Sannolikhetsteori ör MN1 ht 2004 2004-09 - 07 Bengt Rosén Stokastiska variabler Deinition av stokastisk variabel Den matematiska beskrivningen av ett slumörsök är ett ar (Ω, P( )), där utallsrummet Ω är en mängd som örtecknar alla tänkbara utall av örsöket, och P( ) anger sannolikheterna ör händelser ( delmängder av Ω) som kan inträa. P( ) skall satisiera de s.k. Kolmogorovska sannolikhetsaxiomen. De möjliga utallen av ett slumörsök kan vara av vilken art som helst. De behöver de inte vara tal, även om de mycket väl kan vara det. Några exemel. Exemel 1 : När tre kort dras å måå utan återläggning ur en kortlek är de möjliga utallen trilar / 3 - kombinationer av kortvärden. Ett exemel är ; (hjärter kung, sader tre, klöver em). Exemel 2 : En il kastas å en måltavla, och örutsätts träa tavlan och astna å den. De möjliga utallen kan anges med koordinaterna (x, y) ör unkten där ilen astnar (i ett lämligt valt koordinatsystem). Exemlen ovan illustrerar att utall av slumörsök inte behöver vara tal. Man vill dock ota gärna komma till en "talasekt" å ett utall, genom att räkna eller mäta. Hur man då går rån utallet till ett talvärdet bestäms av någon astlagd regel. Exemel 1, orts : Säg att enskilda kort värderas å öljande sätt ; Ess är värt 1, tvåa är värd 2,., dam är värd 12 och kung är värd 13. En möjlig regel ör att talvärdera utall : Trieln av kort tillordnas värdet "summan av de tre kortvärdena". Utallet (Hj kung, S tre, Kl em) ger då värdet 13 + 3 + 5 21. En annan möjlig värderingsregel : Korttrieln tillordnas värdet "högsta kortvärdet bland de tre korten". Utallet (Hj kung, S tre, Kl em) tillordnas då värdet 13. Exemel 2, orts : Låt talvärdesregeln vara "ilens avstånd rån måltavlans mittunkt". Om koordinatsystemet valts med origo i tavlans mitt, så gäller ; Talvärdet vid utallet (x, y) blir 2 2 x + y. Med ovanstående bakgrund inörs öljande allmänna begre. DEFINITION (Blom sida 53) : Med en stokastisk variabel avses att man till varje utall av ett slumörsök (Ω, P) associerar ett tal, enligt en bestämd regel. Stokastiska variabler betecknas med stora bokstäver, och tyiskt används bokstäver i slutändan av alabetet,,, Z, o.dyl. En örekommande synonym till stokastisk variabel är slumvariabel. Förkortning : Vi öljer Blom, och använder s.v. ör stokastisk variabel. 1
Med mer matematiskt sråk kan en stokastisk variabel beskrivas å bl.a. nedanstående sätt ; är en avbildning rån utallsrummet Ω till de reella talen R. är en reellvärd unktion ( ) som är deinierad å utallsrummet Ω. Till utallet u i Ω tillordnar talet (u). Nedan ges graisk illustration av en stokastisk variabel. En stokastisk variabels ördelning Vi örutsätter att en stokastisk variabel är deiniersd å slumörsöket (Ω, P( )). Om örsöket utörs många gånger ås en serie av utall u 1, u 2, u 3,. För varje utall kan man, enligt den regel som deinierar, beräkna de (tal)värden (u 1 ), (u 2 ), (u 3 ), som den s.v. antar ör de successiva utallen. Etersom det är slumen som styr vad utallen u 1, u 2, u 3, blir, så styr slumen också vad värdena (u 1 ), (u 2 ), (u 3 ), blir. Med andra ord, slumen styr hur den stokastiska variabelns värden ördelar sig över de reella talen. En sådan ördelning kan beskrivas å litet olika sätt. Ett sätt som alltid står till buds är med hjäl av den s.k. ördelningsunktionen. DEFINITION (Blom sid 54) : Den till den stokastiska variabeln svarande ördelningsunktionen F (x) är ; F (x) P({ u : (u) x}), - < x <. När utallsrummet är diskret kan en s.v. anta högst numrerbart många olika värden, och dess ördelningsunktionen F (x) har nedanstående ty av utseende, som brukar kallas att F (x) är en trastegsunktion. Som vi snart skall tala mer om kan en stokastisk variabels värden också srida sig över ett helt kontinuum. Då kommer ördelningsunktionen F (x) att vara av nedanstående ty. 2
