TSFS6 Diagnos och övervakning Föreläsning 4 - och detekterbarhet Erik Frisk Institutionen för systemteknik Linköpings universitet erik.frisk@liu.se 21-4-3 1 2 Definition Ett propert linjärt filter R(p) är en residualgenerator för observationsmängden O och r = R(p)z en residual om z O lim t r(t) = En residualgenerator är inte nödvändigtvis känslig för fel. r = är alltid en residualgenerator, men en smula värdelös. Metod för att hitta alla, sedan kan man välja bland dem de som har bäst prestanda, med avseende på till exempel detekterbarhetsprestanda. Förra föreläsningen visades att för en modell H(p)x + L(p)z + F (p)f = så kan alla residualgeneratorer skrivas r = R(p)z där designfrihet i d(p) och γ(p). R(p) = d 1 (p)γ(p)n H (p)l(p) d(s) stabil och med gradtal större eller lika med täljarens γ(s)n H (s)l(s) gradtal. 3 4
Överföringsfunktion från fel till residual För modellen så har residualgeneratorn överföringsfunktionen från fel till residual. H(p)x + L(p)z + F (p)f = R(p) = 1 d(p) γn H(p)L(p)z G rf (s) = 1 d(s) γn H(s)F (s) Hur kan man forma G rf (s) via d(s) och γ? Vad är möjligt? 5 6 Frihetsgrader En fråga: Hur många linjärt oberoende residualgeneratorer finns det? (grad av redundans i modellen) y 1 = x y 3 = x y 2 = x y 4 = x Här kan alla parvis jämförelser (6 st) skapa en residual Frihetsgrader En fråga: Hur många linjärt oberoende residualgeneratorer finns det? (grad av redundans i modellen) ẋ 1 = x 1 + u ẋ 2 = x 1 x 2 r = y i y j men modellen har redundans 3. Alla residualer kan skrivas som linjärkombination av dvs. r 1 = y 1 y 2 r 2 = y 2 y 3 r 3 = y 3 y 4 r = ( ) r 1 γ 1 γ 2 γ 3 r 2 = γ 1 r 1 + γ 2 r 2 + γ 3 r 3 r 3 7 y 1 = x 1 y 2 = x 2 Genom direkt insättning får vi exempelvis e 1 :ẏ 1 + y 1 u = e 2 :ẏ 2 + y 2 y 1 = Vi kan också få e 3 : ÿ 2 + 2ẏ 2 + y 2 u = Den tredje fås genom e 3 = (p + 1)e 2 + e 1 8
Frihetsgrader En fråga: Hur många linjärt oberoende residualgeneratorer finns det? (grad av redundans i modellen) Då alla residualgeneratorer kan skrivas R(s) = 1 d(s) γ(s)n H(s)L(s) så ser man att rummet av residualgeneratorer spänns upp av N H (s)l(s) dvs. dimensionen ges av antalet oberoende rader i N H (s) som enligt dimensionssatsen ges av n r = rader i H(s) Rank H(s) = = # ekvationer # oberoende obekanta. För en tillståndsmodell blir detta n r = n y n d. n r = n y n d = # givare # oberoende störningar. 9 Hur många signaler kan avkopplas i residualen Hur många signaler kan vi avkoppla i en residual? Samma fråga är: hur många nollor kan vi införa i en rad i f residualstrukturen 1 f 2 f 3 r 1 X X Svaret är att n r >, dvs. rader i H(s) > Rank H(s) vilket är ganska naturligt. Antalet ekvationer måste vara större än antalet signaler vi vill avkoppla. 1 Mod b i (svarande mot felsignal f i ) är detekterbar i en modell om O(b i ) O(NF ) O(NF ) O(b 1 ) 11 Här är mod b 1 detekterbar i stokastiska modeller ej samma sak. en modellegenskap. Är observationerna, då f, möjliga att skilja från fallet då f =? 12
