Integranden blir. Flödet ges alltså av = 3

Relevanta dokument
Vi har. x (xy2 ) + y ( yz2 ) + z (zx2 ) = y 2 z 2 + x 2 = x 2 + y 2 z 2, xy 2 yz 2 zx 2

1.1 Stokes sats. Bevis. Ramgard, s.70

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

20 Integralkalkyl i R 3

Integration m.a.p. t av båda led ger. Lektion 13, Flervariabelanalys den 15 februari x(t) x(0) = log y(t) log y(0) = log.

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

Inlämningsuppgift nr 2, lösningar

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 26 maj, 2014

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

Institutionen för matematik SF1626 Flervariabelanalys. Lösningsförslag till tentamen Måndagen den 5 juni 2017 DEL A

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

Övning 6, FMM-Vektoranalys, SI1140

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 7 juni 2016

Tentamen i tmv036c och tmv035c, Analys och linjär algebra C för K, Kf och Bt A =, = det(a λi) = e 2t + c 2. x(t) = c 1. = c 1.

Tentamensskrivning, Kompletteringskurs i matematik 5B1114. Onsdagen den 18 december 2002, kl

x f x + y f y x. 2 Funktionen f(x, y) uppfyller alltså given differentialekvation.

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A. 1. En svängningsrörelse beskrivs av

Lösningsförslag till tentamen Torsdag augusti 16, 2018 DEL A

Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud

Lösningsförslag till tentamen Onsdagen den 15 mars 2017 DEL A

Tentan , lösningar

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 16 mars 2015

(x 3 + y)dxdy. D. x y = x + y. + y2. x 2 z z

Tentamen, Matematik påbyggnadskurs, 5B1304 fredag 20/ kl

Vektoranalys III. Anders Karlsson. Institutionen för elektro- och informationsteknik

4. Beräkna volymen av den tetraeder som stängs inne mellan koordinatplanen x = 0, y = 0 och z = 0 och planet. x F (x, y) = ( x 2 + y 2, y

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Torsdagen den 20 augusti 2015

Lösning till kontrollskrivning 1A

= 0. Båda skärningsvinklarna är således π/2 (ortogonala riktningsvektorer).

TATA44 ösningar till tentamen 13/01/ ) Paraboloiden z = 2 x 2 y 2 skär konen z = x 2 + y 2 då x 2 + y 2 = 2 x 2 y 2. Med

Tentamen: Lösningsförslag

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen 14 mars 2011,

SF1626 Flervariabelanalys Bedömningskriterier till tentamen Onsdagen den 15 mars 2017

Tentamen TMA044 Flervariabelanalys E2

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Onsdagen den 15 mars 2017

x ( f u 2y + f v 2x) xy = 24 och C = f

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 12 januari 2016

Lösningsförslag till tentamen TMA043 Flervariabelanalys E2

A = D. r s r t dsdt. [(1 + 4t 2 ) 3/2 1]dt (1) där det sista steget fås genom variabelbytet u = 1 + 4s 2. Integralen. (1 + 4t 2 ) 3/2 dt

SF1669 Matematisk och numerisk analys II Lösningsförslag till tentamen DEL A

Övningstenta: Lösningsförslag

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

Flervariabelanalys I2 Vintern Översikt föreläsningar vecka 6. ( ) kommer vi att studera ytintegraler, r r dudv

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

Övningar till kapitel 1

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

Lösningsförslag till tentamen Tisdagen den 10 januari 2017 DEL A

Tentamen SF1626, Analys i flera variabler, Svar och lösningsförslag. 2. en punkt på randkurvan förutom hörnen, eller

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

Tentamen: Lösningsförslag

Tentamen MVE085 Flervariabelanalys

Problem inför KS 2. Problem i matematik CDEPR & CDMAT Flervariabelanalys. KTH -matematik

har ekvation (2, 3, 4) (x 1, y 1, z 1) = 0, eller 2x + 3y + 4z = 9. b) Vi söker P 1 = F (1, 1, 1) + F (1, 1, 1) (x 1, y 1, z 1) = 2x + 3y + 4z.

Tentamen TMA044 Flervariabelanalys E2

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Torsdagen den 18 augusti 2016

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 10 januari 2017

= 0 genom att införa de nya

1. Beräkna hastigheten, farten och accelerationen vid tiden t för en partikel vars rörelse beskrivs av r(t) = (2 sin t + cos t, 2 cos t sin t, 2t).

f(x, y) = ln(x 2 + y 2 + 1). 3. Hitta maximala arean för en rektangel inskriven i en ellips på formen x 2 a 2 + y2

Visa att vektorfältet F har en potential och bestäm denna. a. F = (3x 2 y 2 + y, 2x 3 y + x) b. F = (2x + y, x + 2z, 2y 2z)

SF1649, Vektoranalys och komplexa funktioner Tentamen, måndagen den 19 december Lösningsförslag. F n ds,

b) Vi använder cylindriska skal och snittar därför upp området i horisontella snitt.

