Egensystem Vi skalla främst utnyttja omskrivning av en matris för att löas ett system av differentialekvaioner Potens av matris 2 6 Ex Givet matrisen A =, vad är A 2? Det är komplicerat att beräkna högre potenser av A men efter lite arbete får vi 8 A 2 = A A = 3 7 Ex 2 Med a D = d a2 och D 2 = d 2 a a blir D D 2 = 2 d d 2 alltså en matris som enkel att beräkna Speciellt med a = a 2 = a och d = d 2 = d och D = D 2 = D är alltså a D r r = d r, r =, 2, 2 Diagonalmatris Definition En kvadratisk matris D = (d jk ) n n, sådan att d jk = om j k, kallas diagonalmatris Dvs d d 22 D = () d nn En matris A är diagonaliserbar, om det finns matriser P och D, där den senare är en diagonalmatris och A = P D P (2) En diagonaliserbar matris måste vara kvadratisk av samma typ som P och D, säg typ n n Det följer att det A = det D och det D = n k= d kk
Teorem Definition 2 Givet ekvationen där typ A = n n, alltså kvadratisk A r = P D r P, r =,, 2, (3) A x = λ x, (4) En matris x av typ n, som uppfyller (4) kallas egenvektor tilll matrisen A Talet λ kallas egenvärde Ex 3 Är matrisen i vårt första exempel diagonaliserbar? (4) medför att Ax = λix (A λi)x = För att denna matrisekvation skall ha en lösning x måste determinanten det(a λi) = (5) Denna ekvation kallas Sekularekvationen I vårt exempel är 2 λ 6 A λi = så att sekularekvationen är A λi = λ 2 3λ 4 = λ med lösningar λ = 4 och λ 2 = Motsvarande egenvektorer ges på matrisform av (Obs! ett homogent ES) x 2 6 3 3 x = : dvs x 3 3x 2 = x = x 2 x 2 3 Vi väljer x 2 = och får egenvektorn x = Nu tar vi egenvärdet λ 2 = som ger matrisekvationen x2 3 6 2 x 2 = : och alltså x 2 2 + 2x 22 = x 22 2 En egenektor är därmed x 2 = Vi visar nu hur men inte varför (kommer senare) P och D ser ut och att (2) är uppfyllt 3 2 λ P = x x 2 =, D = och P = 2 λ 2 5 3 Det ger (P D) P = 2 2 4 2 5 3 = 5 3 5 5 = A, som förväntat Ex 4 Beräkna A 4 för matrisen i föregående exempel
Vi skriver om A = P D P För att visa födelen med att kunna diagonalisera beräknar i först Alrtså är A 4 = A 3 = (P D P ) (P D P ) (P D P ) = = P D(P P ) D (P P ) D P = = P D 3 P och pss A 4 = P D 4 P 2 3 4 4 ( ) 4 3 5 5 5 = 54 36 5 3 Allmänt betraktar vi nu A av typ n n med egenvärden λ, λ 2, λ n och motsvarande egenvektorer x, x 2,, x n Vi bildar P = x x 2 x n och diagonalmatrisen D med nolllor över och under huvuddiagonalen, samt egenvärdena d kk = λ k, k =, 2,, n i huvuddiagonalen Teorem 2 Vi visar ekvivalent med (2), att Bevis: A P = P D (6) VL: A x x x n = A x A x 2 A x n = λ x λ 2 x 2 λ n x n För HL gäller det bara att verifiera att x x 2 x n λ x 2 x 22 x 2n P D = λ 2 x n x n2 x nn λ n blir samma som VL Sekularekvationen (5) har givetvis n rötter (räknat med multiplicitet) I teoremet förutsätter vi att det finns egenvärden med korresponderande egenvektorer och att egenvektorerna definierar en inverterbar matris P Så är inte alltid fallet Ett tillräckligt villkor för att P är inverterbar, är att de n egenvärdena till sekularekvationen är olika Teorem 3 Antag att de n rötterna λ, λ 2,, λ n är olika egenvektorerna x, x 2,, x n linjärt oberoende Då är de n Bevis:
