Temauppgifter Syfte Det är tänkt att det ska finnas möjlighet med uppgiften att öva på följande förmågor: begrepps-, procedur-, problemlösning, kommunikations-, resonemang, modelleringsförmåga och relevansförmåga Mål: Att ge dig de kunskaper du behöver för att förstå differentialekvationer. Temauppgift Till denna temauppgift är det tänkt att vi ska kontinuerligt kommunicera med varandra på följande blogg: solaris.skolbloggen.se. Mer information om detta följer nedan. Plan för nästkommande fyra lektioner Lektion 1 Ni har i förväg blivit indelade i 9 grupper. Beroende på vilken grupp ni är i så ska ni arbeta med olika teman. Grupp 1, och 3 arbetar med Tema 1 (sinus och cosinus). Grupp 3, 4 och 6 arbetar med Tema (exponential och Logaritm). Grupp 7, 8 och 9 arbetar med Tema 3 (Polynom och lite annat). Ni börjar först att försöka lösa uppgifterna enskilt i 0 minuter. Sedan får ni sätta er i era grupper och diskutera uppgifterna. Här ska ni öva på att resonera kring varandras lösningar och jämföra olika angreppsätt som ni valt (öva Resonemang och kommunikationsförmågorna). Välj ut minst en av uppgifterna att redovisa i t ex en word fil eller dylikt. Denna redovisning ska ni skicka till min e-post adress: teresia.mansson@gmail.com. Därefter lägger jag ut den på en blogg där alla kan gå in och se varandras redovisningar. Jag kommer lägga in grupp 1 s uppgift under den flik där det står Grupp1, osv. Sedan har ni i uppgift till nästa lektion att ge individuell feedback på varandras redovisningar i kommentarsfältet i bloggen. Skriv vad ni tycker gjorts bra och varit tydligt i redovisningen, förslag på förbättringar eller möjliga alternativa angreppssätt. Medlemmarna i Grupp k, ska ge feedback på Grupp (k+3) och Grupp (k+4). Jag kommer även på bloggen ställa några frågor om lektionen, så det blir möjligt för er att påverka nästa lektionsupplägg. Finns det frågeställningar som dykt upp, som ni skulle vilja spinna vidare på? 1
Lektion Jag börjar med att ge återkoppling på vad ni har gjort. Sen byter grupperna tema med varandra. Eventuellt finns det fler saker att välja på beroende på den feedback ni har gett mig. Annars sker samma som i förgående lektion och grupperna väljer igen en uppgift att redovisa. Lektion 3 Samma som lektion. Lektion 4 Jag börjar med en sammanfattning och diskussion om det ni gjort. Ni få sen välja att arbeta klart med de tema uppgifter ni inte hunnit med att göra, jobba vidare med frågeställnigar som dykt upp eller göra nya blandade uppgifter. Tema 1: sinus och cosinus 1. Använd derivatans definition för att bevisa att derivatan av f(x) = sin x är f (x) = cos x och att derivatan av g(x) = cos x är g (x) = sin x. (begrepp, procedur). Rita graferna för sin x och cos x. Utifrån graferna förklara varför derivatan av cosinus får ett negativt tecken framför sinus funktionen, medan derivatan av sinus inte har negativt tecken. (resonemang) 3. a) Vilken lutning har tangenten till funktionen sin x i punkten x = 0? Ta fram lutningen på minst två olika sätt. (begrepp, procedur) b) Gör sedan en uppskattning av hur stort intervall i x-led som tangenten utgör en god approximation till funktionen sin x. (resonemang) c) Om f(x) = sin x, beräkna h(x) = f(0) + f (0)x + f (0) x + f (0) 6 x 3, plotta sedan både f(x), h(x) och tangenten till f(x) i punkten x = 0 i samma graf. Vad observerar du? (procedur, resonemang) 4. Derivera sin x cos x. (procedur) 5. Använd kedjeregeln (om h(x) = f(g(x)) så är h (x) = dg df dx dg ), för att visa att derivatan av
