Teresia Månsson, VFU, Matematik 5, 2014-12-10



Relevanta dokument
UPPGIFTER KAPITEL 2 ÄNDRINGSKVOT OCH DERIVATA KAPITEL 3 DERIVERINGSREGLER

Föreläsning 6. SF1625 Envariabelanalys. Hans Thunberg, 9 november 2018

Föreläsning 7. SF1625 Envariabelanalys. Hans Thunberg, 13 november 2018

6 Derivata och grafer

Matematik D (MA1204)

Meningslöst nonsens. December 14, 2014

DERIVATA. = lim. x n 2 h h n. 2

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

5B1134 Matematik och modeller Uppgifter från kontrollskrivningar och tentamina under läsåren och

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen

ENDIMENSIONELL ANALYS B1 FÖRELÄSNING XV. Föreläsning XV. Mikael P. Sundqvist

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1626 Flervariabelanalys

5B1134 Matematik och modeller Uppgifter från kontrollskrivningar och tentamina under läsåren , och

Matematik 5 Kap 3 Derivator och Integraler

SF1625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den 11 januari 2016

5B1134 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 11 oktober 2004

Matematik 3c Kap 2 Förändringshastighet och derivator

SF1620 (5B1134) Matematik och modeller Uppgifter från kontrollskrivningar och tentamina under tiden

Matematik 4 Kap 3 Derivator och integraler

SF1625 Envariabelanalys

SF1625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den 12 januari 2015

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

5B1134 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 29 augusti 2005

Kan du det här? o o. o o o o. Derivera potensfunktioner, exponentialfunktioner och summor av funktioner. Använda dig av derivatan i problemlösning.

SF1625 Envariabelanalys

MA2001 Envariabelanalys

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1625 Envariabelanalys

SF1625 Envariabelanalys

Vi ska titta närmare på några potensfunktioner och skaffa oss en idé om hur deras kurvor ser ut. Vi har tidigare sett grafen till f(x) = 1 x.

Dagens tema är exponentialfunktioner. Egentligen inga nyheter, snarare repetition. Vi vet att alla exponentialfunktioner.

5 Om f (r) = 0 kan andraderivatan inte avgöra vilken typ av extrempunkt det handlar om. Återstår att avgöra punktens typ med teckenstudium.

13 Potensfunktioner. Vi ska titta närmare på några potensfunktioner och skaffa oss en idé om hur deras kurvor ser ut. Vi har tidigare sett grafen till

Förberedelser inför lektion 1 (första övningen läsvecka 1) Lektion 1 (första övningen läsvecka 1)

SF1625 Envariabelanalys

LMA515 Matematik, del B Sammanställning av lärmål

MAA7 Derivatan. 2. Funktionens egenskaper. 2.1 Repetition av grundbegerepp

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

Maclaurins och Taylors formler. Standardutvecklingar (fortsättning), entydighet, numerisk beräkning av vissa uttryck, beräkning

7x 2 5x + 6 c.) lim x 15 8x + 3x Bestäm eventuella extrempunkter, inflexionspunkter samt horizontella och vertikala asymptoter

Envariabel SF1625: Föreläsning 11 1 / 13

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Genomgånget på föreläsningarna

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A. e 50k = k = ln 1 2. k = ln = ln 2

4. Bestäm eventuella extrempunkter, inflexionspunkter samt horisontella och vertikala asymptoter till y = 1 x 1 + x, och rita funktionens graf.

Tänk nu att c är en flaggstång som man lutar och som dessutom råkar befinna sig i ett koordinatsystem.

Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation

f(x) = x 2 g(x) = x3 100

3 Deriveringsregler. Vi ska nu bestämma derivatan för dessa fyra funktioner med hjälp av derivatans definition

Tentamen i matematik. f(x) = ln(ln(x)),

5B1134 Matematik och modeller

Chalmers tekniska högskola Datum: kl Telefonvakt: Christoffer Standar LMA033a Matematik BI

Block 4 - Funktioner. Funktionsbegreppet Definitionsmängd

SF1625 Envariabelanalys

ATT KUNNA TILL. MA1203 Matte C Vuxenutbildningen Dennis Jonsson

Frågorna 1 till 6 ska svaras med sant eller falskt och ger vardera 1

Envariabelanalys 5B1147 MATLAB-laboration Derivator

Envariabelanalys: Vera Koponen. Envariabelanalys, vt Uppsala Universitet. Vera Koponen Föreläsning 5-6

Lennart Carleson. KTH och Uppsala universitet

5B1134 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 13 januari T = 1 ab sin γ. b sin β = , 956 0, 695 0, 891

Modul 4 Tillämpningar av derivata

f(x) = x 2 g(x) = x3 100 h(x) = x 4 x x 2 x 3 100

Lektion 1. Kurvor i planet och i rummet

Namn Klass Personnummer (ej fyra sista)

polynomfunktioner potensfunktioner exponentialfunktioner

En uppgift eller text markerad med * betyder att uppgiften kan uppfattas som lite svårare. ** ännu svårare.

4 Fler deriveringsregler

Betygskriterier Matematik E MA p. Respektive programmål gäller över kurskriterierna

LMA222a. Fredrik Lindgren. 17 februari 2014

där x < ξ < 0. Eftersom ξ < 0 är högerledet alltid mindre än Lektion 4, Envariabelanalys den 30 september 1999 r(1 + 0) r 1 = r.

Logaritmer. Joakim Östlund Patrik Lindegrén Andreas Lillqvist Carlos

10x 3 4x 2 + x. 4. Bestäm eventuella extrempunkter, inflexionspunkter samt horizontella och vertikala asymptoter. y = x 1 x + 1

DIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP

Lösningsförslag v1.1. Högskolan i Skövde (SK) Svensk version Tentamen i matematik

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 2011

Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1

Planering Matematik II Period 3 VT Räkna själv! Gör detta före räkneövningen P1. 7, 17, 21, 37 P3. 29, 35, 39 P4. 1, 3, 7 P5.

cos( x ) I 1 = x 2 ln xdx I 2 = x + 1 (x 1)(x 2 2x + 2) dx

Föreläsningen ger en introduktion till differentialekvationer och behandlar stoff från delkapitel 18.1, 18.3 och 7.9 i Adams. 18.

KOKBOKEN. Håkan Strömberg KTH STH

4x 2 dx = [polynomdivision] 2x x + 1 dx. (sin 2 (x) ) 2. = cos 2 (x) ) 2. t = cos(x),

Upphämtningskurs i matematik

Läsanvisningar till kapitel 4 i Naturlig matematik

Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation

Lektion 3. Partiella derivator, differentierbarhet och tangentplan till en yta, normalen i en punkt till en yta, kedjeregeln

Gamla tentemensuppgifter

, x > 0. = sinx. Integrera map x : x 3 y = cosx + C. 1 cosx x 3. = kn där k är. k = 1 22 ln 1 2 = 1 22 ln2, N(t) = N 0 e t. 2 t 32 N 1.

5B1134 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 12 januari 2005

Läsanvisningar till kapitel 6 i Naturlig matematik. Avsnitt 6.6 ingår inte.

Betygskriterier Matematik D MA p. Respektive programmål gäller över kurskriterierna

R AKNE OVNING VECKA 1 David Heintz, 31 oktober 2002

SF1625 Envariabelanalys

FÖRELÄSNING 2 ANALYS MN1 DISTANS HT06

Modul 2 Mål och Sammanfattning

M0038M Differentialkalkyl, Lekt 17, H15

vux GeoGebraexempel 3b/3c Attila Szabo Niclas Larson Gunilla Viklund Mikael Marklund Daniel Dufåker

LÖSNINGSFÖRSLAG TILL TENTAMEN 2 SF1664

Precis som var fallet med förra artikeln, Geogebra för de yngre i Nämnaren

SF1664 Tillämpad envariabelanalys med numeriska metoder Lösningsförslag till tentamen DEL A

Transkript:

