Lathund algebra och funktioner åk 9 För att bli en rackare på att lösa ekvationer är det viktigt att man kan sina förutsättningar, dvs vilka matematiska regler som gäller. Prioriteringsreglerna (vilken ordning vi räknar). 1. Parenteser. Multiplikation och Division. Addition och Subtraktion Räkning med negativa tal 1. Addition Exempel A: 1 + (-) = 1 = 9 Exempel B: (-1) + (-) = (-1) - = (-15). Subtraktion Exempel A: 1 - (-) = 1 + = 15 Exempel B: (-1) - (-) = (-1) + = (-9). Multiplikation Exempel A: 1 (-) = (-6) Eftersom 1 är positivt och (-) negativt. Exempel B: (-1) = (-6) Exempel C: (-1) (-) = 6 Eftersom nu är båda faktorerna (-1 och -) negativa. 4. Division 1 Exempel A: = (-4) Eftersom täljaren är positiv och nämnaren negativ. ( ) Exempel B: ( 1) = (-4) Exempel C: ( 1) ( ) = 4 Eftersom nu är både täljare och nämnare negativa. 5. Potenser Exempel A: = = 4 Exempel B: (-) = (-) (-) = 4 Se reglerna ovan för multiplikation. Exempel C: (-) = (-) (-) (-) = 4 (-) = (-8) Dvs. är exponenten ett ojämnt tal kommer produkten bli negativ och på samma sätt om exponenten är ett jämnt tal kommer produkten bli positiv. Algebraiska förenklingar a + a = a a a = a a b = ab a + a = 5a a a = 6a a 5b = 10ab -a a = - 4a -a a = - 6a -a -b = ab -a + (-a) = -a a = - 4a -a - (-a) = -a + a = 0
Parentesregler För att förenkla en parentes som innehåller variabler (t.ex a,b, x osv) måste man multiplicera in det som står framför parentesen för att få bort parentesen. Det gäller att hålla tungan rätt i mun och tänka på teckenförändringar. Här kommer några exempel. Positiva tal framför parentesen Exempel A: 7 + (x ) = 7 + x = 4 + x Innan parentesen står egentligen (+1) men då skrivs bara ett plustecken. 7 tillhör inte parentesen så den kan vi strunta i till en början. Istället ska vi för att förenkla bort parentesen multiplicera in +1 först med x och sedan med (-). (+1) (+x) = (+x) och (+1) (-) = (-) Kvar har vi då... Exempel B: 7 + (x ) = 7 + x 9 - + x Exempel C: 7 + x(x - 4) = Nu förenklar vi på samma sätt men nu är det (+) som ska multipliceras in i parentesen eftersom det står framför. (+) (+x) = (+x) och (+) (-) = (-9) kvar har vi då... Det är inte svårare bara för att det står ett (+x) framför parentesen. Utan vi fortsätter som tidigare genom att multiplicera in (+x) i parentesen. (+x) (+x) = (+x ) och (+x) (-4) = (-4x) kvar har vi då... 7 + x - 4x Här kan vi inte förenkla mer eftersom alla är av olika sort... Negativa tal framför parentesen Exempel A: 7 - (x ) = 7 - x + = 11 - x Innan parentesen står egentligen (-1) men då skrivs bara ett minustecken. 7 tillhör inte parentesen så den kan vi strunta i till en början. Istället ska vi för att förenkla bort parentesen multiplicera in (-1) först med x och sedan med (-). (-1) (+x) = (-x) och (-1) (-) = + Kvar har vi då... Exempel B: 7 - (x ) = 7 - x + 9 16 - x Exempel C: 7 - x(x - 4) = Nu förenklar vi på samma sätt men nu är det (-) som ska multipliceras in i parentesen eftersom det står framför. (-) (+x) = (-x) och (-) (-) = +9 kvar har vi då... Det är inte svårare bara för att det står ett (-x) framför parentesen. Utan vi fortsätter som tidigare genom att multiplicera in (-x) i parentesen. (-x) (+x) = (-x ) och (-x) (-4) = +4x kvar har vi då... 7 - x + 4x Här kan vi inte förenkla mer eftersom alla är av olika sort... OBS! När vi förenklar ett uttryck så skriver vi bara om det på så enkelt sätt det går. Dvs vi räknar ihop allt som är av samma sort tills vi inte kan arbeta vidare som i exemplen ovan. Förenklingen använder vi även till ekvationslösningar stegvis för att ta reda på det som är obekant, se nästa sida.
