TNK049 Optimeringslära

Relevanta dokument
TNK049 Optimeringslära

Billigaste väg: Matematisk modell i vektor/matrisform. Billigaste väg: Matematisk modell i vektor/matrisform

Föreläsning 10/11! Gruppuppgifter: Gruppuppgift 1: Alla har redovisat. Gruppuppgift 2: Alla har redovisat Gruppuppgift 3: På gång.

TNSL05 Optimering, Modellering och Planering. Föreläsning 10

Tillämpningar av dekomposition: Flervaruflödesproblemet. Flervaruflödesproblemet: Lagrangeheuristik

TAOP61 Optimering av realistiska sammansatta system. Speciellt med denna kurs. Uppdateringar. Kursplan

Flöde i nätverk. Flöde i nätverk. Specialfall av minkostnadsflödesproblemet

TNK049 Optimeringslära

Lektion 8 Specialfall, del I (SFI) Rev HL

Flöde i nätverk. Flöde i nätverk. Specialfall av minkostnadsflödesproblemet

Föreläsning 9. Specialfall inom produk1onsplanering: Cyklisk planering, kopplade lager

Förklaring:

TNSL05 Optimering, Modellering och Planering. Föreläsning 5

Flöde i nätverk. Flöde i nätverk. Specialfall av minkostnadsflödesproblemet. Specialfall av minkostnadsflödesproblemet. Slutsats.

Optimeringslära Kaj Holmberg

TNSL05 Optimering, Modellering och Planering. Föreläsning 9

Stelkroppsdynamik i tre dimensioner Ulf Torkelsson. 1 Tröghetsmoment, rörelsemängdsmoment och kinetisk energi

Optimeringslära Kaj Holmberg

Tentamensinstruktioner

Centrala Gränsvärdessatsen:

Sammanfattning, Dag 1

1 Minkostnadsflödesproblem i nätverk

Optimeringslära Kaj Holmberg

TSTE20 Elektronik 01/24/ :24. Dagens föreläsning. Praktiska saker. Repetition, storheter. Repetition kretselement och samband Tvåpolssatsen

Tentamen (TEN2) Maskininlärning (ML) 5hp 21IS1C Systemarkitekturutbildningen. Tentamenskod: Inga hjälpmedel är tillåtna

Lektion 9. Teori. Bilinjär transformation. Byggblock Integratorer. Parasitkapacitanser. SC-filter Leapfrogfilter. LDI-transformation ----

1(8) x ijt = antal mobiltelefoner av typ i=1,,m, Som produceras på produktionslina 1,, n, Under vecka t=1,,t.

Optimeringslära Kaj Holmberg

Optimeringslära Kaj Holmberg

Tentamen (TEN1) TMEL53 Digitalteknik

TNK049 Optimeringslära

Optimeringslära Kaj Holmberg

a) B är oberoende av A. (1p) b) P (A B) = 1 2. (1p) c) P (A B) = 1 och P (A B) = 1 6. (1p) Lösningar: = P (A) P (A B) = 1

Komplettering: 9 poäng på tentamen ger rätt till komplettering (betyg Fx).

Tentamensinstruktioner

Tentamen i Dataanalys och statistik för I den 5 jan 2016

Flode. I figuren har vi också lagt in en rät linje som någorlunda väl bör spegla den nedåtgående tendensen i medelhastighet för ökande flöden.

Tentamensinstruktioner

Mätfelsbehandling. Lars Engström

Chalmers, Data- och informationsteknik DAI2 samt EI3. Peter Lundin. Godkänd räknedosa

Vinsten (exklusive kostnaden för inköp av kemikalier) vid försäljning av 1 liter fönsterputs är 2 kr för F1 och 3 kr för F3.

Förstärkare Ingångsresistans Utgångsresistans Spänningsförstärkare, v v Transadmittansförstärkare, i v Transimpedansförstärkare, v i

FÖRDJUPNINGS-PM. Nr Kommunalt finansierad sysselsättning och arbetade timmar i privat sektor. Av Jenny von Greiff

Allmänt om korttidsplanering. Systemplanering Allmänt om korttidsplanering. Allmänt om vattenkraft. Det blir ett optimeringsproblem!