Temauppgifter Syfte Det är tänkt att det ska finnas möjlighet med uppgiften att öva på följande förmågor: begrepps-, procedur-, problemlösning, kommunikations-, resonemang, modelleringsförmåga och relevansförmåga Mål: Att ge dig de kunskaper du behöver för att förstå differentialekvationer. Temauppgift Till denna temauppgift är det tänkt att vi ska kontinuerligt kommunicera med varandra på följande blogg: solaris.skolbloggen.se. Mer information om detta följer nedan. Plan för nästkommande fyra lektioner Lektion 1 Ni har i förväg blivit indelade i 9 grupper. Beroende på vilken grupp ni är i så ska ni arbeta med olika teman. Grupp 1, och 3 arbetar med Tema 1 (sinus och cosinus). Grupp 3, 4 och 6 arbetar med Tema (exponential och Logaritm). Grupp 7, 8 och 9 arbetar med Tema 3 (Polynom och lite annat). Ni börjar först att försöka lösa uppgifterna enskilt i 0 minuter. Sedan får ni sätta er i era grupper och diskutera uppgifterna. Här ska ni öva på att resonera kring varandras lösningar och jämföra olika angreppsätt som ni valt (öva Resonemang och kommunikationsförmågorna). Välj ut minst en av uppgifterna att redovisa i t ex en word fil eller dylikt. Denna redovisning ska ni skicka till min e-post adress: teresia.mansson@gmail.com. Därefter lägger jag ut den på en blogg där alla kan gå in och se varandras redovisningar. Jag kommer lägga in grupp 1 s uppgift under den flik där det står Grupp1, osv. Sedan har ni i uppgift till nästa lektion att ge individuell feedback på varandras redovisningar i kommentarsfältet i bloggen. Skriv vad ni tycker gjorts bra och varit tydligt i redovisningen, förslag på förbättringar eller möjliga alternativa angreppssätt. Medlemmarna i Grupp k, ska ge feedback på Grupp (k+3) och Grupp (k+4). Jag kommer även på bloggen ställa några frågor om lektionen, så det blir möjligt för er att påverka nästa lektionsupplägg. Finns det frågeställningar som dykt upp, som ni skulle vilja spinna vidare på? 1

Lektion Jag börjar med att ge återkoppling på vad ni har gjort. Sen byter grupperna tema med varandra. Eventuellt finns det fler saker att välja på beroende på den feedback ni har gett mig. Annars sker samma som i förgående lektion och grupperna väljer igen en uppgift att redovisa. Lektion 3 Samma som lektion. Lektion 4 Jag börjar med en sammanfattning och diskussion om det ni gjort. Ni få sen välja att arbeta klart med de tema uppgifter ni inte hunnit med att göra, jobba vidare med frågeställnigar som dykt upp eller göra nya blandade uppgifter. Tema 1: sinus och cosinus 1. Använd derivatans definition för att bevisa att derivatan av f(x) = sin x är f (x) = cos x och att derivatan av g(x) = cos x är g (x) = sin x. (begrepp, procedur). Rita graferna för sin x och cos x. Utifrån graferna förklara varför derivatan av cosinus får ett negativt tecken framför sinus funktionen, medan derivatan av sinus inte har negativt tecken. (resonemang) 3. a) Vilken lutning har tangenten till funktionen sin x i punkten x = 0? Ta fram lutningen på minst två olika sätt. (begrepp, procedur) b) Gör sedan en uppskattning av hur stort intervall i x-led som tangenten utgör en god approximation till funktionen sin x. (resonemang) c) Om f(x) = sin x, beräkna h(x) = f(0) + f (0)x + f (0) x + f (0) 6 x 3, plotta sedan både f(x), h(x) och tangenten till f(x) i punkten x = 0 i samma graf. Vad observerar du? (procedur, resonemang) 4. Derivera sin x cos x. (procedur) 5. Använd kedjeregeln (om h(x) = f(g(x)) så är h (x) = dg df dx dg ), för att visa att derivatan av