Beviset utnyttjar sig av motsägelse Det är klart att en egenvektor är linjärt oberoende, exvis är x det: c x = c = Låt p vara det minsta tal sådant att x, x 2,, x p är linjärt oberoende Det är klart att p n Om p = n är beviset klart Antag att p < n Alltså är x, x 2,, x p linjärt oberoende men x, x 2,, x, x p+ är linjärt beroende, eller mer exakt, finns c, c 2,, c p inte alla =, sådana att c k x k = x p+ (7) k= Vi multiplicerar med A från vänster och får A c k x k = k= c k A x k = A x p+ k= som blir λ k c k x k = λ p+ x p+ (8) k= Vi multiplicerar (7) med λ p+ och får λ p+ k= c k x k = λ p+ x p+ (9) Nu är uttrycken i (8) och (9) lika (Lika HL) Differensen mellan dessa är, mer exakt är (λ k λ p+ )c k x k = k= Nu är {x, x 2,, x p } linjärt oberoende Det innebär att alla koefficienter är noll, dvs (λ k λ p+ )c k =, k =, 2,, p Men alla c k är inte noll, säg c k det betyder att λ k λ p+ = eller ekvivalent λ k = λ p+ vilket strider mot att alla egenvärden λ k är olika, en motsägelse Detta visar att alla n egenvektorerna är linjärt oberoende, som avslutar beviset Alla matematiker accepterar inte sk Motsägelsebevis
Teoremet implicerar att matrisen P med de n egenvektorerna som kolonner är inverterbar Situationen med λ k, som är multipelrötter till sekularekvationen är mer komplicerat Följande exempel visar på problem när det finns en dubbbelrot till sekularekvationen 2 Ex 5 Givet matrisen A = med sekularekvation 3 4 λ = 4 4λ 2 λ 3 = λ 2 = λ 3 = För egenvärdet, som alltså är en dubbelrot får vi det homogena ES på matrisform: { A I = A x = x 3 som betyder x 2 = x 3 En egenvektor är x = och vi får bara en eftersom ES bara har en fri variabel (rangen är 3 = 2) Vi får ytterligare en egenvektor x 3 svarande mot λ = 4 Alltså inte tillräckligt med egenvektorer för att A skall vara diagonaliserbar Ex 6 Är följande matris diagonaliserbar? 3 2 3 A = 2 6 6? 2 A λi = 3 λ 2 3 2 6 λ 6 2 λ det(a λi) = λ 3 +8λ 2 2λ+6 = med rötter λ = λ 2 = 2 och λ 3 = 4, alltså en dubbelrot Motsvarande egenvektor(-er): 2 3 2 3 2 4 6 2 3 Eftersom rangen är finns 3 = 2 fria variabler Vi får alltså { x = 2x 2 3x 3 med x = = s + t 2s 3t s t 2 3
Vi får alltsåtvå egenvektorer En tredje egenvektor svarande mot λ 3 = 4, är x 3 = 2 Vi bildar matrisen 2 3 P = x x 2 x 3 = 2 Att detta stämmer kan vi lätt verifiera: 4 6 4 A P = 2 8 och P D = 2 4 4 6 4 2 8 2 4 3 Tillämpning på system av differentialekvationer I ellära och inom kemi uppkommer system av linjära differentialekvationer (DE) Funktionerna är funktioner av tiden t Vi börjar med att lösa en sådan homogen DE Ex 7 Lös DE:n x (t) + 4x(t) = Vi löser den med karakterisk ekvation r + 4 = med rot r = 4 Från teorin för DE vet vi att x = x(t) = C e rt = C e 4t Ex 8 Lös systemet av DE 3x + 2x 2 + 3x 3 = x 2x + 6x 2 + 6x 3 = x 2 x 2x 2 x 3 = x 3 där x k = x k (t), k =, 2, 3 är funktioner av tiden t Vi skriver DE:n som en matrismultiplikation x x A x 2 = x 2 x 3 x 3 Matrisen A är densamma som i exempel 2 Den är diagonaliserbar med matriser P och D Vi skall se vad detta innebär för DE:n Den kan skrivas P D P x = x eller ekvivalent D (P x) = P x Sätt P x =: y Då är y = (P x), så att DE:n kan skrivas 2 y 2y y D y = y dvs 2 y 2 = 2y 2 = y 2 4 y 3 4y 3 y 3
som ger tre separata DE Lösningen y är y = c e 2t y 2 = c 2 e 2t y 3 = c 3 e 4t För att få x utnyttjar vi sambandet x = P y, alltså x (t) = 2c e 2t 3c 2 e 2t + c 3 e 4t x = P y som kan skrivas x 2 (t) = c e 2t + 2c 3 e 4t x 3 (t) = c 2 e 2t c 3 e 4t Ett specialfall av Satsen om rationella rötter: Givet polynomekvationen nedan n a k λ k = (a n = ) k= xxx Om a k är heltal och a n = och om ekvationen hara en rationell rot λ, är λ ett heltal, som är divisor till a I exemplet på sidan 5 är sekularekvationen λ 3 8λ 2 + 2λ 6 = Här är a 3 = och a = 6 En eventuell rationell rot λ är alltså ett heltal och återfinns bland ±6, ±8, ±4, ±2, ± Egenvärden kan vara komplexa, icke-reella, se nästa exempel Sekularekvationen, för en diagonaliserbar matris A (typ n n) uppfylls av matrisen själv Denna ekvation kan skrivas n a k λ k = (a n = ) k= Ex 9 Bestäm egenvärden och egenvektorer till 2 A := 2 A λ I = 2 λ 2 λ = λ2 4λ + 5 = Egenvektorer är x = respektive x i 2 = i { λ = 2 i λ 2 = 2 + i