ÌÁÄÄ ÅÈ ÁËÃÊ Ì ËÌÊÍÃÌÍÊ Ê ÂÙÐ Ù ÖÞ Þ Ò Ó Â Ò ËØ Ú Ò Å Ì Å ÌÁÃ À ÄÅ ÊË Ì ÃÆÁËÃ À ËÃÇÄ Ì ÇÊ Ë ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì Ì ÇÊ ¾¼¼½

ÌÁÄÄ ÅÈ ÁËÃÊ Ì ËÌÊÍÃÌÍÊ Ê ÂÙÐ Ù ÖÞ Þ Ò Ó Â Ò ËØ Ú Ò Å Ì Å ÌÁÃ À ÄÅ ÊË Ì ÃÆÁËÃ À ËÃÇÄ Ì ÇÊ Ë ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì Ì ÇÊ ¾¼¼½

ÊÇÊ Ì ÖÑ Ò Ö Ø Ñ Ø Ñ Ø Ø Ö ØØ ÑÝ Ø Ö ØØ Ô ØÖÙÑ Ú ÓÐ Ñ Ø Ñ Ø ÑÒ Ò ÓÑ Ô ØØ ÐÐ Ö ÒÒ Ø ØØ Ö Ö Ð Ø Ö Ø ÐÐ ØÓÖ ÒÚÒ Ò Ò Öº Ç Ø Ö Ñ Ò ØØ Ö Ñ ÑÝ Ø ÑÐ Ó ÑÝ Ø Ú Ö Ö Ò Ñ Ø Ñ Ø Ø ÓÖ Ö ÓÑ ÔÐ Ø Ð Ø Ú Ú Ö Ú ØÓÖ ØÝ Ð Ø Ø Ò Ò Ø Ò Øº Ö Ö Ö Ø ÐØ ÓÑ Ð Ø ØØ Ø ÐÐ Ö Ð Ú ÒØ Ñ Ø Ñ Ø Ò ÓÖØ ÙÖ º Î Ö Ú ÐØ Ò ÒÖ ØÒ Ò ÓÑ Ö ÑÝ Ø Ø Ö Ð Ö ÔÖ Ð ÙÖ Ò Ò Ð Ö ØÓÖ ÙØ ØÖ Ò Ò ÓÑ Ø ÐÐÑÔ Ð Ö º Ø Ö Ò Ø ÓÖ Ø ÒÐ Ò Ò ÓÑ ÒØÖÓ Ù Ö Ö Ò Ö Ú Ø Ð Ö ØÖÙ ØÙÖ Ö ÖÙÔÔ Ö Ö Ò Ö Ó ÖÓÔÔ Ö Ú Ö Ö Ú Ø ÐÐ Ö Ø ÐÐÑÔÒ Ò Öº Î ÙØ Ö Ö Ð Ö Ó Ö ÖÝÔØ Ö Ò Ý Ø Ñ ÓÓÐ Ð ÖÓÖ Ò Ð ÙØÓÑ Ø Ö Ò ÓÙÖ ÖØÖ Ò ÓÖÑ Ö Ó Ö Ø ÐÐÑÔÒ Ò Ö Ô Ò ÑÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒ Ð ÓÖ ØÑ Öº ÌÖÓØ ØØ Ú Ö ÔÐ Ö Ø Ø ÓÖ Ð Ò Ö Ø ÓÑÔ Ò Ø Ò ÓÐ Ô Ø Ð Ð Ò ¹Ð Ò Ö ÓÖ Ò Ò ÓÑ Ö Ñ Ö Ú ÒÒ ÐÐ Ö ÚÒ Ò Ò Ô Ò Ø º ØØ Ö ØØ ÓÐ Ø ÐÐÑÔ¹ Ò Ò Ö Ò Ú ÖÚ Ñ Ñ Ö Ø ÓÖ Ø Ú Ò ØØ Ú Ð Ø Ö ÓÔÔÒ Ò Ú ÓÑÑ Ö ØØ ÙÒ ÖÐØØ ÒÐÖÒ Ò ÔÖÓ Òº Ì ÜØ Ò ÓÑ Ø ÐÐ ÙÒ Ö Ò Ö Ð Ø ÚØ ÓÖØ Ø Ø Ú ØØ Ò ÑÐ ÙÖ Ð ØØ Ö ØÙÖ Ò ÒØ Ú Ö Ø ÐÐ Ò Ð º Ö Ö Ò Ñ Ò ÚÒØ Ò Ö Ö Ø Ö Ö Ø ÙÔÔÐ ÓÖÒ º Î Ö ÑÝ Ø Ø ÑÑ Ö ÐÐ ÓÑÑ ÒØ Ö Ö ÓÑ Ó Ð Ö Ø Ö Ó ØÖÝ Ðº Ë ÖÒ Ø ÐÐ ÂÙÐ Ù ÖÞ Þ Ò Ù Ñ Ø º ÐÑ Ö º µ ÐÐ Ö Â Ò ËØ Ú Ò Ø Ú Ò Ñ Ø º ÐÑ Ö º µº

Ú ÁÆÆ À ÄÄË ËÃÊÁÎÆÁÆ Ã Ô Ø Ð ½ ½¼ ÒÒ ÐÐ Ö ÖÙÒ Ð Ò Ò Ô Ö Ó ÑÝ Ø Ú Ø Ð Ö ØÖÙ ØÙÖ Ö ÖÙÔÔ Ö Ö Ò Ö Ó ÖÓÔÔ Öº Ø Ö Ð Ò Ô ØÐ Ò Ò Ð Ö ÓÑ ÝÖ Ø ÐÐÑÔÒ Ò ÓÑÖ Òº Ø Ö Ø Ø ÐÐÑÔÒ Ò ÓÑÖ Ø Ö Ð Ö Ó Öº Ò ÓÖØ ÒÐ Ò Ò Ø ÐÐ Ð Ö Ó Ö ÑØ Ì Ô ÔÖÓ Ð Ñ Ø Ò Ð ÙØ Ò Ò Ö ÓÑ Ð Ø Ö ÙÒ Ô Ö Ñ Ò Ò ÚÒ ÓÖ Ò Ò Òº Ã Ô ØÐ Ø ÈÓÐÝÒÓÑ Ó Ö ÖÚ Ö Ø ÒÐ Ò Ô ØÐ Ø ÓÑ Ð Ö Ó Ö Ó ÐÐ Ô Ø Ð ½ ½¼º Ø Ò Ö Ø ÐÐÑÔÒ Ò ÓÑÖ Ø Ò Ð Ö ÓÑ ÖÝÔØ Ö Ò Ó ÖÚ Ö Ô Ø Ð ½ º Ò ØÖ Ø ÐÐÑÔÒ Ò Ò Ö Ö Ð Ø Ö Ø ÐÐ Ø Ð Ø Ò º Ã Ô ØÐ Ø ÓÑ ÓÓÐ Ð ÖÓÖ ÖÚ Ö Ò Ø Ô Ø Ð ½ ÑÝ Ø ÖÒ ÓÑ ØØÒ Ò µ Ö ÑÓØ Ô ØÐ Ø ÓÑ Ð Ò Ö ÙØÓÑ Ø Ö Ý Ö Ô ÐÐ Ô Ø Ð ½ ½¼ Ó Ô ØÐ Ø ÓÑ ÓÓÐ Ð ÖÓÖº Ò Ø Ø ÐÐÑÔÒ Ò Ò Ò Ð Ö ÓÑ Ò ÓÙÖ ÖØÖ Ò ÓÖÑ Ö Ó Ò ÑÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒ Ð¹ ÓÖ ØÑ Öº Ô Ø Ð ÖÙØ ØØ Ö ÒÒ ÐÐ Ø Ô Ø Ð ½ º ËÓÑ ÔÔ Ò Ü Ö Ú Ó Ø ØØ Ô Ø Ð ÓÑ ÐÓ ÓÒÒ Ø Ú Ó Ú ÒØÓÖ Öº

ÁÆÆ À ÄÄ ½ Ä ÊÀ Ì Ç À ÈÊÁÅÌ Ä ½ ¾ Ê Ä ÌÁÇÆ Ê Å Æ Ê Å ÇÈ Ê ÌÁÇÆ Ê ½ ÊÍÈÈ Ê ÁÆÁÌÁÇÆ Ê Ç À ÅÈ Ä ½ Ê ËÌ ÊÍÈÈ Ê ¾ ÌÊ ÆË ÇÊÅ ÌÁÇÆË ÊÍÈÈ Ê ËÁ ÇÃÄ ËË Ê Ç À Ä Ê Æ Ë Ë ÌË ÊÁÆ Ê Ç À ÃÊÇÈÈ Ê ÈÇÄ ÆÇÅÊÁÆ Ê ½ ½¼ ÃÊÇÈÈËÍÌÎÁ ÆÁÆ Ê ½½ Æ ÃÇÊÌ ÁÆÄ ÆÁÆ ÌÁÄÄ ÊÍÈÈÃÇ Ê ½¾ ÌÁÈËÈÊÇ Ä Å Ì ½ ½ ÈÇÄ ÆÇÅÃÇ Ê Ú

Ú ÁÆÆ À ÄÄ ½ Æ ÇÌ ÇÅ ÃÊ ÈÌ ÊÁÆ ½¼ ½ ÇÇÄ ËÃ Ä ÊÇÊ ½½ ½ ÄÁÆÂ Ê Æ ÄÁ ÍÌÇÅ Ì Ê ½¾ ½ ËÌ ÇÍÊÁ Ê ÌÊ ÆË ÇÊÅ ½ ½ ËÌ ÅÍÄÌÁÈÄÁ ÌÁÇÆ ½ ÈÈ Æ Á ÄÇ ÁËÃ ÃÇÆÆ ÃÌÁÎ Ç À ÃÎ ÆÌÇÊ Ê ½

Ã Ô Ø Ð ½ Ä ÊÀ Ì Ç À ÈÊÁÅÌ Ä Î Ö Ö Ñ Ò ÓÖØ Ö Ô Ø Ø ÓÒ Ú Ò Ö Ú Ø Ò Ô Ö Ó ÐØ Ð Ò = {0, ±1, ±2, ±3,...}. ½º½µ Ò Ø ÓÒº ÇÑ a Ó b Ö ØÚ ÐØ Ð Ö Ñ Ò ØØ b Ð Ö a ÓÑ a = bq Ö q Ö ØØ ÐØ Ðº Å Ò Ö Ó ØØ a Ö Ð ÖØ Ñ b ÐÐ Ö ØØ a Ö Ò ÑÙÐØ Ô Ð Ú bº Å Ò Ö Ú Ö b aº Ü ÑÔ Ðº 3 6 641 2 32 + 1 Ø Ö ÒØ ÐØØ ØØ Ú ¹ Ó ÚÒ Ò º Ã Ô Ø Ð ºµ Ê ÒØ ÐÐÑÒØ ÐÐ Ö Ð Ò Ú Ø Ó ÚÐ Ò Ò Ô ½º¾µ Ú ÓÒ Ð ÓÖ ØÑ Òº ÇÑ a Ó b Ö ÐØ Ð Ó b 0 Ö a = bq + r, Ö 0 r < b. q Ó r Ö Ò Ö ÒØÝ Ø Ú a Ó bº Ú º ØÖ Ø ÐÐ ÐØ Ð a bx Ö x Ö ØØ Ó ØÝ Ð Ø ÐØ Ðº Ð Ò Ø ÐÐ ÒÒ Ø ÔÓ Ø Ú ØÝ ÓÐ Ø Ò a bx > 0 Ö Ñ ÐÐ Ö Ø ÐØ Ð Ð Ò Ò Ö x > a/b b > 0 Ó x < a/b b < 0µº ÄØ r Ú Ö Ø Ñ Ò Ø ¹Ò Ø Ú ÐØ Ð Ø Ð Ò Ø Ð Ò a bx x Ö ØØ ÐØ Ð Ó ÐØ r = a bqº Î Ô ØÖ ØØ 0 r < b º ÒÒ Ö Ö r b ØØ 0 r b < r Ó r b = a bq b = a b(q ± 1) Ú r b Ö ØØ ¹Ò Ø ÚØ Ø Ð Ô ÓÖÑ Ò a bx ÓÑ Ö Ñ Ò Ö Ò rº ØØ ØÖ Ö ÑÓØ Ò Ø ÓÒ Ò Ú rº ÐÐØ Ö Ú a = bq + r Ó 0 r < b. Ú ØØ q Ó r Ò Ö ÒØÝ Ø Ú a Ó b ÐÑÒ Ö Ú ÓÑ ÚÒ Ò ½º½º ½

¾ Ä ÊÀ Ì Ç À ÈÊÁÅÌ Ä ½º µ Ò Ø ÓÒº ÇÑ a = bq + r Ö 0 r < b ÓÑ Ú ÓÒ Ð ÓÖ ØÑ Ò ÓÚ Òµ ÐÐ q ÚÓØ Ò Ó r Ö Ø Ò Ú Ú ÓÒ Ú a Ñ bº Ç Ø ÙØÒÝØØ Ö Ñ Ò Ð Ò Ò Ô Ö Ó Ð Ö Ø Ö Ð Ø ÓÒ Ò ½º µ ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒº ÄØ a,b,c,d Ø Ò ÐØ Ðº ÐÐ Ö µ ÓÑ d a Ó d b d a ± b µ ÓÑ a b Ó b c a c µ ÓÑ Ð Ø Ò a + b = c Ö ØÚ Ú Ø Ð Ò a,b,c Ð Ö Ñ d Ö Ó Ø ØÖ Ø Ð Ø Ð ÖØ Ñ d µ ÓÑ a b Ó b a Ö b = ±aº ÐÐ Ò Ô Ö Ö ÑÝ Ø Ò Ð Ó Ú ÐÑÒ Ö ØØ Ú ÓÑ ÚÒ Ò ÚÒ Ò ½º¾µº Å Ø Ö Ø Ñ Ò ÑÑ Ð Ö Ò Ø ÐÐ a Ó b Ñ Ò Ö Ñ Ò ØØ ÔÓ Ø ÚØ ÐØ Ð d ÓÑ Ð Ö a Ó b Ó Ö Ð ÖØ Ñ Ú Ö Ñ Ò Ñ Ð Ö Ø ÐÐ a Ó bº Ò Ø Ö Ø Ñ Ò ÑÑ Ð Ö Ò Ø ÐÐ a Ó b Ö Ò Ö ÒØÝ Ø Ö Ö ØØ ÓÑ d Ó d Ö Ò Ð Ö ÐÐ Ö d d Ó d d Ú Ð Ø ÒÒ Ö ØØ d = ±dº Å Ò d Ó d Ö ÔÓ Ø Ú ØØ d = dº ËØ Ö Ø Ñ Ò ÑÑ Ð Ö Ò Ø ÐÐ a Ó b Ø Ò Ñ SGD(a,b)º Å Ò ÖÙ Ö Ò Ö SGD(0,0) = 0º Å Ñ Ò Ø Ñ Ò ÑÑ ÑÙÐØ Ô ÐÒ Ø ÐÐ a Ó b Ñ Ò Ö Ñ Ò ØØ ÔÓ Ø ÚØ ÐØ Ð m ÓÑ Ö Ð ÖØ Ñ a Ó b Ó ÓÑ Ð Ö Ú Ö Ñ Ò Ñ ÑÙÐØ Ô Ð Ú a Ó bº Ú Ò Ñ Ò Ø Ñ Ò ÑÑ ÑÙÐØ Ô ÐÒ Ú a Ó b Ò Ö ÒØÝ Ø Ú Ø Ð ÑÓØ Ú Ö ØØ Ô Ø Ò Ñ Ð Ò Ò Ö ÙÑ ÒØ ÓÑ Ö SGD(a,b) ÓÚ Ò µº Å Ò Ø Ñ Ò ÑÑ ÑÙÐØ Ô ÐÒ Ú a Ó b Ø Ò Ñ MGM(a,b)º ËÓÑ Ö SGD Ò Ö Ö Ñ Ò MGM(0,0) = 0º Ð Ò Ò Ô Ú Ø Ö Ø Ñ Ò ÑÑ Ð Ö Ò Ø ÐÐ ØÚ ÐØ Ð ÓÑÑ Ö ØØ ÒÚÒ Ö Ò Ö ÙÒ Ö ÙÖ Ò Ò º ½º µ ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒº y 0 Ò ØØ ÇÑ a Ó b Ö ÐØ Ð Ó d = SGD(a,b) Ü Ø Ö Ö ØÚ ÐØ Ð x 0 Ó d = ax 0 + by 0. Ú º ÇÑ a = b = 0 Ö Ô Ø Ò Ø Ð ÖØ ÓÑ x Ó y Ò Ñ Ò ÚÐ ÐØ Ó ØÝ Ð ÐØ Ðµº ÒØ ØØ a ÐÐ Ö b ÒØ Ö 0º Ø Ö Ð ÖØ ØØ Ø ÒÒ ÔÓ Ø Ú ÐØ Ð ÓÑ Ò Ö Ú Ô ÓÖÑ Ò ax + by Ø Ü ÓÑ a 0 Ö ±a = a (±1) + b 0 Ó ÒØ Ò Ò a ÐÐ Ö a Ö ØØ

½º µ ÔÓ Ø ÚØ ÐØ Ðº Ú Ò b = a 0 + b 1 Ò Ö Ú Ô ÓÖÑ Ò ax + byº ÄØ d 0 Ú Ö Ø Ñ Ò Ø ÔÓ Ø Ú ÐØ Ð ÓÑ Ò Ö Ú Ô Ò Ò ÓÖÑ Ò Ú ( ) d 0 = ax 0 + by 0. Î Ô ØÖ ØØ d 0 = dº Ö Ø Ó ÖÚ Ö Ö Ú ØØ Ú Ö ÐØ Ð ax + by Ö Ð ÖØ Ñ d 0 ØÝ Ö Ö Ø Ò r Ö Ñ Ò Ö Ò Ð Ö Ò d 0 º Å Ò ax + by = qd 0 + r, r = a(x qx 0 ) + b(y qy 0 ) ØØ r Ñ Ø Ú Ö 0 ØÝ ÒÒ Ö Ö Ñ Ò ØØ Ø Ð ÓÑ Ö Ñ Ò Ö Ò d 0 Ó ÓÑ Ò Ö Ú Ô Ò Ò ÓÖÑ Òº ÐÐØ Ú Ö Ö d 0 a Ó b ØÝ Ò Ö Ú Ô ÓÖÑ Ò ax+byº Ú Ø ÓÒ Ò µ Ö ØØ ÓÑ d Ö Ò Ð Ö Ø ÐÐ a Ó b Ö d Ò Ð Ö Ø ÐÐ d 0 º ÐÐØ Ö d 0 Ò Ø Ö Ø Ñ Ò ÑÑ Ð Ö Ò Ø ÐÐ a Ó bº Ò Ø ÔÖÓÔÓ Ø ÓÒ Ò Ö ÒØ ÙÖ Ñ Ò Ò ØØ x Ó yº Ö Ø Ñ Ø Ô Ð Ö Ø ÒØ Ò ÓÒ Ø ÖÖ ÖÓÐÐ Ü Ø Ò Ò Ö ÐØ Ø ÐÐÖ Ð º Å Ò Ð Ò Ú ÐÐ Ñ Ò Ö Ò x 0 Ó y 0 º Ø Ö Ñ Ò Ó Ø Ó Ò Ò Øµ Ñ ÐÔ Ú Ù Ð Ð ÓÖ ØѺ Ù Ð Ð ÓÖ ØÑ Ö ÙÖ Ñ Ò Ò Ö Ò SGD(a,b)º Å Ò Ð Ö Ò Ú ÓÒ a = bq 1 + r 1, 0 r 1 < b, b = r 1 q 2 + r 2, 0 r 2 < r 1, r 1 = r 2 q 3 + r 3, 0 r 3 < r 2, º º º r n 3 = r n 2 q n 1 + r n 1, 0 r n 1 < r n 2, r n 2 = r n 1 q n + r n, 0 r n < r n 1, r n 1 = r n q n+1. Î Ö Ú Ò Ö ØÝÔ Ò Ñ Ø Ú Ö Ò Ð Ö Ö ØØ Ò ÚØ Ò Ú Ö Ø ÖÒ r 1 > r 2 > r 3 >... 0 Ñ Ø Ú Ö Ò Ð º Î Ô ØÖ ØØ Ò Ø ¹ Ö Ú ÒÒ Ò Ö Ø Ò ÒÒ Ú r n Ö Ò Ø Ö Ø Ñ Ò ÑÑ Ð Ö Ò Ø ÐÐ a Ó bº ØØ Ø Ú Ö Ð Ò Ö ÒØ ÓÒØÖÓÐÐ Ö Ö Ñ Ò ÑÝ Ø Ò ÐØ Ñ ÐÔ Ú Ò Ø ÓÒ Ò Ú SGD(a,b)º Ò Ø Ð Ø Ò Ò Ö ØØ r n Ö Ð Ö Ò Ø ÐÐ r n 1 º ÐÐØ Ú Ö Ò Ò Ø Ø Ð Ø Ò ØØ r n Ö Ð Ö Ò Ø ÐÐ r n 2 º ÆÙ Ú Ø Ú ØØ r n Ð Ö r n 1 Ó r n 2 º ÐÐØ Ú Ö Ð Ø Ò Ö r n 3 ØØ Ú Ò ÒÒ Ö Ø Ö Ð Ö Ñ r n º Î ÓÖØ ØØ Ö ÚÖ Ú Ò Ö Ò ÙÔÔØ Ó Ø Ø Ö Ø Ú Ö Ú ØØ ÐÐ Ø Ð r n 1 r n 2 r n 3... r 1 b a Ö Ð Ö Ñ r n º ÐÐØ Ö r n Ò Ñ Ò Ñ Ð Ö Ø ÐÐ a Ó bº ÇÑ ÒÙ d Ö Ò Ó ØÝ Ð Ñ Ò Ñ Ð Ö Ø ÐÐ a Ó b Ú Ö Ò Ö Ø Ð Ø Ò ØØ d Ð Ö r 1 º ÐÐØ Ö Ò Ò Ö Ð Ø Ò ØØ d Ð Ö r 2 º Ú Ú Ø ØØ d Ð Ö r 1 Ó r 2 Ö Ú ÙÖ

