Vi betraktar homogena partiella differentialekvationer (PDE) av andra ordningen

Produktlösningar Vi betraktar homogena partiella differentialekvationer (PDE) av andra ordningen u( u( u( u( u( A B C D E 0 (ekv 0) y y y som är definierad på ett (ändligt eller oändlig rektangulär område där obekanta funktionen u ( uppfyller givna villkor i randpunkter till området Ett sådant problem kallas randvärdesproblemet Exempel på ett randvärdesproblem: Bestäm funktionen u ( som satisfierar ekvationen u( u( 0, 0 x, 0 y b (ekv1) y och följande randvillkor: V 1: u ( 0, 0, för 0 y b V: u (, 0 för alla 0 y b, Villkor 3: u ( 0) 0 för 0 x, Villkor 4: u ( b) x 3 för 0 x, Vi säger att villkoren V1, V och V3 är homogena medan V4 är icke-homogen Några typer av homogena partiella differentialekvationer (PDE) med givna randvillkor, t ex värmeledningsekvation, vågekvation och aplaces ekvation, kan man lösa med hjälp av Fouriermetoden Först använder man variabelseparation för att bestämma sk produktlösningar, som satisfierar ekvationen och homogena villkor Därefter bildar man en serie (oändligt summa) av sådana lösningar, och bestämmer koefficienter i serien så att även icke homogena villkor blir uppfyllda Här förklarar vi första delen av Fouriermetoden, dvs vi förklarar hur man bestämmer produktlösningar dvs lösningar av typen u( Y (, 1 av 1

som uppfyller ekvationen och givna homogena villkor Som en inledning betraktar vi ordinära DE med konstanta koefficienter av typen y y( 0 som förekommer oftast i Fouriermetoden ösningens typ beror på om är 0, negativt eller positivt tal Exempel 1 ös följande DE: a) y 0 b) y 4y( 0 c) y 4y( 0 ösning: a) y 0 y A y At B rt b) y 4y( 0 löser vi med hjälp av ansatsen y e som ger den karakteristiska t t ekvationen r 4 0 r Därmed är y1 e och y e två baslösningar och t t slutligen y Ae Be är den allmänna lösningen Anmärkning: Vi kan också använda följande linjära kombinationer som baslösningar t t t t e e e e ya cosh t och yb sinh( och ange den allmänna lösningen med hjälp av hyperboliska funktioner: y Acosht Bsinh t Sådana lösningar förenklar bestämning av konstanter A och B i några fall rt c) y 4y( 0 löser vi med hjälp av ansatsen y e som ger den karakteristiska ekvationen r 4 0 r 0 i Därmed är y1 cos( och y sin( två baslösningar och slutligen y Acost Bsin t är den allmänna lösningen i den här fallet Exempel Om vi betraktar ekvationen y y( 0 i allmänt fall ( är vilket som helst helt tal), analyserar vi tre möjliga fall i) 0, ii) 0 och iii) 0, och löser varje fall separat i) 0 ger (som ovan) y At B ii) Om 0 betecknar vi y där är ett positivt tal och får (som i exempel1) t t Ae Be (Alternativt kan vi använda y Acosh( Bsinh( ) iii) Om 0 betecknar vi där är ett positivt tal och får (som i exempel y Acos( Bsin( av 1

I nedanstående uppgifter förklarar vi bestämning av produktlösningar med hjälp av variabelseparation Uppgift 1 a) Bestäm alla produktlösningar u( Y till följande PDE u x t u x t k (, ) (, ), 0 x, t 0 (ekv1) t, där k>0 är en konstant b) Bestäm de produktlösningar som uppfyller (ekv 1) och följande homogena villkor: Villkor 1: u ( 0, 0, för alla t 0, Villkor : u (, 0 för alla t 0, ösning a) Vi börjar med produktansatsen och variabelseparation åt u( Y (P1) Vi substituerar P1 i (ekv1) och får kx ( Y Y ( Nu separerar vi variabler och får X ( 1 Y ( k Y (*) Eftersom vänsterledet beror av x och högerledet enbart av t, måste de vara konstanta och ha samma värde som vi betecknar med (Vi betecknar konstanten med för att efterlikna beteckning i kursboken, annars kan vi använda ) Alltså X ( 1 Y ( k Y (**) där är ett reellt tal (just nu vilket som hels Från (**) får vi två enkla ODE med konstanta koefficienter: Från X ( och 1 Y ( k Y får vi 3 av 1

