Norm och QR-faktorisering

Relevanta dokument
Egenvärden och egenvektorer. Linjär Algebra F15. Pelle

12. SINGULÄRA VÄRDEN. (u Av) u v

MVE022 Urval av bevis (på svenska)

Lösningar till MVE021 Linjär algebra för I

TMV166 Linjär Algebra för M. Tentamen

A = (3 p) (b) Bestäm alla lösningar till Ax = [ 5 3 ] T.. (3 p)

Vektorgeometri för gymnasister

1 Linjära ekvationssystem. 2 Vektorer

6.1 Skalärprodukt, norm och ortogonalitet. TMV141 Linjär algebra E VT 2011 Vecka 6. Lärmål 6.1. Skalärprodukt. Viktiga begrepp

TMV166 Linjär algebra för M, vt 2016

November 24, Egenvärde och egenvektor. (en likformig expansion med faktor 2) (en rotation 30 grader moturs)

Basbyten och linjära avbildningar

1 Grundläggande kalkyler med vektorer och matriser

Multiplicera 7med A λ 1 I från vänster: c 1 (Av 1 λ 1 v 1 )+c 2 (Av 2 λ 1 v 2 )+c 3 (Av 3 λ 1 v 3 ) = 0

MATRISTEORI. Pelle Pettersson MATRISER. En matris är ett rektangulärt schema med tal, reella eller komplexa, vilka kallas matrisens

Matriser. En m n-matris A har följande form. Vi skriver också A = (a ij ) m n. m n kallas för A:s storlek. 0 1, 0 0. Exempel 1

14 september, Föreläsning 5. Tillämpad linjär algebra

Övningar. MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Avd. Matematik. Linjär algebra 2. Senast korrigerad:

Prov i matematik Civilingenjörsprogrammen EL, IT, K, X, ES, F, Q, W, Enstaka kurs LINJÄR ALGEBRA

1 De fyra fundamentala underrummen till en matris

Instuderingsuppgifter & Läsanvisningar till Linjär Algebra II för lärare

DEL I. Matematiska Institutionen KTH. Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF1604, den 15 mars 2010 kl

Egenvärden och egenvektorer

Övningar. c) Om någon vektor i R n kan skrivas som linjär kombination av v 1,..., v m på precis ett sätt så. m = n.

Föreläsningsanteckningar Linjär Algebra II Lärarlyftet

6. Matriser Definition av matriser 62 6 MATRISER. En matris är ett rektangulärt schema av tal: a 11 a 12 a 13 a 1n a 21 a 22 a 23 a 2n A =

15 september, Föreläsning 5. Tillämpad linjär algebra

Linjär Algebra M/TD Läsvecka 2

DIAGONALISERING AV EN MATRIS

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Sammanfattning av föreläsningarna

. (2p) 2x + 2y + z = 4 y + 2z = 2 4x + 3y = 6

Inför tentamen i Linjär algebra TNA002.

SF1624 Algebra och geometri

Dagens program. Linjära ekvationssystem och matriser

Linjär algebra kurs TNA002

Determinanter, egenvectorer, egenvärden.

LÖSNINGAR TILL LINJÄR ALGEBRA kl 8 13 LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK. 1. Volymen med tecken ges av determinanten.

5.7. Ortogonaliseringsmetoder

1. (Dugga 1.1) (a) Bestäm v (3v 2u) om v = . (1p) and u =

Numerisk Analys, MMG410. Exercises 2. 1/33

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Sammanfattning av föreläsningarna 1-4.

Studiehandledning till linjär algebra Avsnitt 4

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A

1 Positivt definita och positivt semidefinita matriser

TMV142/186 Linjär algebra Z/TD

19. Spektralsatsen Spektralsatsen SPEKTRALSATSEN

Vektorgeometri för gymnasister

LÖSNINGAR LINJÄR ALGEBRA LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK

Vektorgeometri för gymnasister

8(x 1) 7(y 1) + 2(z + 1) = 0

Maj Lycka till! Sergei Silvestrov. 1. a) Bestäm Jordans normalform och minimalpolynom av Toeplitzmatrisen T =

Lösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA702) måndagen den 30 maj 2005

n = v 1 v 2 = (4, 4, 2). 4 ( 1) + 4 ( 1) 2 ( 1) + d = 0 d = t = 4 + 2s 5 t = 6 + 4s 1 + t = 4 s

Linjär algebra Föreläsning 10

(d) Mängden av alla x som uppfyller x = s u + t v + (1, 0, 0), där s, t R. (e) Mängden av alla x som uppfyller x = s u där s är ickenegativ, s 0.