Ä ÊÀ Ì Ç À ÈÊÁÅÌ Ä Ò ØÖ Ð Ø Ò ØØ d Ó Ð Ö r 3 º È Ø ØØ Ø Ö Ú ØØ d Ö Ò Ð Ö Ø ÐÐ ÐÐ Ø Ð Ú Ò Ò a,b,r 1,r 2,r 3,...,r n 2,r n 1,r n º ØØ Ú Ö ØØ r n Ö Ò Ø Ö Ø Ñ Ò ÑÑ Ð Ö Ò Ø ÐÐ a Ó bº Ø Ö Ð ÖØ ØØ Ñ Ò Ò ÓÖÑ Ð Ö ÚÖØ Ö ÓÒ Ñ Ò ÒÓÑ ØØ ÒÚÒ Ñ Ø Ñ Ø Ò Ù Ø ÓÒº Å ÐÔ Ú Ù Ð Ð ÓÖ ØÑ Ò Ñ Ò ÒØ Ö Ö Ò SGD(a,b) ÙØ Ò Ó ØÚ ÐØ Ð x,y Ò ØØ SGD(a,b) = ax + byº Î ÐÐÙ ØÖ Ö Ö ØØ Ñ ØØ Ü ÑÔ Ð ½º µ Ü ÑÔ Ðº ÄØ a = 2406 Ó b = 654º Ù Ð Ð ÓÖ ØÑ Ö 2406 = 654 3 + 444 654 = 444 1 + 210 444 = 210 2 + 24 210 = 24 8 + 18 24 = 18 1 + 6 18 = 6 3 ØØ SGD(2406,654) = 6 Ò Ø ÒÓÐÐ Ð Ö Ø Òµº ÆÙ Ö Ú 6 = 24 18 1 = 24 (210 24 8) 1 = = 24 9 210 = (444 210 2) 9 210 = = 444 9 210 19 = 444 9 (654 444 1) 19 = = 444 28 654 19 = (2406 654 3) 28 654 19 = = 2406 28 + 654 ( 103) Ø ÒÒ Ò ÒÒ Ò Ñ Ð Ø ØØ Ö Ò SGD(a,b) a Ó b Ö ØÚ ÐØ Ðº Ú Ò ÓÑ ÒÒ Ñ Ð Ø ÒØ Ö Ö ÐØ ÔÖ Ø ÒÚÒ Ò Ø Ø ÓÐ Òº Ò Ý Ö Ô ØÓÖÙÔÔ Ð¹ Ò Ò Ö Ú ÐØ Ð ÔÖÓ Ù Ø Ú ÔÖ ÑØ Ðº Å Ò Ö ØØ ØØ ÔÓ Ø ÚØ ÐØ Ð p Ö ØØ ÔÖ ÑØ Ð ÓÑ p Ö Ü Ø ØÚ ÓÐ Ð Ö ½ Ó ÐÚغ ÈÖ ÑØ Ð Ò Ñ Ò Ö Ò ½¼¼ Ö 2,3,5,7,11,13,17,19,23, 29, 31,37, 41, 43,47,53, 59,61,67, 71,73,79, 83,89,97. Ð Ò Ú ÔÖ ÑØ Ð Ò Ö ÓÒ Ð º ØØ Ô Ø Ò Ú Ö Ñ Ö Ò ¾¼¼¼ Ö Ò Ú Ù Ð º ÁÒÒ Ò Ú Ú Ö Ù Ð Ø Ø ØØ Ö Ú ÒÖÑ Ö Ô ÔÖ ÑØ Ð Ò Ú Ø ÖÓÐÐ ÓÑ Ý Ø Ò Ö Ö ÐÐ ÐØ Ð Ú Ö ÐØ Ð Ø ÖÖ Ò ½ Ö Ò ÔÖÓ Ù Ø Ú ÔÖ ÑØ Ðº Î ÐÐ Ú ØØ Ô Ø Ò ÓÑ Ò Ð Ø Ò ØÙÒ º Ö Ø Ú Ö Ú Ò ÑÝ Ø Ú Ø Ò Ô Ó ÔÖ ÑØ Ð Ò

½º µ ½º µ Ë Ø º Ò ÔÖ Ñ Ð Ö Ø ÐÐ Ò ÔÖÓ Ù Ø Ú ØÚ ÐØ Ð Ö Ò Ð Ö Ø ÐÐ (Ñ Ò Ø) Ò Ú ØÓ¹ Ö ÖÒ Ú ÓÑ p ab p a ÐÐ Ö p b p Ö ØØ ÔÖ ÑØ Ð Ó a,b Ö ÐØ Ðº Ú º ÒØ ØØ p aº Ö SGD(p,a) = 1 Ö Ö ØØ p Ö ØØ ÔÖ ÑØ Ðº ÒÐ Ø ½º µ Ü Ø Ö Ö ØÚ ÐØ Ð x,y Ò ØØ px + ay = 1º ÇÑ Ñ Ò ÑÙÐØ ÔÐ Ö Ö Ò Ð Ø Ò Ñ b Ö Ñ Ò b = pbx + abyº Å Ò ÒÐ Ø ÖÙØ ØØÒ Ò Ò Ö ab = pq Ö ØØ ÐØ Ð qº ÐÐØ Ö b = p(bx + qy) Ú p bº ÆÙ Ò Ú Ú Ø Ò ÓÑ ØÓÖÙÔÔ ÐÒ Ò Ö Ú ÐØ Ð ÔÖÓ Ù Ø Ö Ú ÔÖ ÑØ Ð ½º µ Ö ØÑ Ø Ò ÙÒ Ñ ÒØ Ð Ø º Î Ö ÐØ Ð Ø ÖÖ Ò 1 Ö Ò ÒØÝ ÔÖÓ Ù Ø Ú ÔÖ ÑØ Ð Ú ÓÑ n = p 1 p 2 p m = p 1 p 2 p n, Ö p i Ó p j Ö ÔÖ ÑØ Ð Ö m = n Ó Ú Ò ÐÑÔÐ ÒÙÑÖ Ö Ò Ú ØÓÖ ÖÒ Ö p i = p i º Ú º Ö Ø Ú Ö Ú Ñ Ò Ù Ø ÓÒ ØØ Ú Ö ÐØ Ð N > 1 Ö Ò ÔÖÓ Ù Ø Ú ÔÖ ÑØ Ðº Î Ö Ö Ñ N = 2 ÚÖØ Ô Ø Ò ÐÐ Öº ÄØ N > 2 Ó ÒØ ØØ Ú Ö ÔÓ Ø ÚØ ÐØ Ð Ø ÖÖ Ò ½ Ó Ñ Ò Ö Ò N Ö Ò ÔÖÓ Ù Ø Ú ÔÖ ÑØ Ðº ÄØ p Ø Ò Ò Ñ Ò Ø Ð Ö Ò Ø ÐÐ Nº Ø Ö Ð ÖØ ØØ p Ö ØØ ÔÖ ÑØ Ð ØÝ ÑÓØ Ø Ò ÒÒ Ö ØØ p Ö Ò Ð Ö d 1,p ØØ 1 < d < p Ó d Ö Ò Ð Ö Ø ÐÐ N ½º¾µ µµ ÓÑ Ö Ñ Ò Ö Ò pº Î Ö N = pq Ö 1 q < Nº Å Ò ÓÑ q > 1 Ö q Ò ÔÖÓ Ù Ø Ú ÔÖ ÑØ Ð ÒÐ Ø Ò Ù Ø ÓÒ ÒØ Ò Ø Ú Ð Ø Ú Ö ØØ N Ó Ö Ò Ò ÔÖÓ Ù Øº ÒØÝ Ø Ò Ú Ö Ú Ñ Ò Ù Ø ÓÒ Ñ Ú Ò Ô ÙÑÑ Ò s = m + nº ÇÑ s = 2 Ö Ú m = n = 1 Ó p 1 = p 1 º ÒØ ØØ ÚÖØ Ô Ø Ò ÐÐ Ö ÒØ Ð Ø ØÓÖ Ö Ö Ñ Ò Ö Ò s Ó ÐØ p 1 p 2 p m = p 1p 2 p n, Ö m + n = sº ÈÖ ÑØ Ð Ø p m Ö Ò Ð Ö Ø ÐÐ ÔÖÓ Ù Ø Ò Ø ÐÐ Ö ØØ ÒÐ Ø ½º µ Ö p m Ò Ð Ö Ø ÐÐ Ò Ú ØÓÖ ÖÒ º ÒÓÑ ØØ Ú ÒØÙ ÐÐØ ÒÙÑÑÖ Ö ÓÑ ØÓÖ Ö Ò Ú ÒØ ØØ p m p nº Å Ò Ø Ð Ö ÔÖ ÑØ Ð ØØ p m = p nº ÐÐØ ÐÐ Ö p 1 p 2 p m 1 = p 1 p 2 p n 1, Ó ÒÒ Ð Ø Ö ÒØ Ð Ø ÔÖ Ñ ØÓÖ Ö Ð Ñ s 2 < sº ÒÐ Ø Ò Ù Ø ÓÒ ÒØ Ò Ø Ö ÒØ Ð Ø ØÓÖ Ö Ø ÐÐ ÚÒ Ø Ö Ð Ñ ÒØ Ð Ø ØÓÖ Ö Ø ÐÐ Ö Ú m 1 = n 1º ÐÐØ Ö m = nº ÙØÓÑ Ò Ñ Ò ÒÙÑÖ Ö ØÓÖ ÖÒ ØØ p i = p i i = 1,...,n 1º

Ä ÊÀ Ì Ç À ÈÊÁÅÌ Ä ½º µ ÒÑÖ Ò Ò º Ç Ø ÐÐ Ö Ñ Ò Ø ½º µ Ö Ö ØÑ Ø Ò ÙÒ Ñ ÒØ Ð Ø º Ú Ò ÓÑ ÓÖÑÙÐ Ö Ò Ò ÓÚ Ò Ò Ð Ö ÓÑ ÔÓ Ø Ú ÐØ Ð Ò Ú Ö ÒØ ÐÐÑÒØ ØØ Ú Ö ÐØ Ð N ±1 Ö Ò ÔÖÓ Ù Ø N = εp 1 p 2 p n, Ö p i Ö ÔÖ ÑØ Ð Ó ε = ±1º Ð Ø Ö ØÑ Ø Ò ÙÒ Ñ ÒØ Ð Ø Ö Ò Ö Ñ ØÐÐÒ Ò ÒØÝ ÒÖ ÓÑ Ô ØÓÖ ÖÒ ÓÖ Ò Ò Ð º ØÓÖÙÔÔ ÐÒ Ò Ö Ú Ð Ò Ò ØÝÔ Ö Ò Ø Ü Ö ÔÓÐÝÒÓѺ Î ÙØ Ö Ö ØÓÖÙÔÔ ÐÒ Ò Ö Ö ÐØ Ð Ò Ó Ö ÔÓÐÝÒÓÑ ØØ Ò Ö Ô Ø Ðº ÆÙ Ò Ú Ú ØØ Ø ÒÒ ÓÒ Ð Ø ÑÒ ÔÖ ÑØ Ðº ½º½¼µ Ù Ð Ø º Ø ÒÒ ÓÒ Ð Ø ÑÒ ÔÖ ÑØ Ðº Ú º ÒØ ØØ p 1,p 2,...,p n Ö ÐÐ ÔÖ ÑØ Ðº Ð Ø Ð Ø N = p 1 p 2 p n + 1. Ì Ð Ø N Ö Ø ÖÖ Ò ½ ØØ Ø Ñ Ø Ú Ö Ò ÔÖÓ Ù Ø Ú ÔÖ ÑØ Ð Ú Ò ÓØ Ú ÔÖ ÑØ Ð Ò p 1,p 2,...,p n Ö Ò Ð Ö Ø ÐÐ Nº ÄØ Ó Ø Ò Ò Ò Ð Ö Ñ p Ú N = pq Ö p Ö ØØ Ú ÔÖ ÑØ Ð Ò p 1,p 2,...,p n º ÐÐØ Ö 1 = N p 1 p 2 p n = p(q p 1p 2 p n ). p ØØ ØÝ Ö ØØ p Ú Ö Ö ½ Ú Ð Ø Ö ÐØ ÓÖ ÑÐ Ø Ø Ö ÓÑ ÔÖ ÑØ Ð Ø p Ö Ø ÖÖ Ò ½º ÎÖØ ÒØ Ò ØØ Ø Ò Ø ÒÒ Ò Ð Ø ÑÒ ÔÖ ÑØ Ð Ö Ð ØØ Ó Ø ÐÐ Ò ÑÓØ Ð º ÐÐØ Ñ Ø ÒØ Ò Ø Ú Ö Ð Ø Ú Ø ÒÒ ÓÒ Ð Ø ÑÒ ÔÖ ÑØ Ðº ÎÆÁÆ Ê ½º½º Î ØØ ÚÓØ Ò Ó Ö Ø Ò Ú Ú ÓÒ Ú ØÚ ÐØ Ð Ö ÒØÝ Ø Ò Ö Ú ÓÑ a = bq + r = bq + r Ö a,b 0,q,r,q,r Ö ÐØ Ð Ó 0 r < b,0 r < b Ö q = q Ó r = r º ½º¾º Î ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ ½º µº ½º º ØÓÖÙÔÔ Ð Ð Ò Ø Ð ÔÖÓ Ù Ø Ú ÔÖ ÑØ Ð µ ¾ ¼ µ ¾ µ ¼ µ ¼ ½º

ÎÆÁÆ Ê ½º º Ö Ò SGD(a,b) ÑØ ØÚ ÐØ Ð x Ó y Ò ØØ SGD(a,b) = ax + by µ a = 577,b = 257 µ a = 1111,b = 1133º ½º º ÄØ a Ó b Ú Ö ØÚ ÐØ Ðº Î ØØ SGD(a,b)MGM(a,b) = abº

Ä ÊÀ Ì Ç À ÈÊÁÅÌ Ä

Ã Ô Ø Ð ¾ Ê Ä ÌÁÇÆ Ê Ö ÔÔ Ø Ö Ð Ø ÓÒ Ñ Ø Ñ Ø ÑÑ Ò Ò Ò ÒÝØ Ö Ø ÐÐ ØÝ Ð Ò Ú ÑÑ ÓÖ Ú Ö Ð ØÙ Ø ÓÒ Ö Ò Ö Ð Ø ÓÒ Ö Ó Ø ØØ Ñ Ò Ñ ÐÐ Ò ØÚ Ò Ú Ö Ú ØØ Ô Öµº ¾º½µ Ò Ø ÓÒº Å Ò Ö Ð Ø ÓÒ R Ô Ò ÑÒ X Ñ Ò Ò Ó ØÝ Ð ÑÒ Ø Ò Ú Ô Ö (x,y) Ö x,y Xº Å Ò Ö ÓÖ Ö Ò Ö Ð Ø ÓÒ Ô X Ò Ó ØÝ Ð ÐÑÒ R Ø ÐÐ Ò ÖØ ÔÖÓ Ù Ø Ò X X = {(x,y) : x,y X}. ÇÑ x,y X Ó (x,y) R Ö R Ö Ò Ö Ð Ø ÓÒ Ô X Ö Ú Ö Ñ Ò Ó Ø x yº Å Ò Ö ØØ Ó Ø Ø Ñ Ò Ö Ø Ò ÓÑ ØÖ Ø ÓÒ ÐÐØ Ø Ò Ö Ò Ö Ð Ø ÓÒ Ö Ø Ü Ñ ÐÐ Ö º ¾º¾µ Ü ÑÔ Ðº µ ÄØ X = {1,2,3,4} Ó ÐØ R = {(1,3),(2,4),(2,2),(4,4)}º Å Ò Ò Ö Ú 1 3 ÐÐ Ö 2 2º Å Ò Ö ÑÑ ÒÐ Ø ½ Ô Ö (x,y) Ñ Ò Ò Ø Ô Ö Ò Ö Ö Ð Ø ÓÒ Ò Rº µ ÄØ X = Ê Ú Ö ÑÒ Ò Ú Ö ÐÐ Ø Ð Òº Ò Ö R = {(x,x 2 ) : x Ê} X Xº Ê Ð Ø ÓÒ Ò R Ö ÐØ Ò ÐØ Ö Ò Ú ÙÒ Ø ÓÒ Ò f(x) = x 2 Ú Ò ØÖ Ú ÐÐ ÔÙÒ Ø Ö Ô Ô Ö ÐÒ y = x 2 º ÀÖ Ö Ú x y ÔÖ y = x 2 º ØØ ÐÐÑÒØ Ö Ð Ø ÓÒ Ö ÔÔ Ö ÒØ Ö ÐØ ÒÚÒ Öغ Å Ò Ñ Ø Ñ Ø ØÙ Ø ÓÒ Ö Ö Ñ Ò Ú Ö ÐÐØ ÓÐ Ö Ð Ø ÓÒ Ö ÓÑ Ø Ö Ö ÓÐ ÝØØ ÖÐ Ö Ú ÐÐ ÓÖº Î ÙØ Ö Ö Ö Ø Ú Ú Ð Ò Ö Ð Ø ÓÒ Ö Ó Ö Ø Ö ÑÝ Ø ÓÖØ ÓÖ Ò Ò Ö Ð Ø ÓÒ Ö Ó ÙÒ Ø ÓÒ Ö Öº