Följande resultat anger hur en ördelningsunktion ser ut i stora drag. SATS (Blom sida 56) : En ördelningsunktion F (x), - < x <, har öljande egenskaer. F (x) är är icke - avtagande när x växer, (1) F (x) är kontinuerlig åt höger, (2) F (x) växer rån 0 till 1 när x går rån - till +. (3) Den steken kan man också vända å. SATS (Blom sida 56) : En unktion F(x) med egenskaerna (1) - (3) är ördelningsunktion ör någon stokastisk variabel. Formeln (4) nedan är en "grundormel" ör hur sannolikheter ör händelser som beror av den stokastiska variabeln relaterar till ördelningsunktionen F (x). SATS (Blom sida 56) : För en s.v. med ördelningsunktion F (x) gäller ; P(a < b) F (b) - F (a), ör reella tal a och b, a < b. (4) I stort sett allt av betydelse angående en stokastisk variabel berättas av dess ördelning. Som vi kommer att se gäller öljande. När intresset gäller en (eller lera) stokastiska variabler kommer sannolikhetsrummet (Ω, P) att "örsvinna i bakgrunden". I intresseokus kommer istället den stokastiska variabelns (variablernas) ördelning. Det inns, som redan nämnts, olika sätt att seciicera stokastiska variablers ördelningar å. Ett sätt som ungerar ör alla sorters stokastiska variabler är det vi just tittat å, ördelningsunktionen F (x). Härnäst diskuteras några andra sätt. Stokastiska variabler klassiiceras eter hur många olika värden de kan anta, och hur dessa ligger utsridda å R. Det inns två huvudtyer av ördelningar, diskreta och kontinuerliga. Vi börjar med de örra. Diskreta stokastiska variabler och diskreta ördelningar En s.v. sägs vara diskret, eller synonymt ha diskret ördelning, om den antar bara ändligt eller uräkneligt oändligt många olika värden (Blom sida 56). Vi öljer Blom och antar, ör enkelhets skull, att den stokastiska variabelns möjliga värdena inns bland heltalen 0, 1, 2,.. (Antagandet om heltalsvärden är en örenkling, men mer allmänna all kan behandlas "helt analogt".) DEFINITION (Blom sida 57) :. Funktionen (k) P( k), k 0, 1, 2, 3, (5) kallas sannolikhetsunktionen ör den diskreta s.v.. Graiskt beskrivs en sannolikhetsunktion med ett stoldiagram enligt nedan. 3
SATS : Sannolikhetsunktionen ör en s.v. satisierar ; 0 (k) 1, k 0,1, 2, 3,. (6) k 0 (k) 1. (7) Fördelningsunktionen F (x) och sannolikhetsunktionen (k) ör en diskret s.v bestämmer varandra enligt nedanstående relationer. F, (8) (x) (k) k x (k) "höjden å det trasteg" F (x) har i x k [ F (k) - F (k-)]. (9) Fördelningsunktionen F och sannolikhetsunktionen är alltså två alternativa sätt att beskriva ördelningen ör en diskret stokastisk variabel å. Vanligtvis ger den mest lättattliga beskrivningen. Som omvändning till satsen ovan gäller öljande. Om 0, 1, 2, är icke - nega- k 0 k tiva tal sådana att 1, så inns en s.v. vars sannolikhetsunktion är ; (k) k, k 0, 1, 2, 3,. (10) Vissa tyer av diskreta ördelningar dyker u så ota att det är raktiskt att ha särskilda namn å dem. De viktigaste listas å sidorna 59-61 i Blom. En uräkning ges nedan. Vi kommer att säga mer om dessa ördelningar längre ram. Enunktsördelning, Tvåunktsördelning, Likormig ördelning, Geometrisk ördelning, För - örsta - gången - ördelning (g - ördelning), Binomialördelning, Hyergeometrisk ördelning, Poissonördelning. Kontinuerliga stokastiska