LÖSNINGAR TILL UPPGIFTER TILL RÄKNEÖVNING 1

= ( 1) ( 1) = 4 0.

Frågorna 1 till 6 ska svaras med ett kryss för varje korrekt påstående. Varje uppgift ger 1 poäng.

Modul 1: Komplexa tal och Polynomekvationer

8. Euklidiska rum 94 8 EUKLIDISKA RUM

2D1250 Tillämpade numeriska metoder II Läsanvisningar och repetitionsfrågor:

kvivalenta. Ange rangen för A samt en bas för kolonnrummet för A. och U =

Linjära avbildningar. Låt R n vara mängden av alla vektorer med n komponenter, d.v.s. x 1 x 2. x = R n = x n

Tentamen TMV140 Linjär algebra Z

Lösningar till utvalda uppgifter i kapitel 8

Preliminärt lösningsförslag

8 Minsta kvadratmetoden

UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Styf. Exempeltenta med lösningar Programmen EI, IT, K, X Linjär algebra juni 2004

TMA 671 Linjär Algebra och Numerisk Analys. x x2 2 1.

Matematiska Institutionen KTH. Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra, SF1604, den 15 mars 2012 kl

Lösningar av uppgifter hörande till övning nr 5.

Vektorerna är parallella med planet omm de är vinkelräta mot planets normal, dvs mot

Egenvärden, egenvektorer

Vektorgeometri för gymnasister

Stöd inför omtentamen i Linjär algebra TNA002.

Lågrangsapproximation exempel. Singulärvärden och tillämpningar

Vektorrum. EX. Plan och linjer i rummet genom origo. Allmänt; mängden av lösningar till AX = 0.

DEL I. Matematiska Institutionen KTH. Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF1604, den 17 april 2010 kl

Algebraiska egenskaper hos R n i)u + v = v + U

Linjär Algebra F14 Determinanter

Crash Course Algebra och geometri. Ambjörn Karlsson c januari 2016

Del 1: Godkäntdelen. TMV141 Linjär algebra E

Enhetsvektorer. Basvektorer i två dimensioner: 1 1 Basvektorer i tre dimensioner: Enhetsvektor i riktningen v: v v

5 Linjär algebra. 5.1 Addition av matriser 5 LINJÄR ALGEBRA

Stokastiska vektorer och multivariat normalfördelning

t Möjliga lösningar? b

1 Diagonalisering av matriser

Vi definierar addition av två vektorer och multiplikation med en reell skalär (tal) λλ enligt nedan

LINJÄR ALGEBRA HT2013. Kurslitteratur: Anton: Elementary Linear Algebra 10:e upplagan.

ax + y + 4z = a x + y + (a 1)z = 1. 2x + 2y + az = 2 Ange dessutom samtliga lösningar då det finns oändligt många.

Linjär algebra HT 2016, kurskoder 5MA160 och 6MA036

Linjär algebra. Föreläsningar: Lektioner: Laborationer:

14. Minsta kvadratmetoden

Dagens program. Linjära ekvationssystem och matriser

Linjär Algebra, Föreläsning 20

Lite Linjär Algebra 2017

En vektor är mängden av alla sträckor med samma längd och riktning.

Slappdefinition. Räkning med vektorer. Bas och koordinater. En vektor är mängden av alla sträckor med samma längd och riktning.

Linjära ekvationssystem

Matematik med datalogi, mfl. Linjär algebra ma014a ATM-Matematik Mikael Forsberg

Transkript:

Norm och QR-faktorisering Skalärprodukten på C n (R n ) hänger ihop med några viktiga klasser av matriser. För en komplex matris A betecknar vi med A H det Hermitiska konjugatet till A, dvs A H = A T. Vi observerar egenskapen (A H X, Y ) = (X, AY ). Definition 1 U kallas unitär om U 1 = U H. I fallet med R n och reella matriser reduceras denna definition till Definition 2 Q kallas ortogonal om Q 1 =Q T. Sambandet med skalärprodukten är enkelt: Sats 1 En matris är unitär om och endast om den bevarar längden av alla vektorer. UX 2 =(UX, UX)=(U H UX, X)=(X, X)= X 2.