Vinsten (exklusive kostnaden för inköp av kemikalier) vid försäljning av 1 liter fönsterputs är 2 kr för F1 och 3 kr för F3.

saknar reella lösningar. Om vi försöker formellt lösa ekvationen x 1 skriver vi x 1

Lösningar modul 3 - Lokala nätverk

Stresstest för försäkrings- och driftskostnadsrisker inom skadeförsäkring

FÖRDJUPNINGS-PM. Nr Kommunalt finansierad sysselsättning och arbetade timmar i privat sektor. Av Jenny von Greiff

Vinst (k) Sannolikhet ( )

Test av anpassning, homogenitet och oberoende med χ 2 - metod

TNSL05 Optimering, Modellering och Planering. Föreläsning 6

Spänningsfallet över en kondensator med kapacitansen C är lika med q ( t)

26 medlemmar, representerande 25 röstberättigade fastigheter, deltog i föreningsstämman.

Introduktionsersättning eller socialbidraghar ersättningsregim betydelse för integrationen av flyktingar? 1

Laboration 1 - Simplexmetoden och modellformulering

Tentamen i Tillämpad matematisk statistik för MI3 och EPI2 den 15 december 2010

6.2 Transitionselement

Använd Maple (eller Mathematica) för att lösa dina uppgifter. INLÄMNINGSUPPGIFT 2 Linjär algebra och analys Del2: ANALYS Kurskod: HF1006

Laborationsinformation

Balansering av vindkraft och vattenkraft i norra Sverige. Elforsk rapport 09:88

Stresstest för försäkrings- och driftskostnadsrisker inom skadeförsäkring

DEL I. Matematiska Institutionen KTH

TAOP33/TEN 2 KOMBINATORISK OPTIMERING GRUNDKURS

Del A Begrepp och grundläggande förståelse.

Radien r och vinkeln θ för komplexa tal i polär form och potensform: KOMPLEXA TAL. ) (polär form) (potensform)

TFYA16: Tenta Svar och anvisningar

Optimering i samband med produktionsplanering av, och materialförsörjning vid, underhåll av flygmotorer

2 Jämvikt. snitt. R f. R n. Yttre krafter. Inre krafter. F =mg. F =mg

Exempel: En boll med massa m studsar mot ett golv. Alldeles innan studsen vet man att hastigheten är riktad

Hjälpmedel: Penna, papper, sudd, linjal, miniräknare, formelsamling. Ej tillåtet med internetuppkoppling: 1. Skriv ditt för- och efternamn : (1/0/0)

En studiecirkel om Stockholms katolska stifts församlingsordning

Arbetslivsinriktad rehabilitering för sjukskrivna arbetslösa funkar det?

Riktlinjer för avgifter och ersättningar till kommunen vid insatser enligt LSS

Laboration 1 - Simplexmetoden och Modellformulering

Balansering av vindkraft och vattenkraft i norra Sverige. Elforsk rapport 09:88

Konstruktionsuppgift 1 G7006B. Sofi Isaksson Lea-Friederike Koss Henrik Silfvernagel

Optimeringslära Kaj Holmberg

Finansiell Statistik (GN, 7,5 hp,, HT 2008) Föreläsning 6. Regression & Korrelation. (LLL Kap 13-14) Inledning till Regressionsanalys

ETE115 Ellära och elektronik, tentamen oktober 2007

2B1115 Ingenjörsmetodik för IT och ME, HT 2004 Omtentamen Måndagen den 23:e aug, 2005, kl. 9:00-14:00

TNK049 Optimeringslära

TAOP86/TEN 1 KOMBINATORISK OPTIMERING MED

Förberedelse INSTALLATION INFORMATION

Uppgift 1. (4p) (Student som är godkänd på KS1 hoppar över uppgift 1.)