X X 0 (ekv a) och Y ky 0 (ekv b) ösningen till (ekv a) beror på Vi betraktar tre fall 0, 0 och 0 I) Om 0 blir ovanstående ekvationer X 0 och Y 0 som ger X Ax B och Y C Därmed blir u( Y = C( Ax B) (notera att CA är en konstan eller u( Ax B II) Om 0 kan vi av praktiska skäll beteckna där är ett positivt tal Från (ekv a) får vi X X 0 som gör X Ae Be Från (ekv b) har vi Y k Y 0 som ger Y Ce k t Därmed u( Y =( Ae III) Om 0 kan vi beteckna Be ) x x e k t, där 0 där är ett positivt tal Från (ekv a) får vi X X 0 som gör X Acos( ) Bsin( ) Från (ekv b) får vi Y k Y 0 som ger Y k t Ce Därmed u( Y =( Acos( ) Bsin( ) ) e k t, där 0 Svar a) Sammanfattningsvis har vi fått följande produktlösningar till (ekv1): I) u( Ax B II) u ( =( Ae Be ) e t, där 0 x x III) u ( ( Acos( ) Bsin( ) ) e t, där 0 (just nu vilket som helst positivt tal) (A, B är godtyckliga reella tal) b) 4 av 1

Frågan är vilka av ovanstående lösningar uppfyller också villkoren V1 och V Först anpassar vi V1 och V till vår produktlösning Eftersom u( Y kan vi skriva V1: u ( 0, 0, för alla t 0, som X ( 0) Y 0 för alla t 0 Detta ger X ( 0) 0 eller Y 0 Om Y 0 har vi u ( 0 Den här triviala lösningen uppfyller (ekv1) och båda homogena villkor V1 och V (Vi har därmed funnit en lösning till problemet, den triviala lösningen u ( 0 ) På samma sätt drar vi slutsats att V: u (, 0 för alla t 0, medför X ( ) Y 0 och därmed X ( ) 0 eller Y 0 Nu undersöker vi vilka produktlösningar som uppfyller V1 : X ( 0) 0 och V : X ( ) 0 I) Om X Ax B då får vi från V1 och V att B=0 och A=0 Därför blir X 0 som ger den triviala lösningen u( 0 som vi har redan fått II) På liknande sätt kan vi visa att typ II lösningar också leder till u ( 0 eftersom A B 0 Ae Be 0 medför A 0, B 0 ger X 0 och u ( 0 (den triviala lösningen som vi har redan fåt III) Kvarstår lösningar av typ III dvs X Acos( ) Bsin( ) Vi ska bestämma alla värden på så att X uppfyller både V1 och V V1 : Från X ( 0) 0 har vi A cos( 0) Bsin(0) 0 A 0 Alltså X Bsin( ) V : Från X ( ) 0 har vi Bsin( ) 0 Härav sin( ) 0 (eftersom B=0 leder till triviala lösningen), och därför n n där n 1,,3,4, (notera att 0 enligt antagande) n Därför är X Bsin( och därmed 5 av 1

n k t n u ( XY Be sin( där n 1,,3,4, (och B en konstant vilken som helst, även 0 tillåts eftersom den triviala lösningen är också lösningen till probleme Svar b) hels k t n u ( Be sin( n, där n 1,,3,4, (och B en konstant vilken som är produktlösningarna som uppfyller (ekv1) och homogena villkor V1 och V Uppgift a) Bestäm alla produktlösningar u( Y till följande PDE k u( u( t, 0 x, t 0 (ekv1), där k > 0 är en konstant b) Bestäm de produktlösningar som uppfyller (ekv 1) och följande homogena villkor: Villkor 1: u ( 0, 0, för alla t 0, Villkor : u (, 0 för alla t 0, ösning: Vi börjar med produktansatsen och variabelseparation åt u( Y (P1) Vi substituerar P1 i (ekv1) och får k X ( Y( Y eller, efter variabelseparation, X ( 1 Y k Y (*) Eftersom vänsterledet beror av x och högerledet enbart av t, måste de vara konstanta och ha samma värde som vi betecknar med (Vi betecknar konstanten med för att efterlikna beteckning i kursboken, annars kan vi använda ) Alltså X ( 1 Y ( k Y (**) där är ett reellt tal (just nu vilket som hels Från (**) får vi två enkla ODE med konstanta koefficienter: 6 av 1