cos ωt är ω sin ωt. (begrepp, procedur) 6. Om y(t) = sin ωt visa att d y(t) dt = ω y(t) (procedur) 7. Centralrörelse har man då något färdas i en cirkelrörelse. Vi kan bestämma koordinatsystem så att x-koordinaten ges av x = R cos ωt och y-koordinaten ges av y = R sin ωt. Visa med hjälp av derivata att hastigheten är riktad i banan, och beloppet ges av v = Rω. Visa vidare med derivata att accelerationen är riktad in mot centrum och beloppet är a = Rω. (procedur, problemlösning, relevans) Tema : exponential- och logaritmfunktion 1. Använd derivatans definition för att bevisa att derivatan av f(x) = e x är f (x) = e x. (begrepp, procedur). Använd att derivatan av e x är e x tillsammans med kedjeregeln för att bevisa att derivatan av g(x) = ln x är g (x) = 1. (begrepp, procedur, problemlösning, resonemang) x 3. a) Vilken lutning har tangenten till funktionen e x i punkten x = 0 och x = 4? (begrepp, procedur) b) Gör sedan en uppskattning av hur stort intervall i x-led som respektive tangent utgör en god approximation till funktionen e x. (resonemang) c) Om f(x) = e x, beräkna h(x) = f(0) + f (0)x + f (0) x, plotta sedan både f(x), h(x) och tangenten till f(x) i punkten x = 0 i samma graf. Vad observerar du? (resonemang) 4. Derivera ln (x e x ) och 3 x. (procedur) 5. Om y(t) = e λt visa att dy(t) dt = λy(t) (procedur) 6. Sönderfallsprocessen till instabila partiklar är stokastiskt, men har man ett stort antal partiklar så kan man beskriva antalet partiklar som ännu inte sönderfallit med formeln: N(t) = N(0)e λt a) Hur kan man tolka λ fysikaliskt? (resonemang, relevans) b) Visa att sönderfallshastigheten kan skrivas som ln T 1/ N(t), där T 1/ är halveringstid. (begrepp, 3

problemlösning, resonemang, relevans) Tema 3: polynom och lite annat 1. Använd derivatans definition för att bevisa att derivatan av f(x) = x n är f (x) = nx n 1, där n Z. Pröva att använda induktionsbevis. (begrepp, procedur, problemlösning). Bevisa att derivatan av x a är ax a 1, om a R. Bevisa det hur ni vill. Ett sätt ni kan pröva är att använda kedjeregeln (om h(x) = f(g(x)) så är h (x) = dg 1 x df dx dg ) och att derivatan av ln x är. Detta är lite klurigt, så en ytterligare ledtråd finner ni på sista sidan. (begrepp, procedur, problemlösning, resonemang) 3. Hitta på en funktion, som du vill att gruppen tillsammans ska ta reda på vad derivatan till den är. 4. a) Vilken lutning har tangenten till funktionen 1 1 x minst två olika sätt. (begrepp, procedur) i punkten x = 0? Ta fram lutningen på b) Gör sedan en uppskattning av hur stort intervall i x-led som tangenten utgör en god approximation till funktionen sin x. (resonemang) c) Om f(x) = 1 1 x, beräkna h(x) = f(0) + f (0)x + f (0) x, plotta sedan både f(x), h(x) och tangenten till f(x) i punkten x = 0 i samma graf. Vad observerar du? (resonemang) 5. Du fyller en sfärisk kolv med vatten. Om du fyller den med hastigheten 1 dl/s, med vilken hastighet stiger vattennivån då höjden h = 0.05m om radien är R = 0.15m? (problemlösning, relevans) 6. Om du har en begränsad mängd rån (den räcker bara till 100 cm ) och vill tillverka en så stor glasstrut som möjligt, hur stor radie ska du välja upptill? (problemlösning, relevans) 4

Frivillig modelleringsuppgift Använd en app som registrerar GPS position och tid, ge er ut på promenad, spring eller cykla. Plotta en graf över sträcka och tid. Uppskatta momentanhastigheten i olika punkter på grafen. Pröva att anpassa olika funktioner till delar av kurvan t ex polynomfunktioner. Jämför din uppskattning av momentanhastigheten med derivatorna av kurvorna i motsvarande punkter. Jämför även med den momentanhastighet appen uppskattat. 5

Ledtrådar Uppgift Tema 3. Använd att ln x a = a ln x och derivera bägge sidor. 6