variabler och ördelningar Nu handlar det om stokastiska variabler av öljande ty. kan anta alla värden å ett (eller lera) intervall å reella axeln, men antar inte något värde med ositiv sannolikhet. sägs då vara en kontinuerlig stokastisk variabel. Ett exemel å en sådan s.v. är i Exemel 2, ilens avstånd till måltavlans mitt. Här kan anta ett helt kontinuum av värden. Fördelningen ör en kontinuerlig stokastisk variabel seciiceras med hjäl av en unktion (x), - < x <, som kallas variabelns / ördelningens täthetsunktion. Den unktionen anger sannolikheten ör att antar sitt värde i ett intervall (a,b) via nedanstående ormel (Blom sidor 62, 63) ; b P (a < b) (x) dx. (11) a 4
För en kontinuerlig stokastisk variabel är ördelningsunktionen F (x) och täthetsunktionen (x) relaterade till varandra å öljande sätt ; x F (x) (t) dt, (12) (x) F' (x) (där ' står ör derivata). (13) Kommentar : Relationen (13) är en sanning med litet modiikation. Fördelningsunktionen F (x) behöver aktiskt inte kunna deriveras ör recis alla värden å x, men ör "nästan alla" (vilket vi inte örsöker recisera bättre). Notera att (12) och (13) innebär att den ena av F (x) och (x) bestämmer den andra. F (x) och (x) ger alltså alternativa möjligheter att seciicera ördelningen ör en kontinuerlig stokastisk variabel. Vanligen öredrar man seciikation via täthetsunktionen såsom varande den mest lättattliga. Vid etertanke inses att en täthetsunktion (x) måste satisiera öljande ; 0 (x), - < x <, (14) (x)dx 1. (15) Den steken kan också vändas å. Om man har en unktion (x) som är icke - negativ och har integral (x) dx 1, så inns en s.v. så att (x) (x). En ytterligare stek som kan vändas å hör iho med ormeln (13). Om F(x), - < x <, är en kontinuerlig unktion som växer rån 0 till 1, och som kan deriveras ör alla x utom möjligen ör ändligt många, så är F(x) ördelningsunktion till en ördelning med täthetsunktion (x), vilken ges av relationen (x) F '(x). Även ör kontinuerliga ördelningar har man gett särskilda namn åt vissa tyer av ördelningar, som är särskilt intressanta (Blom sidorna 65-71). En uräkning ges nedan. Vi kommer att säga mer om dessa ördelningar längre ram. Likormig ördelning. Att har denna ördelning skrivs kort Re(a, b). Exonentialördelning. Skrivs kort Ex(m). Normalördelning också kallad Gauss - ördelning. Skrivs kort N(m, σ). Gamma - ördelning. Skrivs kort Γ(, m). Weibull - ördelning. 5
En term ör ramtida bruk (Blom sidan 64) är, som vanligt, en s.v. med ördelningsunktion F (x). Mången gång är det av intresse att ör ett öreskrivet värde α mellan 0 och 1 ange det x - värde som med sannolikhet α överskrids av värdet å. Det x - värdet kallas α - kvantilen ör (eller ör : s ördelning), och betecknas x α. Följande relation är alltså uylld : P( x α ) α. Ett alternativt sätt att uttrycka saken å, åtminstone ör en kontinuerlig s.v., är att säga att x α är lösningen till ekvationen F (x) 1- α. Blandade ördelningar (Blom Avsnitt 3.7) Diskreta ördelningar och ördelningar med täthet kan ses som "ytterlighetsvarianter" av ördelningar, men de särklassigt mest intressanta varianterna. Man kan å ytterligare en ty av ördelning ör stokastiska variabler genom att "blanda" en diskret och och en kontinuerlig ördelning, säg i roortionerna α och β, α + β 1, vilka har ördelningsunktioner av nedanstående ty ; (1) (2) F (x) α F (x) + β F (x) α (x) + (t) dt, - < x <. k x Blandade ördelningar är dock inte särskilt vanliga i raktiken. Blom ger ett exemel å sidan 69. Där är den tid en bilist behöver vänta vid en korsning med traikljus. Har bilisten tur, är det grönt ljus när bilen anländer till korsningen, vilket antas inträa med ositiv sannolikhet, säg α. Då blir 0. Har bilisten mindre tur är det rött ljus när bilen anländer. Säg att det inträar med sannolikhet β. Under vissa örutsättningar blir då likormigt ördelad å ett intervall av längd "traikljusets rödtid". Fördelningen ör en sädan s.v. illustreras nedan. x 6