½¼ Ê Ä ÌÁÇÆ Ê ¾º µ Ò Ø ÓÒº Ò Ö Ð Ø ÓÒ Ô Ò ÑÒ X ÐÐ Ö Ò Ú Ú Ð Ò Ö Ð Ø ÓÒ ÓÑ µ x x Ö Ü Ú Ø Øµ µ x y ÑÔÐ Ö Ö y x ÝÑÑ ØÖ µ µ x y Ó y z ÑÔÐ Ö Ö x z ØÖ Ò Ø Ú Ø Øµ x,y,z Xº ¾º µ Ü ÑÔ Ðº µ ÄØ X = Ó ÐØ x y Ó Ò Ø 5 x y Ö x,y º ÐÐ Ö x x ØÝ 5 x x = 0 x y ÑÔÐ Ö Ö y x ØÝ 5 x y ÑÔÐ Ö Ö 5 y x = (x y) ÑØ x y Ó y z Ö x z ØÝ 5 x y Ó 5 y z Ö 5 x z = (x y) + (y z)º µ ÄØ X = Æ = {1,2,...} Ó ÐØ x y Ó Ò Ø x Ó y Ö Ü Ø ÑÑ ÔÖ ÑØ Ð Ð Ö º Å Ò ÓÒØÖÓÐÐ Ö Ö ÑÝ Ø ÐØØ ØØ Ö Ò Ú Ú Ð Ò Ö Ð Ø ÓÒ Ö Ø µº µ ÄØ X Ú Ö Ò ÑÒ Ó ÐØ X i Ú Ö ¹ØÓÑÑ ÐÑÒ Ö Ø ÐÐ X Ö i Ø ÐÐ Ö Ò Ò Ò ÜÑÒ Iº ÄØ Ó ÒØ ØØ ÑÒ Ö ÙØ Ö Ò Ô ÖØ Ø ÓÒ Ú X Ú Ð Ø ØÝ Ö ØØ X = X i Ö ÙÒ ÓÒ Ò Ú ÐÐ X i Ó X i Ö Ô ÖÚ ÙÒ Ø Ú X i X j = ÓÑ i jº Ò Ö ÒÙ x y ÓÑ Ó Ò Ø ÓÑ Ø ÒÒ i ØØ x,y X i º Å Ò Ö Ò Ú Ú Ð Ò Ö Ð Ø ÓÒ Ô Xº Å Ò Ò ØÒ Ô X ÓÑ ÑÒ Ò Ú ÐÐ Ð Ú Ö Ò ÓÐ Ñ Ò X i Ø Ò Ö ÐÐ Ð Ú Ö ÑÑ Ð Ú ÖÙØ ØØ Ö ØØ ÓÐ Ò Ö Ú ÑÑ Ð ÑÓ ÐÐ ØØ Ú Ö Ð Ú Ø ÐÐ Ö Ü Ø Ò Ð µº ÌÚ Ð Ú Ö x Ó y Ö Ö Ð Ø Ö Ú x yµ ÔÖ x Ó y Ö ÑÑ Ð º Î Ú Ö ØÖ Ü ØØ Ú Ö Ú Ú Ð Ò Ö Ð Ø ÓÒ Ô Ò Ó ØÝ Ð ÑÒ X Ö Ñ Ò Ô ØØ Øغ ¾º µ Ò Ø ÓÒº ÄØ Ú Ö Ò Ú Ú Ð Ò Ö Ð Ø ÓÒ Ô Ò ÑÒ Xº Å Ú Ú Ð Ò Ð Ò Ú x X Ñ Ò ÑÒ Ò [x] = {y X : y x}. ¾º µ ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒº ( ) x [x]º ( ) [x] = [y] x yº () ÌÚ ÓÐ Ú Ú Ð Ò Ð Ö Ö ÙÒ Ø º ( ) X Ö ÙÒ ÓÒ Ò Ú ÐÐ Ú Ú Ð Ò Ð Öº Ú º µ ÃÐ ÖØ ÖÒ ¾º µ µº µ [x] = [y] x [x] = [y] x yº ÒØ ÒÙ ØØ x yº ÇÑ z [x] Ö z x Ó x y ØØ z y ØØ z [y]º ÐÐØ Ö [x] [y]º Ú ÝÑÑ ØÖ Ð Ö Ñ Ò Ó [y] [x]º µ ÇÑ z [x] [y] Ö z x Ó z y ØØ x y ÙÖ ÝÑÑ ØÖ Ò Ó ØÖ Ò Ø Ú Ø Ø Ò z x Ö x z ÓÑ Ñ z y Ö x yµº ÒÐ Ø µ Ö [x] = [y]º ØØ ØÝ Ö ØØ ÓÑ [x] [y] Ò Ö Ð Ö Ò ÓØ Ñ Ò ÑØ Ð Ñ ÒØ zº µ Ð Ö Ö Ø ÙÖ µº

¾º½¼µ ½½ ¾º µ Ð Ø º Ú Ú Ð Ò Ð ÖÒ Ú Ú Ö Ú Ú Ð Ò Ö Ð Ø ÓÒ Ô X Ð Ö Ò Ô ÖØ Ø ÓÒ Ú Xº Ú º Ð Ö ÓÑ Ð ÖØ ÖÒ µ Ó µ ¾º µº º ¾º µ Ü ÑÔ Ðº µ Ö Ú Ú Ð Ò Ö Ð Ø ÓÒ Ò ¾º µ µ Ö Ñ Ò [x] = [r], Ö r Ö Ö Ø Ò Ú Ú ÓÒ Ú x Ñ ØÝ 5 x r Ú x rº Ø Ö ÓÑ Ø ÒÒ ÓÐ Ö Ø Ö r ÒÒ Ø Ü Ø ÓÐ Ú Ú Ð Ò Ð Ö ¼ ½ ¾ º µ Á Ü ÑÔ Ð ¾º µ µ Ö ÐÐ Ú Ú Ð Ò Ð Ö Ú Ð Ò ÓÖÑ [x] = [p 1 p 2 p r ] Ö p 1,p 2,...,p r Ö ÐÐ ÓÐ ÔÖ Ñ Ð Ö Ø ÐÐ x ÓÑ x 1 Ó ½ Ø Ò Ú Ò ÖØ ½µº ÃÓÒØÖÓй Ð Ö ØØ Ô Ø Ò µ Á Ü ÑÔ Ð ¾º µ µ Ö Ù Ø Ô ÖØ Ø ÓÒ ÑÒ ÖÒ X i Ú Ú Ð Ò Ð ÖÒ ØÝ ÓÑ x Ø ÐÐ Ö X i Ö [x] = X i º ÅÒ Ò Ú ÐÐ Ú Ú Ð Ò Ð Ö Ö Ò Ú Ú Ð Ò Ö Ð Ø ÓÒ Ô X Ø Ò Ñ X/ º ÒÒ ÑÒ ÐÐ Ö Ñ Ò Ó Ø Ö X ÑÓ ÙÐÓ º Ò ÒÒ Ò ÑÝ Ø Ú ÒÐ ØÝÔ Ú Ö Ð Ø ÓÒ Ö Ö ÓÖ Ò Ò Ö Ð Ø ÓÒ Öº ¾º µ Ò Ø ÓÒº Ò Ö Ð Ø ÓÒ Ô Ò ÑÒ X ÐÐ Ò Ô ÖØ ÐÐ ÓÖ Ò Ò Ö Ð Ø ÓÒ ÐÐ Ö Ò Ô ÖØ ÐÐ ÓÖ Ò Ò µ ÓÑ µ x x Ö Ü Ú Ø Øµ µ x y Ó y z ÑÔÐ Ö Ö ØØ x z ØÖ Ò Ø Ú Ø Øµ µ x y Ó y x ÑÔÐ Ö Ö ØØ x = y ÒØ ÝÑÑ ØÖ µº Å Ò Ö Ú Ö x < y ÓÑ x y Ó x yº ÇÑ ÙØÓÑ Ò Ö Ð Ø ÓÒ Ø Ö Ö µ Ö Ó ØÝ Ð x,y X ÐÐ Ö Ø ØØ x < y ÐÐ Ö y < x ÐÐ Ö x = y Ö Ñ Ò ØØ Ö Ð Ø ÓÒ Ò Ö Ò ÓÖ Ò Ò Ö Ð Ø ÓÒ ÐÐ Ö Ò ÓÖ Ò Ò µ Ô Xº ¾º½¼µ Ü ÑÔ Ðº µ ÄØ X = Ê Ó ÐØ x y Ø Ò Ö Ò Ú ÒÐ ÓÖ Ò Ò Ö Ð Ø ÓÒ Ò Ô Ö ÐÐ Ø Ð Òº Î Ú Ø ÑÝ Ø ÚÐ ØØ Ò Ö Ð Ø ÓÒ Ò Ö Ò ÓÖ Ò Ò Ö Ð Ø ÓÒ ÒÐ Ø Ñ Ò Ø ÓÒ Ò ÓÚ Òº µ ÄØ X = Æ = {1,2,3,...} Ú Ö ÑÒ Ò Ú Ò ØÙÖÐ Ø Ð Òº Ê Ð Ø ÓÒ Ò x y Ö Ò Ô ÖØ ÐÐ ÓÖ Ò Ò Ö Ð Ø ÓÒ Ô Æ ØÝ x x ÓÑ x y Ó y z x z ÑØ x y Ó y x Ö x = yº Å Ò Ö ÒØ Ò ÓÖ Ò Ò Ö Ð Ø ÓÒ ØÝ µ Ò Ø ÓÒ Ò ÓÚ Ò ÐÐ Ö ÒØ Ñ Ò Ø Ü ÚÐ Ö x = 2 Ó y = 3º

½¾ Ê Ä ÌÁÇÆ Ê ¾º½½µ Î Ú ÐÙØ Ö Ñ Ò Ó ÖÚ Ø ÓÒ ØØ Ú Ö ÙÒ Ø ÓÒ f : X X Ò Ö Ö Ò Ö Ð Ø ÓÒ ÒÑÐ Ò ÑÒ Ò Ú ÐÐ Ô Ö (x,f(x)) X Xº ÄØ Ó ÔÑ ÒÒ ØØ Ñ Ò ÙÒ Ø ÓÒ ÖÒ Ò ÑÒ X Ø ÐÐ Ò ÑÒ Y Ñ Ò Ö Ñ Ò Ú ÒÐ Ò Ò Ö Ð ÓÑ ÑÓØ Ú Ö x X ÓÖ Ò Ö Ü Ø ØØ Ð Ñ ÒØ y Y º Ö Ú Ö Ñ Ò y = f(x) Ó f : X Y º Á ÚÖØ ÐÐ Ö Ú X = Y Ó Ú Ö Ò Ö Ð Ø ÓÒ Ô X x y ÓÑ Ó Ò Ø ÓÑ y = f(x)º È ÖÑÒ Ò ÓÑ Ú Ö Ö ÑÓØ f ØÖ ÐÐØ Ú ÐÐ Ô Ö (x,f(x))º Γ f = {(x,f(x)) : x X} ÐÐ Ó Ø grafen Ú ÙÒ Ø ÓÒ Ò fº ÎÆÁÆ Ê ¾º½º Î Ð Ú Ð Ò Ö Ð Ø ÓÒ ÖÒ Ô Ò ÚÒ ÑÒ Ò X Ö Ú Ú Ð Ò Ö Ð Ø ÓÒ Ö µ X = x y Ó Ò Ø n x y Ö n Ö ØØ ÜØ ÔÓ Ø ÚØ ÐØ Ðº µ X = Æ x y Ó Ò Ø xy Ö Ò Ú Ö Ø Ú ØØ Ò ØÙÖÐ Ø Ø Ðº µ X = Ê 2 (a,b) (c,d) Ó Ò Ø b = dº µ X = Ê 2 (a,b) (c,d) Ó Ò Ø a = c ÐÐ Ö b = dº µ X = Ê a b Ó Ò Ø a b Ö ØØ ÐØ Ðº µ X = Ê a b Ó Ò Ø ab > 0º ¾º¾º Ö Ø ÒØ ØØ Ö Ü Ú Ø Ø Ò Ø ÓÒ Ò Ú Ò Ú Ú Ð Ò Ö Ð Ø ÓÒ Ð Ö ÙÖ ÝÑÑ ØÖ Ò Ó ØÖ Ò Ø Ú Ø Ø ÒÐ Ø Ð Ò Ö ÓÒ Ñ Ò ÄØ x Xº ØØ x y Ö y x Ø Ö ÓÑ Ö ÝÑÑ ØÖ º ÐÐØ Ö ØÖ Ò Ø Ú Ø Ø Ò x xº ¾º º ØÑ Ú Ú Ð Ò Ð ÖÒ ÐÐ ÐÐ Ö Ð Ø ÓÒ ÖÒ Ò Ö Ø ÚÒ Ò Ò Ö Ú ¹ Ú Ð Ò Ö Ð Ø ÓÒ Öº Ö ØÓÐ Ú Ú Ð Ò Ð ÖÒ ÓÑ ØÖ Ø Ò ØÓÐ Ò Ò Ö Ö Ñ Ð º ¾º º Î Ð Ú Ð Ò Ö Ð Ø ÓÒ Ö Ô ÚÒ ÑÒ ÖÒ X Ö Ô ÖØ ÐÐ ÓÖ Ò Ò Ö Ð Ø ÓÒ Ö Î Ð Ú Ñ Ö ÓÖ Ò Ò Ö Ð Ø ÓÒ Ö µ X = Ê a b Ó Ò Ø a 2 b 2 º µ X = Æ a b Ó Ò Ø a 2 b 2 º µ X = ÐÐ Ö ÐÐ ÙÒ Ø ÓÒ Ö f : Ê Ê Ó f g Ó Ò Ø f(x) g(x) Ö Ú Ö x ʺ

Ã Ô Ø Ð Å Æ Ê Å ÇÈ Ê ÌÁÇÆ Ê ÝÖ Ö Ò ØØ Ò Ø ÓÒ Ù ØÖ Ø ÓÒ ÑÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒ Ó Ú ÓÒ Ö Ú Ñ Ò Ó Ø Ð¹ Ð Ö Ö ØÑ Ø µ ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ö ÑÒ Ò Ú ÐÐ Ø Ðº Ø ÓÒ Ó ÑÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒ Ú Ú ÒÐ ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ò ÖÒ Ò ÐÝ ÙÖ Ö Ö Ó ÓÔ Ö Ø ÓÒ Öº Ú Ò Ñ ØÖ Ø ÓÒ ÐÐ Ö Ñ ØÖ ¹ ÑÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒ Ö ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ö ÑÒ Ò Ú Ñ ØÖ Ö Ú ÐÑÔÐ ØÓÖÐ º Á Ð Ö Ò Ö Ñ Ò Ó Ø ÒØÖ Ö Ú ÓÐ Ò Ô Ö Ó ÓÔ Ö Ø ÓÒ Öº ÌÚ ÑÒ Ö ÓÑ Ø ÐÐØ Ö ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ö Ñ ÑÑ Ò Ô Ö Ò Ó Ø ØÙ Ö ÑØ Ø Ñ Ò Ú Ö ÒØ Ú ÑÑ Ø Ö Ö Ò Ö ÓÑ Ñ Ò Ú Ø ØØ Ø Ö ÐÐ Ö Ö Ú Ö ÑÒ Ñ ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ö ÓÑ Ø Ö Ö Ú Ú ÐÐ ÓÖº Á ØØ Ú Ò ØØ Ò Ö Ö Ú Ö ÔÔ Ø ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ó Ò Ö ÑÝ Ø ÐÐÑÒÒ Ò Ô Ö Ó ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ö Ø Ü Ó Ø Ú Ø Ø Ó ÓÑÑÙØ Ø Ú Ø Øº Ö ÔÔ Ø ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ö ØØ Ô Ð ÐÐ Ú Ö ÔÔ Ø ÙÒ Ø ÓÒº Ö Ö Ö Ô Ø Ö Ö Ú Ö Ø ØØ Ñ Ò ÙÒ Ø ÓÒ f ÖÒ Ò ÑÒ X Ø ÐÐ Ò ÑÒ Y Ñ Ò Ö Ñ Ò Ú ÒÐ Ò Ò Ö Ð ÓÑ Ø ÐÐ Ú Ö x X ÓÖ Ò Ö Ü Ø ØØ Ð Ñ ÒØ y Y º Ö Ú Ö Ñ Ò y = f(x) Ó f : X Y º ÄØ Ó Ó Ö Ô Ø Ö ØØ X Y Ø Ò Ö Ò ÖØ µ ÔÖÓ Ù Ø Ò Ú ÑÒ ÖÒ X Ó Y Ú X Y = {(x,y) : x X Ó y Y }. ÆÙ Ö Ú Ö ØØ Ò Ö Ö ÔÔ Ø ÓÔ Ö Ø ÓÒ º½µ Ò Ø ÓÒº Å Ò ÒÖµ ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ô ÑÒ Ò M Ñ Ò Ö Ñ Ò Ò Ú Ð Ò Ò ÖÒ M M Ø ÐÐ Mº Ð Ò Ú Ô Ö Ø (a,b) Ø Ò Ó Ø Ñ a b Ó ÑÒ Ò M Ñ ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ò Ñ (M, )º Ò Ø ÓÒ Ò Ö ØØ Ò ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ô M ÓÖ Ò Ö ÑÓØ ØÚ Ó ØÝ Ð Ð Ñ ÒØ a,b M ØØ Ð Ñ ÒØ a b Mº ÀÖ Ð Ö Ò Ö Ü ÑÔ Ð Ô ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ö ½

½ Å Æ Ê Å ÇÈ Ê ÌÁÇÆ Ê º¾µ Ü ÑÔ Ðº µ ÄØ M Ú Ö Ò Ú ÑÒ ÖÒ, É, Ê, Ó ÐØ a b = a + b Ú Ö Ò Ú ÒÐ ÙÑÑ Ò Ú a Ó bº µ Å ÑÑ M ÓÑ µ ÐØ a b = ab Ú Ö Ò Ú ÒÐ ÔÖÓ Ù Ø Ò Ú a Ó bº µ ÄØ M = M 2 (Ê) Ú Ö ÑÒ Ò Ú (2 2)¹Ñ ØÖ Ö Ñ Ö ÐÐ Ð Ñ ÒØ Ó A B = AB Ò Ú ÒÐ Ñ ØÖ ÔÖÓ Ù Ø Ò Ö A,B M 2 (Ê)º µ ÄØ M Ú Ö ÑÒ Ò Ú ÐÐ Ö ÐÐ ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ó f g = f + g Ò Ú ÒÐ ÙÑÑ Ò Ú ØÚ ÙÒ Ø ÓÒ Ö f,g M Ú (f + g)(x) = f(x) + g(x) x ʺ Ò ÖØ Ø ØÙÑ ØØ Ñ Ò Ö Ò ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ô Ò ÑÒ Ö Ó Ø Ø ÒØ Ø ÐÐÖ Ð Ø Ö ØØ ØÙ Ö ÑÒ Òº Ö Ö Ú ÐÐ Ñ Ò Ú Ø Ð Ø Ñ Ö ÓÑ ÓÐ Ò Ô Ö Ó ÓÔ Ö Ø ÓÒ Öº º µ Ò Ø ÓÒº Å Ò Ö ØØ ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ò Ô M Ö Ó Ø Ú ÓÑ (a b) c = a (b c) a,b,c Mº ÇÔ Ö Ø ÓÒ Ò Ö ÓÑÑÙØ Ø Ú ÓÑ a b = b a a,b Mº Ü ÑÔ Ðº µ ÐÐ ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ö Ü ÑÔ Ð º¾µ Ö Ó Ø Ú Ó Ò ÖØ º¾µ µ Ö ÒØ ÓÑÑÙØ Ø Úº µ ËÙ ØÖ Ø ÓÒ Ò Ö Ú Ö Ò ÓÑÑÙØ Ø Ú ÐÐ Ö Ó Ø Ú Ô Ú ÓÑ a b = a b ÐÐ Ö ÒØ ØØ a b = b a ÐÐ Ö (a b) c = a (b c) ØÝ Ú ÒÐ Ò a b b a Ó (a b) c a (b c)º Ø ØØ Ø ØØ Ú Ô Ø Ò Ò Ö ØØ Ü ÑÔ Ð Ø Ü 2 3 3 2 Ó (3 2) 1 3 (2 1)º º µ Ò Ø ÓÒº Å Ò Ö ØØ e M Ö ØØ Ò ÙØÖ ÐØ Ð Ñ ÒØ Ö ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ò ÓÑ e a = a e = a a Mº Å Ò Ö ØØ a M Ö Ò ÒÚ Ö Ø ÐÐ a M ÓÑ a a = a a = eº Ü ÑÔ Ðº µ 0 Ö ØØ Ò ÙØÖ ÐØ Ð Ñ ÒØ Ö Ø ÓÒ Ò Ô M = ÐÐ Ö É, Ê, µ ØÝ 0 + a = a + 0 = a a Mº ÁÒÚ Ö Ò Ø ÐÐ a M Ö a ØÝ a + ( a) = ( a) + a = 0º ÁÒÚ Ö Ò ÐÐ Ö ÑÓØ ØØ Ø Ð Øº µ Ì Ð Ø ½ Ö ØØ Ò ÙØÖ ÐØ Ð Ñ ÒØ Ö ÑÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒ Ò Ô M ÙÖ µ ØÝ 1 a = a 1 = a a Mº ÁÒÚ Ö Ò Ø ÐÐ a M ÒÒ Ò ÖØ a = 1/a Mº ÇÑ M = Ê Ö ÐÐ Ø Ð ÒÚ Ö ÙØÓÑ ¼º ÇÑ M = Ö Ò ÖØ a = ±1 ÒÚ Ö Ö ÑÓØ Ú Ö Ú Ö Ö µº µ ÆÓÐÐÑ ØÖ Ò 0 = [ 0 0 0 0 Ö ØØ Ò ÙØÖ ÐØ Ð Ñ ÒØ Ö Ñ ØÖ Ø ÓÒ Ò Ô M = M 2 (Ê)º ÁÒÚ Ö Ò Ø ÐÐ A M Ö A ØÝ A + ( A) = ( A) + A = 0º Á ØÐÐ Ø Ö ÒÚ Ö Ö Ñ Ò Ò ÑÓØ ØØ Ñ ØÖ Òº Ò Ø Ñ ØÖ Ò ]

