Pelare ÖVNING 7 LÖSNING Dimensionerande materialegenskaper Betong C30/37 f cc f cc 30 0 MMM γ c 1,5 E cc E cc 33 γ cc 1, 7,5GGG Armering f yy f k 500 435 MMM γ s 1,15 ε yy f yy 435. 106,17. 10 3 E s 00. 109 l o l 3 6 m Dimensioneringsvillkor M RR M EE Bestämning av M EE β M EE (β 1) 1 + M N 0,EE B N 1 EE M O,EE M + N EE e i M O.EE 0+N EE e i 850 0,015 1,75 kkk e i l 0 400 6000 15 mm 400 N B π. EE l 0 Antag β 1,0 FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR 1
N B π EE l 0 π 6,5 10 6 6 178 kk 1 M Ed 1 + 1,75 1,9 1,75 4,5 kn 178 850 1 Momentkapacitet M RR vid centrisk normalkraft Antag att all armering flyter x N EE f cc 0,8 b 850 10 3 0 10 6 0,8 0,35 0,15m Kontroll av ε s och ε s: ε s d x ε x cu ε s x d ε x cu 0,3 0,15 3,5 10 3 3,5 10 3 > ε 0,15 syd,17 ok! 0,15 0,05 3,5 10 3,33 10 3 > ε 0,15 syd,17 ok! M Rd F c (d 0,4x) + F ś (d d`) N Ed (d h/) M Rd f cc 0,8 x b (d 0,4x) + f yd. A ś (d d`) N Ed (d h/) M Rd 0 10 6 0,8 0,15 0,35(0,3 0,4 0,15) + 435 10 6 01 10 6 (0,3 0,05) 850 10 3 (0,3 0,175) 139,1 knm Dimensioneringsvillkor M RR M EE Svar: M RR 139,1 knm < M EE 4,5 knm FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR
ÖVNING 8 LÖSNING Dimensionerande materialegenskaper Betong C30/37 f cc f cc 30 0 MMM γ c 1,5 E cc E cc 33 7,5 GGG γ cc 1, Armering f yy f k 500 435 MMM γ s 1,15 ε yy f yy 435. 106,17. 10 3 E s 00. 109 l o 0,77 l 3,85 m Antar att armering flyter ε s>εss σ f yy 1. Dimensioneringsvillkor M RR M EE. Bestämning av M EE M O,EE M EE + N EE e i e i l 0 400 3850 9,65 mm 400 M O,EE q d l 8 +N EE e i 3 5,0 8 + 500 0,0096 14,175kkk FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR 3
β M EE 1 + M N 0,EE B 1 N EE Antag β 1,0 N B π. EE l 0 N B π, 10 6 3,85 1465kk M EE 1 + 1,0 500 1465 1 14,175 1,517 14,175 1,5 kkk Bestämning av momentkapacitet M RR Antar att armering flyter ε s>εss σ f yy F c + F ś F s + N Ed ; men F ś F s F c N Ed 0,8x b f cc N EE x N EE 500 10 3 0,8 b f cc 0,8 0,4 0 10 6 0,078m M Rd F c (d 0,4x) + F ś (d d`) N Ed (d h/) f cc 0,8 b (d 0,4x) + f yd. A ś (d d`) + N Ed (d h/) M Rd 0 10 6 0,4 0,8 0,078(0,35 0,4 0,078) + 435 10 6 40 10 6 (0,35 0,05) 500 10 3 (0,35 0,) 136,6 knm M RR 111, 6 kkk > M EE, 5 kkk oo! Kontroll av ε s och ε s ε s ε cu(d x) x 0,35 0,078 3,5 10 3 1 10 3 < ε 0,078 syd ok! FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR 4
ε s ε cu(x d ) x σ 00 1,56 51,MPa 0,078 0,05 3,5 10 3 1,56 0 3 > ε 0,078 syd ej ok! M Rd 0 10 6 0,4 0,8 0,078(0,35 0,4 0,078) + 51, 10 6 40 10 6 (0,35 0,05) 500 10 3 (0,35 0,) 114,4 knm Svar: M RR 114,4 knm > M EE 1,5 knm FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR 5
ÖVNING 9 LÖSNING Dimensionerande materialegenskaper Betong C0/5 f cc f cc 30 0 MMM γ c 1,5 E cc E cc γ cc 33 1, 7,5GGG Armering f yy f k 555 444 MMM γ s 1, 11 ε yy f yy 444. 116, 11. 11 3 E s. 119 l o l 3, 0 6 m Dimensioneringsvillkor M RR M EE Bestämning av M EE β M EE (β 1) 1 + M N 0,EE B 1 N EE M O,EE M + N EE e i M O.EE q EE l +N EE e i,0 3,0 e i (förrrrrrrr fffffff) l 0 400 6000 15 mm 400 N B π. EE l 0 + 550 0,015 17,5 kkk FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR 6
Antag β 1,0 N B π. EE l 0 π 3,0 10 6 6 8kk 1 1 M EE 1 + 17,5 8 550 1 1 550 17,5 3 17,5 5 kk 8 Momentkapacitet M RR vid centrisk normalkraft Antag att all armering flyter F c + F ś F s + N Ed ; men F ś F s F c N Ed f cc b 0,8x N EE x N EE f cc 0,8 b 550 10 3 0,8 13,3 10 6 0,13 m 0,4 Kontroll av ε s och ε s: ε s d x ε x cu ε s x d ε x cu 0,355 0,13 3,5 10 3 6,1 10 3 > ε 0,13 syd,17 ok! 0,13 0,045 3,5 10 3,3 10 3 > ε 0,13 syd,17 ok! M Rd F c (d 0,4x) + F ś (d d`) N Ed (d h/) M Rd f cc 0,8 b (d 0,4x) + f yd. A ś (d d`) N Ed (d h/) M Rd 13,3 10 6 0,8 0,13 0,4(0,355 0,4 0,13) + 435 10 6 01 10 6 (0,355 0,045) 550 10 3 (0,355 0,) 136,6 knm Dimensioneringsvillkor M RR M EE Svar: M RR 136,6 knm < M EE 5 knm FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR 7