Felkänslighet i en residual För en modell och residualgenerator Felkänslighet H(p)x + L(p)z + F (p)f = En residual från en residualgenerator R(p) är känslig för fel i om G rfi (s), dvs. om G rf (s) = 1 d(s) γn H(s)F i (s) Skilj på detekterbarhet och känslighet för ett fel i en specifik residual. Testa ett fel i taget! Teorem Ett fel är detekterbart om och endast om det existerar en residual känslig för felet. 13 Skillnad mellan detekterbarhet och felkänslighet I systemet ( y1 y 2 ) = [ ] 1 p+1 1 u + p+2 ( f1 är båda felen detekterbara. För residualgeneratorn så gäller att f 2 r = y 1 1 p + 1 u = f 1 ) G rf1 (s) = 1, G rf2 (s) = Det går och konstruera residualer så alla detekterbara fel kan detekteras med någon residual. Vi kan visa detekterbarhet av ett fel genom att konstruera en residual som är känsligt för det felet. 14 Hur avgör man om ett fel är detekterbart? För att illustrera den enkla principen, betrakta tillståndsformen [ ] [ ] 1 c1 ẇ = Aw + Bu + d + f 2 y = w Eftersom alla tillstånd mäts så är felet detekterbart om det går att särskilja från störningen d [ ] {[ ]} c1 1 [ ] [ ] Im Im 1 c1 1 c 2 2 Rank > Rank 2 c 2 2 Naturligt: felet är detekterbart om c 2 2c 1. Ett fel är detekterbart om dess påverkan på systemet kan särskiljas från inverkan av okända signaler c 2 15 Generellt detekterbarhetstest Betrakta endast fel i, dvs. modellekvationen är H(p)x + L(p)z + F i (p)f i = där [H(s) L(s)] har full radrang för alla s C. Detta är inte uppfyllt om felmodeller används som t ex f i =. På samma sätt som i exemplet är f i detekterbart om f i kan särskiljas från x, dvs. Teorem Mod b i är detekterbar om Im F i (s) Im H(s) eller ekvivalenta uttryck som är mer lämpliga att använda som test i Matlab Rank [H(s) F i (s)] > Rank H(s) N H (s)f i (s) 16
Vad betyder detekterbarhetsvillkoret Antag ett icke detekterbart fel, dvs. O(b i ) O(NF ), dvs. det gäller att Im F i (s) Im H(s) Detta betyder att det existerar en matris ξ(s) så att F i (s) = H(s)ξ(s) Det betyder att modellen, under b i, kan skrivas enligt = H(p)x(t) + L(p)z(t) + F i (p)f i (t) = = H(p)x(t) + L(p)z(t) + H(p)ξ(p)f i (t) Vid elimination av x, genom multiplikation från vänster med N H (p) elimineras även f i : = N H (p)h(p) x(t) + N }{{} H (p)l(p)z(t) + N H (p)h(p) ξ(p)f }{{} i (t) = = 17 18 av isolerbarhet Mod b i är isolerbar från mod b j i en modell om O(b i ) O(b j ) O(b 2 ) O(b 1 ) som ett detekterbarhetsproblem Från föreläsning 2 vet vi att O(b 1 ) O(b 2 ) detektera f 1 oavsett värdet på f 2 Skriv om modellen (med f 1 och f 2 ) ( ) x = H(p)x+L(p)z+F 1 (p)f 1 +F 2 (p)f 2 = [H(p) F 2 (p)] +L(p)z+F 1 (p)f 1 Nu kan vi använda detekterbarhetskriteriet för en ny modell med ny H-matris ( H(p) F2 (p) ) f 2 Här är mod b 1 isolerbar från mod b 2. Samma typ av villkor som detekterbarhet Går att skriva om isolerbarhetskravet som ett detekterbarhetskrav och använda samma villkor som för detekterbarhet 19 Mod b 1 isolerbar från mod b 2 om Im F 1 (s) Im [H(s) F 2 (s)] Rank [H(s) F 1 (s) F 2 (s)] > Rank [H(s) F 2 (s)] 2
Lågpassverkan i residualen 7 6 5 4 3 2 1 1 2 3.1.2.3.4.5.6.7.8.9 1 t [s] Är fel/brus-förhållandet för dåligt i en residual? Lågpassfiltrera hårdare. Säkrare detektion till priset av längre detektionstid! 21 22 Val av γ(s) och d(s), generellt Val av γ(s) och d(s), generellt R(s) = d 1 (s)γ(s)n H (s)l(s) Det skalära polynomet d(p) ger lämplig, tex. låg-pass, karakteristik hos residualgeneratorn Antag mätbrus, dvs. mätsignalen och residualgenerator ges av r = R(p)z = då blir residualen i felfritt fall a(p)y + b(p)u, y = y + ɛ d(p) r = a(p) d(p) ɛ Känslighetsresultatet säger att om alla felen är detekterbara så existerar ett γ(s) så att G rfi (s) = d 1 (s)γ(s)n H (s)f i (s), i = 1,..., n f dvs. γ kan väljas genom att bilda N H (s)f (s) och se till att γ väljs så att alla element i γn H (s)f (s) är skilda ifrån. γ(s) kan alltid väljas konstant (och det finns i regel ingen anledning att göra något annat). Det hela handlar om att forma överföringsfunktionerna från fel, brus, modellfel etc. till residual. 23 24