cos ωt är ω sin ωt. (begrepp, procedur) 6. Om y(t) = sin ωt visa att d y(t) dt = ω y(t) (procedur) 7. Centralrörelse har man då något färdas i en cirkelrörelse. Vi kan bestämma koordinatsystem så att x-koordinaten ges av x = R cos ωt och y-koordinaten ges av y = R sin ωt. Visa med hjälp av derivata att hastigheten är riktad i banan, och beloppet ges av v = Rω. Visa vidare med derivata att accelerationen är riktad in mot centrum och beloppet är a = Rω. (procedur, problemlösning, relevans) Tema : exponential- och logaritmfunktion 1. Använd derivatans definition för att bevisa att derivatan av f(x) = e x är f (x) = e x. (begrepp, procedur). Använd att derivatan av e x är e x tillsammans med kedjeregeln för att bevisa att derivatan av g(x) = ln x är g (x) = 1. (begrepp, procedur, problemlösning, resonemang) x 3. a) Vilken lutning har tangenten till funktionen e x i punkten x = 0 och x = 4? (begrepp, procedur) b) Gör sedan en uppskattning av hur stort intervall i x-led som respektive tangent utgör en god approximation till funktionen e x. (resonemang) c) Om f(x) = e x, beräkna h(x) = f(0) + f (0)x + f (0) x, plotta sedan både f(x), h(x) och tangenten till f(x) i punkten x = 0 i samma graf. Vad observerar du? (resonemang) 4. Derivera ln (x e x ) och 3 x. (procedur) 5. Om y(t) = e λt visa att dy(t) dt = λy(t) (procedur) 6. Sönderfallsprocessen till instabila partiklar är stokastiskt, men har man ett stort antal partiklar så kan man beskriva antalet partiklar som ännu inte sönderfallit med formeln: N(t) = N(0)e λt a) Hur kan man tolka λ fysikaliskt? (resonemang, relevans) b) Visa att sönderfallshastigheten kan skrivas som ln T 1/ N(t), där T 1/ är halveringstid. (begrepp, 3
problemlösning, resonemang, relevans) Tema 3: polynom och lite annat 1. Använd derivatans definition för att bevisa att derivatan av f(x) = x n är f (x) = nx n 1, där n Z. Pröva att använda induktionsbevis. (begrepp, procedur, problemlösning). Bevisa att derivatan av x a är ax a 1, om a R. Bevisa det hur ni vill. Ett sätt ni kan pröva är att använda kedjeregeln (om h(x) = f(g(x)) så är h (x) = dg 1 x df dx dg ) och att derivatan av ln x är. Detta är lite klurigt, så en ytterligare ledtråd finner ni på sista sidan. (begrepp, procedur, problemlösning, resonemang) 3. Hitta på en funktion, som du vill att gruppen tillsammans ska ta reda på vad derivatan till den är. 4. a) Vilken lutning har tangenten till funktionen 1 1 x minst två olika sätt. (begrepp, procedur) i punkten x = 0? Ta fram lutningen på b) Gör sedan en uppskattning av hur stort intervall i x-led som tangenten utgör en god approximation till funktionen sin x. (resonemang) c) Om f(x) = 1 1 x, beräkna h(x) = f(0) + f (0)x + f (0) x, plotta sedan både f(x), h(x) och tangenten till f(x) i punkten x = 0 i samma graf. Vad observerar du? (resonemang) 5. Du fyller en sfärisk kolv med vatten. Om du fyller den med hastigheten 1 dl/s, med vilken hastighet stiger vattennivån då höjden h = 0.05m om radien är R = 0.15m? (problemlösning, relevans) 6. Om du har en begränsad mängd rån (den räcker bara till 100 cm ) och vill tillverka en så stor glasstrut som möjligt, hur stor radie ska du välja upptill? (problemlösning, relevans) 4
Frivillig modelleringsuppgift Använd en app som registrerar GPS position och tid, ge er ut på promenad, spring eller cykla. Plotta en graf över sträcka och tid. Uppskatta momentanhastigheten i olika punkter på grafen. Pröva att anpassa olika funktioner till delar av kurvan t ex polynomfunktioner. Jämför din uppskattning av momentanhastigheten med derivatorna av kurvorna i motsvarande punkter. Jämför även med den momentanhastighet appen uppskattat. 5
Ledtrådar Uppgift Tema 3. Använd att ln x a = a ln x och derivera bägge sidor. 6