Ekvationslösning (balansmetoden) Tillvägagångssätt: 1. Arbeta alltid med att ställa upp ekvationen och arbeta stegvis nedåt, helst likhetstecknen under varandra hela tiden för att få en bra överblick.. Börja med att förenkla ekvationen så långt det går och utgå från prioriteringsreglerna!. Börja att använda balansmetoden för att få det som är obekant ensamt på en sida. 4. Har du obekanta på bägge sidor? Se till att ta bort från det led (sida) som har minst antal. Exempel A: 5 ( x) = 1 Jag börjar med att förenkla bort parentesen genom att mulitplicera in (-) först med (+) och sedan med (-x). 5 6 + x = 1-1 + x = 1 Jag förenklar klart genom att ta 5 6 = (-1) Nu börjar balansmetoden. För att få x-termerna ensamma så lägger vi till (+1) på bägge sidor. - 1 (+1) + x = 1 (+1) x = Nästan klara... För att få x ensamt måste vi dividera med (+) x = på bägge sidor. x = Och nu har vi löst en ganska klurig ekvation! Exempel B: (x + 4) = 4(x 5) x + 8 = 4x 0 x (-x) + 8 = 4x (-x) 0 Nu har vi x på bägge sidor! Men det struntar vi i nu för vi börjar bara att förenkla så långt vi kan på bägge sidor (led). I vänsterledet multiplicerar vi in (+) i parentesen och i högerledet multiplicerar vi in (+4) i parentesen och får då kvar Nu kan vi inte förenkla mer utan vi får börja med balansmetoden. Nu finns det x på bägge sidor! Vi tar därför bort i vänsterledet som har minst antal x-termer. Dvs. vi lägger till (-x) på bägge sidor. Och kvar har vi... 8 = x 0 Vi vill fortfarande få x-termerna ensamma så vi lägger till 8 (+0) = x 0 (+0) (+0) på bägge sidor. Och kvar har vi... 8 = x 8 = x Vi avslutar med att dividera med (+) på bägge sidor. 14 = x x är ensamt och vi har löst även denna ekvation.
Koordinatsystem Den vågräta tallinjen kallas x-axel och den lodräta tallinjen kallas y-axel. Skärningspunkten för axlarna kallas origo. En punkt i ett koordinatsystem anges med koordinater (x, y). Origo har koordinaterna (0, 0). På bilden ser vi punkten (4, ) dvs x-värdet = 4 och y-värdet = Funktioner Alla samband är funktioner och kan beskrivas med: formel, tabell och graf. Här kommer två exempel. Den röda linjen visar grafen till funktionen y = -x + 1 (OBS! Kan skrivas y = 1 - x) Den blå linjen visar grafen till funktionen y = x (OBS! Kan skrivas y = - + x) Gör vi tabeller för båda graferna så får vi ut en massa punkter. Alla dessa punkter ligger på respektive linje. Det gör vi genom att välja olika värden för x. Se tabeller och bilden nedan. y = -x + 1 x y - 5 0 1 - y = x - x y - - 7 0-1 OBS! Ser ni att alla de punkter vi fått ut från tabellerna ligger på respektive linje. Så kan man gå tillväga när man själv ska skapa en graf utifrån en formel. Börja med att göra en tabell, sätt ut punkterna och dra en linje genom dessa punker. Räta linjens ekvation y = k x + m k-värdet visar lutningen på linjen. Och m-värdet visar vart linjen skär y-axeln (dvs. när x=0) Nu kollar vi på de två funktionerna vi har ovan och spanar på deras k-värde och m-värde. y = x y = -x + 1 k-värdet på den blå linjen ovan är. Dvs flyttar vi oss ett steg i x-led från linjen, måste vi flytta två steg uppåt i y-led för att vara tillbaka på linjen. m-värdet är (-) och det stämmer eftersom linjen skär y-axeln vid (-). k-värdet på den röda linjen ovan är (-). Dvs flyttar vi oss ett steg i x-led från linjen, måste vi flytta två steg nedåt i y-led för att vara tillbaka på linjen. m-värdet är (+1) och det stämmer eftersom linjen skär y-axeln vid (+1).