Från X ( och 1 Y ( k Y får vi X X 0 (ekv a) och Y k Y 0 (ekv b) Vi betraktar tre fall 0, 0 och 0 I) Om 0 blir ovanstående ekvationer X 0 och Y 0 som ger X Ax B och Y Ct D Därmed blir u( Y = ( Ax B)( Ct D) II) Om 0 kan vi av praktiska skäll beteckna där är ett positivt tal Från (ekv a) får vi X X 0 som gör X Ae Be Från (ekv b) har vi Y k Y 0 som ger Y Ce kt De kt Därmed u( Y =( Ae III) Om 0 kan vi beteckna Be )( Ce x x kt kt De ), där 0 där är ett positivt tal Från (ekv a) får vi X X 0 som gör X Acos( ) Bsin( ) Från (ekv b) får vi Y k Y 0 som ger Y C cos( k Dsin( k Därmed u( Y =( Acos( ) Bsin( ) )( C cos( k Dsin( k ), där 0 Svar a) Sammanfattningsvis har vi fått följande produktlösningar till (ekv1): I) u( ( Ax B)( Ct D) II) u ( = ( Ae Be )( Ce x x kt kt De ), där 0 III) u ( ( Acos( ) Bsin( ) )( C cos( k Dsin( k ), där 0 (just nu vilket som helst positivt tal) A, B, C och D är godtyckliga reella konstanter 7 av 1

b) Först anpassar vi V1 och V till vår produktlösning Eftersom u( Y kan vi skriva V1: u ( 0, 0, för alla t 0, som X ( 0) Y 0 för alla t 0 Detta ger X ( 0) 0 eller Y 0 Notera att Y 0 ger u ( 0 som är den triviala lösningen till (ekv1) men som uppfyller homogena villkor V1 och V Alltså har vi funnit en lösning, den triviala lösningen u ( 0 På samma sätt drar vi slutsats att V: u (, 0 för alla t 0, medför X ( ) Y 0 och därmed X ( ) 0 och Y 0 ( Y 0 ger den redan funna triviala lösningen u ( 0 ) Nu undersöker vi vilka produktlösningar som uppfyller V1 : X ( 0) 0 och V : X ( ) 0 I) Om X Ax B då får vi från V1 och V att B=0 och A=0 Därför blir X 0 som ger den triviala lösningen u( 0 som vi har redan fått II) På liknande sätt kan vi visa att typ II lösningar också leder till u ( 0 eftersom A B 0 Ae Be 0 medför A 0, B 0 som ger X 0 och u ( 0 (som vi har redan fåt III) Kvarstår lösningar av typ III dvs X Acos( ) Bsin( ) Vi ska bestämma alla värden på så att X uppfyller både V1 och V V1 : Från X ( 0) 0 har vi A cos( 0) Bsin(0) 0 A 0 Alltså X Bsin( ) V : Från X ( ) 0 har vi Bsin( ) 0 Härav sin( ) 0 (eftersom B=0 leder till triviala lösningen), och därför n n där n 1,,3,4, (notera att 0 enligt antagande) n Därför är X Bsin(, där n 1,,3,4, och B en konstant 8 av 1

Från III har vi n n n u ( u( Y =( Bsin( )( C cos( k Dsin( k ), Vi ersätter B C med E och B D med F och får n n n Svar b) u ( = sin( [ E cos( k F sin( k ] Uppgift 3 a) Bestäm alla produktlösningar u( Y ( till följande PDE ös PDE med tillhörande randvillkor: u( u( 0, 0 x, 0 y b (ekv1) y b) Bestäm de produktlösningar som uppfyller (ekv 1) och följande homogena villkor: Villkor 1: u ( 0, 0, för 0 y b Villkor : u (, 0 för alla 0 y b, ösning a) åt u( Y ( (P1) Vi substituerar P1 i (ekv1) och får X ( Y ( Y ( 0 Vi separerar variabler och får X ( Y ( Y ( (*) Eftersom vänsterledet beror av x och högerledet enbart av y, måste de vara konstanta och ha samma värde som vi betecknar med Alltså X ( Y ( Y ( (**) där är ett reellt tal (just nu vilket som hels Från (**) får vi två enkla ODE med konstanta koefficienter: Från X ( och Y ( Y ( får vi X X 0 (ekv a) 9 av 1