ÖVNING 30 LÖSNING Dimensionerande materialegenskaper Betong C5/30 f cc f cc 30 0 MMM γ c 1,5 E cc E cc γ cc 31 1, 5,8GGG Armering f yy f k 500 435 MMM γ s 1,15 ε yy f yy 435 106,17 10 3 E s 00 109 l o l 4,5 m d 350 45 305 mm d 45 mm Dimensioneringsvillkor M RR M EE Bestämning av M EE β M EE (β 1) 1 + M N 0Ed B N 1 Ed M O,EE M + N EE e i M O.EE 0+N EE e i 700 0,0113 7,9 kkk e i (förrrrrrrr fffffff) l 0 400 4500 11,5 mm 400 FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR 8
N B π. EE l 0 N B π 1,9 10 6 4,5 96 kk 1 M EE 1 + 7,9 4,1 7,9 3,4 kk 96 700 1 Momentkapacitet M RR vid centrisk normalkraft Antag att all armering flyter F c + F ś F s + N Ed ; men F ś F s F c N Ed f cd b 0,8x N Ed x N EE f cc 0,8 b 700 10 3 0,8 0 10 6 0,15 m 0,35 Kontroll av ε s ochε s: ε s d x ε x cu ε s x d ε x cu 0,305 0,15 3,5 10 3 5,04 10 3 > ε 0,15 syd,17 ok! 0,15 0,045 3,5 10 3,4 10 3 > ε 0,15 syd,17 ok! M RR F c (d 0, 44) + F s (d d`) N EE (d h/) M Rd f cd b 0,8x(d 0,4x) + f yd. A ś (d d`) N Ed (d h/) M Rd 0 10 6 0,8 0,15 0,35(0,35 0,4 0,15) + 435 10 6 01 10 6 (0,305 0,045) 700 10 3 0,305 0,35 164,5 knm Dimensioneringsvillkor M RR M EE Svar: M RR 164,5 knm > M EE 3,4 knm FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR 9
ÖVNING 31 LÖSNING Dimensionerande materialegenskaper Betong C35/45 f cc f cc 35 3,3 MMM γ c 1,5 E cc E cc γ cc 33 1, 7,5GGG Armering f yy f k 500 435 MMM γ s 1,15 ε yy f yy 435 106,17. 10 3 E s 00 109 l o l 6 m Dimensioneringsvillkor M RR M EE Bestämning av M EE M O,EE M EE + N EE e i e i l 0 400 6000 15 mm 400 M O,EE q d l 1 6 +N 8 EE e i + 750 0,015 65,5kkk 8 β M EE 1 + M N 0,EE B N 1 EE N B π EE l 0 FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR 10
N B π 1,8 10 6 6 493,5kk 1 M EE 1 + 65,5 1,9 65,5 15,3 kkk 493,5 750 1 Bestämning av momentkapacitet M RR Antar att armering flyter x N EE 750 10 3 0,8 b f cc 0,8 0,30 3,3 10 6 0,134m M Rd F c (d 0,4x) + F ś (d d`) N Ed (d h/) f cc b 0,8x(d 0,4x) + f yd. A ś (d d`) N Ed (d h/) M Rd 3,3 10 6 0,30 0,8 0,134(0,6 0,4 0,134) + 435 10 6 68 10 6 (0,6 0,04) 750 10 3 (0,6 0,5 0,30) 13,3 knm M RR 111, 3 kkk > M EE 111, 3 kkk oo! Kontroll av ε s och ε s ε s d x ε x cu ε s x d ε x cu 0,6 0,134 3,5 10 3 3,9 10 3 < ε 0,134 syd ok! 0,134 0,04 3,5 10 3,46 0 3 < ε 0,134 syd ok! Svar: M RR 13,3 knm > M EE 15,3 knm FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR 11
ÖVNING 3 LÖSNING Dimensionerande materialegenskaper Betong CCC/33 f cc f cc 33 MMM γ c 1, 5 E cc E cc 33, 5555 γ cc 1, Armering f yd f k 500 435 MPa γ s 1,15 ε yd f yd 435. 106,17. 10 3 E s 00. 109 φ ee 1,6 l 0 0,77 l 0,77 5 4,9 m Effektiv höjd d h C 80 34 46 mm. t d 34 mm. Imperfektionen för pelare e i l 0 3900 9,75 mm 400 400 1:a ordningens moment med hänsyn till imperfektioner M 0,EE M EE + N EE e i M 0,EE 0 + N EE e i 0 + 800 0,01 8 knm FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR 1
Kontroll om andras ordningens effekter skall beaktas λ λ mmm Med slankhetstalet vi definierat tidigt som λ l 0 i l 0 3,9 48,3 h 0,8 1 1 0 A B C λ mmm n n A N EE 800 10 3 A c f cc 0,8 0,8 0 10 6 0,51 1 1 1 + 0, φ ef 1 + 0, 1,6 0,76 B 1 + ω 1,1 C 1,7 r m 0,7 (okänd) (okänd) 0 0,76 1,1 0,7 λ min 16,4 0,51 λ 48,3 > λ min 16,4 Andra ordningens effekt skall beaktas Här provar vi med att gissa att andra ordningens effekter förstorar momentet med en faktor 1,5 M Ed 1,5 M O.Ed 1,5 8 1 knm Använd iteraktionsdiagrammet. n m ω 0 N EE 800 10 3 A c f cc 0,8 0,8 0 10 6 0,51 M Ed 1 10 3 b h f cd 0,8 0,8 0 10 6 0,03 Välj minimiarmering d.v.s. FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR 13