º µ ½ E = [ 1 0 0 1 Ö ØØ Ò ÙØÖ ÐØ Ð Ñ ÒØ Ö Ñ ØÖ ÑÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒ Ò ØÝ EA = AE = A A Mº ÁÒÚ Ö Ò Ø ÐÐ A M Ö A = A 1 ÓÑ deta 0º ÇÑ deta = 0 Ò Ö A ÒÚ Ö ÓÑ AA = E Ö det(aa ) = detadet A = dete = 1 ÑÓØ Ð Ò 0 = 1 ÓÑ ØA = 0µº ] º µ ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒº ØØ Ò ÙØÖ ÐØ Ð Ñ ÒØ e M Ö ÒØÝ Ø ØÑغ ÇÑ ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ò Ô M Ö Ó Ø Ú Ó a M Ö ÒÚ Ö Ö Ò ÒØÝ º Ú º ÇÑ Ú Ò e Ö ØØ Ò ÙØÖ ÐØ Ð Ñ ÒØ Ö Ú e = e e = e. ÄØ a 1 Ú Ö Ó Ò ÒÚ Ö Ø ÐÐ aº ÐÐ Ö a 1 = a 1 e = a 1 (a a ) = (a 1 a) a = e a = a. º µ ÒÑÖ Ò Ò º ÇÑ M = {a 1,a 2,...,a n } Ö Ò Ò Ð ÑÒ Ò Ö Ö Ñ Ò Ó Ø ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ö Ô M Ñ ÐÔ Ú ÑÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒ Ø ÐÐ Ö a 1... a j... a n a 1 º a i º a n a i a j Î Ö Ò Ø ÐÐ Ö Ò ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ô Mº Å ÐÔ Ú Ø ÐÐ Ò Ò Ñ Ò ÐØØ Ú Ö ÓÑ ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ò Ô M Ö ÓÑÑÙØ Ø Ú ÙÖ µ ÐÐ Ö ÓÑ Ø ÒÒ ØØ Ò ÙØÖ ÐØ Ð Ñ ÒØ ÙÖ µº Å Ò Ø Ö ÑÝ Ø ÚÖÐ Ö ØØ Ú Ö ÓÑ ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ò Ö Ó Ø Úº ÅÝ Ø Ó Ø ØÖ Ø Ö Ñ Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ñ ÐÐ Ò ÑÒ Ö Ñ ÓÔ Ö Ø ÓÒ Öº ÄØ Ó ÔÑ ÒÒ ÓÑ ØØ Ò ÙÒ Ø ÓÒ f : M M ÐÐ Ø Ú ÓÑ Ò Ú Ð Ö ÓÐ Ð Ñ ÒØ M Ô ÓÐ Ð Ñ ÒØ M ØØ Ú Ö Ð Ñ ÒØ M Ö Ð Ò Ú ØØ Ð Ñ ÒØ Mº ËÖ ÐØ Ú Ø Ö ÙÒ Ø ÓÒ Ö ÓÑ Ö Ô Ø Ö Ö ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ö Ð Ò Ñ Ò Ò º µ Ò Ø ÓÒº ÄØ (M, ) Ó (M, ) Ú Ö ØÚ ÑÒ Ö Ñ ÓÔ Ö Ø ÓÒ Öº Å Ò Ö ØØ Ò ÙÒ Ø ÓÒ f : M M Ö Ò ÓÑÓÑÓÖ Ñ ÓÑ f(a b) = f(a) f(b) Ö ÐÐ a,b Mº ÇÑ ÙØÓÑ f Ö Ø Ú Ö Ñ Ò ØØ Ò Ö Ò ÓÑÓÖ Ñº Ö Ú Ö Ñ Ò M = M º

½ Å Æ Ê Å ÇÈ Ê ÌÁÇÆ Ê º µ Ü ÑÔ Ðº f(n) = 2nº Î Ö µ ÄØ M = M = Ú Ö ÑÒ Ö Ñ Ú ÒÐ Ø ÓÒ Ú ÐØ Ð Ò Ó f(n 1 + n 2 ) = 2(n 1 + n 2 ) = 2n 1 + 2n 2 = f(n 1 ) + f(n 2 ) ØØ f Ö Ò ÓÑÓÑÓÖ Ñº Å Ò f Ö ÒØ Ò ÓÑÓÖ Ñ Ö Ö ØØ f ÒØ Ö Ø Ú Ð Ö Ú f Ö Ò Ø ÑÒ ÐØ Ðº µ ØÖ Ø M = Ê Ñ Ø ÓÒ ÓÑ ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ó ÔÓ Ø Ú Ö ÐÐ Ø Ð Ò M = Ê + Ñ ÑÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒ ÓÑ ÓÔ Ö Ø ÓÒº ÙÒ Ø ÓÒ Ò f : M M Ö f(x) = 2 x Ö Ò ÓÑÓÑÓÖ Ñ Ö Ö ØØ f(x 1 + x 2 ) = 2 x 1+x 2 = 2 x 1 2 x 2 = f(x 1 )f(x 2 ). ÙÒ Ø ÓÒ Ò f Ö ÓÑ ÒØ Ø Ú ØØ f Ö Ò ÓÑÓÖ Ñº µ ÄØ M = V Ó M = W Ú Ö ØÚ Ú ØÓÖÖÙÑ Ú Ö Ö ÐÐ Ø Ð Òµ Ó ÐØ f : V W Ú Ö Ò Ð Ò Ö Ú Ð Ò Ò º Ö f Ò ÓÑÓÑÓÖ Ñ ØÝ f(v 1 + v 2 ) = f(v 1 ) + f(v 2 ) ÒÐ Ø Ò Ø ÓÒ Ú Ð Ò Ö Ú Ð Ò Ò Öº f Ú Ö ÒØ Ú Ö Ò ÓÑÓÖ Ñº ÎÆÁÆ Ê º½º Î Ð Ú Ð Ò ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ö Ô Ö Ó Ø Ú ÓÑÑÙØ Ø Ú Ú Ð Ö ØØ Ò ÙØÖ ÐØ Ð Ñ ÒØ Î Ö Ò Ø ÒÒ ØØ Ò ÙØÖ ÐØ Ð Ñ ÒØ ØÑ ÐÐ Ð Ñ ÒØ ÓÑ Ö ÒÚ Ö º µ m n = mn + 1 µ m n = mn + m + n µ m n = m 2 + n 2 µ m n = 2 µ m n = 2 mn µ m n = max(m,n) µ m n = SGD(m,n) µ m n = MGM(m,n) º¾º ÀÙÖ ÑÒ ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ö ÒÒ Ø Ô Ò ÑÒ Ñ n Ð Ñ ÒØ ÀÙÖ ÑÒ Ú Ö ÓÑÑÙØ Ø Ú º º Ü ÑÔ Ð Ô Ò ÑÒ Ñ Ò ÓÔ Ö Ø ÓÒ ÓÑ Ö µ Ó Ø Ú Ñ Ò ÓÑÑÙØ Ø Ú µ ÓÑÑÙØ Ø Ú Ñ Ò Ó Ø Úº

ÎÆÁÆ Ê ½ º º ÄØ M Ú Ö Ò ÑÒ Ñ Ò ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ó Ñ ØØ Ò ÙØÖ ÐØ Ð Ñ ÒØ eº Î ØØ ÓÑ a (b c) = (a c) b Ö a,b,c M Ö ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ò ÓÑÑÙØ Ø Ú Ó Ó Ø Úº º º ÚÖØ µ ÄØ M Ú Ö Ò ÑÒ Ñ Ò ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ò ØØ a a = a Ó (a b) c = (b c) a Ö a,b,c Mº Î ØØ ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ò Ö ÓÑÑÙØ Ø Ú Ó Ó Ø Úº º º ØÖ Ø Ñ ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ò m n = mn + 1º Ò Ö Ò ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ô Ê ØØ ÙÒ Ø ÓÒ Ò f: Ê f(m) = m 1 Ð Ö Ò ÓÑÓÑÓÖ Ñº º º ÄØ f:m M Ú Ö Ò ÓÑÓÖ Ñ Ñ ÐÐ Ò ØÚ ÑÒ Ö Ñ ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ö (M, ) Ó (M, ) Ó g:m M ÒÚ Ö º Î ØØ g Ö Ò ÓÑÓÑÓÖ Ñ Ó ÖÑ ÐÚ Ò ÓÑÓÖ Ñµº

½ Å Æ Ê Å ÇÈ Ê ÌÁÇÆ Ê

Ã Ô Ø Ð ÊÍÈÈ Ê ÁÆÁÌÁÇÆ Ê Ç À ÅÈ Ä Ò ÖÙÔÔ Ö Ò ÑÒ Ñ Ò ÓÔ Ö Ø ÓÒ ÓÑ ÙÔÔ ÝÐÐ Ö Ò Ö ÑÝ Ø Ò Ð Ú ÐÐ ÓÖº Ò Ð Ú ÐÐ ÓÖ Ð Ö Ø ÐÐ Ò ÑÝ Ø Ö Ó ÒØÖ ÒØ Ø ÓÖ ÓÑ Ö Ø ÐÐÑÔÒ Ò Ö Ð Ñ Ø Ñ Ø Ò Ó Ò Ö Ò ØÙÖÚ Ø Ò ÔÐ ÑÒ Ò Ý Ñ µº ÖÙÔÔ Ö ØÖ Ò Ñ Ø Ñ Ø Ò Ö Ò ÙÒ Ö ½ ¼¼¹Ø Ð Ø Ú Ò ÓÑ Ò ÓÖÑ ÐÐ Ò Ø ÓÒ Ú ÖÙÔÔ Ö ÔÔ Ø ÓÖÑÙÐ Ö ØÝ Ð Ø ¹ Ò Ö º ÇÐ ÓÒ Ö Ø ÖÙÔÔ Ö ØÙ Ö Ö Ò Ú Äº ÙÐ Ö Ö Ø ÖÙÔÔ Öµ Ó Âº Ä Ö Ò ÓÑ Ö Ø ÒØÖÓ Ù Ö Ö ÔÔ Ø Ô ÖÑÙØ Ø ÓÒ ÖÙÔÔº º ÐÓ Ú ÙÖ Ñ Ò Ò ÒÚÒ Ô ÖÑÙØ Ø ÓÒ ÖÙÔÔ Ö Ö ØØ Ð Ú Ø Ó ÙÒ Ö Ò Ø ÑÝ Ø ÚÖ ÔÖÓ Ð Ñ Ø ÓÖ Ò Ö Ð Ö Ú Ø ÓÒ Öº Å Ò Ò ÑÓ ÖÒ Ò Ø ÓÒ Ò Ú Ö ÔÔ Ø ÖÙÔÔ Ú ½ ¼ Ú Äº ÃÖÓÒ Öº º½µ Ò Ø ÓÒº ÄØ G Ú Ö Ò ÑÒ Ó ÐØ Ú Ö Ò ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ô G Ú ¼µ a b G a,b G ÐÙØ Ò Øµº Å Ò Ö ØØ (G, ) Ö Ò ÖÙÔÔ ÓÑ ½µ (a b) c = a (b c) a,b,c G Ó Ø Ú Ø Øµ ¾µ Ø ÒÒ e G ØØ e a = a e = a a G Ò ÙØÖ ÐØ Ð Ñ Òص µ Ø ÐÐ Ú Ö a G ÒÒ a G ØØ a a = a a = e ÒÚ Ö µº Á Ú Ö ÖÙÔÔ ÒÒ Ø Ò Ø ØØ Ò ÙØÖ ÐØ Ð Ñ ÒØ e Ó Ú Ö ÖÙÔÔ Ð Ñ ÒØ a Ö Ò Ø Ò ÒÚ Ö a º ØØ Ð Ö Ö Ø ÖÒ ÔÖÓÔÓ Ø ÓÒ º µº º¾µ Ü ÑÔ Ðº µ (,+) (É,+) (Ê,+) (,+) Ö ÖÙÔÔ Öº ÇÑ Ñ Ò ÙØ ÐÑÒ Ö ¼ ÙÖ É Ê Ö Ñ Ò ÖÙÔÔ Ö Ñ Ú Ò Ô ÑÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒº Ø ÐÔ Ö ÒØ ØØ ÙØ ÐÑÒ ¼ ÙÖ ½

¾¼ ÊÍÈÈ Ê ÁÆÁÌÁÇÆ Ê Ç À ÅÈ Ä Ö ØØ Ò ÖÙÔÔ Ñ Ú Ò Ô ÑÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒ Ö Ö ØØ Ø Ü ÐØ Ð Ø ¾ Ò Ö ÐØ Ð ÒÚ Ö ÒÚ Ö Ò Ò ÖØ Ü Ø Ö Ö Ö ±1µº µ ÐÐ (n n)¹ñ ØÖ Ö Ñ Ö ÐÐ Ð Ñ ÒØ Ó Ñ Ø ÖÑ Ò ÒØ 0 Ð Ö Ò ÖÙÔÔ Ñ Ú Ò Ô Ñ ØÖ ÑÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒº ÒÒ ÖÙÔÔ Ö Ò Ø Ò Ö Ø Ò Ò GL n (Ê)º Î Ö A,B GL n (Ê) deta 0 det B det(ab) = det A detb 0 AB GL n (Ê), Ú Ð Ø Ú Ö ÐÙØ Ò Ø Òº Ó Ø Ú Ø Ø Ò (AB)C = A(BC) A,B,C GL n (Ê) Ö Ò ÚÐ Ò Ò Ô Ó Ñ ØÖ ÑÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒº ÇÑ E Ø Ò Ö (n n)¹ Ò Ø Ñ ØÖ Ò Ö EA = AE = A A GL n (Ê) Ú E Ö Ø Ò ÙØÖ Ð Ð Ñ ÒØ Øº ËÐÙØÐ Ò AA 1 = A 1 A = E ÓÑ A GL n (Ê) Ú A 1 Ö ÒÚ Ö Ò Ø ÐÐ A Ó ÖÚ Ö ØØ deta 0 ØØ ÒÚ Ö Ò A 1 Ü ¹ Ø Ö Öµº µ ÄØ G = {1, 1} Ñ Ú ÒÐ ÑÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒº G Ö Ò ÖÙÔÔ Ñ Ð Ò ÑÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒ ¹ Ø ÐÐ ½ 1 ½ ½ 1 1 1 ½ º µ ÒÑÖ Ò Ò º Ò ÑÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒ Ø ÐÐ Ö Ò Ò Ð ÖÙÔÔ ÓÑ ÓÚ Òµ ÐÐ Ö Ñ Ò Ó Ø Ö ÖÙÔÔØ ÐÐ ÐÐ Ö ÝÐ Ý Ø Ðк Ø Ö ÒØ ÐØØ ØØ Ú Ö ÓÑ Ò ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ô Ò Ò Ð ÑÒ G Ò Ö Ö Ò ÖÙÔÔ ÒÓÑ ØØ ØÙ Ö ÖÙÔÔØ ÐÐ Ò a 1 º º º a j º º º a n a 1 a 1 º º º a j º º º a n º a i a i º º º a i a j º º º º a n a n ÒÓÑ Ò Ò Ô Ø ÓÒ Ú ÑÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒ Ø ÐÐ Ò Ò Ö Ñ Ò ÐØØ ÓÑ ÑÒ Ò Ö ÐÙØ Ò Ñ Ú Ò Ô ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ò ÐÙØ Ò Ø Ò ÒÒ Ö ØØ Ú Ö Ð Ñ ÒØ Ø ÐÐ Ò Ø ÐÐ Ö ÑÒ Ò Gº Ø Ö Ó ÐØØ ØØ ÙÔÔØ ÓÑ Ø ÒÒ ØØ Ò ÙØÖ ÐØ Ð Ñ ÒØ ÓÑ a 1 = e Ö Ø Ò ÙØÖ Ð Ð Ñ ÒØ Ø Ö Ö Ø ØÚ Ö ÖÒ Ó ÓÐÓÒÒ ÖÒ ÒØ º Å Ò Ò Ò ÐØ ÓÑ Ú Ö Ð Ñ ÒØ Ö ÒÚ Ö Ú Ö Ö Ó Ú Ö ÓÐÓÒÒ Ñ Ø ÒÒ ÐÐ eº Á ÐÚ Ú Ö Ø Ö Ø ØØ Ú Ö Ö Ó Ú Ö ÓÐÓÒÒ Ö Ò ÓÑ ØÒ Ò Ú Ò Ö Ø Ö Ò ÐÐ Ö ÓÐÓÒÒ Òµº ØØ Ð Ö ÙÖ Ò ÑÝ Ø Ò Ð Ó ÖÚ Ø ÓÒ Ò Ø ÔÖÓÔÓ Ø ÓÒº Å Ò ØØ ÓÒØÖÓÐÐ Ö ØØ ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ò Ö Ó Ø Ú Ö ÒØ Ð ÐØغ

º µ ¾½ º µ ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒº ÄØ G Ú Ö Ò ÖÙÔÔ Ó a,b,c Gº ÐÐ Ö ØÖÝ Ò Ò Ð ÖÒ µ a c = b c a = b µ c a = c b a = bº Ú º Î Ú Ö µº ÅÙÐØ ÔÐ Ö ÖÒ Ö Ñ ÒÚ Ö Ò c Ø ÐÐ cº Ì Ú Ö Ó Ø Ú Ø Ø Ò Ö Ú ØØ a c c = b c c Ö a e = b e Ú a = bº º µ ÒÑÖ Ò Ò º Ò Ö Ø ÐÐ Ò ÓÚ Ò ØÖ Ú ÔÖÓ Ù Ø ÖÒ a i a 1,... a i a j,...,a i a n º ÐÐ ÔÖÓ Ù Ø Ö Ö ÓÐ Ð Ñ ÒØ G Ö Ö ØØ Ð Ø Ò a i a j = a i a k Ö ØØ a j = a k ÒÐ Ø ØÖÝ Ò Ò Ò Ô Ò ÓÚ Òº º µ Ò Ø ÓÒº Å Ò Ö ØØ ÖÙÔÔ Ò (G, ) Ö Ð ÓÑÑÙØ Ø Úµ ÓÑ a b = b a a,b Gº Ü ÑÔ Ðº ÐÐ ÖÙÔÔ Ö º¾µ µ Ö Ð º ÖÙÔÔ Ò º¾µ µ Ö ¹ Ð n 2 ØÝ Ú ÒÐ Ò AB BA Ö ØÚ (n n)¹ñ ØÖ Öº º µ Ò Ø ÓÒº ÒØ Ð Ø Ð Ñ ÒØ Ò Ò Ð ÖÙÔÔ ÐÐ ÖÙÔÔ Ò ÓÖ Ò Ò Ó Ø ¹ Ò o(g) ÐÐ Ö G µº ÇÑ G ÒØ Ö Ò Ð Ö Ñ Ò ØØ G Ö ÓÒ Ð ÓÖ Ò Ò Ó Ö Ú Ö o(g) = º º µ ÒÑÖ Ò Ò º µ ÆÖ Ñ Ò Ò Ö Ö Ò ÖÙÔÔ Ö Ú Ö Ñ Ò ÑÒ Ò G Ú Ð Ñ ÒØ Ó ÖÙÔÔÓÔ Ö Ø ÓÒ Ò º ÓÖÑ ÐÐØ ÓÖ Ñ Ò ØØ (G, ) Ö Ò ÖÙÔÔº ÌÖÓØ ØØ Ö Ñ Ò Ó Ø Ø ØØ G Ö Ò ÖÙÔÔº µ Î Ú Ø Ö Ò ØØ ÝÑ ÓÐ Ò ÓÑ Ø Ò Ö Ò ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ò ØÓÐ Ô ÓÐ Øغ ÆÖ Ø ÐÐ Ö Ø Ò Ò Ö ÒÒ Ø ØÚ Ú ÒÐ ØÝÔ Ö ÓÑ Ð ÖÓÖ Ô ØÖ Ø ÓÒ Ò Ð Ô Úѹ Ð Ø Òº Ø Ö ÚÑ Ö ØØ Ö Ú ab ØÐÐ Ø Ö a bº Ø Ð Ö Ñ Ò ÓÑ ÑÙÐØ ÔÐ Ø Ú ÒÓØ Ø ÓÒº ÁÒÚ Ö Ò Ø Ò Ñ a 1 º Á Ð Ò Ö ÒÒ ÒÓØ Ø ÓÒ ÒØ ÐØ Ò ØÙÖÐ Ô ¹ ÐÐØ ÒÖ ÖÙÔÔÓÔ Ö Ø ÓÒ Ò Ö Ø ÓÒº ÒÚÒ Ö Ñ Ò Ø Ú ÒÓØ Ø ÓÒ Ú Ñ Ò ØÓÐ Ö ÓÑ º Î ÐÐ ÓÖ Ò ¼µ ¹ µ º½µ Ö Ð Ò ÓÖÑ ¼µ a,b G a + b G ½µ (a + b) + c = a + (b + c) a,b,c Gº ¾µ Ø ÒÒ e G ØØ e + a = a + e = a Ñ Ò Ö Ú Ö Ó Ø e = 0µº µ Ì ÐÐ Ú Ö a G ÒÒ a G ØØ a + a = a + a = e Ñ Ò Ö Ú Ö Ó Ø a = aµº