Proportionalitet Ni har redan stött på begreppet proportionalitet. En proportion är ett förhållande mellan två saker eller storheter, t.ex. priset och vikten (kr/kg) eller sträckan och tiden (km/h). Proportionaliteter kan visas grafiskt. Grafen blir då en rät linje som går igenom origo (dvs. saknar m-värde). Här visas grafiskt en proportionalitet för en bil som kör i 0 km/h. Som funktion skulle vi beskriva detta som. y = 0x (där y är sträckan och x är tiden) I tabellform: x y 0 0 1 0 90 En proportionalitet har vi alltså när förhållandet är konstant. Och det kan skrivas med en formel: y = k x Fasta och rörliga kostnader m-värdet kan i vissa fall visa oss en fast kostnad och k-värdet en rörlig kostnad. Här till vänster ser ni två grafer som visar samtalskostnaden för två mobilabbonemang. Bolag A kan beskrivas med funktionen: y = x (eller y = 1 x) Bolag A har ett proportionellt samtalspris eftersom det saknar m-värde (fast kostnad) samt att det ökar lika mycket hela tiden (rät linje). k-värdet för bolag A är 1 (dvs det kostar 1 kr/min att ringa). Bolag B kan beskrivas med funktionen: y = 0,5x + 1 Bolag B har inte ett proportionellt samtalspris eftersom det har ett m-värde (fast kostnad på 1 kr i öppningsavgift). k-värdet för bolag B är 0,5 (dvs det kostar 0,50 kr/min att ringa).
Olika typer av grafer (samband) Här visas ett samband mellan sträcka och tid för tre personer. Ingelas linje visar att hon håller ett högt jämnt tempo tills hon kommer fram till punkt B, sedan får hon vänta där på de andra två. Fredrik håller ett jämnt tempo hela tiden men kommer fram samtidigt som Noah. Noah börjar klart lånsammast men sedan lägger han på en ordentlig spurt, snabbast av alla (störst lutning) för att komma fram till punkt B samtidigt som Fredrik. Några nya regler (se sid 196-197 i boken) Nu när ni börjar bli så pass vassa på att lösa ekvationer är det lika bra att vi spänner bågen ytterligare och testar lite nya kunskaper. Det är blir en liten breddning på parentesreglerna som för övrigt heter distributiva lagen. Distributiva lagen a(b + c) = ab + ac Första kvadreringslagen (a + b) = (a + b) (a + b) = aa + ab + ba + bb = a + ab + ab + b = a + ab +b Det är inte så svårt. Man multiplicerar först in första talet i första parentesen med det första talet i den andra parentesen sedan gör man samma sak men det andra talet i andra parentesen (se grön färg). På samma sätt gör man sedan med det andra talet i första parentesen (se röd färg). Andra kvadreringslagen (a - b) = (a - b) (a - b) = aa + a(-b) + (-b)a + (-b)(-b) = a - ab - ab + b = a - ab +b Vi gör precis som förra gången men nu måste vi vara noga vid teckenbyten eftersom vi även har negativa tal. Konjugatregeln (a + b)(a b) = aa + a(-b) + ba + b(-b) = a - ab + ab - b = a b Exempel på en förenkling av den lite svårare sorten (4a + 5) = (4a + 5)(4a + 5) = 4a 4a + 4a 5 + 5 4a + 5 5 = 16a + 0a + 0a + 5 = 16a + 40a + 5 Lycka till! Anders