Det finns även andra normer som unitära matriser bevarar, t ex Frobenius-normen: A F = i,j a 2 ij 1/2, och operator-normen A 2 = max X 0 AX X. Sats 2 Om U är unitär och A är kvadratisk (av samma format) så är UA F = AU F = A F och UA 2 = AU 2 = A 2. Ett annat sätt att se unitära (ortogonala) matriser är att säga att kolonnerna U 1,..., U n utgör en ON-bas. Ty om vi skriver ut alla element i U H U = I så får vi nämligen en multiplikationstabell som säger att skalärprodukten av två olika kolonner alltid är 0 och skalärprodukten av en kolonn med sig själv är 1. Observera att detta, enligt vad vi vet om matris-inverser, ( höger-invers = vänster-invers ) medför att UU H = I, dvs även raderna utgör en ON-bas.

Vi kommer nu till en av de viktigaste satserna om matris-faktorisering: Sats 3 Varje (komplex) inverterbar matris A har en unik faktorisering på formen A = UR, där U är unitär och R är övertriangulär med positiva element på diagonalen. Om A är en reell matris så skrivs i stället faktoriseringen som A = QR, där Q är ortogonal och R nu är reell. Man kan säga att QR-faktorisering egentligen är en omformulering av Gram-Schmidt-algoritmen i matrisspråk. För att förstå sammanhanget tittar vi på det reella fallet. Vi skriver matrisen A som A = (A 1,..., A n ). Eftersom A är inverterbar är A 1,..., A n linjärt oberoende kolonnvektorer. Vi kan nu köra Gram- Schmidt och få fram en ON-bas E 1,..., E n så

att [E 1,..., E k ] = [A 1,..., A k ] för alla k = 1,... n. Vi definierar Q = (E 1,..., E n ) och R = Vi observerar sedan att QR=(E 1,..., E n ) E T 1. E T n E T 1. E T n (A 1,..., A n ) (A 1,..., A n )=QQ T A=A, eftersom Q är ortogonal. För att slutföra beviset måste vi nu visa att R är övertriangulär med positiva element på diagonalen. Men R = (Ei T A j). Att r ij = 0 om i > j följer av att E i är ortogonal mot [E 1,..., E i 1 ] = [A 1,..., A i 1 ]. Att diagonal-elementen r ii = Ei T A i > 0 beror på hur Gram-Schmidt-algoritmen är uppbyggd: A i skiljer sig från E i bara med en linjärkombination av E 1,..., E i 1 (som inte påverkar skalärprodukten) och en multiplikativ faktor ( f i ) som är positiv. Att faktoriseringen är unik inses så här: antag att Q 1 R 1 = Q 2 R 2. Då följer att Q 1 2 Q 1 = R 2 R1 1. Denna matris måste både vara ortogonal och övertriangulär med positiva diagonal-element, och det är lätt att se att en sådan matris måste vara enhetsmatrisen.

QR-faktorisering fungerar även för icke-inverterbara, icke-kvadratiska matriser, men är då inte unik. I det allmänna fallet blir R en trappmatris med positiva pivot-element. EX. 1 0 1 1 1 0 0 1 1 = 1 1 3 1 2 6 1 6 1 1 2 3 23 3 1 0 2 1 0 0 0 2 2 1 32 6 1 2 3 Definition 3 A kallas Hermitisk om A H = A. I det reella fallet säger vi i stället att A är symmetrisk om A T = A. Egenvärden till Hermitiska matriser är reella: λ(x, X)=(X, λx)= (X, AX)=(A H X, X)=(λX, X)=λ(X, X) λ = λ. Sats 4 (Spektralsatsen) Varje Hermitisk matris A kan diagonaliseras med en unitär matris, dvs det finns en unitär U så att U H AU är diagonal. I fallet med en reell matris A kan vi i stället diagonalisera med en (reell) ortogonalmatris Q, dvs det finns Q sä att Q T AQ är diagonal. Beviset är inte alls trivialt och vi ska återkomma till detta senare.