¾¾ ÊÍÈÈ Ê ÁÆÁÌÁÇÆ Ê Ç À ÅÈ Ä Á Ü ÑÔ Ð º¾µ Ö Ú ØØ ÒØ Ð ÖÙÔÔ Ö Ñ Ú Ò Ô Ø ÓÒ É Ê. Å Ò Ö ØØ Ö Ò Ð ÖÙÔÔ Ø ÐÐ É ÐÐ Ö Ê ÐÐ Ö µ É Ö Ò Ð ÖÙÔÔ Ø ÐÐ Ê ÐÐ Ö µ Ó Úº ÓÖÑ ÐÐØ Ö Ú º µ Ò Ø ÓÒº ÄØ H Gº Å Ò Ö ØØ H Ö Ò Ð ÖÙÔÔ Ø ÐÐ G ÓÑ Ð Ñ ÒØ Ò H Ð Ö Ò ÖÙÔÔ Ñ Ú Ò Ô ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ò Gº º½¼µ ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒº ÄØ H Gº H Ö Ò Ð ÖÙÔÔ Ø ÐÐ G Ó Ò Ø µ a,b H a b H µ e H µ a H a 1 Hº Ú º Ë ÚÒº º º º½½µ Ý Ð ÖÙÔÔ Ö ÄØ G Ú Ö Ò ÖÙÔÔ Ó g Gº Ð Ñ ÒØ Ø g Ò Ö Ö Ò Ð ÖÙÔÔ Ø ÐÐ G Ò Ñ Ò Ø Ð ÖÙÔÔ Ø ÐÐ G ÓÑ ÒÒ ÐÐ Ö gº Ò Ñ Ø ÒÒ ÐÐ ÐÐ ÔÓØ Ò Ö Ú G Ú g,gg,ggg,... Ö ÒÚ Ö Ö g 1,g 1 g 1,g 1 g 1 g 1,... Ó eº Î Ø Ò Ö Ñ g n ÔÖÓ Ù Ø Ò gg...g Ú n ØÝ Ò ØÓÖ Ö g Ñ g n ÔÓØ Ò Ò (g 1 ) n Ó Ñ g 0 Ð Ñ ÒØ Ø eº Å Ò Ú Ö ÐØØ Ð Ø Ò g m g n = g m+n Ö Ó ØÝ Ð Ð m Ó nº ÈÓØ Ò ÖÒ g n n Ð Ö Ò Ð ÖÙÔÔ Ø ÐÐ G ÓÑ ÒÒ ÐÐ Ö gº Ò Ø Ò Ñ < g > Ó ÐÐ Ò Ý Ð ÖÙÔÔ Ò Ò Ö Ö Ú gº ÒØ Ð Ø Ð Ñ ÒØ < g > ÐÐ ÓÖ Ò Ò Ò Ú g Ó Ø Ò o(g)º Á Ð Ò Ò Ö Ø ØØ G =< g >º Ö Ñ Ò ØØ G Ö Ò Ý Ð ÖÙÔÔ Ó g Ö Ò Ö ØÓÖº Ö G = {g n : n }º Ç ÖÚ Ö ØØ Ñ Ò Ø Ú ÒÓØ Ø ÓÒ Ò Ñ Ø Ñ Ò Ö ØØ g n Ñ ng (= g +... + g n > 0µº ÇÖ Ø ÔÓØ Ò Ö ØØ Ö Ñ Ò Ñ ÑÙÐØ Ô Ð º Ü ÑÔ Ðº µ ÄØ G = Ú Ö ÖÙÔÔ Ò Ú ÓÑÔÐ Ü Ø Ð Ò Ñ Ú Ò Ô ÑÙÐØ ÔÐ ¹ Ø ÓÒº ÇÑ g = i Ö Ú i = 1, i 1 = i, i 2 = 1, i 3 = 1, i 4 = 1, i 5 = i, i 6 = 1,... Ó Ú ØØ Ú Ò Ø Ö ÓÐ Ø Ðº Ò Ö Ò Ö i 1 = i 3 ØØ Ú Ö Ò Ø Ú ÔÓØ Ò Ö Ð Ñ Ò ÔÓ Ø Ú (i 1 ) n = i 3n º ÐÐØ Ö Ñ Ò < i >= {1,i, 1, i}º Ì ÖÑ Ò Ý Ð Ö Ð Ö ÐÚ Ú ØØ Ü ÑÔ Ð Ð Ø Ò i 4 = 1 Ñ Ö ØØ Ú Ö Ò Ý Ð ÙÔÔÖ ÔÒ Ò Ú ÔÓØ Ò ÖÒ i 5 = i,i 6 = i 2,i 7 = i 3,i 8 = 1 Ó Úº

º½ µ ¾ µ ÄØ G = Ñ Ø ÓÒ Ó g = 1º Ö < 1 > ÑÒ Ò Ú ÐÐ ÑÙÐØ ÔÐ Ö n 1 Ø Ü 2 1 = 1+1,3 1 = 1+1+1 2 1 = (1+1) Ó Úµº ÐÐØ Ö < 1 >= ØØ Ö Ò ÓÒ Ð Ý Ð ÖÙÔÔ º ÒÑÖ Ò Ò º Ì ÖÑ Ò Ý Ð Ò Ø Ð Ø Ò ÓÑÐ ÓÑ Ñ Ò ÓÒ Ø Ø Ö Ö ØØ Ö Ò Ý Ð ÖÙÔÔº Ì ÖÑ ÒÓÐÓ Ò Ö ØÓÖ ÑÓØ Ú Ö ÖÒ Ö Ò ØÙ Ö Ñ Ò Ò ÖØ Ò Ð ÖÙÔÔ Ö Ö Ú Ð Ö ÔÔ Ø Ý Ð Ö ÐØ Ð ÖØ Ó Ò Ø ÔÖÓÔÓ Ø ÓÒµº Å Ò Ò Ò ÐØ ÐÐÑÒ Ö ÚÒ Ò Ú Ý Ð ÖÙÔÔ Ö º½¾µ ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒº ÄØ G Ú Ö Ò ÖÙÔÔ Ó g Gº µ ÇÑ o(g) = n Ö < g >= {e,g,g 2,...,g n 1 } Ó g n = e ( Ú n Ö Ò Ñ Ò Ø ÔÓ Ø Ú ÜÔÓÒ ÒØ Ò ØØ g n = e)º µ ÇÑ o(g) = Ö ÐÐ ÔÓØ Ò Ö g n n ÓÐ º Ú º ÒØ ØØ g m = e,m > 0º ÒÒ Ø Ø m ÓÐ ÔÓØ Ò Ö Ú g ÒÑÐ Ò g 0 = e,g,g 2,...,g m 1 ØÝ ÓÑ N = mq + r Ñ 0 r < m Ö g N = g mq+r = (g m ) q g r = g r º ØØ ØÝ Ö ØØ Ú Ö ÔÓØ Ò Ú g Ö Ð Ñ Ò Ú ÔÓØ Ò ÖÒ e,g,g 2,...,g m 1 º µ o(g) = n ØÝ Ö ØØ Ø ÒÒ n ÓÐ ÔÓØ Ò Ö Ú gº Î Ô ØÖ ØØ Ù Ø g 0 = e g g 2 º º º g n 1 Ö ÓÐ ØÝ g i = g j,0 i < j < n Ö ØØ g j i = e Ö j i = m < nº Å Ò Ð Ø Ò g m = e Ñ 0 < m < n Ö ÓÑ Ð ÓÑ g m = e ÒÒ Ø Ò Ø m ÓÐ ÔÓØ Ò Ö Ú gµº ÐÐØ Ö < g >= {e,g,g 2,...,g n 1 }º g n Ö Ð Ñ Ò ÓÒ Ú ÔÓØ Ò Öº Å Ò g n = g i Ö 0 < i < n Ö g n i = e Ú g m = e Ñ m = n i < nº Ò Ò Ð Ø Ö ÙØ ÐÙØ Ò ØØ g n = g 0 = eº µ ÇÑ o(g) = Ñ Ø ÐÐ ÔÓØ Ò Ö g n,n Ú Ö ÓÐ ØÝ g i = g j Ö i < j Ö g m = e Ö m = j i > 0 Ú Ð Ø Ö ÓÑ Ð Ø ÒÐ Ø Ö Ø ØÝ Ø Ú Øµº Î Ú ÐÙØ Ö ØØ Ô Ø Ð Ñ Ò ÑÝ Ø ÐÐÑÒ ÓÒ ØÖÙ Ø ÓÒ ÓÑ Ñ Ð Ö ØØ Ò Ö ÒÝ ÖÙÔÔ Ö Ñ ÐÔ Ú Ò ÓÑ Ñ Ò Ö Ò ÒÒ Öº º½ µ Ü ÑÔ Ðº ÄØ G 1,G 2,...,G n Ú Ö Ó ØÝ Ð ÖÙÔ Öº Î Ò Ö Ö Ò ÒÝ ÖÙÔÔ G 1 G 2... G n Ú Ö Ð Ñ ÒØ Ö (g 1,g 2,...,g n ) Ö g i G i Ö i = 1,2,...,nº ÇÔ Ö Ø ÓÒ Ò Ö Ò Ö Ô Ð Ò ØØ (g 1,g 2,...,g n )(g 1,g 2,...,g n) = (g 1 g 1,g 2 g 2,...,g n g n) Ø Ö Ð ÖØ ØØ Ò ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ò Ö Ó Ø Ú Ñ Ò ÑÙÐØ ÔÐ Ö Ö Ù Ú Ö ÖÙÔÔ G i Ô Ö Øµº Ø Ò ÙØÖ Ð Ð Ñ ÒØ Ø Ö e = (e 2,e 2,...,e n ) Ö e i Ö Ø Ò ÙØÖ Ð Ð Ñ ÒØ Ø G i º ÁÒÚ Ö Ò Ø ÐÐ (g 1,g 2,...,g n ) Ö (g1 1,g 1 2,...,g 1 n )º ÖÙÔÔ Ò G 1 G 2... G n ÐÐ Ö Ø ÔÖÓ Ù Ø Ò Ú G i º ÇÑ G 1 = G 2 =... = G n = G Ö Ú Ö Ñ Ò G n º ÇÑ Ø Ü G = Ê Ö ÖÙÔÔ Ò Ú Ö ÐÐ Ø Ð Ò Ñ Ø ÓÒ Ö Ê 2 = {(r 1,r 2 ) : r 1,r 2 Ê} Ñ ÓÓÖ Ò ØÚ Ø ÓÒº Ê 2 Ò ØÓÐ ÓÑ ÖÙÔÔ Ò Ú ÐÐ Ú ØÓÖ Ö ÔÐ Ò Øº È ÑÑ ØØ Ö Ê 3 ÖÙÔÔ Ò Ú ÐÐ Ú ØÓÖ Ö ÖÝÑ Òº ÇÑ Ø Ü G = {1, 1} Ñ ÑÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒ ØÖ G G Ú (1,1),(1, 1),( 1,1), ( 1, 1) Ñ ÓÓÖ Ò ØÚ ÑÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒº

¾ ÊÍÈÈ Ê ÁÆÁÌÁÇÆ Ê Ç À ÅÈ Ä ÎÆÁÆ Ê º½º Î Ð Ú Ð Ò Ø ÐÑÒ Ö Ö ÖÙÔÔ Ö Ñ Ú Ò Ô ÑÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒ Ú Ø Ð µ É = ÐÐ Ö Ø ÓÒ ÐÐ Ø Ð 0 µ \ {0} = ÐÐ ÐØ Ð 0 µ = ÐÐ ÓÑÔÐ Ü Ø Ð 0 µ U = {z : z = 1} µ Ê >0 = ÔÓ Ø Ú Ö ÐÐ Ø Ð µ G = {2 m 3 n : m,n }º º¾º Î ØØ Ð Ò Ø ÐÑÒ Ö Ö ÖÙÔÔ Ö Ñ Ú Ò Ô ÑÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒ Ú Ø Ð µ C n = {z : z n = 1,n ØØ ÜØ ÔÓ Ø ÚØ ÐØ Ð} ÐÐ n Ø Ò Ø Ö ØØ Öµ µ C = {z : z n = 1 Ö Ò ÓØ n 1}º º º ØÑ ÓÖ Ò Ò ÖÒ Ú Ñ ØÖ ÖÒ [ ] [ 0 1 1 0 µ A = µ B = 1 0 0 1 ] [ 1 0 µ C = 0 2 ÖÙÔÔ Ò Ú ÐÐ (2 2)¹Ñ ØÖ Ö Ñ Ø ÖÑ Ò ÒØ 0 Ñ Ú Ò Ô ÑÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒ Ú GL 2 (Ê)µº º º ÄØ G Ú Ö Ò ÖÙÔÔ Ó a,b Gº Î ØØ µ (a 1 ) 1 = a µ (ab) 1 = b 1 a 1 º º º Î ØØ G Ö Ò Ð ÖÙÔÔ Ó Ò Ø (ab) 1 = a 1 b 1 Ö a,b Gº º º Î ØØ G Ö Ò Ð ÖÙÔÔ Ó Ò Ø (ab) 2 = a 2 b 2 Ö a,b Gº º º Î ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ º½¼µº º º ÄØ H Ú Ö Ò ¹ØÓÑ Ò Ð ÐÑÒ Ø ÐÐ Ò ÖÙÔÔ G Ò Ø h,h H ÑÔÐ Ö Ö h(h ) 1 Hº Î ØØ H Ö Ò Ð ÖÙÔÔ Ø ÐÐ Gº º º Î ØØ ÓÑ ÓÖ Ò Ò Ò Ú Ò ÖÙÔÔ G Ö ÑÒ ÒÒ Ø ØØ Ð Ñ ÒØ g G Ú ÓÖ Ò Ò Ò ¾º º½¼º ÄØ G =< a >= {e,a,...,a n 1 } Ö a n = eº µ Î ØØ G =< a k > Ó Ò Ø SGD(k,n) = 1º µ Î ØØ ÓÑ H G Ó o(h) = m Ö H =< a d > Ö d = n m º Ä Ò Ò º Î ØØ d Ö Ø Ñ Ò Ø ÔÓ Ø Ú ÐØ Ð Ø ÒØ ØØ a d H ÓÑ H < e >º º½½º Î ØØ Ú Ö Ð ÖÙÔÔ Ø ÐÐ Ò Ý Ð ÖÙÔÔ Ö Ý Ð º Ä Ò Ò º ÍØÒÝØØ ÚÒº º½¼º º½¾º ÄØ G Ú Ö Ò ÖÙÔÔ Ó A Ò ¹ØÓÑ ÐÑÒ Ø ÐÐ Gº Î ØØ Ò Ñ Ò Ø Ð ÖÙÔÔ Ø ÐÐ G ÓÑ ÒÒ ÐÐ Ö A Ö ] < A >= {a 1 a 2...a n : a i A ÐÐ Ö a 1 i A Ó n 1} ÒÑÖ Ò Ò º ÇÑ G =< A > Ö Ñ Ò ØØ A Ö ØØ Ò Ö ØÓÖ Ý Ø Ñ Ö Gº ÇÑ A = {a} Ö < A >=< a > Ò Ý Ð ÖÙÔÔ Ò Ò Ö Ö Ú aº

Ã Ô Ø Ð Ê ËÌ ÊÍÈÈ Ê ÖÙÔÔ Ö Ú Ö Ø Ö Ú Ú ÓÒ Ñ Ò ØÙÖÐ Ø Ð Ö ØÖÓÐ Ò Ö Ø Ü ÑÔÐ Ò Ô ÖÙÔÔ Ö ÓÑ Ö ÒÚÒØ Ñ Ø Ñ Ø ÑÑ Ò Ò º Ö ÑÝ Ø ÒØÖ ÒØ Ø ÐÐÑÔÒ Ò Ö Ø ÐØ ÓÖ Ò Ó Ø Ü Ñ Ò Ñ ÓÒ ØÖÙ Ø ÓÒ Ö Ú Ó Ö Ó ÖÝÔØ Ö Ò Ý Ø Ñ ÓÑ ÓÑÑ Ö ØØ ÙØ Ö ÓÖØ ØØÒ Ò Ò Ú ÙÖ Òº ÄØ n Ú Ö ØØ ÔÓ Ø ÚØ ÐØ Ðº Î ÐÐ Ø Ò Ñ [a] n Ö Ø Ò Ú ØØ ÐØ Ð a Ú Ú ÓÒ Ñ nº Ì Ü Ö [11] 5 = 1,[8] 3 = 2 Ó Úº Î Ö [a] n = [b] n Ó Ò Ø n a b ÚÒ Ò º µº Ä Ø Ò [a] n = [b] n Ö Ú Ö Ñ Ò Ó Ø ÓÑ a b (ÑÓ n). Å Ò Ö ØØ a Ó b Ö ÓÒ ÖÙ ÒØ ÑÓ ÙÐÓ nº Ò Ø Ò Ò Ò Ö ÑÝ Ø Ú ÒÐ Ó ÒØÖÓ Ù Ö Ú º º Ù º ÍØØÖÝ Ø a b (mod n) ÐÐ ÓÒ ÖÙ Ò º ÅÒ Ò Ú ÐÐ Ö Ø Ö Ú Ú ÓÒ Ñ n ÓÑÑ Ö ØØ Ø Ò Ñ n º Ì Ü Ö 2 = {0,1} 5 = {0,1,2,3,4} Ó ÐÐÑÒØ n = {0,1,...,n 1}º Ê Ø ÖÒ Ú Ú ÓÒ Ñ n Ò Ö Ó ÑÙÐØ ÔÐ Ö Ô Ð Ò ØØ º½µ r 1 n r 2 = [r 1 + r 2 ] n, r 1 n r 2 = [r 1 r 2 ] n ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ö ÐÐ Ø ÓÒ Ó ÑÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒ ÑÓ ÙÐÓ nº Ì Ü Ö 2 1 = [2+1] 5 = 5 3, 3 3 = [3 + 3] 5 = 1, 3 3 = [9] 5 = 4 Ó Úº Ç Ø ÙØ ÐÑÒ Ö Ñ Ò n ÝÑ ÓÐ ÖÒ 5 5 n Ó ÓÑ Ö Ò Ð Ø ÐÐ Ó ÐÐ Ö Ø ÐÐ + Ó º Ö Ø ÓÒ Ó ÑÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒ n ÑÓ ÙÐÓ ¾ Ó Ö Ú ¾

¾ Ê ËÌ ÊÍÈÈ Ê ¼ ½ ¼ ¼ ½ ½ ½ ¼ ¼ ½ ¾ ¼ ¼ ½ ¾ ½ ½ ¾ ¼ ¾ ¾ ¼ ½ ¼ ½ ¼ ¼ ¼ ½ ¼ ½ ¼ ½ ¾ ¼ ¼ ¼ ¼ ½ ¼ ½ ¾ ¾ ¼ ¾ ½ Ø Ö Ð ÖØ ØØ n Ó n Ö ÓÑÑÙØ Ø Ú ÓÔ Ö Ø ÓÒ Öº Ø Ö Ó Ð ÖØ ØØ Ö Ò ÙØÖ Ð Ð Ñ ÒØ Ö Ø ÓÒ ¼ Ö ÑÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒ ½º Å Ò Ø Ö ÒØ Ð ÐÚ Ð ÖØ ØØ ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ö Ö Ó Ø Ú º Ö Ø ÓÒ Ó ÑÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒ ÑÓ ÙÐÓ ½¼ Ú Ø Ú Ø Ò ÐÒ º ÆÖ Ñ Ò Ö Ö ØÖ Ø Ð Ø Ü ½¾ ¾ ººº Ö Ò Ö Ñ Ò ÙØ Ò Ø Ö Ò ÒÓÑ ØØ Ö Ú Ð Ø Ö Ø Ö Ò º Å ÚÖ ÒÝ Ø ÓÒ ØÝ Ö Ø ØØ 3 10 5 10 8 = 6º Ø Ö Ù Ø Ø ÓÒ ÑÓ ÙÐÓ ½¼ Ó Ø ØÙÑ ØØ Ú ÒØ ÖÝÖ Ó ÓÑ ÙÖ Ô Ö ÒØ ÖÒ ÔÐ Ö ÖÓÖ Ô ØØ Ú Ð Ø Ö Ô Ó Ø Ú Ø Ø Òº Ö ØØ Ú Ò ÐØ ÐÐÑÒØ Ú Ö Ú Ò Ú Ø Ò Ô Ó Ó º¾µ Ä ÑÑ º ÄØ a,b Ú Ö Ó ØÝ Ð ÐØ Ðº ÐÐ Ö [a + b] n = [a] n [b] n, [ab] n = [a] n [b] n. Ú º ÄØ Ó a = nq a + r a, 0 r a < n, b = nq b + r b, 0 r b < n a + b = nq a+b + r a+b, 0 r a+b < n, ab = nq ab + r ab, 0 r ab < n. Î Ö [a] n [b] n = r a r b = [r a + r b ] n = r a+b = [a + b] n, ØÝ r a + r b = (a nq a ) + (b nq b ) = n(q a+b q a q b ) + r a+b Ú r a+b Ö Ö Ø Ò Ú Ú ÓÒ Ú r a + r b Ñ n Ó

