vi erhåller ett system av linjära differentialekvationer: T (t) - l T (t) 0 lt "T-ekvationen" har lösningen: T (t) Ce För "X-ekvationen" behandlas tre olika fall: l > 0, l 0 och l < 0 l > 0, l m, m ŒR l0 l < 0, l -m, m Œ R X (x) A e mx + B e - mx X (x) A x + B X (x) A cos mx + B sin mx u u Randvillkoren (0, t) (p, t) 0 tillsammans med variabelseparationen ger att: X (0)T(t) X (p )T(t) 0 Detta skall gälla för alla t : X (0) X ( p ) 0 l > 0, l m, m ŒR l0 l < 0, l -m, m Œ R X (x ) m (A em x - B e -m x ) X (x ) A X (x ) m (- A sin mx + B cos m x) Insättning av ändpunkterna ger: l > 0, l m, m ŒR Ï0 X (0) m (A - B ) mp -m p 0 X (p ) m (A e - B e ) Endast den triviala lösningen l < 0, l -m, m Œ R l0 Ï0 X (0) A 0 X ( p ) A Ï0 X (0) m (B ) 0 X (p ) m (-A sin mp + B cos mp ) Ï B 0 X (x) A cosnx mp np X (x) B Motsvarande "T-lösningar" blir: l > 0, l m, m ŒR l < 0, l -m, m Œ R l0 T (t) C e -n T (t) C Vi har erhållit två uppsättningar med lösningar l0 l < 0, l -m, m Œ R u(x,t) B C u(x,t) A cosnx C e -n t Linjärkombinationer av lösningar är lösning Den lösning som uppfyller de givna randvillkoren är på formen: u(x,t) a0 +  an cos nx e - n t n Det återstår att bestämma koefficienterna t
Begynnelsevillkoret u(x,0) ( + cosx) ger: + cos x a 0 + Â a cosnx n n Identifiering ger: a 0, a och a n 0 för övrigt VAR: Den sökta lösningen är u(x,t) + cosx e- t 4 Bestäm de stationära lösningarna till differentialekvationen dy dx y - 9 samt avgör om de är stabila eller instabila tationära lösningar erhålles då derivatan är lika med noll, dvs då y ± Vi studerar derivatans tecken y > : dy > 0, y är växande dx > y > - : dy < 0, y är avtagande dx - > y : dy > 0, y är växande dx Den stationära lösningen y är instabil och den stationära lösningen y - är stabil t 0 5 Lös integralekvationen y (t ) sint - (t - u )y (u)du Laplacetransformera ekvationen: Y (s) s + - Y (s), enligt L4, L och L0 i BETA s Lös ut Y (s) Y (s)( + s ) s +, Y (s) s (s +) L4 i BETA ger: y(t) (sint + t cost) VAR: Integralekvationen har lösningen y(t) (sint + t cost) 6 y (t) t är en lösning till differentialekvationen t y - y 0, t > 0 Bestäm allmänna lösningen till differentialekvationen t y - y t -, t > 0 Vi utnyttjar lösningen till den homogena differentialekvationen för att reducera ordningen hos den inhomogena differentialekvationen genom ansatsen: y(t) t z(t), y t z + tz, y t z + 4t z + z Insättning i den inhomogena differentialekvationen ger t (t z + 4t z + z) - t z t - Vi förenklar t 4 z + 4t z t -, (t 4 z ) t - Integrera med avseende på t : t 4 z t - t + C, z t - - t - + C t -4 Integrera med avseende på t : z ln t + t - + C - t- ln t + t- + C t - + C Insättningi ansatsen ger y(t) t (ln t + t- + C t - + C ) C t - + C t + t ln t + VAR: Allmänna lösningen till den inhomogena differentialekvationen är y(t) C t - + C t + t ln t +
7 Bestäm den reella konstanten a, så att det linjära systemet får periodiska lösningar Ï x ax - y y -ax + y x ystemet kan skrivas Á y Á a - Á x Bestäm matrisens egenvärden -a y Dessa erhålles ur ekvationen 0 det(a - li), där matrisen A Á a - -a 0 a - l - -a - l l - ( + a)l + a - a Kvadratkomplettering ger: (l - + a ) ( + a ) + a, l + a ± ( + a ) + a Periodiska lösningar erhålles då egenvärdena är rent imaginära Detta inträffar då a - och egenvärdena är då l ±i VAR: Periodiska lösningar erhålles