A s 0,000 A c 0,00 0,8 0,8 156,8 10 6 Välj ϕ 1 på varje sida. Kontrollera tvärsnitt β M Ed 1 + M N 0.Ed B 1 N Ed N B π EE l 0 EI K c E cd I c + K s E s I s ρ 45 10 6 0,0058 > 0,00 0,8 0,8 För ρ 0, 000 får följande faktorer användas K s 1 k c k 1 k (1 + φ ef ) k 1 f ck(mpa) 0 k n λ 170 k c 30(Mpa) 0 1, 48,3 0,51 0,15 0, ok 170 1, 0,15 (1 + 1,6) 0,07 I I 0 + A a a betong d h betong EI 0,07 7,5 10 9 0,8. 0,83 1 10,88 MNm + 1 00 10 9 45 10 6 0,46 0,8 N B π EE l 0 FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR 14
N B π 10,88 3,9 7,06 MN 1 M Ed 1 + 8 1,13 8 9 knm 7,06 0,8 1 Enligt interaktionsdiagrammet n m N EE 800 10 3 A c f cc 0,8 0,8 0 10 6 0,51 ω 1 0 M Ed 9 10 3 b h f cd 0,8 0,8 0 10 6 0,0 Välj minimiarmering d.v.s. A s 0,000 A c 0,00 0,8 0,8 156,8 10 6 Välj ϕ 1 på varje sida. Svar: + ϕ1 FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR 15
ÖVNING 33 LÖSNING Dimensionerande materialegenskaper Betong C30/37 f cd f ck 30 0 MPa γ c 1,5 E cd E cm γ ce 33 1, 7,5GPa Armering f yd f k 500 435 MPa γ s 1,15 ε yd f yd 435 106,17. 10 3 E s 00 109 φ ee,1 Effektiv höjd dh-c min-δc dur-ϕ/400-5-10-1,535,5 mm. d c min+δc dur+ϕ/5+10+1,547,5 mm. Imperfektionen för pelare l 0 0,77 l 0,77 7 5,4m e i l 0 400 5,4 400 0,0135 m 1:a ordningens moment med hänsyn till imperfektioner M 0.EE M EE + N EE e i M 0.EE q EEl 8 + N 30 7 EE e i + 580 0,0135 191,6 knm 8 FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR 16
Kontroll om andras ordningens effekter skall beaktas λ λ min Med slankhetstalet vi definierat tidigt som λ l 0 i och 0 A B C λ mmm n där n A N EE 580 10 3 A c f cc 0,4 0,4 0 10 6 0,18 1 1 1 + 0, φ ef 1 + 0,,7 0,65 B 1 + ω 1,1 (okänd) 0 0,65 1,1 0,7 λ min 3,6 0,18 λ l 0 i l 0 5,4 46,8 h 0,4 1 1 λ 46,8 > λ min 3,6 Andra ordningens effekt skall beaktas Här provar vi med att gissa att andra ordningens effekter förstorar momentet med en faktor 1,5 M Ed 1,5 M O,Ed 1,5 191,6 87,4 knm Använd iteraktionsdiagrammet. n m N EE 580 10 3 A c f cc 0,4 0,4 0 10 6 0,18 M Ed 87,4 10 3 b h f cd 0,4 0,4 0 10 6 0,5 FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR 17
ω 0, 33 A s ω b. h f cd 0 10 6 0,39 0,4 0,4 f yd 435 10 6 869 10 6 m Välj 6ϕ 5 på varje sida > (6ϕ 5 945 10 6 ) Kontrollera tvärsnitt β M Ed 1 + M N 0,Ed B N 1 Ed N B π EE l 0 där EI nominella styvheten enligt nedan EI K c E cd I c + K s E s I s ρ 945 10 6 0,4 0,4 0,019 > 0,01 För ρ 0, 00 får följande faktorer användas K s 0 k c 0,3 0,3 1 + 0,5φ ef (1 + 0,5,7) 0,18 EI 0,18 0 10 9 0,4. 0,43 1 5,46 MNm N B π EI l 0 π 5,46 5,4 1,85 MN β π c 0 π 9,6 1,03 M Ed 1 + β N B N Ed 1 Enligt interaktionsdiagrammet n M 0,Ed 1 + 1,03 N EE 580 10 3 A c f cc 0,4 0,4 0 10 6 0,18 191,6 1,47 191,6 81,7kNm 1,85 0,58 1 FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR 18
m M Ed 81,7 10 3 b h f cd 0,4 0,4 0 10 6 0, ω 1 0, 33 A s ω b h f cd 0 106 0,38 0,4 0,4 f yd 435 10 6 795 10 6 m Väll 6φ5 på varje sida med A s 945 mm Svar: 6 + 6 ϕ5 FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR 19
ÖVNING 34 LÖSNING Dimensionerande materialegenskaper Betong CCC/44 f cd f ck 35 3,3 MPa γ c 1,5 E cd E cm γ ce 34 1, 8,3GPa Armering f yd f k 500 435 MPa γ s 1,15 ε yd f yd 435 106,18. 10 3 E s 00 109 l 0 0,7 6,5 4,55 m Imperfektionen för pelare e i l 0 400 4,55 400 0,0114 m 1:a ordningens moment med hänsyn till imperfektioner M 0EE M EE + N EE e i 10 + 450 0,0114 15,13kNm Kontroll om andras ordningens effekter skall beaktas λ λ min λ l 0 i 0 A B C λ mmm n n N EE 450 10 3 b h f cc 0,40 0,45 3,3 10 6 0,11 FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR 0