º µ ¾ [a] n [b] n = r a r b = [r a r b ] n = r ab = [ab] n, ØÝ r a r b = (a nq a )(b nq b ) = n(q ab q a b q b a + nq a q b ) + r ab Ú r ab Ö Ö Ø Ò Ú Ú ÓÒ Ú r a r b Ñ nº º µ Ð Ø º Ó Ö Ó Ø Ú ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ö Ô n º Ú º (r 1 r 2 ) r 3 = [r 1 + r 2 ] n [r 3 ] n = [(r 1 + r 2 ) + r 3 ] n r 1 (r 2 r 3 ) = [r 1 ] n [r 2 + r 3 ] n = [r 1 + (r 2 + r 3 )] n ØØ (r 1 r 2 ) r 3 = r 1 (r 2 r 3 ) ØÝ (r 1 + r 2 ) + r 3 = r 1 + (r 2 + r 3 )º Ü Ø ÑÑ Ö ÙÑ ÒØ Ö ÓÑ Ö Ö Ó Ø Ú Ø Ø Ò Ú ÑÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒ ÑÓ ÙÐÓ nº ÆÙ Ò Ú ÓÒ Ø Ø Ö º µ ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒº ( n, ) Ö Ò ÖÙÔÔº Ò Ö Ý Ð º Ú º ËÐÙØ Ò Ø Ò Ð Ö Ö Ø ÙÖ Ò Ø ÓÒ Ò Ú º½µº Ó Ø Ú Ø Ø Ò Ö Ú Ù Ø Ú Øº ¼ Ö Ø Ò ÙØÖ Ð Ð Ñ ÒØ Øº ÁÒÚ Ö Ò Ø ÐÐ r ÐÐ Ò ÑÓØ ØØ Ö Ø Ò Ó Ö n r r 0 ØÝ r (n r) = [n] n = 0º Î Ö r = 1 + + 1 (r ØØÓÖ) ØØ n =< 1 >º ( n, ) Ö Ð Ö Ò ÖÙÔÔ ØÝ Ö Ø Ò ¼ Ò Ö ÒÚ Ö (r 0 = 0µº Å Ò Ò Ö Ö ØÙ Ø ÓÒ Ò ÒÓÑ ØØ Ð Ñ Ò Ö ¼º Å Ò n {0} Ú Ö ÒØ ÐÐ Ö Ú Ö Ò ÖÙÔÔº Ì Ü Ö 2 3 = [6] 6 = 0 6 ØØ 6 {0} ÒØ Ö ÐÙØ Ò Ñ Ú Ò Ô º Ë Ð Ø Ø ÐÐ ØØ Ñ Ò Ö ¼ Ö ØØ ¾ Ó Ö Ñ Ò ÑÑ Ð Ö Ñ º Ö ØØ Ò ÖÙÔÔ Ö Ö Ø Ñ ØØ Ð Ñ Ò Ö Ò ØÙ Ø ÓÒ Òº ÄØ n Ø Ò ÐÐ Ö Ø Ö ÓÑ Ò Ö Ñ Ò ÑÑ Ð Ö 1 Ñ n Ú r n Ó Ò Ø SGD(r,n) = 1º Ì Ü 2 = {1}, 3 = {1,2}, 4 = {1,3}, 5 = {1,2,3,4}, 6 = {1,5}. ÆÙ Ö Ú º µ ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒº ( n, ) Ö Ò ÖÙÔÔº

¾ Ê ËÌ ÊÍÈÈ Ê Ú º Ö ØØ Ú ÐÙØ Ò Ø Ò ØÖ Ø ØÚ Ö Ø Ö Ò ØØ SGD(r 1,n) = 1 Ó SGD(r 2,n) = 1º Ö Ú Ò SGD(r 1 r 2,n) = 1º ÅÓØ Ø Ò ØÝ Ö ØØ Ø ÒÒ ØØ ÔÖ Ñ¹ Ø Ð p ÒØ ØØ p n Ó p r 1 r 2 º Ö p r 1 ÐÐ Ö p r 2 Ú Ð Ø ØÖ Ö ÑÓØ ÚÖØ ÒØ Ò ØØ r 1 Ó r 2 Ò Ö Ñ Ò ÑÑ Ð Ö 1 Ñ nº Ó Ø Ú Ø Ø Ò Ú Ú Ú º µº Ø Ò ÙØÖ Ð Ð Ñ ÒØ Ø Ö ½º ÄØ r nº ËÓÑ Ú Ú Ø Ò Ñ Ò Ñ Ø Ü Ù Ð Ð ÓÖ ØÑ ØÑÑ ØÚ ÐØ Ð x Ó y Ò ØØ rx + ny = 1 ØÝ SGD(r,n) = 1µº ØØ ØÝ Ö ØØ 1 = [rx + ny] n = [rx] n = [r] n [x] n = r [x] n ØØ [x] n Ö ÒÚ Ö Ò Ø ÐÐ r nº º µ ÒÑÖ Ò Ò º Ø Ö Ñ Ö ÖÒ ÔÖÓÔÓ Ø ÓÒ Ò ØØ Ö Ú Ö a n Ö Ú Ø ÓÒ Ò ax = 1 Ü Ø Ò Ð Ò Ò x n º Á Ø ÖÑ Ö Ú ÓÒ ÖÙ Ò Ö Ò Ñ Ò ØØ ÓÒ ÖÙ Ò Ò ax 1 (ÑÓ n) Ö Ò Ð Ò Ò Ë (a,n) = 1º Ç ÖÚ Ö ØØ Ú Ø Ú º µ Ú Ö ØØ ÓÒ ÖÙ Ò Ò Ò Ð Ñ ÐÔ Ú Ù Ð Ð ÓÖ ØѺ Ü ÑÔ Ðº ÄØ n = 12º Ö 12 = {1,5,7,11} Ó ÑÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒ Ø ÐÐ Ò Ö ½ ½½ ½ ½ ½ ½ ½½ ½½ ½ ½½ ½½ ½ ØØ Ö ÐØ Ú Ø Ø ÐÐ Ö Ñ Ò n = p Ö ØØ ÔÖ ÑØ Ðº Ö p = {1,2,...,p 1}º ÀÖ Ö Ö Ø ÐÐØ ØØ ÙØ ÐÑÒ ¼ ÙÖ p Ö ØØ Ò ÖÙÔÔ Ñ Ú Ò Ô ÑÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒº º µ Ò Ø ÓÒº ÙÒ Ø ÓÒº ÐÐØ Ö ÇÖ Ò Ò Ò Ú n Ø Ò Ñ ϕ(n)º ÙÒ Ø ÓÒ Ò ϕ(n) ÐÐ ÙÐ Ö ϕ(n) = ÒØ Ð Ø ÐØ Ð k Ò ØØ 0 k < n Ó SGD(k,n) = 1º Ü ÑÔ Ðº ϕ(1) = 1, ϕ(2) = 1, ϕ(3) = 2, ϕ(4) = 2, ϕ(6) = 2 Ó Úº ÇÑ p Ö ØØ ÔÖ ÑØ Ð Ö ϕ(p) = p 1 Ú Ö Ö µº ÀÖ Ð Ö Ò Ö Ú Ø Ò Ô Ö Ó ÙÐ Ö ÙÒ Ø ÓÒ

º µ ¾ º µ ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒº ÙÐ Ö ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ð Ò Ò Ô Ö µ ϕ(p α ) = p α p α 1 p Ö ØØ ÔÖ ÑØ Ð Ó α 1 µ ϕ(ab) = ϕ(a)ϕ(b) SGD(a,b) = 1 µ ϕ(n) = n(1 1 p 1 )... (1 1 p k ) Ö p i Ö ÐÐ ÓÐ ÔÖ Ñ Ð Ö Ø ÐÐ nº Ú º µ Ö Ò Ò Ð ÚÒ Ò ÚÒ Ò º µº ØØ Ú Ú µ Ö Ú Ò Ö º µ Ð Ö Ö Ø ÙÖ µ Ó µ ÄØ n = p α 1 1... pα kº Ö k ϕ(n) = ϕ(p α 1 1... pα k k ) = ϕ(pα 1 1 )...ϕ(pα k k ) ( ÒÐ Ø µ) = (p α 1 1 pα 1 1 1 )... (p α k k pα k 1 k ) ( ÒÐ Ø µ) = p α 1 1...pα k k (1 1 p 1 )...(1 1 p k ) = n(1 1 p 1 )...(1 1 p k ). Å ÐÔ Ú º µ Ò Ñ Ò Ö Ò ÙØ ϕ(n)º Ì Ü ϕ(1000) = ϕ(2 3 5 3 ) = ϕ(2 3 )ϕ(5 3 ) = 4 100 = 400º Î Ú ÐÙØ Ö ØØ Ô Ø Ð Ñ Ò ÒØÖ ÒØ Ó ÑÝ Ø ÑÑ Ð Ø ÓÑ Ö Ø Ö ØÑ Ø Ò ÓÑ ÖÙ Ö ÐÐ Ã Ò Ö Ø Ø Ò º Á Ø Ò Ð Ø ÐÐ Ø Ö Ø Ò ØØ Ñ Ò ÐÐØ Ò ÒÒ ØØ ÐØ Ð ÓÑ Ö ÚÒ Ö Ø Ö ÑÓ ÙÐÓ ØÚ ÚÒ Ö Ð Ø ÚØ ÔÖ Ñ ÐØ Ðº º µ Ã Ò Ö Ø Ø Òº ÄØ n 1,n 2,...,n k Ú Ö Ö Ð Ø ÚØ ÔÖ Ñ ÔÓ Ø Ú ÐØ Ð Ó ÐØ r 1 n1 r 2 n2... r k nk º Ü Ø Ö Ö ØØ ÐØ Ð x ÒØÝ Ø ØÑØ ÑÓ ÙÐÓ n 1 n 2...n k ÒØ ØØ [x] n1 = r 1, [x] n2 = r 2,..., [x] nk = r k. Ú º Î ÐÐ Ú ÙÖ Ñ Ò Ò Ö Ò ØØ Ø Ð x ÓÑ Ö Ò Ò Ò Ô Ò Ó Ö Ø Ö Ú ØØ Ø Ö ÒØÝ Ø ÑÓ ÙÐÓ N = n 1 n 2 n k º Ö Ò Ö Ø x i ØØ N n i x i 1 (ÑÓ n i ), Ú N n i x i = 1 ni. Ø Ö ÓÑ Ë ( N n i,n i ) = 1 ÒÐ Ø ÖÙØ ØØÒ Ò Ò Ò Ñ Ò Ö Ò x i Ñ ÐÔ Ú Ù Ð Ð ÓÖ ØÑ º µµº ÎÐ ÒÙ x = r 1 N n 1 x 1 + r 2 N n 2 x 2 +... + r k N n k x k.

¼ Ê ËÌ ÊÍÈÈ Ê ÐÐ Ö [x] ni = [ k j=1 r j N n j x j ] ni = k [r j ] ni [ N x j ] ni = [r i ] ni [ N x i ] ni = [r i ] ni n j n i j=1 ØÝ ÐÐØ Ö x r i [ N n j x j ] ni = (mod n i ) Ö i = 1,2,...,kº { 1 ÓÑ j = i 0 ÓÑ j i ÒØ ÒÙ ØØ x Ó x Ø ØÚ ÐØ Ð Ò ØØ [x] ni = [x ] ni = r i Ö ÐÐ iº ÐÐ Ö Ø ØØ n i x x Ö ÐÐ i Ó ØØ ÒÒ Ö ØØ n 1 n 2 n k x x Ö Ö ØØ ÐÐ n i Ö Ö Ð Ø ÚØ ÔÖ Ñ º ÐÐØ ÐÑÒ Ö x Ó x ÑÑ Ö Ø ÑÓ ÙÐÓ N = n 1 n 2 n k º º½¼µ ÒÑÖ Ò Ò º Ã Ò Ö Ø Ø Ò ÓÖÑÙÐ Ö Ó Ø Ñ ÐÔ Ú ÓÒ ÖÙ Ò Öº ¹ Ö Ò ØØ Ö Ö Ð Ø ÚØ ÔÖ Ñ ÔÓ Ø Ú ÐØ Ð n 1,n 2,...,n k Ó Ó ØÝ Ð ÐØ Ð r 1,r 2,...,r k Ü Ø Ö Ö ØØ ÐØ Ð x ØØ x r 1 (ÑÓ n 1 ), x r 2 (ÑÓ n 2 ),...,x r k (ÑÓ n k ). Å Ò Ú Ö ÒØ ÖÙØ ØØ ØØ r i Ö Ö Ø Ò Ú Ú ÓÒ Ñ n i Ö Ö ØØ Ö Ú Ö ÐØ Ð a ÐÐ Ö Ù ØØ a [a] ni (ÑÓ n i )º Ü ÑÔ Ðº ÄØ Ó ØÑÑ ØØ ÐØ Ð x ÓÑ Ú Ú ÓÒ Ñ Ö Ö Ø Ò ¾ Ñ Ö Ø Ò Ó Ñ Ö Ø Ò Ú x 2 (ÑÓ ), x 3 (ÑÓ ), x 4 (ÑÓ ). ÄØ N = 3 4 5 = 60º Ö Ø Ñ Ø Ú ØÑÑ x 1,x 2,x 3 Ò ØØ 60 3 x 1 = 20x 1 1 (ÑÓ ), 60 4 x 2 = 15x 2 1 (ÑÓ ), 60 5 x 3 = 12x 3 1 (ÑÓ ). ØØ ØÝ Ö ØØ Ú Ñ Ø Ð Ú Ø ÓÒ ÖÒ 2x 1 = 1 3, 3x 2 = 1 4, 2x 3 = 1 5. Î ØØ Ö ÐØØ ÙØ Ò Ù Ð Ð ÓÖ Øѵ ØØ x 1 = 2,x 2 = 3,x 3 = 3º ÒÐ Ø Ú Ø Ú º µ Ö

º½½µ ½ x = 2 60 3 2 + 3 60 4 3 + 4 60 5 3 = 359 Ò Ð Ò Ò º Ò Ñ Ò Ø ¹Ò Ø Ú Ð Ò Ò Ò Ö [359] 60 = 59 Ð Ò Ò Ò Ö ÒØÝ Ø ØÑ ÑÓ ÙÐÓ ¼ ÒÐ Ø º µµº Ä ÑÖ Ø ÐÐ ØØ x = 60q + 59 Ñ ØØ Ó ØÝ Ð Ø q Ö Ò Ð Ò Ò ØÝ [x] 60 = 59µ Ó ØØ Ò x Ö ÐÐ Ð Ò Ò Ö ÚÒ Ò º µº Ç ÖÚ Ö Ó ØØ Ò ÙÔÔÑÖ Ñ ØÙ ÒØ ÙÒ Ö Ú Ø Ò Ð Ò Ò Ö Ø ÙØ Ò ØØ ÒÚÒ Ã Ò Ö Ø Ø Ò ÙÖ µº Î ÐÐ Ú ÐÙØ ØØ Ô Ø Ð Ñ Ò ÒÒ Ò ÓÖÑÙÐ Ö Ò Ó ØØ ÒÒ Ø Ú Ú Ã Ò Ö Ø Ø Ò Ø Ö ÓÑ Ø ÒÒ Ö Ø ÐÐÑÔÒ Ò Ö ÓÑ Ö Ù Ø Ô Ò ÓÖÑ Ò Ú Ø Òº º½½µ Ë Ø º ÄØ n 1,n 2,...,n k Ú Ö Ô ÖÚ Ö Ð Ø ÚØ ÔÖ Ñ ÔÓ Ø Ú ÐØ Ð ( Ú SGD(n i,n j ) = 1 i j)º Ö n1 n 2 n k = n1 n2... nk Ó n 1 n 2 n k = n1 n 2... n k. Ú º ÄØ N = n 1 n 2 n k º ØÖ Ø ÙÒ Ø ÓÒ Ò θ : N n1 n2... nk Ò ØØ θ([a] N ) = ([a] n1,[a] n2,...,[a] nk )º Ò Ø ÓÒ Ò Ú ÒÒ ÙÒ Ø ÓÒ ÖÓÖ ÒØ Ô ÐØ Ð Ø a ÓÑ Ò Ö Ö Ö Ø Ò ÇÑ [a] N = [b] N Ö [a] n1 = [b] n1 [a] n2 = [b] n2... [a] nk = [b] nk ØÝ N a b ÑÔÐ Ö Ö ØØ n 1 a b n 2 a b... n k a bº Î Ö θ([a + b] N ) = ([a + b] n1,[a + b] n2,...,[a + b] nk ) = ([a] n1,[a] n2,...,[a] nk ) + ([b] n1,[b] n2,...,[b] nk ) = θ([a] N ) + θ([b] N ) ØØ θ Ö Ò ÖÙÔÔ ÓÑÓÑÓÖ Ñº Î Ú ÐÐ Ú ØØ θ Ö Ò ÓÑÓÖ Ñº Å Ò ÓÒØÖÓÐÐ Ö Ö ÐØØ ØØ ÓÐ Ö Ø Ö [a] N Ó [b] N Ö ÓÐ Ð Ö [a] n1 = [b] n1 [a] n2 = [b] n2... [a] nk = [b] nk ØÝ Ö ØØ n 1 a b n 2 a b... n k a b Ú Ð Ø Ö N = n 1 n 2 n k a b Ö Ö ØØ n 1,n 2,...,n k Ö Ô ÖÚ Ö Ð Ø ÚØ ÔÖ Ñ º ØØ ÒÒ Ö ØØ [a] N = [b] N º ÙÒ Ø ÓÒ Ò θ Ö ÐÐØ Ò¹ ÒØÝ º Å Ò ÒØ Ð Ø Ð Ñ ÒØ N Ö N Ó ÒØ Ð Ø Ð Ñ ÒØ n1 n2... nk Ö Ð ØÓÖØ Ú Ð Ø ÒÒ Ö ØØ Ú Ö Ð Ñ ÒØ ÔÖÓ Ù Ø Ò Ö Ð Ò Ú ØØ Ð Ñ ÒØ N º ØØ Ú Ö ØØ θ Ö Ò ÓÑÓÖ Ñº Ø Ø Ö ØÖ ØØ Ú Ò Ò Ö ÓÑÓÖ Ñ Òº Ö Ø Ó ÖÚ Ö Ö Ú ØØ ÓÑ a Ö Ö Ð Ø ÚØ ÔÖ ÑØ Ñ N Ö Ó a Ö Ð Ø ÚØ ÔÖ ÑØ Ñ Ú Ö ØÓÖ n i Ú Nº ØØ Ú Ö ØØ θ Ú Ð Ö N

