Slumpvarabler Väntevärden F0 Slutsatser från urval tll populaton Slumpvarabler (Stokastska varabler) En slumpvarabel är en funkton från utfallsrummet tll tallnjen Ex kast med ett mynt ggr =antalet krona ={0,,} kr, kr kr, kl U = kl, kr kl, kl 0 x x
Sannolkhetsfördelnng för en dskret varabel Ex =antalet prckar vd kast med tärnng ={,,3,4,5,} är en dskret slumpvarabel Sannolkhetsfördelnn gen för x P(=x) P( x)=f x (x) / / / / 3 / 3/ 4 / 4/ 5 / 5/ / /= Sannolkhetsfördelnng för en dskret varabel P(=x) / 3 4 5
Väntevärde Väntevärdet för (Expectaton, expected value) Vd oändlgt många upprepnngar av försöket E()=µ ( x ) k E ( ) = x P = = k=antalet varabelvärden Jmfr medelvärdet ett grupperat materal Exempel:kast med tärnng Förväntat antal prckar vd kast med tärnng: E( ) = + + 3 + 4 + 5 + = 3,5 3
Varans [( ) ] ( ) ( ) k V ( ) = σ = E µ = x µ P = x = Ex µ =3,5 V + ( ) = ( 3,5) + ( 3,5) + ( 3 3,5) + ( 4 3,5) + ( 5 3,5) ( 3,5) 35 = σ =standardavvkelsen för σ = V ) = σ ( + σ = 35,7 Urval från en populaton µ en populaton Ex µ =medellängd Urval från en populaton Bestäm en skattnng av µ Använd medelvärdet urvalet som skattnng n x = = n Det skattade medelvärdet -bar är en slumpvarabel 4
Kontnuerlg slumpvarabel kan anta oändlgt många värden ett ntervall Då kan anta ett oändlgt antal värden ett ntervall säger v att sannolkheten att antar ett specfkt värde är noll. V tttar stället på sannolkheten att antar värden nom ett ntervall Ex sannolkheten att en slumpmässgt utvald person är 90 cm lång? V tttar nte på sannolkheten att en person är exakt 90 cm, utan på sannolkheten att personen är mellan 89,5 och 90,5. Sannolkhetsfördelnng för en kontnuerlg varabel En kontnuerlg normalfördelad slumpvarabel. Här: längd, µ x =75,σ =4 5
P(79,5 80,5)=? Ytan under kurvan=. Hur stor del av ytan utgör vårt markerade område? Normalfördelnng Vktgaste sannolkhetsfördelnngen för en kontnuerlg varabel Kurvan beräknas med formeln (behöver ej kunna denna formel!): f ( x) = x µ σ e πσ Kurvan bestäms av medelvärdet och standardavvkelsen Det fnns alltså ett oändlgt antal normalfördelnngar N ( µ, σ )
Varför behöver v kunna något om normalfördelnngen? Ex längd: N( 75,4) Dvs är normalfördelad med medelvärde 75 och standardavvkelse 4 34,3% 34,3% 3,59% 3,59%,8%,8% Slumpmässgt urval Slumpmässgt urval Populaton: N st elemet Urval (stckprov): n st element Varje element populatonen ska ha en känd sannlkhet >0 att bl utvald. Populatonen har ett okänt medelvärde µ Urvalet: n x = = n 7
Exempel En populaton består av N = 4 personer och varabeln = vkt. Observatonerna är 77, 83, 90 och 90 kg. Populatonsmedelvärdet µ blr 85 kg. V drar nu ett obundet slumpmässgt urval (OSU) med återläggnng om n = personer. Det fnns då 4 x 4 = olka urval som alla har samma sannolkhet, /. V antar nu att v nte vet populatonsmedelvärdet utan v vll skatta det från den nformaton v får från urvalet. V väljer stckprovsmedelvärdet som en skattnng för µ. Denna skattnng är en slumpvarabel och v kan nu bestämma alla tänkbara värden på denna varabel utfrån de olka möjlga urvalen. Sannolkhetsfördelnngen för -bar Vad vet v om sannolkhetsfördelnngen för -bar? Hur ser fördelnngen för -bar ut? 8
Väntevärdesrktg skattnng V kan för varje urval också bestämma urvalsfelet µ dvs avvkelsen mellan medelvärdet stckprovet och populatonen Om urvalsfelet genomsntt är 0 så är skattnngen väntevärdesrktg, v har nget systematskt fel Centrala gränsvärdesatsen, CGV Oavsett hur populatonen ser ut gäller att fördelnngen för -bar närmar sg en normalfördelnng om v drar ett tllräcklgt stort stckprov av n oberoende observatoner Tllräcklgt stort. Tumregel: n>30 Kravet på stckprovsstorleken är beroende av hur populatonen ser ut: ju mer symmetrsk, desto bättre kan fördelnngen för -bar approxmeras med en normalfördelnng för en gven stckprovsstorlek. Om populatonen är normalfördelad är också fördelnngen för -bar normalfördelad för alla storlekar på n, även om n är mycket ltet. 9