A 1 1 1 + 0, φ ef 1 + 0,, 0,7 B 1 + ω 1,1 (okänd) ω f yd A s f cd A c C 1,7 r m 0,7 (okänd) 0 0,7 1,1 0,7 λ min 3,5 0,11 λ l 0 i l 0 4,55 35 h 0,45 1 1 λ 35 > λ min 3,5 Andra ordningens effekt skall beaktas Här provar vi med att gissa att andra ordningens effekter förstorar momentet med en faktor 1,5 M Ed 1,5 M O.Ed 1,5 15,13 188 knm Använd iteraktionsdiagrammet. n m N Ed 450 10 3 b h f cd 0,40 0,45 3,3 10 6 0,11 M Ed 188 10 3 b h f cd 0,40 0,45 3,3 10 6 0,1 ω 0, 11 A s ω b h f cd 3,3 106 0,1 0,40 0,45 f yd 435 10 6 1157 10 6 m Välj 6ϕ 16 på varje sida > ( 6ϕ 16 106 10 6 ) Kontrollera tvärsnitt β M Ed 1 + M N 0,Ed B N 1 Ed FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR 1
N B π EE l 0 EI K c E cd I c + K s E s I s ρ 106 10 6 0,40 0,45 0,0067 > 0,00 För ρ 0, 000 får följande faktorer användas K s 1 k c k 1 k (1 + φ ef ) k 1 f ck(mpa) 0 k n λ 170 k c 1,3 0,03 (1 +,) I I 0 + A a 35(Mpa) 0 1,3 35 0,11 0,03 0, ok 170 0,01 a betong d h betong EI K c E cd I c + K s E s I s EI 0,01 8,3 10 9 0,40. 0,453 1 8,5 MNm + 1 00 10 9 106 10 6 0,4 0,45 N B π EE l 0 N B π 8,5 4,55 3,93 MN 1 M 0,Ed 1 + 15,13 1,13 15,13 141,4 knm 3,93 0,45 1 Enligt interaktionsdiagrammet FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR
n m N Ed 450 10 3 b h f cd 0,40 0,45 3,3 10 6 0,11 M Ed 141,4 10 3 b h f cd 0,40 0,45 3,3. 10 6 0,075 ω 1 0, 00 A s ω b h f cd 3,3 106 0,07 0,40 0,45 f yd 435 10 6 675 10 6 m Väll 4φ16 på var sida med A s A s 804 mm Svar: 4 + 4ϕ16 FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR 3
ÖVNING 35 LÖSNING Dimensionerande materialegenskaper Betong C33/44 f cd f ck 35 3,3 MPa γ c 1,5 E cd E cm 34 8,3 GPa γ ce 1, Armering f yd f k 500 435 MPa γ s 1,15 ε yd f yd 435 106,17 10 3 E s 00 109 φ ee 1,4 l 0 0,77 5 3,9 m Imperfektionen för pelare e i l 0 400 3900 400 0,01 m 1:a ordningens moment med hänsyn till imperfektioner M 0.EE M EE + N EE e i M 0.EE 0 + N EE e i +00 0,01 knm Kontroll av om andras ordningens effekter ska beaktas λ λ min λ l 0 i FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR 4
0 A B C λ mmm n n A N EE 00 10 3 A c f cc 0,30 0,35 3,3 10 6 0,9 1 1 1 + 0, φ ef 1 + 0, 1,4 0,78 B 1 + ω 1,1 C 1,7 r m 0,7 (okänd) (okänd) 0 0,78 1,1 0,7 λ min 1,7 0,9 λ l 0 i l 0 3,9 38,5 h 0,35 1 1 λ 38,5 > λ min 1,7 Andra ordningens effekt ska beaktas Här provar vi med att gissa att andra ordningens effekter förstorar momentet med en faktor 1,5 M Ed 1,5 M 0.Ed 1,5 33 knm Använd interaktionsdiagrammet. n m N EE 00 10 3 A c f cc 0,30 0,35 3,3 10 6 0,9 M Ed 33 10 3 b h f cd 0,30 0,35 3,3 10 6 0,04 ω 0, 000 A s A ś ω b h f cd 3,3 106 0,05 0,30 0,35 f yd 435 10 6 141 10 6 m MMMMMMMMMMMMMM 0,00 0,3 0,35 10 10 6 Välj ϕ 0 på varje sida > ( 4ϕ 0 157 10 6 ) FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR 5
Kontrollera tvärsnitt β M Ed 1 + M N 0.Ed B 1 N Ed N B π EI l 0 EI K c E cd I c + K s E s I s ρ 157 10 6 0,30 0,35 0,01 > 0,00 För ρ 0, 000 får följande faktorer användas K s 1 k c k 1 k (1 + φ ef ) k 1 f ck(mpa) 0 k n λ 170 k c 35(MPa) 0 1,3 38,5 0,9 0,0 ok! 170 1,3 0, (1 + 1,4) 0,11 I I 0 + A a a betong d h betong EI 0,11 8,3 10 9 0,30 0,353 1 8,3 MNm + 1 00 10 9 157 10 6 0,316 0,35 N B π EE l 0 π 8,3 3,9 5,4 MN M Ed 1 + β N B N Ed 1 M 0.Ed 1 + 1 1,69 37, knm 5,4, 1 FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR 6
Enligt interaktionsdiagrammet n m N EE 00 10 3 A c f cc 0,30 0,35 3,3 10 6 0,9 M Ed 37, 10 3 b h f cd 0,30 0,35 3,3 10 6 0,043 ω 0, 000 A s A ś ω b h f cd 3,3 106 0,05 0,30 0,35 f yd 435 10 6 141 10 6 m MMMMMMMMMMMMMM 0,00 0,3 0,35 10 10 6 Välj ϕ 0 på varje sida > ( 4ϕ 0 157 10 6 ) Svar: + ϕ0 FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR 7
ÖVNING 36 LÖSNING Dimensionerande materialegenskaper Betong C30/37 f cc 0 MMM E cc E cc γ c 33 1, 7,5GGG Armering f yy 444 MMM ε yy, 11 11 3 l o l 6 11m Skall Andra ordningens moment beaktas? λ λ min 0 A B C λ mmm n n A N EE 950 10 3 A c f cc 0,45 0,45 0 10 6 0,35 1 1 1 + 0, φ ef 1 + 0,,6 0,66 B 1 + ω 1,1 C 1,7 r m 0,7 (okänd) (okänd) 0 0,66 1,1 0,7 λ min 1 0,35 λ l 0 i l 0 1 9,38 h 0,45 1 1 FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR 8