¾ Ê ËÌ ÊÍÈÈ Ê ÔÖÓ Ù Ø Ò n 1 n 2... n k º Ò Ö Ò ÓÑ ([a] n1,[a] n2,...,[a] nk ) n 1 n 2... n k Ö a Ö Ð Ø ÚØ ÔÖ ÑØ Ñ ÐÐ n i Ó Ð Ñ N = n 1 n 2 n k º ØØ Ú Ö ØØ ÙÒ Ø ÓÒ Ò θ Ú Ð Ö Ò¹ ÒØÝ Ø N Ô Ð n 1 n 2... n k º Ö ØØ ÙÒÒ Ô Ø ØØ ÙÒ Ø ÓÒ Ò θ Ò Ö Ö Ò ÓÑÓÖ Ñ Ñ ÐÐ Ò ÖÙÔÔ Ö ÓÒØÖÓÐÐ Ö Ö Ú ØØ θ([ab] N ) = ([ab] n1,[ab] n2,...,[ab] nk ) = ([a] n1,[a] n2,...,[a] nk )([b] n1,[b] n2,...,[b] nk ) = θ([a] N )θ([b] N ). º½¾µ ÒÑÖ Ò Ò º Ø Ö ÑÝ Ø ÐØØ ØØ ÖÐ Ã Ò Ö Ø Ø Ò ÖÒ ÖÙÔÔ ÓÑÓÖ¹ Ñ Ò n1 n 2...n k = n1 n2... nk º ÇÑ (r 1,r 2,...,r k ) n1 n2... nk Ö Ø Ò ØØ Ø ÒÒ Ü Ø Ò Ö Ø [x] N n1 n 2...n k Ò ØØ [x] n1 = r 1, [x] n2 = r 2,..., [x] nk = r k. º½ µ Ü ÑÔ Ðº ÖÙÔÔ Ò 100 Ò ÒÐ Ø Ø º½½µ Ö Ú ÓÑ ÔÖÓ Ù Ø Ú Ñ Ò Ö ÖÙÔ¹ Ô Ö 100 = 2 2 5 2 ØØ 100 = 4 25 º ÆÙ Ò Ú Ú ÑÙÐØ ÔÐ Ø Ú Ø Ø Ò Ú ÙÐ Ö ÙÒ Ø ÓÒ º µ µµ º½ µ Ð Ø º Ö ÙÐ Ö ÙÒ Ø ÓÒ ϕ ÐÐ Ö ØØ ϕ(ab) = ϕ(a)ϕ(b) a Ó b Ö Ö Ð Ø ÚØ ÔÖ Ñ Ò ØÙÖÐ Ø Ðº Ú º ÒÐ Ø º½½µ Ö ab = a b º ÒØ Ð Ø Ð Ñ ÒØ ÚÒ Ø ÖÐ Ø Ö ϕ(ab) Ñ Ò Ø ÖÐ Ø Ö ϕ(a)ϕ(b)º ÎÆÁÆ Ê º½º ØÑ Ø Ö Ò Ú Ø Ð Ø µ 2 1998 µ 13 20 + 22 30 µ 7 77 º º¾º ØÑ Ö Ø Ò Ú Ú ÓÒ Ú µ 3 100 Ñ µ 2 1000 Ñ ½½ ½ º

ÎÆÁÆ Ê º º Ì Ð Ò F n = 2 2n + 1, n = 0,1,2,... ÐÐ ÖÑ ØØ Ð Òº F 0 = 3,F 1 = 5,F 2 = 17,F 3 = 257,F 4 = 65537 Ö ÐÐ ÔÖ ÑØ Ðº È ÖÖ ÖÑ Ø ½ ¼½¹½ µ Ô ØÓ ØØ ÐÐ Ø Ð F n Ö ÔÖ ÑØ Ð Ñ Ò ½¼¼ Ö Ò Ö Ú Ä ÓÒ Ö ÙÐ Ö ½ ¼ ¹½ µ ØØ 641 F 5 º Î Ø ÒÓÑ ØØ ÙØÒÝØØ Ð Ø ÖÒ 5 2 7 + 1 = 641 Ó 5 4 + 2 4 = 641º Ê Ò 641 º º º ÄØ a,b,n Ó n > 0º Î ØØ [a] n = [b] n Ó Ò Ø n a bº º º ÄØ a Ó n Ú Ö Ö Ð Ø ÚØ ÔÖ Ñ ÐØ Ðº ÄØ x 0 Ú Ö Ò Ð Ò Ò Ø ÐÐ ÓÒ ÖÙ Ò Ò ax b (ÑÓ n) Ö ØØ ÐØ Ð bº Î ØØ ÐÐ Ò Ö Ð Ò Ò Ö Ø ÐÐ ÒÒ ÓÒ ÖÙ Ò Ò Ö Ú Ô ÓÖÑ Ò x 0 + kn Ö k = 0, ±1, ±2,...º º º Î ØØ ÖÙÔÔ ÖÒ 5 7 Ó 9 Ö Ý Ð Ñ Ò 8 ÒØ Ö Ý Ð º º º Ë Ö Ú ÙØ ÖÙÔÔØ ÐÐ ÖÒ Ö µ 2 3 µ 2 2 º Ö ÖÙÔÔ Ö Ý Ð º º Î ØØ ϕ(p α ) = p α p α 1 p Ö ØØ ÔÖ ÑØ Ð Ó α 1º Ä Ò Ò º Ë Ö Ú ÙØ ÐÐ ÐØ Ð k Ò ØØ 0 k < p α Ó p kº º º Ë Ö Ú Ð Ò ÖÙÔÔ Ö ÓÑ ÔÖÓ Ù Ø Ú Ñ Ò Ö Ö Ø ÖÙÔÔ Ö µ 36 µ 75 µ 15 28 µ 75600 º º½¼º Ä Ð Ò Ú Ø ÓÒ Ö µ 17x = 1 23 µ 6x = 17 41 µ x 2 = 5 29 º º½½º ÄØ θ : 360 8 9 5 Ú Ö Ò Ö ÓÑ Ú Ø Ú º½½µº ØÑ θ 1 (1,0,0) θ 1 (0,1,0) θ 1 (0,0,1)º Ö Ò Ö Ø Ö θ 1 (1,2,3)º

Ê ËÌ ÊÍÈÈ Ê

Ã Ô Ø Ð ÌÊ ÆË ÇÊÅ ÌÁÇÆË ÊÍÈÈ Ê Ú Ò ØØ Ô Ø Ð Ò Ð Ö ÓÑ Ü ÑÔ Ð Ô ÖÙÔÔ Öº Î ÒØ Ö Ó Ñ ÖÙÔÔ Ö Ö Ð Ø Ö Ø ÐÐ ÓÐ ÓÑ ØÖ ÖÙÑ Ó ÓÑ ØÖ ÙÖ Ö ÖÙѺ Ò ØÓÖ Ð Ú ÖÙÔÔØ ÓÖ Ò ÙØÚ Ð Ñ ÙØ Ò ÔÙÒ Ø ÖÒ Ü ÑÔ Ð Ó Ò ÐÙØÐ Ò Ø ÓÒ Ò Ú ÖÙÔÔ ¹ Ö ÔÔ Ø ÓÖÑÙÐ Ö Ö Ø ÒÖ Ñ Ò ÙÔÔØ Ø ØØ ÖÙÔÔ Ö Ö Ð Ú ÒÐ ÓÑ ØÖ Ò ÓÑ Ð Ö Ò Ú Ö ÒÑÖ Ò Ò º µµº Ø Ö ÓÑ ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ñ ÐÐ Ò ÓÐ ÖÙÑ Ó Ø ÐÐ ØÖ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ Ö ÐÐ Ö Ú Ð Ò Ò Öµ ÐÐ Ö Ñ Ò ÖÙÔÔ Ö Ø Ò Ú Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ö ØÖ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ ÖÙÔÔ Öº Ö Ø Ñ Ø Ú Ö Ô Ø Ö Ó Ò ÓØ ÓÑÔÐ ØØ Ö ÚÖ ÙÒ Ô Ö ÓÑ ÙÒ Ø ÓÒ Ö º½µ Ò Ø ÓÒº ÄØ f : X Y Ú Ö Ò ÙÒ Ø ÓÒº Å Ò Ö ØØ f Ö Ò Ø Ú ÐÐ Ö Ò¹ ÒØÝ µ ÓÑ f Ú Ð Ö ÓÐ Ð Ñ ÒØ X Ô ÓÐ Ð Ñ ÒØ Y Ú ÓÑ x 1 x 2 Ö f(x 1 ) f(x 2 )º f ÐÐ ÙÖ Ø Ú ÐÐ Ö Ô Ð Y µ ÓÑ Ø ÐÐ Ú Ö y Y ÒÒ x X ØØ f(x) = yº Ò ÙÒ Ø ÓÒ ÓÑ ÑØ Ø Ö Ò Ø Ú Ó ÙÖ Ø Ú ÐÐ Ø Úº Å Ò Ö ØØ ØÚ ÙÒ Ø ÓÒ Ö f 1 : X Y Ó f 2 : X Y Ö Ð ÓÑ f 1 (x) = f 2 (x) Ö Ú Ö x Xº Å ÑÑ Ò ØØÒ Ò Ò Ú ØÚ ÙÒ Ø ÓÒ Ö f : X Y Ó g : Y Z Ñ Ò Ö Ñ Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ò g f : X Z g Ö Ò f µ Ò ØØ (g f)(x) = g(f(x)). Å Ò Ö ØØ Ò ÙÒ Ø ÓÒ g : Y X Ö Ò ÒÚ Ö Ø ÐÐ f : X Y ÓÑ g f = i X Ó f g = i Y Ö i X Ö Ò ÒØ ÙÒ Ø ÓÒ Ò Ô X Ó i Y Ò ÒØ ÙÒ Ø ÓÒ Ò Ô Y Ú i X (x) = x x X Ó i Y (y) = y y Y º ÇÑ Ñ Ò ØÒ Ö Ô Ò ÙÒ Ø ÓÒ f ÖÒ X Ø ÐÐ Y ÓÑ Ô Ð Ö ÖÒ ÐÐ Ð Ñ ÒØ X Ø ÐÐ Ú Ð Ñ ÒØ Y º º½µ Ò Ñ Ò ÐØØ Ð Ö ÐÐ Ö ÔÔº f Ö Ò Ø Ú ÓÑ Ô Ð Ö ÓÑ Ø ÖØ Ö ÖÒ ÓÐ ÔÙÒ Ø Ö X ÓÑÑ Ö Ö Ñ Ø ÐÐ ÓÐ ÔÙÒ Ø Ö Y f Ö ÙÖ Ø Ú ÓÑ

ÌÊ ÆË ÇÊÅ ÌÁÇÆË ÊÍÈÈ Ê x x X Y y x y ÙÖ º½ Ø ÐÐ Ú Ö ÔÙÒ Ø Y ÓÑÑ Ö Ò Ô Ð Ó f Ö Ø Ú ÓÑ Ò Ô ÖÒ ÐÐ Öº ÇÑ f Ö Ø Ú Ò Ñ Ò ÚÒ Ô ÐÐ Ô Ð Ö ÖÒ X Ø ÐÐ Y Ó Ö Ñ Ò ÒÚ Ö Ò g Ø ÐÐ f Ú Ú Ö ØØ Ô Ø Ò ÐØ ÓÖÑ ÐÐØ Ò Ø ÔÖÓÔÓ Ø ÓÒµº Ë ÑÑ Ò ØØÒ Ò Ò Ú g(f(x)) ÒÒ Ö ÓÑ ØÖ Ø ØØ Ñ Ò Ö Ø Ð Ö Ô Ð Ò ÖÒ ÔÙÒ Ø Ò x X Ø ÐÐ ÔÙÒ Ø Ò f(x) Y Ó Ö Ø Ö Ô Ð Ò ÖÒ ÔÙÒ Ø Ò f(x) Y Ø ÐÐ ÔÙÒ Ø Ò g(f(x)) Zº x f g(f(x)) f(x) X Y Z º¾µ ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒº f : X Y Ö Ò ÒÚ Ö g : Y X Ó Ò Ø f Ö Ø Úº ÁÒÚ Ö Ò g Ö ÒØÝ Ø ØÑ ( Ò Ø Ò f 1 )º Ú º ÄØ g Ú Ö Ò ÒÚ Ö Ø ÐÐ f Ú g(f(x)) = x x X Ó f(g(y)) = y y Y º ÇÑ x 1 x 2 Ö Ú f(x 1 ) f(x 2 ) ØÝ Ð Ø Ò f(x 1 ) = f(x 2 ) Ö g(f(x 1 )) = g(f(x 2 )) Ú x 1 = x 2 º ÐÐØ Ö f Ò Ø Úº ÄØ y Y º Ö y = f(g(y)) Ú f Ú Ð Ö g(y) Ô yº ØØ Ú Ö ØØ f Ö ÙÖ Ø Úº Ð ØÐ Ò Ö f Ø Úº ÄØ f Ú Ö Ø Úº Ö Ú Ö Ð Ñ ÒØ y Y Ð Ò Ú Ü Ø ØØ Ð Ñ ÒØ x Xº Ò Ö g(y) = x f(x) = y. Ö Ú (g f)(x) = g(f(x)) = g(y) = x Ö x X Ó (f g)(y) = f(g(y)) = f(x) = y Ö y Y º ØØ Ú Ö ØØ g Ö Ò ÒÚ Ö Ø ÐÐ fº ËÐÙØÐ Ò ÓÑ Ú Ò g Ö Ò ÒÚ Ö Ø ÐÐ f Ö Ú f(g(y)) = f(g (y)) = y y Y º Å Ò f Ö Ò Ø Ú ØØ g(y) = g (y) Ö Ú Ö y Y Ú Ð Ø Ú Ö ØØ g = g º Î ÒØ Ò Ö Ó Ð Ò Ò Ô Ö Ó ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ú Ö Ú ÐÑÒ Ö Ú ÓÑ ÚÒ Ò º

º µ º µ ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒº ÄØ f : X Y Ó g : Y Z Ú Ö ÙÒ Ø ÓÒ Öº µ ÇÑ f Ó g Ö Ò Ø Ú Ö g f Ò Ø Úº µ ÇÑ f Ó g Ö ÙÖ Ø Ú Ö g f ÙÖ Ø Úº µ ÇÑ f Ó g Ö Ø Ú Ö g f Ø Úº ÄØ ÒÙ X Ú Ö Ò ÑÒ Ó ÐØ G(X) Ú Ö ÑÒ Ò Ú ÐÐ Ø Ú ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ñ Ò Ö ÓÖ Ø Ú ØÖ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ Öµ f : X Xº º µ ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒº (G(X), ) Ö Ò ÖÙÔÔ Ñ Ú Ò Ô ÑÑ Ò ØØÒ Ò Ò Ú ÙÒ Ø Ó¹ Ò Öº Ú º ÇÑ f : X X Ó g : X X Ö Ø Ú ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ö Ú Ò g f : X X Ò Ø Ú ÙÒ Ø ÓÒ ÒÐ Ø º µ µº ÐÐØ Ö G(X) ÐÙØ Ò Ñ Ú Ò Ô ÓÔ Ö Ø ÓÒ Òº Ö ØØ Ú Ó Ø Ú Ø Ø Ò ÐØ h : X X Ú Ö Ò Ø Ú ÙÒ Ø ÓÒº Ö [(f g) h](x) = (f g)(h(x)) = f(g(h(x))) Ó [f (g h)](x) = f((g h)(x)) = f(g(h(x))) Ö x Xº ÐÐØ Ö (f g) h = f (g h)º Ø Ò ÙØÖ Ð Ð Ñ ÒØ Ø Ö Ò ÒØ ÙÒ Ø ÓÒ Ò i X (x) = x Ö x Xº ÁÒÚ Ö Ò Ø ÐÐ f Ö Ò ÒÚ Ö ÙÒ Ø ÓÒ Ò f 1 ÓÑ Ü Ø Ö Ö Ó Ö Ø Úµ ÒÐ Ø º¾µº º µ È ÖÑÙØ Ø ÓÒ ÖÙÔÔ Öº ÄØ X = {1,2,...,n}º G(X) ØÖ Ú ÐÐ Ø Ú ÙÒ Ø Ó¹ Ò Ö f : X X Ú f(1) = p 1,f(2) = p 2,...,f(n) = p n Ö p 1,p 2,...,p n Ö Ò ÓÖ Ò Ò Ð Ú Ø Ð Ò 1,2,...,nº Ë Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ö ÐÐ ÓÑ ÒØ Ô ÖÑÙØ Ø ÓÒ Öº Î ÓÑÑ Ö ØØ Ö Ú ( ) 1 2... n f =. p 1 p 2... p n ÖÙÔÔ Ò G(X) Ø Ò Ó Ø Ñ S n Ó ÐÐ ÝÑÑ ØÖ ÖÙÔÔ Ò Ú Ö Ò nº ÄØ Ó ÔÑ ÒÒ ÓÑ ØØ o(s n ) = n! ÒØ Ð Ø ÓÐ Ô ÖÑÙØ Ø ÓÒ Ö Ú n Ð Ñ Òصº Ì Ü n = 3 Ö Ñ Ò ÖÙÔÔ Ò S 3 Ø Ò Ú 3! = 6 Ô ÖÑÙØ Ø ÓÒ Ö I = ( 1 2 3 1 2 3 ), f 1 = f 4 = ( 1 2 3 1 3 2 ( 1 2 3 2 3 1 ), f 2 = ( 1 2 3 3 2 1 ) ( 1 2 3, f 5 = 3 1 2 ) ( 1 2 3, f 3 = 2 1 3 ). ),

ÌÊ ÆË ÇÊÅ ÌÁÇÆË ÊÍÈÈ Ê ÖÙÔÔ Ò S 2 Ö ¾ Ð Ñ ÒØ I = ( 1 2 1 2 ) ( 1 2, f = 2 1 ). È ÖÑÙØ Ø ÓÒ ÖÒ Ò Ö ÔÖ ÒØ Ö Ñ Ö ÓÑÔ Øº ÄØ p 1,p 2,...,p k {1,2,...,n} Ó ÐØ (p 1,p 2,...,p k ) Ø Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ò Ó f(i) = i i p 1,p 2,...,p k º f(p 1 ) = p 2,f(p 2 ) = p 3,...,f(p k ) = p 1. Ü ÑÔ Ðº (1,2,3) S 3 Ö Ø Ò Ò Ò Ö ( 123 231 ),(2,4) S 4 ØÝ Ö ( 1234 1432 ),(3,2,4) S 4 Ö ( 1234 1423 ), (1) S 3 Ö ( 123 123 )º Å Ò Ö ØØ Ô ÖÑÙØ Ø ÓÒ Ò (p 1,p 2,...,p k ) Ö Ò Ý Ð Ú ÐÒ Ò kº ÄØ f = (p 1,p 2,...,p k ) Ó g = (p 1,p 2,...,p l ), Ö ÐÐ Ø Ð p 1,p 2,...,p k,p 1,p 2,...,p l Ö ÓÐ º Ö Ñ Ò ØØ f Ó g Ö ÙÒ Ø Ý Ð Öº Ö Ò Ý Ð Ö Ö Ú f g = g f ÓÒØÖÓÐÐ Ö ØØ (f g)(x) = (g f)(x) Ö Ú Ö x {1,2,...,n})º Î Ö Ô ÖÑÙØ Ø ÓÒ Ö Ò ÑÑ Ò ØØÒ Ò Ú ÙÒ Ø Ý Ð Öº Ì Ü ( ) 123456789 = (1,2) (3,7,5) (6,9,8). 217439568 ÀÙÖ Ö Ñ Ò Ò Ò Ö Ñ ØÐÐÒ Ò Æ Ò Ð Ö ØØ Ò ÐØ Ö ÔØ º µ ÀÙÖ Ö Ú Ö Ñ Ò Ò Ô ÖÑÙØ Ø ÓÒ ÓÑ ÔÖÓ Ù Ø Ú Ý Ð Ö Å Ò ÚÐ Ö ØØ Ø Ð p 1 ÓÑ ÒØ Ú Ð Ô ÐÚغ Ö Ø Ö Ø Ö Ñ Ò Ð Ò p 2 Ú p 1 Ð Ò p 3 Ú p 2 Ó Ú Ø ÐÐ Ñ Ò Ö p 1 Òº Ö Ñ Ò Ò Ý Ðº ÆÙ Ø Ö Ú ØØ Ø Ð ÓÑ ÒØ Ò Ö Ö Ø Ý ÐÒ Ó Ú ÙÔÔÖ Ô Ö ÔÖÓ ÙÖ Òº Ø Ö Ú ÐÒ Ø ÒÒ Ø Ð ÓÑ ÒØ Ò Ö Ò Ø Ö Ð Ý Ð Ó ÓÑ ÒØ Ú Ð Ô ÐÚغ Ç Ø Ö Ñ Ò ÒØÖ Ö Ú ÓÐ Ð ÖÙÔÔ Ö Ø ÐÐ G(X)º Å Ò ØÖ Ø Ö Ø Ú ÙÒ Ø ÓÒ Ö f : X X Ñ Ò Ú Ò Ô Ó Ú Ö ØØ ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ñ Ò Ò Ô Ò Ð Ö Ò Ð ÖÙÔÔ Ø ÐÐ G(X)º ÄØ Ó ØÖ Ø Ò Ö Ü ÑÔ Ð º µ Ü ÑÔ Ðº µ ÄØ X Ú Ö Ò Ð ØÖ Ò Ð ÔÐ Ò Ø Ó ÐØ G Ø Ú ÐÐ ØÖ Ò ¹ ÓÖÑ Ø ÓÒ Ö Ú ÔÐ Ò Ø ÓÑ Ú Ö Ö Ú ØÒ Ø Ó Ú Ð Ö ØÖ Ò ÐÒ Ô ÐÚº G Ö Ò ÖÙÔÔ Ñ Ú Ò Ô ÑÑ Ò ØØÒ Ò Ò Ú Ú Ð Ò Ò ÖÒ Ò Ð ÖÙÔÔ Ø ÐÐ G(X)µ Ó ÐÐ Ó Ø ØÖ Ò Ð ÖÙÔÔ Ò ÐÐ Ö Ñ Ö Ü Ø ÝÑÑ ØÖ ÖÙÔÔ Ò Ú Ò Ð ØÖ Ò ¹ к Ø Ö ÒØ ÚÖØ ØØ Ö Ú ÐÐ Ð Ñ ÒØ Gº Å Ò Ò ÚÖ ØÖ Ò ÐÒ 0,120 Ó 240 Ö Ò Ñ ØØÔÙÒ Ø Ó Ô Ð Ò ØÖ ÝÑÑ ØÖ ÜÐ ÖÒ S 1,S 2,S 3 º Å Ò Ö ÐÐØ ØÖ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ Ö ÓÑ ÓÖÑ Ú Ô ÖÑÙØ Ø ÓÒ Ö Ú ØÖ Ò ÐÒ ÖÒ