Designvariabel γ För flygmodellen från förra föreläsningen avkopplade vi fel f 6 och fick följande felkänslighet: N H (s)f (s) = [ ].75s s +.538.91394.12 1 22.7459s 2 + 14.5884s 6.6653 s 2.93678s 16.5141 31.458 Dimensionen är 2 och det finns exakt två linjärt oberoende residualgeneratorer. Välj γ i γn H (s)f (s) så att residualen blir känslig för de ej avkopplade felen, dvs för f 1,..., f 5. För att göra residualen känslig för fel f 5 måste rad 1 användas, dvs om γ = [γ 1 γ 2 ] så måste γ 1. Designvariabel d(s) För att välja till exempel första raden i basen, välj γ = [1 ]: γ(p)n H (p)l(p) = [.75p p +.538.91394.12 1 ] Följande räkningar illustrerades redan förra föreläsningen. En realiserbar residualgenerator är då till exempel: R(s) = 1 [ ].75s s +.538.91394.12 1 1 + s En tillståndsbeskrivning av residualgeneratorn kan visas vara ẇ = w + [.75.9462.914.12 1 ] z r = w + [.75 1 ] z vilket är enkelt att implementera i en dator. 25 26 sutvärdering i en bode-plot Grf(s) [db] 5 1 f1 5 1 f2 5 1 f3 5 1 f4 5 1 f5 15 15 15 15 15 1 5 1 1 5 1 5 1 1 5 1 5 1 1 5 1 5 1 1 5 1 5 1 1 5 w [rad/s] Flera fel avvägning i varje residual vilken/vilka man ska prioritera. Optimering. 27 28
sexempel Antag ett roterande system som beskrivs av ekvationerna nedan och man mäter vinkeln ϕ med ett additivt sensorfel f. = hur bra kan vi detektera konstanta fel. eller ekvivalent y = ϕ = ω ω = µω + u y = ϕ + f 1 p(p + µ) u + f Enkla räkningar ger att alla residualer bygger på sambandet 3 2.5 2 1.5 1.5 f r 1 r 2 p(p + µ)y u = p(p + µ)f ÿ + µẏ u = f + µ f Illustrerar ett enkelt fall då f är detekterbart men endast reagerar på derivatan av felet. 5 1 15 t [s] Båda residualerna är känsliga för felet, men den ena är uppenbart bättre. 29 3 Överföringsfunktioner från fel till residual, forts. G rfi (s) = d 1 (s)γ(s)n H (s)f i (s) G rf [db] 5 5 1 15 2 25 3 35 4 45 1 2 1 1 1 1 1 1 2 ω [rad/s] G rf [db] 5 5 1 15 2 25 3 35 4 45 1 2 1 1 1 1 1 1 2 ω [rad/s] Definition (Starkt/svagt detekterbart fel) Mod b i är starkt detekterbart om för ett konstant f i z O. Ett detekterbart fel som inte är starkt detekterbart är svagt detekterbart. Definition Ett fel f i är starkt detekterbart i en residual r om G rfi (s) s=. Teorem Ett fel f i är starkt detekterbart om och endast om N H ()F i (). 31 Teorem Ett fel är starkt detekterbart om och endast om felet är starkt detekterbart med en residual. 32
Stark/svag detekterbarhet och isolerbarhet Sammanfattning av val av γ Åter flygmodellen: avkopplade av fel f 6 gav följande felkänslighet: N H (s)f (s) = [ ].75s s +.538.91394.12 1 22.7459s 2 + 14.5884s 6.6653 s 2.93678s 16.5141 31.458 Ett fel f i är starkt detekterbart om och endast om N H ()F i (). Eftersom N H ()F 1 () = så finns går det inte att isolera ett konstant fel f 1 ifrån f 6. (Generalisering av stark detekterbarhet till isolerbarhetsfallet) Det finns ingen residual, dvs inget val av γ, så att f 6 avkopplas och f 1 är starkt detekterbar med residualen. Antag att f 4 har avkopplas och följande felkänslighet har beräknats [ ] 1 s N H (s)f (s) = 1 s s Hur ska γ = [ ] γ 1 γ 2 väljas? Känslig för f 1 γ 2. Starkt detekterbarhet för f 2 γ 1. f 3 är svagt detekterbar för alla val av γ. Exempel på lösning: γ = [ 1 1 ]. 