och Y Y 0 (ekv b) Vi betraktar tre fall 0, 0 och 0 I) Om 0 blir ovanstående ekvationer X 0 och Y 0 som ger X Ax B och Y Cy D Därmed blir u( Y ( = ( Ax B)( Cy D) II) Om 0 kan vi av praktiska skäll beteckna där är ett positivt tal Från (ekv a) får vi X X 0 som gör X Ae Be Vi kan även använda X Acosh( ) Bsinh( ) som är ibland enklare att hantera Från (ekv b) har vi Y Y 0 som ger Y C cos( Dsin( Därmed u( Y ( =( Ae Allternativt kan vi skriva u ( ( Acosh( B sinh( ) III) Om 0 kan vi beteckna Be ) C cos( Dsin(, där 0 x x ) C cos( Dsin(, där är ett positivt tal Från (ekv a) får vi X X 0 som gör X Acos( ) Bsin( ) Från (ekv b) får vi Y Y 0 som ger Y C cosh( Dsinh( Därmed u( Y ( =( Acos( ) Bsin( ) )( C cosh( Dsinh( ), där 0 Sammanfattningsvis har vi fått följande produktlösningar till (ekv1): Svar a) I) u( ( Ax B)( Cy D) II) u ( = ( Acosh( Bsinh( ) ) C cos( Dsin(, där 0 III) u ( ( Acos( ) Bsin( ) )( C cosh( Dsinh( ), där 0 (just nu är vilket som helst positivt tal) 10 av 1

b) Frågan är vilka av ovanstående lösningar uppfyller också villkoren V1 och V Först anpassar vi V1 och V till vår produktlösning Eftersom u( Y ( kan vi skriva V1: u ( 0, 0, för 0 y b som X ( 0) Y ( 0 för 0 y b Detta ger X ( 0) 0 eller Y ( 0 Om Y ( 0 då u ( 0 som uppfyller ekv1 och båda villkor V1,V Alltså har vi fått en lösning till b delen den triviala lösnigen u ( 0 På samma sätt drar vi slutsats att V: u (, 0 medför X ( ) Y ( 0 och därmed X ( ) 0 eller Y ( 0 (Notera att Y ( 0 ger u( 0 som vi redan har fåt Nu undersöker vi vilka produktlösningar som uppfyller V1 : X ( 0) 0 och V : X ( ) 0 I) Om X Ax B då får vi från V1 och V att B=0 och A=0 Därför blir X 0 som ger den triviala lösningen u ( 0) 0 som vi redan har fåt II) På liknande sätt kan vi visa att typ II lösningar också leder till u ( 0 eftersom Från villkor V1 har vi: A cosh( 0) B sinh(0) 0 som ger A 0, därefter B sinh( ) 0 som ger B 0, eftersom sinh( ) 0 endast om =0 (notera skillnaden mellan den hyperboliska och den trigonometriska sinusfunktionen) Därför endast triviala lösningen från fall II III) Kvarstår lösningar av typ III dvs X Acos( ) Bsin( ) (och därmed Y C cosh( Dsinh( ) Vi ska bestämma alla värden på så att X uppfyller både V1 och V V1 : Från X ( 0) 0 har vi A cos( 0) Bsin(0) 0 A 0 Alltså X Bsin( ) V : Från X ( ) 0 har vi Bsin( ) 0 Härav sin( ) 0 (eftersom B=0 leder till triviala lösningen), och därför 11 av 1

n n där n 1,,3,4, (notera att 0 enligt antagande) n Därför är X Bsin(, där n 1,,3,4, och B en konstant Härav n n n u( Y ( = sin( [ C cosh( Dsinh( ], är de sökta produktlösningar De uppfyller ekv1, V1 och V n n n Svar b) u ( = sin( [ C cosh( Dsinh( ], n 1,,3,4, 1 av 1