λ 9,38 > λ min 1 Andra ordningens effekt ska beaktas M O,EE M EE + N EE (e i + e) Initiallutning e i l 0 400 1000 30 mm 400 M O,EE 950(0,03 + e) (8,5 + 950e) kkk Andra ordningens moment N B π EE l 0 EI K c E cd I c + K s E s I s ρ 3 314 10 6 0,45 0,45 0,093 > 0,00 För ρ 0, 000 får följande faktorer användas K s 1 k c k 1 k (1 + φ ef ) k 1 f ck(mpa) 0 k n λ 170 k c 1,3 0,18 (1 +,6) 30(MPa) 0 0,35 9,38 170 0,044 1,3 0,18 0, ok I I 0 + A a a betong d h betong FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR 9
EI 0,044 7,5 10 9 0,45 0,453 1 15,67 MNm + 1 00 10 9 6 314 10 6 0,4 0,45 N B π EE l 0 π 15,67 1 1,07 MN β π c 0 π 8 1,3 β M Ed 1 + M N 0.Ed 1 + 1,3 (8,5 + 950e) B 1,07 1 N Ed 0,95 1 M Ed 10,74 (8,5 + 950e) 306,1 + 1003e knm Momentkapacitet M RR Antag att all armering flyter F c + F s F s + N EE ; mmm F s F s F c N Ed f cd b 0,8x N Ed x N Ed f cd 0,8 b 950 10 3 0,8 0 10 6 0,45 0,13 m Kontroll av ε s ochε s: ε s d x ε x cu ε s x d ε x cu 0,40 0,13 3,5 10 3 7,11 10 3 > ε 0,13 syd,17 ok! 0,13 0,05 3,5 10 3,17 10 3 ε 0,13 syd,17 ok! M Rd f cd b 0,8x(d 0,4x) + f yd A ś (d d`) N Ed (d h/) M Rd 0 10 6 0,45 0,8 0,13(0,4 0,4 0,13) + 435 10 6 3 314 10 6 (0,4 0,05) 950 10 3 0,4 0,45 307,15 knm FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR 30
Dimensioneringsvillkor M RR M EE 307,15 306,1 + 1003e e 1,07 10 4 m Svar: Största tillåtna lastexcentriteten (inkluderar ev. oavsiktlig excentricitet) e 0,1 mm FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR 31
ÖVNING 37 LÖSNING Dimensionerande materialegenskaper Betong CCC/33 f cd f ck 5 16,7 MPa γ c 1,5 E cd E cm 31 5,8 GPa γ ce 1, Armering f yd f k 500 435 MPa γ s 1,15 ε yd f yd 435 106,17 10 3 E s 00 109 φ ef 1,8 Imperfektionen för pelare l 0 l 6m e i l 0 400 6000 15 mm 400 Kontroll av om andras ordningens effekter ska beaktas λ λ min med slankhetstalet vi tidigare definierade som λ l 0 i och λ min 0 A B C n FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR 3
n A N Ed 650 10 3 A c f cd 0,3 0,5 16,7 10 6 0,6 1 1 1 + 0, φ ef 1 + 0, 1,8 0,74 B 1 + ω 1,1 C 1,7 r m 0,7 (okänd) (okänd) 0 0,74 1,1 0,7 λ min,35 0,6 λ l 0 i l 0 6 59,4 h 0,35 1 1 λ 59,4 > λ min,35 Andra ordningens effekt ska beaktas M 0.Ed M Ed + N Ed e i M 0,Ed P Ed ab l + N Ed e i P Ed 1,5 4,5 + 650 0,015 6 (1,15P Ed + 9,75) knm Andra ordningens moment N B π EI l 0 EI K c E cd I c + K s E s I s ρ 3 01 10 6 0,3 0,5 0,008 > 0,00 För ρ 0, 000 får följande faktorer användas K s 1 k c k 1 k (1 + φ ef ) FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR 33
k 1 f ck(mpa) 0 k n λ 170 k c 5(MPa) 0 1,11 59,4 0,6 0,09 0, ok 170 1,11 0,09 (1 + 1,8) 0,036 I I 0 + A a a betong d h betong EI 0,036 5,8 10 9 0,3 0,53 + 1 00 10 9 6 01 10 6 0,455 0,5 1 13,04 MNm N B π EI l 0 π 13,04 6 3,58MN β 1 M Ed 1 + M N 0,Ed 1 + (3,15q B 3,58 Ed + 7,5) 1 N Ed 0,65 1 M Ed 1, (1,15P Ed + 9,75) (1,37P Ed + 11,9)kNm Momentkapacitet M RR Antag att all armering flyter x N Ed 0,8 f cd b 650 10 3 0,8 16,7 10 6 0,3 0,16 m Kontroll av ε s ochε s: ε s d x ε x cu ε s x d ε x cu 0,455 0,16 3,5 10 3 6,45 10 3 > ε 0,16 syd,17 ok! 0,16 0,045 3,5 10 3,5 10 3 > ε 0,16 syd,17 ok! M Rd f cd b 0,8x(d 0,4x) + f yd A ś (d d`) N Ed (d h/) FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR 34
M Rd 16,7 10 6 0,3 0,8 0,16(0,455 0,4 0,16) + 435 10 6 3 01 10 6 (0,455 0,045) 650 10 3 0,455 0,5 5kNm Dimensioneringsvillkor M Rd M Ed 5 1,37P Ed + 11,9 Svar: 155,5 kn FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR 35