Kaj Holmberg (LiU) Grön optimering 12 oktober / 22

TAOP86/TEN 1 KOMBINATORISK OPTIMERING MED

Variansanalys ANOVA. Idé. Experiment med flera populationer. Beteckningar. Beteckningar. ANOVA - ANalysis

TDDC47 Realtids- och processprogrammering. Jourhavande-lärare: Mehdi Amirijoo (Telefonnummer: , ).

Föreläsning 6: Nätverksoptimering

Grön Flagg-rapport Borrby förskola 18 maj 2015

Utbildningsdepartementet Stockholm 1 (6) Dnr 2013:5253

Beställningsintervall i periodbeställningssystem

STUDIE- HANDLEDNING KOMVUX Inför ansökan till Komvux KOMVUX

Förberedelse INSTALLATION INFORMATION

Handlingsplan. Grön Flagg. Hamregårds förskola

Inversa matriser och determinanter.

KVALITETSDEKLARATION

Faradays lag. ger. Låt oss nu bestämma den magnetiska energin för N st kopplade kretsar. Arbetet som kretsarnas batterier utför är

Beräkna standardavvikelser för efterfrågevariationer

Transkript:

TNK49 Optmerngslära Clas Rydergren ITN Föreläsnng 8 Nätverksoptmerng: Nodprser och dualtet för bllgaste väg Mnkostnadsflödesproblemets egenskaper Nätverkssmple

Agenda Varanter på bllgaste väg kap 8.4.4 Proektnätverk Mnkostnadsflödesproblemet Formulerng kap 8.6.2 Heltalsegenskaper kap 8.6.3 llgaste väg-problemet som mnkostnadsflödesproblem Optmaltetsvllkor kap 8.7.1 Smplemetoden för nätverk kap 8.7.2 8.7.3 2

Alternatv tll bllgaste väg kap 8.4.4 Sök dyraste väg från startnod tll slutnod Proektnätverk Uppgft 8.23 Multplkatv målfunkton Tllförltlghet Uppgft 8.18 Målfunkton av mamn-typ Vägar av mamal kapactet Uppgft 8.15b 3

Eempel: Proektnätverk 1 2 Stora proekt nnehåller ofta flera aktvteter som måste koordneras. Flera aktvteter har företrädesrelatoner. Frågeställnngar: Hur lång td tar hela proektet att genomföra? När kan v starta med en gven aktvtet? Vlka aktvteter är mest krtska vad gäller försenng? Eempel krav på proektgenomförande Aktvtet D ska utföras efter aktvtet A Aktvtet E ska utföras efter aktvteterna A och D Aktvtet F ska utföras efter aktvteterna C och D Aktvtet G ska utföras efter aktvteterna E och F Aktvtet Td Aktvtet Td A 3 E 3 5 F 4 C 6 G 2 D 4 Td som krävs för respektve aktvtet 4

Eempel: Proektnätverk 2 2 åge = aktvtet Nod = händelse/tdpunkt pt Aktvtet td där p är föregångare t är dyraste väg tll noden 2 A3 D4 Optmallösnng: 13 2 A3 D4-1 411 513 5 E3 G2 3 5 6 27 C6 - F4 4 1 5 3 E3 5 G2 6 37 C6 - F4 4 5

Flödesnätverk flow network Defnera = flödet på båge från nod tll nod Nodstyrka node strength b = b k b k k = nflöde utflöde Om b < är en källa source Om b > är en sänka snk Om b = är en mellannod ntermedate node Mnkostnadsflöde: Gvet ett nätverk fnn ett flöde med mnmal kostnad så att gvna källoch sänkstyrkor uppfylls vd alla noder. V läser ut bb som alla sådana att det fnns en båge från tll bågmängden. 6

Mnkostnadsflödesproblemet Mnmum-Cost Flow Problem. för alla för alla då mn u N b c b k k b b k Nodbalans Kapactet 7

Mnkostnadsflödesproblemet flera varuslag mult-commodty mn då b b pp p c p k b p k p k pp b p p u för alla N p P för alla. Nodbalans för vare varuslag Kapactet gemensam resurs Obs! Utan gemensam resurs får v förstås ett separat problem för vare varuslag. 8