Flerdimensionella stokastiska variabler Allmänt Som tidigare betraktas ett slumörsök (Ω, P) där man räknar / mäter asekter å utallet. Skillnaden gentemot tidigare är att nu räknar / mäter man inte bara en asekt ör varje utall utan lera. För enkelhets skull håller vi oss dock till allet med enbart två asekter. Resultaten av räkningarna / mätningarna betecknas med och. Exemel 1, orts. : Vi ortsätter å det tidigare exemlet där slumörsöker är att dra tre kort å måå utan återläggning ur en kortlek. Låt kortvärdena vara som örut ; Ett ess är värt 1, en tvåa är värd 2,., en dam är värd 12, en kung är värd 13. Vidare, låt och vara nedanstående s.v., vilka vi sett å redan tidigare ; summan av värdena å de tre korten, det högsta värdet å något av de tre korten. Nu är vi dock inte intresserade av och var ör sig, utan ör deras "samtidiga" värden, varmed avses aret (,). För utallet (Hj kung, S tre, Kl em) antar (,) värdet (13 + 3 + 5, 13) (21, 13). DEFINITION (Blom sida 78) : En tvådimensionell stokastisk variabel (,) är ett ar av "vanliga" s.v., som är deinierade å samma slumörsök (Ω, P). Kommentarer : (i) Mer matematiskt uttryckt innebär en tvådimensionell stokastisk variabel (,) en avbildning av Ω in i R 2, vilket illustreras i iguren nedan. (( ),( )) (ii). En örekommande synonym till "(,) är en tvådimensionell stokastisk variabel" är att "(,) är en (tvådimensionell) stokastisk vektor ". (iii). Det mesta av det som sägs om tvådimensionella stokastiska variabler generaliserar sig å rättramt sätt till lerdimensionella stokastiska vaiabler ( 1, 2,, n ) av godtycklig dimension. Ota lämnas generalisringssteget rån dimension 2 till allmän dimension till läsarens eget genomtänkande. (iii). När man vill kontrastera mot begreet "lerdimensionell s.v." kallas en "vanlig" stokastisk variabel ör en endimensionell stokastisk variabel. För lerdimensionella stokastiska variabler gäller, liksom ör endimensionella, att beskriva deras ördelning å lämligt sätt. Det kan göras mycket analogt till hur det gjordes ör endimensionella s.v., men blir tekniskt litet mer komlicerat. Vi ortsätter att nöja oss med 2 - dimensionella s.v., och lämnar till läsaren att tänka igenom att situationer med 3 -, 4 -, osv. dimensionella s.v. kan behandlas (i stort sett) "helt analogt". 7
Det man vill beskriva med ördelningen ör två stokastiska variabler och (som är deinierade å samma slumörsök) är sannolikheter ör det "samtidiga" utallet av och. En sådan ördelning kallas ota den simultana ördelningen ör och. DEFINITION (Blom sida 78) : Fördelningsunktionen ör en tvådimensionell stokastisk variabel (,) är ; F, (x,y) P({ x } { y }), - < x, y <. (16) Som örut görs udelning i ördelningstyer eter hur många värden (,) kan anta. När (,) kan anta bara ändligt, eller uräkneligt oändligt, många olika värden sägs (,) ha (tvådimensionell) diskret ördelning. När såväl som kan anta ett kontinuum av värden (utan att anta något värde med ositiv sannolikhet) sägs (,) ha kontinuerlig ördelning. Det inns också blandvarianter, t.ex. att är en diskret (endimensionell) s.v. och en kontinuerlig (endimensionell) s.v. Sådana ördelningar