ÖVNING 38 LÖSNING Dimensionerande materialegenskaper Betong C35/45 f cd f ck 0 13,3 MPa γ c 1,5 E cd E cm 34 8,3 GPa γ ce 1, Armering f yd f k 500 435 MPa γ s 1,15 ε yd f yd 435 106,17 10 3 E s 00 109 φ ef 1,4 Imperfektionen för pelare l 0 l 5m e i l 0 400 5000 1,5 mm 400 Kontroll av om andras ordningens effekter ska beaktas λ λ min med slankhetstalet vi tidigare definierade som λ l 0 i λ min 0 A B C n n N Ed 580 10 3 A c f cd 0,35 0,35 13,3 10 6 0,356 FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR 36
A 1 1 1 + 0, φ ef 1 + 0, 1,4 0,78 B 1 + ω 1,1 C 1,7 r m 0,7 (okänd) (okänd) 0 0,78 1,1 0,7 λ min 0,13 0,356 λ l 0 i l 0 5 49,5 h 0,35 1 1 λ 49,5 > λ min 0,13 Andra ordningens effekt ska beaktas M 0.Ed M Ed + N Ed e i M 0.Ed q Edl 8 + N Ed e i q Ed 5 + 580 0,015 (3,15q 8 Ed + 7,5) knm Andra ordningens moment N B π EI l 0 EI K c E cd I c + K s E s I s 314 10 6 ρ 0,0103 > 0,01 0,35 0,35 För ρ 0, 00 får följande faktorer användas K s 0 k c 0,3 (1 + 0,5φ ef ) 0,3 (1 + 0,5 1,4) 0,177 EI 0,177 8,3 10 9 0,35 0,353 1 6,6 MNm N B π EI l 0 π 6,6 5,47MN β 1 M Ed 1 + M N 0,Ed 1 + (3,15q B,47 Ed + 7,5) N 1 Ed 0,58 1 FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR 37
M Ed 1,31 (3,15q Ed + 7,5) (4,1q Ed + 95)kNm Momentkapacitet M RR Antag att all armering flyter F c + F ś F s + N Ed ; men F ś F s F c N Ed f cd b 0,8x N Ed x N Ed 0,8 f cd b 580 10 3 0,8 13,3 10 6 0,35 0,16 m Kontroll av ε s ochε s: ε s d x ε x cu ε s x d ε x cu 0,30 0,16 3,5 10 3 3,06 10 3 > ε 0,16 syd,17 ok! 0,16 0,05 3,5 10 3,4 10 3 > ε 0,16 syd,17 ok! M Rd f cd b 0,8x(d 0,4x) + f yd A ś (d d`) N Ed (d h/) M Rd 13,3 10 6 0,35 0,8 0,16(0,30 0,4 0,16) + 435 10 6 314 10 6 (0,30 0,05) 580 10 3 0,30 0,35 136,4 knm Dimensioneringsvillkor M Rd M Ed 136,4 4,1q Ed + 95 q Ed 10,1kN/m Svar: 10,1 kn/m FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR 38
Brukgränstillstånd ÖVNING 39 LÖSNING Material egenskaper Betong C5/30 f ctm,6 Mpa E c31 Gpa Armering E s00gpa Bestäm böjstyvheten i osprucket stadium I (EE) I Kvasi-permanent lastkombination (EI) I E c,eff bh3 1 E cm E c,eff 1 + φ (,t0 ) 8,88 109 0,30 0,503 1 31 8,88 GPa 1 +,5 7,7 MNm Bestäm böjstyvheten i sprucket stadiumii (EE) II Kvasi-permanent lastkombination Läget på neutrallagret ges av (EI) II 0,5 b d 3 ξ E c,eff 1 ξ 3 ξ α e ρ 1 + α e ρ 1 α e E s 00 E c,eff 8,88,5 Armeringsandelen(ρ) A s A s 4 01 10 6 0,0058 < 0,0 ok! A c bd 0,300 0,465 ξ α e ρ 1 + α e ρ 1,5 0,0058 1 + 1 0,401,5 0,0058 (EI) II 0,5 0,30 0,465 3 0,401 8,88 10 9 1 0,401 18,7MNm 3 FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR 39
Nedböjning för fritt upplagad balk v mitt 5 q l4 384 EI Vi kontrollera om balken dimensionerad klarar i brukgränsdimensioneringen. Bestäm nedböjningen för båda lasterna med hjälp av ξ 1 β M cr M y tot ξv II + (1 ξ)v I Kvasi-permanent lastkombination y I 5 q l4 5 9 103 5,4 4 384 (EI) I 384 7,7 10 6 11,6. 10 3 m y II 5 q l4 384(EI) II 5 9 103 5,6 4 384 18,7 10 6 19,9. 10 3 m ξ 1 β M cr M M cr f ctm I I z β0,5 vid långtidslast M d,kv q Ed,kv l 8,6. 0,30 106 0,503 1 3,5 knm 0,50 9 103 5,4 8 ξ 1 0,5 3,5 105,7 0,999 105,7kNm y tot 0,999 19,9 10 3 + (1 0,999) 11,6 10 3 19,9 Svar: y tot 9,9 mm < l 5400 1,6 mm 50 50 FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR 40
ÖVNING 40 LÖSNING Material egenskaper Betong C5/30 f ctm,6 Mpa E c31 Gpa Armering E s00gpa Bestämning av maximalt tillåtna utbredd last i osprucket stadium I (EI) I E c,eff bh3 1 E cm E c,eff 1 + φ (,t0 ) 7,75 109 0,5 0,453 1 31 7,75 Gpa 1 + 3 Nedböjning för fritt upplagad balk 14,7 MNm y mmm L 500 I y mmmm 5 q l4 8 384 EI I 500 q d I 8 384 14,7 106 5 8 4 500 4,41 kn/m Bestämning av maximalt tillåtna utbredd last i sprucket stadiumii (EI) II 0,5 b d 3 ξ E c,eff 1 ξ 3 ξ α e ρ 1 + α e ρ 1 α e E s E c,eff 00 7,75 5,8 FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR 41