º µ 3 1 2 s 1 s 2 s 3 I = s 1 = ( 123 123 ( 123 132 ) = (1); v 1 = ) = (2,3); s 2 = ( 123 231 ( 123 321 ) = (1,2); v 2 = ) = (1,3); s 3 = ( 123 312 ( 123 213 ) = (1,3,2) ) = (1,2). È Ø ØØ Ø Ö Ú ÐÐ Ñ Ð Ú Ð Ò Ò Ö ØÝ Ú Ö Ú Ð Ò Ò Ö Ò Ô ÖÑÙØ Ø ÓÒ Ú ÖÒ Ò ½ ¾ º Å Ò Ø ÒÒ Ü Ø Ô ÖÑÙØ Ø ÓÒ Ö Ú Ø Ð Ò ½ ¾ Ð Ö Ò ÝÑÑ ØÖ ÖÙÔÔ Ò Ú Ö Ò µº Ä ÑÖ Ø ÐÐ ØØ ÖÙÔÔ Ò ÒØ Ö ÓÑÑÙØ Ø Úº Ì Ü v 1 = s 1 s 2 s 2 s 1 = v 2 º ÖÙÔÔ Ò G Ö Ð Ò ÖÙÔÔØ ÐÐ I v 1 v 2 s 1 s 2 s 3 I I v 1 v 2 s 1 s 2 s 3 v 1 v 1 v 2 I s 3 s 1 s 2 v 2 v 2 I v 1 s 2 s 3 s 1 s 1 s 1 s 2 s 3 I v 1 v 2 s 2 s 2 s 3 s 1 v 2 I v 1 s 3 s 3 s 1 s 2 v 1 v 2 I µ ÄØ X Ú Ö Ò Ú Ö Ø ÔÐ Ò Ø Ó ÐØ G Ø Ú ÐÐ ØÖ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ Ö Ú ÔÐ Ò Ø ÓÑ Ú Ö Ö Ú ØÒ Ø Ó Ú Ö Ø Òº ÒÒ ÖÙÔÔ ÐÐ Ó Ø Ú Ö Ø ÖÙÔÔ Òº G ØÖ ØØ ÐÐ Ú Ð Ò ØÖ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ Ö ÚÖ Ò Ò Ö 0,90,180,270 Ö Ò Ú Ö Ø Ò Ñ ØØÔÙÒ Ø Ó Ô Ð Ò Ö Ð Ò ÖÒ s 1,s 2,s 3 Ó s 4 º Å Ò Ò Ö Ú Ú Ð Ò Ò Ö Ñ ÐÔ Ú Ð Ò Ô ÖÑÙØ Ø ÓÒ Ö Ú Ú Ö Ø Ò ÖÒ ½ ¾ I = (1), v 1 = (1,2,3,4), v 2 = (1,3)(2,4), v 3 = (1,4,3,2)

¼ ÌÊ ÆË ÇÊÅ ÌÁÇÆË ÊÍÈÈ Ê ÝÖ ÚÖ Ò Ò ÖÒ µ Ó s 1 = (1,2)(3,4), s 2 = (1,4)(2,3), s 3 = (2,4), s 4 = (1,3) ÝÖ Ô Ð Ò ÖÒ µº s 4 4 s 2 1 2 s 1 s 3 3 Ô ÖÑÙØ Ø ÓÒ Ö Ð Ö Ò ÖÙÔÔ Ö Ö ØØ ÑÑ Ò ØØÒ Ò Ò Ú ØÚ ØÖ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ Ö G Ö Ò ØÖ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ Gº ÐÐØ ØØ Ö Ö Ð Ø ÚØ Ò ÐØ ØØ Ö Ø Ñ Ò Ø Ð Ö Ó ÙÖ ÖÙÔÔØ ÐÐ Ò I v 1 v 2 v 3 s 1 s 2 s 3 s 4 I I v 1 v 2 v 3 s 1 s 2 s 3 s 4 v 1 v 1 v 2 v 3 I s 4 s 3 s 1 s 2 v 2 v 2 v 3 I v 1 s 2 s 1 s 4 s 3 v 3 v 3 Á v 1 v 2 s 3 s 4 s 2 s 1 s 1 s 1 s 3 s 2 s 4 I v 2 v 1 v 3 s 2 s 2 s 4 s 1 s 3 v 2 I v 3 v 1 s 3 s 3 s 2 s 1 s 3 v 3 v 1 I v 2 s 4 s 4 s 1 s 3 s 2 v 1 v 3 v 2 I µ À ÐØ ÐÐÑÒØ Ò Ñ Ò ØÖ Ø Ò Ó ØÝ Ð ÙÖ X ÔÐ Ò Ø ÐÐ Ö ÖÝÑ Òº ÅÒ Ò G Ú ÐÐ ØÖ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ Ö ÓÑ Ú Ö Ö Ú ØÒ Ø Ó ÙÖ Ò X Ö Ò ÖÙÔÔ Ñ Ú Ò Ô ÑÑ Ò ØØÒ Ò Ò Ú ØÖ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ ÖÒ º ÒÒ ÖÙÔÔ ÐÐ Ó Ø ÝÑÑ ØÖ ÖÙÔÔ Ò Ú Xº ÖÙÔÔ Ö Ú Ò ØÝÔ Ò Ö Ò ØÓÖ ØÝ Ð ÓÐ ÔÖ Ø ÑÑ Ò Ò º Ð Ò ÒÒ Ø ÙØÒÝØØ Ò ÖÙÔÔ Ö Ö Ø ÐÐÓ Ö Ò Ö Ñ Ò Ð Ö Ö Ö Ø ÐÐÓ Ö ØÖÙ ØÙÖ Ö ÖÓ Ò Ô Ö ØÖ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ ÖÙÔÔ Ö Ú ÐÐ ØÖ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ Ö ÖÝÑ Ò ÓÑ Ú Ö Ö Ú ØÒ Ò Ó ØÖÙ ØÙÖ Ò Ñ Ò ÖÙØ ØØ Ö ØØ Ö Ø ÐÐ Ò ÝÐÐ Ö ÙØ Ð ÖÝÑ Òµº º µ ÒÑÖ Ò Ò º ÖÒ ÙÖ Ò Ð Ò Ö Ð Ö ÒÒ Ö Ú ÓÖØÓ ÓÒ Ð Ú Ð Ò Ò Ö Ù Ð ¹ ÖÙѺ ÇÑ Ê n ØÖ Ø Ñ Ø Ú ÒÐ Ú ØÒ Ö ÔÔ Ø Ú

ÎÆÁÆ Ê ½ d(x,y) = (x 1 y 1 ) 2 + + (x n y n ) 2 Ö ØÚ Ú ØÓÖ Ö x,y Ê n µ Ö Ñ Ò ØØ Ò Ð Ò Ö Ú Ð Ò Ò f : Ê n Ê n Ö ÓÖØÓ ÓÒ Ð ÐÐ Ö ÓÑ ØÖ µ ÓÑ f Ú Ö Ö Ú ØÒ Ø Ú d(f(x),f(y)) = d(x,y)º Ö f(x) = Ax Ö A Ö Ò ÓÖØÓ ÓÒ Ð Ñ ØÖ Ú A 1 = A t Ö A t Ö Ò ØÖ Ò ÔÓÒ Ö Ñ ØÖ Ò Ø ÐÐ Aº Å Ò ÓÒØÖÓÐÐ Ö Ö ÑÝ Ø ÐØØ ÚÒº º µ ØØ ÐÐ ÓÖØÓ ÓÒ Ð ØÖ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ Ö Ð Ö Ò ÖÙÔÔº Ò Ù Ð ÓÑ ØÖ Ò Ê n Ö Ò ØÙ Ú ÐÐ Ò Ô Ö Ó Ê n ÓÑ Ú Ö Ú ÓÖØÓ ÓÒ Ð ØÖ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ Ö Ü ÑÔ Ð Ô Ò Ò Ô Ö Ö Ú ØÒ Ò Ú Ò Ð ÖÒ ÚÓÐÝÑ ÖÒ Ó Úµº Å Ò Ò ØÖ Ø Ò Ö ÖÙÔÔ Ö Ú Ð Ò Ö Ú Ð Ò Ò Ö Ø Ü ÐÐ ¹ Ò ÙÐÖ Ú Ð Ò Ò Ö Ú ÐÐ f ÓÑ ÓÚ Ò Ö A Ö Ò Ó ØÝ Ð Ñ ØÖ Ñ ÒÓÐÐ Ð Ø ÖÑ Ò ÒØ Ú A GL n (Ê)º Ò ØÙ Ú ÐÐ Ò Ô Ö ÓÑ Ú Ö Ú ØÖ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ Ö Ö ÙÔÔ Ø Ò Ö Ò ¹ Ò ÓÑ ØÖ Ò Ê n º Ö ½ ¾ ÓÖÑÙÐ Ö Ò ØÓÖ ØÝ Ñ Ø Ñ Ø ÖÒ Ð Ü ÃÐ Ò Ò ÐÐÑÒ ØÖ Ø Ö ØÙ Ö Ú ÓÐ ÖÙѺ À Ò ÖÐ Ò ÒÔÖÓ Ö ÑÑ Ø Ò Ö Ö Ö ÔÔ Ø ÓÑ ØÖ ØØ ÖÙÑ Ø Ü Ê n µ ÓÑ ÐÐ Ò Ô Ö ÖÙÑÑ Ø ÓÑ Ú Ö ÙÒ Ö Ú Ö Ò Ú Ò ÖÙÔÔº ÃÐ Ò Ö ØÓÖ ØÝ Ð Ö ÙØÚ Ð Ò Ò ÒÓÑ Ñ Ø Ñ Ø Ò Ó Ý Òº Ë Ñ¹ Ò Ò ÓÑ Ð Ö Ø ÐÐ Ö Ð Ø Ú Ø Ø Ø ÓÖ Ò ÓÑ Ö Ú Ö ÓÐ Ò Ô Ö Ó Ú ØÓÖ Ö Ê 4 ÓÑ Ú Ö ÙÒ Ö Ú Ö Ò Ú ÄÓÖ ÒØÞ ÖÙÔÔ Ò Ó Ð ÖÙÔÔ Ö ÚÒ Ò º µµº Ø Ö ÑÝ Ø ÒØÖ ÒØ ØØ Ð Ü ÃÐ Ò ÑÒ Ú Ò Ö ÙÒ Ö Ò Ú Ø Ð È Ö Ó º ÂÓÖ Ò ÒÒ ØÙ Ö ÐÓ Ö Ø Òº Ì Ú Ö ÂÓÖ Ò Ð Ú ÐÓ Ö Ò Ö Ò Ö Ñ Ø Ñ Ø ÐÐÑÒ Ø Òº Ú Ò Ò ØÓÖ ÒÓÖ Ñ Ø Ñ Ø ÖÒ ËÓÔ Ù Ä Ú Ø ¹ Ó ÂÓÖ Ò ÑØ Ø Ñ ÃÐ Òº ˺ Ä Ø ÐÐÑÔ ÖÙÔÔØ ÓÖ Ò Ô ÔÖÓ Ð Ñ Ñ Ø Ñ Ø Ò ÐÝ Ð Ó Ö Ò ÖÙÔÔ Ö Ñ Ö ÒØ Ð Ú Ø ÓÒ Öº Ì ÓÖ Ò Ö Ä ÖÙÔÔ Ö ÓÑ ÑØ Ø Ö ÖÙÔÔ Ö Ó Ò ÐÝØ ÑÒ Ð Ö Ö ÑÝ Ø ØÓÖ ØÝ Ð ÒÓÑ Ñ Ø ¹ Ñ Ø Ò Ó ÒÓÑ Ý Òº Ì Ü Ö ÖÙÔÔ ÖÒ O(n),SO(n),U(n),SU(n) Ò Ö ØÖ Ò Ú Ö ÚÒ Ò Ö º Ó º µº ÎÆÁÆ Ê º½º ÄØ f : X Y Ó g : Y Xº Î ØØ ÓÑ g f = i X Ö f Ò Ø Ú Ó g ÙÖ Ø Úº º¾º ÄØ f : X X Ö X Ö Ò Ò Ð ÑÒ º Î ØØ ÓÑ f Ö Ò Ø Ú ÐÐ Ö ÙÖ Ø Ú Ö Ò Ø Úº º º ÄØ G Ú Ö ÑÒ Ò Ú ÙÒ Ø ÓÒ ÖÒ f 1 (x) = x, f 2 (x) = x, f 3 (x) = 1 x, f 4(x) = 1 x, x Ê. Î ØØ G Ö Ò ÖÙÔÔ Ñº ºÔº ÑÑ Ò ØØÒ Ò º Ë Ö Ú ÙØ ÖÙÔÔØ ÐÐ Òº º º Ë Ö Ú ÙØ ÖÙÔÔØ ÐÐ Ö Ö Ð Ò ÖÙÔÔ Ö µ ÝÑÑ ØÖ ÖÙÔÔ Ò Ú Ò Ö Ø Ò Ð ÓÑ ÒØ Ö Ò Ú Ö Ø µ ÝÑÑ ØÖ ÖÙÔÔ Ò Ú Ó Ø Ú Ò Àº ÒÑÖ Ò Ò ÖÙÔÔ Ò µ ÐÐ Ó Ø ÃÐ Ò ÝÖ ÖÙÔÔ Òµ Ó Ø Ò Ñ V 4 º

¾ ÌÊ ÆË ÇÊÅ ÌÁÇÆË ÊÍÈÈ Ê º º Ö Ö Ú ÓÑ ØÖ Ø ÐÐ ¾ Ð Ñ ÒØ ÝÑÑ ØÖ ÖÙÔÔ Ò Ú Ò Ö Ð ÙÒ Ò Ø Ø¹ Ö Öº º º Î ØØ Ð Ò (n n)¹ö ÐÐ Ñ ØÖ Ö Ð Ò Ö Ú Ð Ò Ò Ö Ú Ê n µ Ð Ö Ò ÖÙÔÔ Ñ Ú Ò Ô Ñ ØÖ ÑÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒ ÑÑ Ò ØØÒ Ò µ µ ÐÐ ÓÖØÓ ÓÒ Ð Ñ ØÖ Ö Ú ÐÐ (n n)¹ñ ØÖ Ö A Ò ØØ A t A = Eµ µ ÐÐ (4 4)¹Ñ ØÖ Ö A Ò ØØ A t MA = M Ö M = 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 ÒÑÖ Ò Ò Î ÐÐ ÓÖ Ø A t MA = M Ö M Ö Ò Ó ØÝ Ð ÝÑÑ ØÖ Ñ ØÖ Øݹ Ö ØØ A Ú Ö Ö Ò Ú Ö Ø ÓÖÑ ÓÑ Ö Ñ ØÖ Ò M Ú Ò ÐØ ÙÖ Ò Ä Ò Ö Ð Ö µº Á µ Ò Ð Ö Ø ÓÑ ÓÖÑ Ò X 2 1 + X2 2 + X2 3 Ó Ú ÐÐ ÓÖ Ø At A = E ØÝ Ö ØØ ÓÑ Ñ Ò Ø Ö Ò Ú ØÓÖ x t = (x 1,x 2,x 3 ) Ö (Ax) t Ax = x t x Ú Ú ØÓÖÒ ÐÒ Ú Ö Ò ØÖ Ò ÓÖÑ Ö Ñ ÐÔ Ú A Ò Ú Ö Ø ÓÖÑ Ò Ö ÑÑ ÚÖ Ö x Ó Axµº Á µ Ö M Ñ ØÖ Ò Ö X 2 1 +X2 2 +X2 3 T 2 Ó Ú ÐÐ ÓÖ Ø A t MA = M Ö ØØ ÒÒ Ú Ö Ø ÓÖÑ Ö ÑÑ ÚÖ Ö x Ó Ax Ú (Ax) t MAx = x t Mxº ÖÙÔÔ Ò µ ÐÐ ÄÓÖ ÒØÞ ÖÙÔÔ Ò Ó Ô Ð Ö Ò ÑÝ Ø Ú Ø ÖÓÐÐ Ö Ð Ø Ú Ø Ø Ø Ó¹ Ö Òµº ÖÙÔÔ Ò µ ÐÐ Ò ÓÖØÓ ÓÒ Ð ÖÙÔÔ Ò Ó Ø Ò Ó Ø Ñ O(n)º Ò Ð ÖÙÔÔ Ø ÐÐ O(n) ÓÑ ØÖ Ú ÐÐ Ñ ØÖ Ö Ñ Ø ÖÑ Ò ÒØ Ò Ð Ñ ½ ÐÐ Ò Ô ÐÐ ÓÖØÓ ÓÒ Ð ÖÙÔÔ Ò Ó Ø Ò Ñ SO(n)º ÄÓÖ ÒØÞ ÖÙÔÔ Ò Ø Ò Ó Ø O(3,1)º º º µ Î ØØ ÐÐ ÙÒ ÑÓ ÙÐÖ (n n)¹ñ ØÖ Ö A Ú ÐÐ (n n)¹ñ ØÖ Ö Ñ Óѹ ÔÐ Ü Ð Ñ ÒØ Ó Ò ØØ A 1 = A t A Ø Ò Ö Ñ ØÖ Ò ÓÑ Ñ Ò Ö ÒÓÑ ØØ ÓÒ Ù Ö ÐÐ Ð Ñ ÒØ Aµ Ð Ö Ò ÖÙÔÔ U(n)º µ Î ØØ ÐÐ Ô ÐÐ ÙÒ ÑÓ ÙÐÖ (n n)¹ñ ØÖ Ö Ú ÐÐ Ñ ØÖ Ö A µ Ò ØØ ØA = 1 Ð Ö Ò Ð ÖÙÔÔ Ø ÐÐ U(n)º ÒÒ Ð ÖÙÔÔ Ø Ò Ñ SU(n)º µ Î ØØ Ú Ö Ñ ØÖ SU(2) Ò Ö Ú Ô ÓÖÑ Ò [ z1 z 2 z 2 z 1 Ö z 1 Ó z 2 Ö ÓÑÔÐ Ü Ø Ð Ò ØØ z 1 2 + z 2 2 = 1º º º Ë Ö Ú ÙØ ÚÒ Ô ÖÑÙØ ÓÒ ÖÒ ÓÑ ÔÖÓ Ù Ø Ú ÙÒ Ø Ý Ð Ö µ ( 123456789 214359678 ) µ (1234567 3542176 )º º º µ ÄØ a = (p 1,p 2,... p k ) Ú Ö Ò Ý Ð S n º Î ØØ ÓÖ Ò Ò Ò Ú a ÒÒ ÖÙÔÔ Ö Ð Ñ ÐÒ Ú o(a) = kº µ Î ØØ ÓÑ Ò Ô ÖÑÙØ Ø ÓÒ Ö Ò ÔÖÓ Ù Ø Ú ÙÒ Ø Ý Ð Ö Ö ÓÖ Ò Ò Ð Ñ Å Å Ú ÐÒ ÖÒ Ú Ý Ð Öº ]