går vi dock inte närmare in å. Diskreta tvådimensionella s.v. och ördelningar När såväl som kan anta bara uräkneligt många olika värden sägs (,) ha diskret ördelning. I analogi med det endimensionella allet antar vi, ör enkelhets skull, att de möjliga värdena ör såväl som är heltalen 0, 1, 2,. (Det allmänna allet när och kan anta andra värden än bara heltal behandlas "helt analogt".) Fördelningen ör den tvådimensionella s.v. (,) beskrivs då av sannolikhetsunktionen. DEFINITION (Blom sida 79) : Sannolikhetsunktionen ör den diskreta tvådimensionell stokastiska variabeln (,) är ;, ( j, k) P({ j } { k }), j, k 0, 1, 2,.. (17) Illustration av en sannolikhetsunktion ges av ett tvådimensionellt stoldiagram. Notera att öljande relationer blir uyllda ; 0, (j, k) 1, j, k 0, 1, 2,, j 0 k 0, ( j, k) 1. (18) Vid etertanke inses att ördelningsunktionen F, (x, y) och sannolikhetsunktionen, ( j, k) bestämmer varandra via relationen ; F, (x, y), (, ) j x, k y j k, - < x, y <. (19) 8
Härnäst betraktar vi öljande roblem. Låt (,) vara en diskret tvådimensionell s.v. med känd sannolikhetsunktion, (j, k). Innebär det att man kan beräkna ördelningarna ör och var ör sig, dvs. de endimensionella ördelningarna ör och? Ja, det gör det. Vid etertanke inses att såväl som måste ha diskret ördelning, och att öljande relationer gäller ; ( ) P( j ), ( j, k) k 0 j. (20) ( ) P( k), ( j, k) j 0 k. (21) Medan sannolikhetsunktionen, beskriver det samtidiga uträdandet av och, beskriver och uträdandet av och var ör sig. Man säger att (de endimensionella) ördelningarna som seciiceras av och är marginalördelningar till den simultana ördelning som anges av,. Formlerna (20) och (21) utsäger bl.a. öljande. Om man känner den simultana ördelningen ör en diskret tvådimensionella s.v. (,), så kan man beräkna de endimensionella marginalördelningarna ör och. (Formlerna (20) och (21) kan litet suggestivt beskrivas å öljande sätt. Värdena ör sannolikhetsunktionen ås genom att "soa iho" sannolikheterna, vinkelrätt mot x - axeln. Analogt ås värdena ör genom att "soa iho" sannolikheterna, vinkelrätt mot y - axeln. Härnäst ställer vi den omvända rågan. Om man känner marginalördelningarna och ör var och en av och, kan man då beräkna deras simultana tvådimensionella ördelning,? Svaret å den rågan är nej. Marginalördelningarna ör en s.v. (,) bestämmer inte entydigt den simultana ördelningen ör och, vilket illustreras nedan. Fördelning 1 Fördelning 2 Möjliga värden ör (,) Möjliga värden ör (,) är (0,0) och (1,1) är (0, 0), (1, 0), (0,1) och (1,1), (0, 0), (1, 1) 1 / 2., (0, 0), (1, 0), (0, 1), (1, 1) 1 / 4. Fördelningarna 1 och 2, som ju är olika, har recis samma marginalördelningar ; (0) (1) 1 / 2 res. (0) (1) 1 / 2 9
Kontinuerliga tvådimensionella s.v. och ördelningar DEFINITION (Blom sidan 81) : Den tvådimensionella stokastiska variabeln (,) sägs ha kontinuerlig ördelning med täthetsunktion, (x,y) om dess ördelningsunktion F, (x,y) kan skrivas å nedanstående orm ; x y F (x, y) (x, y)dx dy. (22)., Då gäller, b d P ({a < b} {c < d} (x, y)dx dy, (23) a c, och mer allmänt ; 2 P ((,) antar sitt värde i delmängden A R ) (x, y)dx dy. (24) Vidare måste nedanstående relationer gälla ; 0, (x,y), (x, y) R 2,, (x, y)dx dy 1. (25) 2 R Ett möjligt utseende å en tvådimensionell täthetsunktion illustreras nedan. A, En ysikalisk bild som ibland är till hjäl, är att uatta en sannolikhetsördelning som en massördelning med total massa 1 som är utlagd å R 2. Om massan iråga utgörs av sand kan (x, y) uattas som konturen å en "sandhög". Det som sägs i (25) kan vändas å å öljande sätt. En unktion (x,y) är täthetsunktion till en tvådimensionell s.v. (,) om, och endast om, den satsierar öljande villkor ; 0 (x,y), (x, y) R 2, (x, y)dx dy 1. (26) 2 R För en kontinuerlig tvådimensionell s.v. (,) deinieras marginalördelningarna ör och i analogi med det tidigare. Följande relationer öreligger mellan den simultana ördelningen och marginalördelningarna. 