Armeringsandelen(ρ) A s A s 4 01 10 6 0,0078 < 0,0 ok! A c bd 0,5 0,415 ξ α e ρ 1 + α e ρ 1 5,8 0,0078 1 + 1 0,464 5,8 0,0078 (EI) II 0,5 0,5 0,415 3 0,464 7,75 10 9 1 0,464 1,6 MNm 3 Nedböjning för fritt upplagad balk y mmm L 500 II y mmmm 5 q l4 8 384 EI II 500 q d II 8 384 1,6 106 5 8 4 500 3,78 kn/m Svar: a) q d I 4,41 kn/m b) q d II 3,78 kn m FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR 4
ÖVNING 41 LÖSNING Dimensionerande materialegenskaper i brukgränstillstånd Betong C0/5 E cm 30 GPa f ccc, MPa Armering E s 00 GPa α e (korttidslast) E s E cm 00 30 6,66 Tyngdpunktsavståndet från underarmeringslagret blir c 1 45 mm c 45 + 45 90 mm c tp 4 45 + 90 6 Effektiva höjden blir 60 mm d h c tt 600 60 540 mm Bestäm böjstyvheten i osprucket stadium I (EE) I (EE) I E cm bh3 1 30 109 0,35 0,603 1 Bestäm böjstyvheten i sprucket stadium II (EE) II Läget på neutrallagret ges av 189 MMm (EI) II 0,5 b d 3 ξ E cm 1 ξ 3 ξ α e ρ 1 + α e ρ 1 FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR 43
α e E s E cm 00 30 6,66 ρ A s A s 4 491 10 6 0,01 < 0,0 ok! A c bb 0,35 0,54 ξ α e ρ 1 + α e ρ 1 6,66 0,01 1 + 1 0,3 6,66 0,01 (EE) II 0,5 0,35 0,54 3 0,3 30 10 9 1 0,3 66,7 MMm 3 Bestäm nedböjningen för båda lasterna med hjälp av y ttt ζy II + (1 ζ)y I ζ 1 β M cc M M P d L 10 4, 504 kkk M cc f ccc I I x tt x tp bh h + (α e 1) A s d bh + (α e 1) A s x tp 0,35 0,6 0,6 + (6,66 1) 4 491 10 6 0,54 0,35 0,6 + (6,66 1) 4 491 10 6 0,31 m Ideella tröghetsmomentet I I blir då: I I I I b h3 1 + bh x tp h + (α e 1) A s d x tp 0,35 0,63 1 + 0,35 0,6 0,31 0,6 + (6,66 1) 4 491 10 6 (0,54 0,31) 6,9 10 3 m 4 M cc f ccc I I x tt β 1 vid korttidslast, 106 6,9 10 3 0,31 48,65 kkk FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR 44
ζ 1 1,0 48,65 504 0,99 y II P dl 3 0,1 4,3 3(EE) II 3 66,7 44,4 10 3 m y I P dl 3 0,1 4,3 3(EE) I 3 189 15,68 10 3 m y ttt ζy II + (1 ζ)y I 0,99 44,4 10 3 + (1 0,99) 15,68 10 3 44,1 mm Svar: y ttt 44,1, y max 400 50 16,8 mm FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR 45
ÖVNING 4 LÖSNING Material egenskaper Armering A s 7 16 157 mm E s 00GGG Betong E cc 33GGG E cc E c,eee 1 + φ (.t0 ) α e 00 10 0 Täckande betongskikt 33 109 10 GGG 1 +,3 C40 mm c 1 40 + 16 48 mm c 40 + 16 + 37 + 16/ 101 mm c tp 5 48 + 101 7 63 mm d h c tt 600 63 537 mm Vid referenslinje x tt A I z A I x tt b h 0,5h + (α e 1) A s d bh + (α e 1) A s 350 600 300 + (0 1) 1407 537 350 600 + (0 1) 1407 36 mm 0,33 m FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR 46
I I b h3 1 + bh x tp h + (α e 1) A s d x tp 0,35 0,63 1 + 0,35 0,6 (0,33 0,3) + 19 1407 10 6 (0,537 0,33) 0,0076 m 4 Momentet ger följande maxpåkänningar Största betongtryckpåkänningen (i överkant) σ c,ö (z) M EE 80 103 z ( 0,33) 3,47MMM I I 0,0076 Största betongdragpåkänningen (i underkant) σ c,u (z) M EE 80 103 (h x I tt ) (0,600 0,33),84MMM I 0,0076 Största dragarmeringspåkänningen σ s α e M 80 103 (d x I tt ) 0 (0,537 0,33) 43,6MMM I 0,0076 Svar:σ,ö (z) 3,47MMM, σ c,u (z),84mmm, σ s 43,6MMM FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR 47
Betongplattor ÖVNING 43 LÖSNING Dimensionerande lastvärde i brottgränstillståndet Egentyngden G k 3,5 kn/m Nyttig last hotell Q k 3,0 kn/m ψ 0 0,7, γ 1 Väggarnas tjocklek 180 mm Säkerhetsklass 3 γ d 1,0 q Ed 1,35γ d G k + 1,5γ d ψ 0,1 Q k,1 + 1,5γ d i>1 ψ 0,i Q k,i q Ed 1,35 1 3,5 + 1,5 1 0,7 3,0 7,875kN/m q Ed 0,89 1,35γ d G k + 1,5γ d Q k,1 + 1,5γ d i>1 ψ 0,i Q k,i q Ed 0,89 1,35 1 3,5 + 1,5 1 3,0 8,71kN/m Välj q d 8,71 kn/m Effektiva höjderna vid stöd och fält är följande d aa d bb h C 10 180 0 5 155 mm FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR 48