Heltalsegenskap nteger propertes etrakta problemet mn då T z c A b l u heltal Om A är fullständgt unmodulär t e en anslutnngsmatrs och alla begränsnngar b l u är heltalga är också alla etrempunkter tll det tllåtna området heltalga llgaste väg-problemet kan formuleras som ett LP-problem Dvs utan heltalskrav! Smplemetoden kan alltså användas. Dock fnns bättre metoder som utnyttar strukturen. 9

llgaste väg som mnkostnadsflöde 14 etrakta fölande bllgaste väg-problem från Le 7 V vll modellera detta som ett mnkostnadsflödesproblem AMPL. 1

llgaste väg som mnkostnadsflöde 24 Modellfl: Mnmera kostnaden gvet nodbalans. set ARCS; set NODES; param c{arcs}; #bågkostnader param a{nodes ARCS}; #anslutnngsmatrsen param flow{nodes}; #flödesstyrkor var {ARCS}>=; #flödet på båge #MÅLFUNKTION Mnmera kostnad mnmze z : sum{ n ARCS} c[]*[]; #IVILLKOR Nodbalans subect to y{ n NODES}: sum{ n ARCS} a[]*[]=flow[]; 11

llgaste väg som mnkostnadsflöde 34 Indata: bågar noder bågkostnader anslutnngsmatrs nodstyrkor. set ARCS := 12 13 14 25 32 34 36 46 53 56; set NODES := 1 2 3 4 5 6; param c:= 12 4 13 5 14 3 25-1 32 4 34 1 36 2 46-1 53-2 56 2; param a: 12 13 14 25 32 34 36 46 53 56:= 1-1 -1-1 2 1-1 1 3 1-1 -1-1 1 4 1 1-1 5 1-1 -1 6 1 1 1; param flow := 1-1 2 3 4 5 6 1; 12

z = 1 llgaste väg som mnkostnadsflöde 44 Utdata från AMPL [*] := 12 1 13 14 25 1 32 34 1 36 46 1 53 1 56 ; y 1 = y 4 = 2 y 2 = 4 y 3 = 1 y 5 = 3 13 y.dual [*] := 1 2 4 3 1 4 2 5 3 6 1 ; Dualvarablerna är här nodprs! y 6 = 1

Repetton: Optmaltetsvllkor för LP-problem Låt P och D vara gvna enlgt ovan. Antag att är tllåten P dvs A b och. Antag att v är tllåten D dvs A T v c och v. Antag att komplementartet gäller dvs v T b A = och T A T v c =. Prmal tllåtenhet Dual tllåtenhet Komplementartet Då är och v optmallösnngar tll respektve problem och z = c T = b T v = w! Sats 6.5 14

Optmaltetsvllkor för mnkostnadsflödesproblem 1 2 u c z mn u N b k k k P y N u y b w ma c y y D Prmal tllåtenhet Dual tllåtenhet Komplementartet då då 15

Optmaltetsvllkor för mnkostnadsflödesproblem 2 2 Defnera reducerad kostnad som c = c + y y = c y y. Jämför vanlga LP c = c v T N. Duala vllkoren y y + α β = c ger α β = c +y y och kan därför skrvas c = α β. Dual tllåtenhet och komplementartet ger gvet att är optmalt: Om te = l < u ger komplementvllkor β = och det duala lkhets- vllkoret blr c = α. Eftersom α för dual tllåtenhet ger det att c för optmum. Lknande resonemang för = u och l < < u se kap 8.7.1. Sammanfattnng: c c u c c u u c c u

Nätverkssmple ämförelse Steg Allmänt Smple Utgå från en tllåten lösnng 1 estäm tllåten och förbättrande sökrktnng Tllåten baslösnng Inkommande varabel 2 estäm steglängd Utgående varabel 3 Uppdatera och upprepa Uppdatera smpletablå upprepa Smple nätverk Tllåtet basflöde basträd Inkommande basbåge Utgående basbåge Uppdatera flöden upprepa 17