1. F (x) lim F (x, y), - < x <. (Gäller också ör diskret 2 - dim. ördeln.). y 2. (x) x, F (x, y) dx dy. (27), 10
3. När (,) har ördelning med täthetsunktion, (x,y), har också ördelning med täthetsunktion, och den är ; (x), (x, y) dy, - < x <. (28) Fysikaliskt kan man beskriva innebörden av (28) så här. Sannolikhetsmassan i marginalördelningen ör ås genom att "soa iho" sannolikhetsmassan i den tvådimensionella ördelningen ör (,) vinkelrätt mot x - axeln. Kommentar : Från det ovanstående ramgår att den tvådimensionella ördelningen ör (,) bestämmer de endimensionella marginalördelningarna F (x) och F (x). Vi ekade tidigare å att ör diskreta (,) kan man dock inte vända å den steken. Det kan man inte heller i det kontinuerliga allet. Även då kan två olika tvådimensionella ördelningar mycket väl ha recis samma marginalördelningar. Oberoende stokastiska variabler (Blom Avsnitt 4.5) DEFINITION : Två (simultanördelade) stokastiska variabler och sägs vara oberoende om händelser som beror bara av, dvs. händelser av tyen { C} där C R, och händelser som beror bara av, dvs. händelser av tyen { D} där D R, är oberoende händelser. I ovanstående deinition kommer "oberoende händelser" in. Då är man nere i det grundläggande slumörsöket (Ω, P) och "rotar". Vi har dock sagt att i anslutning till s.v. skall (Ω, P) örsvinna i bakgrunden och istället berättar variablernas ördelningar om "allt av intresse". Det är därör naturligt att ställa öljande råga. Om man känner (den simultana) ördelningen ör den tvådimensionella stokastiska variabeln (,), kan man då avgöra om och är oberoende eller ej? Svaret är att det kan man. Precisa kriterier ges nedan. SATS : Vart och ett av nedanstående villkor 1, 2 och 3 är tillräckligt och nödvändigt ör att och skall vara oberoende stokastiska variabler. 1. F, (x,y) F (x) F (y), ör (x, y) R 2. (29) 2. och är diskreta stokastiska variabler, och öljande gäller;, ( j, k) ( j ) ( k ), j, k 0, 1, 2,. (30) 3. (, ) har ördelning med täthet, och öljande gäller;, (x,y) (x) (y), ör all (x, y) R 2. (31) Viktigt öljdresultat : Vi har tidigare tryckt å att allmänt gäller att den simultana ördelningen ör två s.v. och inte bestäms entydigt av variablernas marginalördelningar. Som konsekvens av ormlerna (29) - (30) gäller dock öljande. Under tilläggsörutsättningen att och är oberoende stokastiska variabler bestäms deras simultana ördelning av de marginella ördelningarna ör och. Man år den simultans sannolikhets unktionen res. den simultana täthetsunktionen genom att multilicera motsvarande unktioner ör de endimensionella marginalördelningarna. 11