d aa h C 8 8 180 0 8 4 148 mm d bb h C 8 180 0 4 156 mm Platta A b 6000 + 8000 180 180 13640 mm a 7000 90 6910 mm a b 6910 13640 0,5 < qq 8,705 13,64 160 kkk/m Armeringsmängd Lösning som baseras på 0,9d som hävarm. A s,aa A s,aa A s,bb Platta B m aa 7,9 0,9 d aa f yy 0,9 0,155 435 101 mm /m m aa 38,9 0,9 d aa f yy 0,9 0,148 435 671 mm /m m bb 35, 0,9 d bb f yy 0,9 0,156 435 576 mm /m b 6000 180 90 5730 mm a 11500 180 90 1130 mm a b 1130 5730 1,96 < qq 8,705 5,73 86 kkk/m Interpolering Elementfall 4 för 1,96 a s 470 1,96 1,9 a f 163 + (176 163)( 1,9 ) 168, b s 887 + (94 887) 0,6 909, FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR 49
b f 549 + (556 549) 0,6 553, Armeringsmängd Lösning som baseras på 0,9d som hävarm. A s,aa A s,bb A s,aa A s,bb Platta C m aa 13,44 0,9 d aa f yy 0,9 0,155 435 mm /m m bb 6 0,9 d bb f yy 0,9 0,155 435 49 mm /m m aa 4,8 0,9 d aa f yy 0,9 0,148 435 83 mm /m m bb 15,8 0,9 d bb f yy 0,9 0,156 435 59 mm /m b 5090 180 180 4730 mm a 8000 180 90 7730 mm a b 7730 4730 1,63 < qq 8,705 4,73 195 kkk/m Interpolering Elementfall 4 för 1,63 a s 470 1,63 1,6 a f 16 + (03 16) ( 1,7 1,6 ) 1 b s 770 + (81 770) 0,3 78,6 b f 510 + (55 510) 0,3 514,5 Armeringsmängd Lösning som baseras på 0,9d som hävarm. A s,aa m aa 9,17 0,9 d as f yy 0,9 0,155 435 151 mm /m FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR 50
A s,bb A s,aa A s,bb Platta D m bb 15,3 0,9 d bb f yy 0,9 0,155 435 5 mm /m m aa 4,13 0,9 d aa f yy 0,9 0,148 435 71,3 mm /m m bb 10 0,9 d bb f yy 0,9 0,156 435 164 mm /m b 6500 90 90 630 mm a 8000 180 90 7730 mm a b 7730 630 1, < qq 8,705 6,3 348 kkk/m Interpolering Elementfall 8 för 1, 1, 1, a s 43 + (44 43) 434 1,3 1, a f 10 + (196 10) 0, 07, b s 450 + (513 450) 0, 466, b f 89 + (38 89) 0, 97 Armeringsmängd Lösning som baseras på 0,9d som hävarm. A s,aa A s,bb A s,aa A s,bb m aa 15,1 0,9 d aa f yy 0,9 0,155 435 49 mm /m m bb 16, 0,9 d bb f yy 0,9 0,155 435 67 mm /m m aa 7, 0,9 d aa f yy 0,9 0,148 435 14 mm /m m bb 10,34 0,9 d bb f yy 0,9 0,156 435 169 mm /m FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR 51
Platta a/b A 0,5 B 1,96 C 1,63 D 1, Riktning Momentendex Elementfall qb [kkk/m] α 11 4 Delmoment ααb [kkk/m] d m Armering A s mm /m s (A-B) 450 7,9 155 101 a f 11 160 40 38,9 148 671 b f 17 35, 156 576 s (B-C,D) 470 13,44 155 a f 168 4,8 148 83 4 86 s (B-A) 909 6 155 49 b f 553 15,8 156 59 s (C-D) 470 9,17 155 151 a f 1 4,13 148 71,3 4 195 s (C-B) 78,6 15,3 155 5 b f 514,5 10 156 164 s (D-C) 434 15,1 155 49 a f 07, 7, 148 14 8 348 s (D-B) 466, 16, 155 67 b f 97 10,34 156 169 FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR 5
ÖVNING 44 Lastkombinationer Egentyngd G k,1 + 0,18 X 5 6,6 kn/m Nyttig last Q k 3,0 kn/m Ψ 0 0,7 Säkerhetsklass 3 γ d 1,0 q EE 1,35 1,0 6,6 + 1,5 1,0 0,7 3,0 1,06 kk/m eller q EE 0,89 1,35 1,0 6,6 + 1,5 1,0 3,0 1,43 kn/m Välj q Ed 1,43kN/m Platta A(fyrsidig upplagd platta) a 11000 mm b 4500 mm a b 11,44 > Långsträckt platta dela upp plattan i tre delplattor 4,5 qq q EE b 1,43 X 4,5 51,7 kkk/m Platta B (tresidig upplagd platta) a 11150 mm b 4500 mm a b 11,15 4,5,47 qb q Ed b 1,43 4,5 51,7 knm/m Platta C (tresidig upplagd platta) a 5000 mm b 4500 mm FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR 53
a b 5 4,5 1,1 qb q Ed b 1,43 4,5 51,7 knm/m Platta a/b Riktning Moment-endex Elementfall qb [kkk/m] α 11 4 Delmoment ααb [kkk/m] A(I`) A(II`) A(III`) B(I`) B(II`) C 1,1 a b b a b a b b a b f 163 4,1 s (A-B) 51,7 1000 5, f 669 16,8 s (A-B) 150 31,5 51,7 f 704 17,7 f 163 4,1 s (A-B) 51,7 1000 5, f 669 16,8 f 90,7 s(b-a,b-c) 13 51,7 730 18,4 f 398 10 s(b-a,b-c) 150 31,5 51,7 f 704 17,7 s (C-D,C-B) 307 7,7 f 98,5 15 51,7 s (C-E) 5 13,13 f 90 7,3 FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR 54