33 34 och känslighet vid isolering f 1 f 2 f 3 r 1 X X f = ( f1 f 3 ), d = f 2 För att kunna isolera fel från varandra så vill man avkoppla fel i residualen Avkoppling påverkar möjligheten att detektera andra fel. Ett detekterbart fel kan därmed vara ej detekterbart i en viss given residualstruktur. Detta relaterar direkt till modellens isolerbarhetsegenskaper. Om b i ej är isolerbar från b j så kommer avkoppling av f j automatiskt avkoppla även fel f i. svillkoren ger direkt villkor på möjliga beslutsstrukturer. 35 36
Avkoppling påverkar möjligheten att detektera andra fel Anta ett andra ordningens system med två insignaler och två utsignaler samt modellerade fel på in/ut-signaler. Rita en figur eller analysera strukturen så ser man f u1 f u2 f y2 e 1 : ẋ 1 = x 1 + u 1 + f u1 e 2 : ẋ 2 = x 1 x 2 + u 2 + f u2 e 3 : y 1 = x 1 + f y1 e 4 : y 2 = x 2 + f y2 Vilka av nedanstående residualer är möjliga och vilka är det inte? f u1 f u2 f y1 f y2 r 1 X X X r 2 X X X r 3 X X X r 4 X X X r 5 X X Går att räkna på men vill man förstå är det nyttigt att rita en figur. 37 u 1 e 1 x 1 e 2 f y1 e 3 y 1 u 2 f u1 f u2 f y1 f y2 r 1 X X X x 2 e 4 y 2 Redundans två kan inte skapa r 5 (N H = ). f u1 f u2 f y1 f y2 r 1 X X x 1 x 2 e 1 X f u1 e 2 X X f u2 e 3 X f y1 e 4 X f y2 38 Koppling isolerbarhet och känslighet Sammanfattningsvis finns följande väntade resultat som kopplar ihop känslighet med detekterbarhet/isolerbarhet: Teorem ( och känslighet) Fel f i är detekterbart om och endast om det existerar en residualgenerator som är känslig för fel f i. Teorem (isolerbarhet och känslighet) Fel f i är isolerbar från f j om och endast om det existerar en residualgenerator som avkopplar f j och som är känslig för f i. 39 Designprocedur 1. Beräkna detekterbarheten och isolerbarheten, som är lika med den maximala detekter- och isolerbarhetsprestandan för ett diagnossystem. 2. Ansätt en beslutstruktur så att: a) varje rad i beslutstrukturen kan realiseras enligt detekter- och isolerbarheten. b) diagnossystemets totala detekter- och isolerbarhetsprestanda blir den önskade. 3. Konstruera residualer genom att avkoppla fel enligt raderna på beslutsstrukturen. 4. Använd designfrihet i residualgeneratorerna för att få känslighet för alla fel som inte ska avkopplas enligt beslutsstrukturen. Vi ska studera detta steg härnäst. I det olinjära fallet blir det ännu viktigare att kunna ansätta en bra beslutsstruktur, eftersom det kan krävas stora insatser att designa en residual. Analytiska metoder är begränsade i olinjära fall och strukturella analyser kan då användas för att analysera modellens detekter- och isolerbarhetsegenskaper. 4
Att ta med sig från föreläsningen är en modellegenskap som inte nödvändigtvis är samma som felkänsligheten i konstruerade residualer. Enkla detekterbarhets/isolerbarhets-test via matrisvillkor. Om de två designvariablerna kan grovt sägas: γ(s) Åstadkomma känslighet för önskade fel och forma överföringsfunktionen. d(s) Införa, till exempel, lågpass-verkan för att filtrera bort brus och förstärka fel/brus-förhållandet. = kan konstanta fel detekteras? TSFS6 Diagnos och övervakning Föreläsning 4 - och detekterbarhet Erik Frisk Institutionen för systemteknik Linköpings universitet erik.frisk@liu.se 21-4-3 41 42