då a - Del Beräkna för s > 0 funktionen H(s) e -st (t - u) cosudu D Här föreligger två vägar till lösning Den ena är att först integrera med avseende på u därefter med avseende på t I det fallet är u-gränserna 0 och t samt t -gränserna 0 till oändligheten Den andra vägen ger t-gränserna u till oändligheten samt u-gränserna 0 till oändligheten Vi redovisar beräkningarna för det första fallet t Ï H(s) e -st (t - u) cosudu t 0 u 0, där D {(t, u) : 0 u t < } Den inre integralen verkar bekant Det är en faltningsintegral och vi känner vidare igen Laplacetransformens kärna Vi skall således beräkna Laplacetransformen för faltningen H(s) L{ t }L cost { } s s s + s (s +) var: Den sökta funktionen är H(s) För funktionen f gäller: s (s +) Ï f (t + p) f (t) f (t) t, 0 < t < p Ange dess Fourierserie, samt beräkna utgående från denna  n n a 0 Fourierserien är på formen: +  a n cosnt + b n sinnt n Vi bestämmer Fourierseriens koefficienter med hjälp av BETA p a 0 t 8p p t 0 ( ) [ ] 4 n a n p t cosnt p t 0 p n -sinnt + nt cosnt + n t sinnt t 0 p
( ) [ ] - 4p n b n p t sinnt p t 0 p n cosnt + nt sinnt - n t cosnt t 0 Vi tilldelar funktionen följande Fourierserie f (t) ~ 4p + 4 Â cosnt - 4p n n sinnt Vidare skall en viss series summa beräknas utgående från denna Fourierserie Insättning av ett lämpligt t-värde ger oss den önskade summan Vil väljer t0 där funktionen har ett språng Här tas medelvärdet från höger och från vänster ( 0 + (p) ) 4p n 4p VAR: Fourierserien är + 4 Â, Â n n n 4 p - 4p Á p 6 + 4 Â cosnt - 4p n n sinnt p eriesumman är 6 n n p Låt y (x) vara en känd lösning, skild ifrån noll, till y + P(x ) y + Q(x )y 0 P(x) och Q(x ) är kontinuerliga på ett intervall I Låt vidare y (x) vara en av y (x) linjärt oberoende lösning Härled y (x) - P(x )dx Visa att Wronskideterminanten W (y (x ), y (x )) Ce Vi använder reduktion av ordning och ansätter y y (x) z(x) Insättning i differentialekvationen ger ( ) + Q(x)y (x) z(x) 0 y (x) z(x) + y (x) z (x) + y (x) z (x) + P(x) y (x) z(x) + y (x) z (x) Hyfsning ger: y (x) z (x) + ( y (x) + P(x) y (x)) z (x) + ( y (x) + P(x) y (x) + Q(x)y (x))z(x) 0 Men y (x) vara en känd lösning Vi erhåller följande y (x) z (x) + ( y (x) + P(x) y (x)) z (x) 0 kriv differentialekvationen på normalform: z (x) + y (x) Á y (x) + P(x) z (x) 0 Multiplicera med y P(x )dx, härvid blir vänstra ledet en derivata y P(x )dx { z (x)} 0 Integration med avseende på x ger: z (x) C y - - P(x)dx Förnyad integration med avseende på x ger: z(x) C y - - P(x )dx dx + C Den allmänna lösningen blir y(x) y (x) z(x) C y (x) y - - P(x )dx dx + C y (x) En av y linjärt oberoende lösning är y (x) y - - P(x )dx dx W (y (x),y (x)) W (y (x),y (x) z(x)) y (x) y (x) z(x) y (x) y (x) z(x) + y (x) z (x) y (x) z (x) y (x) C y - - P(x)dx Vi erhåller således W (y (x),y (x)) C e - P(x)dx 4 Tillväxten av en cell beror av flödet av näringsämnen(som exempelvis aminosyror) genom det omslutande cellmembranet Låt W (t) vara cellens massa i gram vid tiden t, mätt i timmar, med W (0) W 0 Antag att massans tillväxthastighet är proportionell mot membranytans area och att densiteten (i g/volymsenhet) är konstant Cellen förutsätts ha formen av ett klot (en sfär)