Smple för nätverk algortmbeskrvnng Antag tllåtet flöde & basträd Ev. fas 1; se boken kap 8.7.4 Identfera basbågar l < < u båge basbåge Ev. komplettera tll ett basträd 1 eräkna reducerad kostnad öra med att beräkna nodprser Utnytta att c = c + y y = för basbågarna y = c + y. Sätt t e y 1 =. eräkna c = c + y y för cke-basbågar. Håll ordnng på bågrktnngarna! 2 Kontrollera avbrottskrterum Optmum om alla bågar: = l c = u c l < < u c = 3 estäm nkommande basbåge cpq = ma I c Där I är mängden av cke-basbågar som e uppfyller optmumvllkor. Om cpq < vll man öka flödet den bågen om cpq > vll man mnska flödet. 4 estäm utgående basbåge θ = mn θ + θ där θ + = mn u är framåtbåge cykeln θ = mn l är bakåtbåge cykeln Den båge som först begränsar blr utgående r s. 5 Ersätt basbåge r s med p q. 6 Uppdatera nätverksflödet ; gå tll 1. 18

Eempel: Nätverkssmple Sök mnkostnadsflöde nedanstående nätverk Starta med nedanstående tllåtna flöde -5 1 4 1 3 1 3 1 6 4 1 3 1 1 M 5 5 3 2 c u b +5 2 3 4 3 4 5 3 3 19

1-5 1 1 6 4 2 Eempel: Nätverkssmple asträd Nodprser från nod 1 Reducerad kostnad cke-basbågar 4 4 1 3 1 Optmal båge. 3-1 3 1 2 1 M 3 4 3 +2 2 4 3 4 3 5 3 2 Flödet bör ökas! 4 5 3 3 Flödet bör mnskas! c u b Optmaltets-check! Cykel med rktnng och gränser. Nytt basträd Uppdatera flöde! +1 3 3 5 5 +5 Inkommande basbåge.. 2 Utgående basbåge.. Ny Iteraton! 2

Känslghetsanalys Hur mycket får en ny båge kosta för att vara ntressant? Antag att ny båge är från böran cke-bas = l =. Tas n basen om c = c + y y < dvs om c < y y. Hur mycket tänar v på att kapacteten en båge ökas? Ges av bågens reducerade kostnad Hur mycket kostar det om flödet mellan en källa och en sänka stger med 1 Ges av dfferensen nodprs Hur mycket kostar det om flödeskravet på en båge stger med 1 Ges av bågens reducerade kostnad Hur kan bågkostnad förändras utan att uppsättnngen använda basbågar ändras? Ges av bbehållna optmala reducerade kostnader Glöm e kontrollera att förändrng är nom ntervallet! 21

Varanter av mnkostnadsflödesproblem Specalfall av mnkostnadsflöde Transportproblemet kap 8.6.2 Genomskeppnngsproblemet kap 3.3.2 Tllordnngsproblemet kap 8.6.2 Tdsdynamsk nätverksmodell kap 8.6.1 llgaste väg-problemet kap 8.4 Specalfallen har specalalgortmer Försök att utnytta strukturen vare problemtyp Utvdgnng mnkostnadsflöde Flera varutyper Mult-commodty se ovan Vnster/Förluster kap 8.6.4 22

Inför Mnproekt 2 Samma karaktär som mnproekt 1 Modellerng av mnkostnadsflödesnätverk. Vare grupp arbetar med ett eget scenaro se kurshemsdan. Innan det schemalagda tllfället Läs genom problembeskrvnng. Klara ut ev otydlgheter formulerngen fråga Sara eller Zhuangwe. Rta nätverk på papper! På det schemalagda tllfället Försök att förstå programvaran. Hembygge men enklare än AMPL. 23 Efter det schemalagda tllfället: Handlednng vd behov.

Uppgft 8.2: Inför Lekton 7 Uppgften är nte med lektonsplanen men är en bra förberedelse nför mnproekt 2. Uppgft 8.3: Nätverkssmple. Gamla uppgfter: Problemformulerngar? LP-problem? Smplemetoden? Dualtet? 24

www.lu.se