Program: DATA, ELEKTRO TENTAMEN Datum: 0 aug 007 Kurser: MATEMATIK OCH MAT STATISTIK 6H3000, 6L3000, MATEMATIK 6H30 TEN (Differential ekvationer, komplea tal) Skrivtid: 3:5-7:5 Lärare: Armin Halilovic Eaminator: Armin Halilovic Hjälpmedel: Bifogat formelblad och miniräknare av vilken tp som helst Poängfördelning och betgsgränser: För betg 3, 4, 5 krävs, 7 respektive poäng För komplettering krävs 0 poäng Till samtliga uppgifter ska lämnas fullständiga lösningar Denna tentamenlapp får ej behållas utan lämnas in Uppgift ) ( 4p) + ai a) (p) Bestäm talet a så att z blir reellt a + 4i b) (p) Lös ekvationen z 3 i Ange lösningar på eponentialform c) (p) Lös följande ekvation med avseende på u ( där u+i är ett komplet tal) u + 4u Uppgift ) ( 4p) z och z iär lösningar till ekvationen z + z + 8z + 8 0 Bestäm ekvationens övriga lösningar Uppgift 3) ( 4p) Lös differentialekvationen + Bestäm sedan den partikulärlösning med egenskapen att () e Var god vänd!
Uppgift 4) ( 4p) Lös följande differentialekvationer a) (p) b) (p) 5 + 6 0 c) (p) 3 sin 3cos d) (p) + + (tips: resonansfall) Uppgift 5) ( 4p) Enligt Newtons avsvalningslag ändras temperaturen, T, hos ett föremål enligt differentialekvationen dt k ( T T0 ), där t är tiden, k en konstant och T 0 omgivningens temperatur Om tiden mäts i minuter och temperaturerna i C får k det numeriska värdet 0,0 En kopp te har från början temperaturen 90 C Rumstemperaturen är 0 C Ange hur dess temperatur ändras som funktion av tiden Uppgift 6) ( 4p) Bestäm den allmänna lösningen för strömmen i( i nedanstående LRC krets om induktansen L H, resistansen R 7 Ω, kapacitansen C F och spänningen V Lcka till!
Uppgift ) ( 4p) + ai a) (p) Bestäm talet a så att z blir reellt a + 4i b) (p) Lös ekvationen z 3 i Ange lösningar på eponentialform c) (p) Lös följande ekvation med avseende på u ( där u+i är ett komplet tal) u + 4u a) + ai ( + ai)( a 4 i) z 5a+ a i 4i a+ 4i ( a+ 4 i)( a 4 i) a + 6 z är reellt om imaginärdelen i täljaren är noll Alltså, a 4 0 a± b) ( 3 3 ( n ) i n ) i 6 3 z i z e π + π z e π + π n0,, c) Vi substituerar u + i och u i i nedanstående ekvation u + 4u ( + i) + 4( i) 6 och u i Svar c: u i Uppgift ) ( 4p) z och z iär lösningar till ekvationen z + z + 8z + 8 0 Bestäm ekvationens övriga lösningar Ekvationen har reella koefficienter Alltså, om z i är en lösning så är även z i en lösning 3 Enligt Faktorteoremet är då vänstra ledet delbart med ( z+ )( z i)( z+ i) z + z + z+ z z z z z 3 + + 8 + 8 + 4 z + z + z+ Ekvationens övriga lösningar erhålls genom att man löser ekvationen z Härav z ± i 3 Svar : De övriga lösningarna är z3 i, z 4,5 ± i 3 z+ 4 0
Uppgift 3) ( 4p) Lös differentialekvationen + Bestäm sedan den partikulärlösning med egenskapen att () e Lösning + ln + + + C + ± e + D e () e e + D e D Alltså, partikulärlösningen är Svar + e Uppgift 4) ( 4p) Lös följande differentialekvationer + C + e a) (p) b) (p) 5 + 6 0 c) (p) 3 sin 3cos d) (p) + + (tips: resonansfall) a) Vi separerar och integrerar ekvationen d d d Svar a) arcsin + C sin( + C) d arcsin + C 3 Endast svar b) ( ) C e + Ce + 3 Svar c) ( ) C + C e + sin Svar d) ( ) C + C e +
Uppgift 5) ( 4p) Enligt Newtons avsvalningslag ändras temperaturen, T, hos ett föremål enligt differentialekvationen dt k ( T T0 ), där t är tiden, k en konstant och T 0 omgivningens temperatur Om tiden mäts i minuter och temperaturerna i C får k det numeriska värdet 0,0 En kopp te har från början temperaturen 90 C Rumstemperaturen är 0 C Ange hur dess temperatur ändras som funktion av tiden dt 0,0 ( T 0) dt + 0,0T 4 0,0t TH C e T a ansatt partikulärlösning dt 0 Insättning i ekv ger 0 + 0,0a 4 a 0 T P 0 0,0t T T + T C e + 0 A H P 0,0 0 (0) 90 90 0 70 0,0t T 70 e + 0 T C e + C Alltså: Uppgift 6) ( 4p) Bestäm den allmänna lösningen för strömmen i( i nedanstående LRC krets om induktansen L H, resistansen R 7 Ω, kapacitansen C F och spänningen V Från kretsen får vi följande diff ekv di( L + R i( + q( U (ekv) C (efter subst L, R och C) i ( + 7i( + q( (ekv ) Derivering av ( ekv ) ger: i ( + 7i ( + i( 0 (ekv 3) 3t 4t Härav i( Ce + Ce 3t 4t Svar: i( C e + C e