Funktioner av stokastiska variabler (Blom Kaitel 5) En unktion av en stokastisk variabel Låt vara en stokastisk variabel som är deinierad å sannolikhetsrummet (Ω, P) och låt g( ) vara en "vanlig" unktion ( en reellvärd unktion av en reell variabel, eller om man så vill, en avbildning R R). Då blir också g() en stokastisk variabel, nämligen den s.v. som till utallet u Ω tillordnar talvärdet g((u)). Saken illustreras i iguren nedan ; Om man känner (Ω, P), och g( ) kan man (i alla all i rinci) beräkna ördelningen ör den nya stokastiska variabeln g(). Man behöver dock inte blanda in sannolikhetsrummet (Ω, P) i beräkningen. För att beräkna ördelningen ör g() räcker det att känna ördelningen ör och g( ). Saken illustreras i exemlet nedan. Exemel (Exemel 2 å sidan 100 i Blom) : Låt vara en kontinuerlig s.v. med täthetsunktion (x), och låt vara den nya s.v. som ås genom en linjär transormation av, a + b, där a och b är (givna) konstanter. Det vi är ute eter är ördelningen ör. För enkelhets skull antas att a > 0. Vi börjar med att beräkna ördelningsunktionen ör. F (y) P( y) P(a + b y) P( (y - b) / a) F ((y - b) / a). (32) Etersom örutsätts ha täthetsunktion kan F (x), och därmed högerledet i (32), deriveras. Alltså kan F (y) deriveras, vilket enligt tidigare resultat medör att har ördelning med täthetsunktion, och att den täthetsunktionen ås som derivatan till F (y). Detta ger ; d y b 1 y b (y) F ' (y) F ( ) ( ). (33) dy a a a Därmed är ördelningen ör uttryckt i termer av ördelningen ör. I allet när a < 0 måste olikheten i (32) behandlas litet annorlunda. Se Bloms bok, där också ytterligare exemel inns. En unktion av lera stokastiska variabler Här handlar det om att man skaar en ny stokastisk variabel som en unktion av lera andra stokastiska variabler, vars simultana ördelning örutsätts känd. För enkelhets skull nöjer vi oss med allet med två s.v. och, och betraktar en situation som är analog med den tidigare. Nu är (,) en tvådimensionell s.v. och g en unktion av två variabler, g(x,y). Då blir också Z g(,) en stokastisk variabel. Till varje utall u Ω av slumörsöket tillordnar Z ett talvärde, nämligen värdet g((u),(u)) till utallet u. Situationen illustreras i iguren nedan. 12
I analogi med det tidigare gäller öljande. Om man känner den tvådimensionella ördelningen ör (,) och unktionen g(x,y), så kan man beräkna ördelningen ör den s.v. g(,). Det inns dock ingen enkel generell ormel ör den beräkningen. Man år ta sig ram å lämligt sätt i varje enskilt all. Exemel ges i Bloms Avsnitt 5.2. Funktioner av oberoende stokastiska variabler Från den tidigare deinitionen av oberoende stokastiska variabler öljer nedanstående resultat i stort sett omgående. SATS : Låt och vara oberoende s.v. och bilda Z och U som nya stokastiska variabler som är unktioner av resektive, Z g() och U h(). Då är också Z och U oberoende stokastiska variabler. Det resultatet kan utvidgas till situationer där många oberoende s.v. är involverade. SATS : Låt 1, 2,, n vara s.v. som är (ullständigt) oberoende. Bilda två nya stokastiska variabler och Z, vilka båda är unktioner av - variablerna, men olika usättningar av dem, säg g( 1, 2,, k ) och Z h( k + 1, k + 2,, n). Då är också och Z oberoende stokastiska variabler. Kommentarer : (i) Man brukar uttrycka ovanstående resultat genom att säga att unktioner av (olika) oberoende stokastiska variabler blir oberoende s.v. (ii) Resultatet gäller inte bara ör två nya variabler och Z, utan ör godtyckligt många (under örutsättning att de är unktioner av olika oberoende s.v.). Summan av oberoende stokastiska variabler En roblematik som vi kommer att möta vid ett lertal tillällen ramdeles är öljande. Problem : och är oberoende stokastiska variabler med kända ördelningar. Hur beräknas ördelningen ör den stokastiska variabeln Z +? Prydliga svar å roblemet kan ges i åtminstone öljande två all. Fall 1 : Såväl som har diskret ördelning. Deras sannolikhetsunktioner betecknas som vanligt med (k) resektive (k), k 0, 1, 2,. Fall 2 : Såväl som har ördelning med täthetsunktion. Dessa betecknas som vanligt med (x) resektive (y), - < x, y <. 13