a) Härled att differentialekvationen för W bör ha formen dw kw där k är en konstant b)bestäm W (t) om W 0 0-6 g och om massan efter timme är, 0-6 g (, 0-6 g) c)antag att cellen börjar dela sig då massan fördubblats, dvs är 0-6 g När startar celldelningen? (För ett numeriskt värde behövs att ª,6) Lösning a) Cellens massa är W rv r 4p r, r är densiteten och r är sfärens radie Membranets area är A 4pr Uttryck A i W A 4p(( W 4pr ) ) 4p(( Massans tillväxthastighet är proportionell mot membranets area ger: dw b) dw kw är separabel, dock saknar den triviala lösningen intresse Omforma differentialekvationen: W - dw k Vi integrerar med avseende på t: W kt + C 4pr ) W k W k A k k W kw Begynnelsevillkoret W (0) 0-6 ger: (0-6 ) C, C 0 - W kt + 0 - Bestäm k Efter timme är massan, 0-6 g (, 0-6 ) k + 0 -, k 0, 0-0 -, W 0 - t + 0 - Cellens massa vid tiden t ges av W (t) 0-6 (0,t +) g c) Bestäm tidpunkten, t, då cellens massa är fördubblad 0-6 0-6 (0,t +) t 0( -) ª 0(,6 -), 6 Cellens massa är fördubblad efter, 6 timmar VAR: a e ovan b Cellens massa vid tiden t ges av W (t) 0-6 (0,t +) g c Cellens massa är fördubblad efter, 6 timmar 5 kriv differentialekvationen x + x - ( x ) x - x som ett plant autonomt system Bestäm systemets kritiska punkter och avgör deras karaktär, dvs stabilitet/instabilitet och typ Inför en ny variabel y genom y x Ï x y Den givna differentialekvationen övergår då i systemet y x -x + - y y - x y x krivet på matrisform: Á y Á -x + - y y - x I de kritiska punkterna är tangentvektorn lika med nollvektorn Vi får då y Á -x + - y y - x Á 0 0 Vi erhåller följande kritiska punkter (0, 0) och (-,0) Vi studerar nu det linjariserade systemet Först beräknas Jacobimatrisen och sätter därefter in respektive stationära(kritiska) punkt Jacobimatrisen blir 0 Á -- x - 9y
0 Den kritiska punkten (0, 0) ger följande matris - Á 0 - l Egenvärdena fås ur 0 - - l l - l + (l - 4 ) + 5 6, l ± i 5 4 Komplexa egenvärden med positiv realdel innebär att den kritiska punkten är en instabil spiralpunkt Detsamma gäller även för det icke-linjära systemet 0 Den kritiska punkten (-, 0) ger följande matris Á 0 - l Egenvärdena fås ur 0 - l l - l - (l - 4 ) - 7 6, l ± 7 4 Reella egenvärden med olika tecken innebär att den kritiska punkten är en sadelpunkt och därmed instabil Detsamma gäller även för det icke-linjära systemet VAR: (0,0) är en instabil spiralpunkt (-,0) är en sadelpunkt och därmed instabil, där 6 Beräkna grad(ln(x + y )) n ds a) är sfären x + y + z b) är sfären (x - ) + (y - ) + z n är den utåtriktade enhetsnormalen till och z-axeln är en singulär kurva Detta påverkar dock inte resultatet i a) kär bort z-axeln med en cylinder med z-axeln som axel och med radien epsilon Efter beräkning av ytintegralen låter vi epsilon gå mot noll Vi bestämmer vektorfältet: u(x, y,z) grad(ln(x + y x )) Á x + y, x x + y, 0 Den givna ytan är sluten Vi prövar med divergenssatsen I fall a) är den ej tillämpbar, däremot i b) Vi beräknar divergensen för vektorfältet: divu x x + y + y y x + y + z 0 x + y - x x (x + y ) + x + y - y y (x + y ) 0 Divergenssatsen ger att flödesintegralen i fall b) är lika med noll För fall a) återstår att beräkna flödesintegralen Då behövs den utåtriktade enhetsnormalen till ytan En normal till sfären är n (x,y,z) Den utåtriktade enhetsnormalen är n x x + y x + grad(ln(x + y )) n ds ds färens area 4p 8p På ytan gäller att: n (x, y,z) och därmed blir grad(ln(x + y )) n VAR: a) 8p b) 0 (x, y,z) x + y + z x x + y y