I Fall 1 är och oberoende s.v. som båda har diskret ördelning. Härav öljer att deras simultana ördelningen också är diskret och har sannolikhetsunktionen ;, ( j, k) ( j) (k), j, k 0, 1, 2,. (34) Händelsen {Z k} { + k} inträar om, och endast om, händelsena { i} och { j} inträar med i och j sådana att i + j k. Vid litet etertanke leder det till nedanstående ormel (Bloms ormel (6') å sidan 104 ; k Z ( ) ( i) ( k - i) i 0 k, k 0, 1, 2,. (35) Formeln (35) uttrycks : Z ( ) erhålls genom (diskret) altning av ( ) och ( ). I Fall 2 när och är oberoende stokastiska variabler som båda har ördelning med täthetsunktion, har också den tvådimensionella s.v. (,) ördelning med täthet, nämligen (se Bloms ormel (10) å sidan 85 ) ;, (x, y) (x) (y), - < x, y <. (36) Från (36) ås ; F (z) P(Z z) (x) (y) dxdy. (37) Z x + y z Man kan visa (och det görs å sidan 105 i Blom) att relationen (37) medör att Z har ördelning med täthetsunktion, som ges av nedanstående ormel (Blom sidan 105) ; Z (z) (x) (z x) dx (z x) (x) dx, - < z <. (38) Formel (38) uttrycks : Z (z) erhålls genom altning av (x) och (y). Betingade ördelningar (Blom Avsnitt 4.6) Låt och vara stokastiska variabler med känd simultan ördelning. Nu gäller intresset ördelningen ör när man vet vilket värde antog. I örsta omgången antas att (,) har diskret ördelning, och som vanligt antas de möjliga värdena ör och vara 0, 1, 2, 3,. Den simultana ördelning ör och seciiceras av sannolikhetsunktionen, (j, k). De storheter vi intresserar oss ör är ; P( j k) den betingade sannolikheten ör att antar värdet j givet att antar värdet k. Enligt deinitionen av betingad sannolikhet ; P( j, k) P( j k) P( k), ( j, k) ( k) i 0, ( j, k), ( i, k) betecknas (j k). (39) Vid etertanke inses att storheterna (j k) i (39) ör varje ixt värde å k uör sig så som en sannolikhetsunktion ör en diskret sannolikhetsördelning skall göra, dvs. öljande relationer är uyllda ; j 0 ( j k) 0, j 0, 1, 2, 3,, och ( j k ) 1. Den sannolikhetsördelning som ges av (j k), j 0, 1, 2, 3, kallas den betingade ördelningen ör givet att k. 14
Denna betingade ördelning kan ses å öljande sätt. Den ås genom att sannolikheterna som ligger längs (den horisontella) linjen y k i (x, y) - lanet skalas u så att deras sammanlagda sannolikhetsmassa blir 1. I nästa omgång antas (,) ha kontinuerlig ördelning med täthetsunktion, (x, y). Vi betraktar P( x y y + ) och tänker oss att är en liten ositiv storhet. Anledningen till att vi ör in detta litet konstiga är att P( ) 0 medan P(y y + ) åtminstone i "normalallet" är > 0. Vi har ; P( x, y y + ) P( x y y + ) P(y y + ) x Vid etertanke inses att (40) åtminstone i "normalallet" ger ; x P( x y y + ) Det tar vi som intäkt ör relationen x P( x y),, (t, y) dt (y) Genom att derivera med avseende å x i (42) ås ; d dx y+ y y+ y, (t,u) dt du (u)du. (40) när 0. (41) (t, y) dt. (42) (y), (x, y) P( x y) betecknas (y) (x y) (43) Vid litet etertanke inses att (x y) i (43) ör varje ixt värde å y uör sig så som täthetsunktionen ör en kontinuerlig sannolikhetsördelning skall göra, dvs. öljande relationer är uyllda ; (x y) 0 ör alla x och (x y) dx 1. Sannolikhetsördelningen som ges av täthetsunktionen (x y) kallas den betingade ördelningen ör givet att k. I analogi med örhållandena när och har diskret simultanördelning kan den nyss inörda betingade ördelningen ses å öljande sätt. Den ås genom att (x, y), ör - < x < och y ixt, skalas u så att totala integralen under den uskalade unktionen blir 1. 15