Tentamen i Flervariabelanalys F/TM, MVE , kl

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen 18 augusti 2011, Svar och lösningsförslag

23 Konservativa fält i R 3 och rotation

1 x. SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

u av funktionen u = u(x, y, z) = xyz i punkten M o = (x o, y o, z o ) = (1, 1, 1) i riktningen mot punkten M 1 = (x 1, y 1, z 1 ) = (2, 3, 1)

5 Gauss sats. div. dv = A V. Noterbart är att V AdV = A ˆNdS, dvs Gauss sats, har strukturella likheter med b df

18 Kurvintegraler Greens formel och potential

Lösningsförslag till tentamen TMA043 Flervariabelanalys E2

Integraler av vektorfält Mats Persson

En skiss av kurvan blir alltså. Lektion 1, Flervariabelanalys den 18 januari 2000

LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK. LÖSNINGAR FLERDIMENSIONELL ANALYS, FMA kl 8 13

SF1626 Flervariabelanalys Bedömningskriterier till tentamen Tisdagen den 7 juni 2016

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1646 Analys i flera variabler Tentamen 18 augusti 2011, Svar och lösningsförslag

vilket är intervallet (0, ).

SF1669 Matematisk och numerisk analys II Lösningsförslag till tentamen DEL A. r cos t + (r cos t) 2 + (r sin t) 2) rdrdt.

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 21 mars 2016

3 Parameterframställningar

1. För vilka värden på konstanterna a och b är de tre vektorerna (a,b,b), (b,a,b) och (b,b,a) linjärt beroende.

Omtentamen MVE085 Flervariabelanalys

f(x, y) = ln(x 2 + y 2 ) f(x, y, z) = (x 2 + yz, y 2 x ln x) 3. Beräkna en vektor som är tangent med skärningskurvan till de två cylindrarna

Tentamen MVE035 Flervariabelanalys F/TM

TATA44 Lösningar 26/10/2012.

Lösningsförslag till tentamen TMA043 Flervariabelanalys E2

TATA44 Lösningar 24/8/ ) Låt S vara den del av x 2 + y 2 + z 2 = 2 innanför cylindern x 2 + y 2 = 1. Inför cylinderkoordinater.

Lektion 1. Kurvor i planet och i rummet

Fall 1. En kurva definierad för positiva x roterar kring z-axeln.

FFM234, Klassisk fysik och vektorfält - Föreläsningsanteckningar

Tentamen TMA043 Flervariabelanalys E2

Föreläsningsanteckningar i flervariabelanalys

Världshistoriens bästa sammanfattning. Andreas Rejbrand

21 Flödesintegraler och Gauss sats

Campus och distans Flervariabelanalys mag ATM-Matematik Mikael Forsberg och Yury Shestopalov (Mikael Forsberg)

22 Vektoranalys och flödesintegraler

Transkript:

Lektion 7, Flervariabelanals den 23 februari 2 6.4.2 Använd Gauss sats för att beräkna flödet av ut ur sfären med ekvationen där a >. Flödet ut ur sfären ges av F e e + 2 e e + e 2 + 2 + 2 a 2 F d, som enligt Gauss sats är lika med F d F d,, e ) + + + ) d. ) e, 2 e, ) d 2 e ) + ) ) d Flödet ut ur sfären ges av Gauss sats ger att flödet är lika med F d F d F d.,, ) 3, 3 2, 3 2 + 2) d 3 ) + 32 ) + ) 32 + 2 ) d 3 2 + 3 2 + 3 2 ) d 3 2 + 2 + 2 ) d, där är klotet 2 + 2 + 2 a 2 som innesluts av tan. Eftersom området är helt rotationssmmetriskt och integranden är 2 + 2 + 2 inför vi sfäriska koordinater. Området beskrivs då som Integranden blir och volmelementet blir θ 2π, ϕ π, r a. 2 + 2 + 2 r 2, d r 2 sin ϕ dθ dϕ dr. Flödet ges alltså av 6.4.4 Använd Gauss sats för att beräkna flödet av F 3 e + 3 2 e + 3 2 + 2 ) e 3 dθ π sin ϕ dϕ a 3 2π 2 5 a5 2 5 πa5. [ ] π [ ] r 4 dr 3 2π cos ϕ a 5 r5 ut ur sfären med ekvationen 2 + 2 + 2 a 2 där a >.

6.4.8 Beräkna flödet av F 2 e + 2 e + 2 e där är projektionen av clindern av clindern på, -planet, d.v.s. : 2 + ) 2. ut ur randen till clindern 2 + 2 2, 4. Med kvadratkomplettering kan vi skriva clinderns ekvation i standardform 2 + 2 2 2 + ) 2. lindern har alltså mittpunkt i, ), ) och radie. I -led ligger clindern mellan och 4. Integralen över kan vi dela upp i tre termer 8 d d + 8 ) d d + 24 d d. Eftersom området är spegelsmmetrisk i -aeln och är en udda funktion är den första integralen lika med. I den andra integralen är en udda funktion kring linjen och spegelsmmetrisk i samma linje. en andra integralen är också den noll. en tredje integralen är 24 gånger områdets area, d.v.s. 24 π 2 24π. Flödet ut ur clindern är alltså 24π. linderns rand består av tre tstcken, dels clinderns mantelta, och dels de två cirkulära ändtorna. För att beräkna flödet måste vi därför dela upp flödesintegralen i tre integraler över respektive tstcke. Om vi däremot använder Gauss sats blir flödesintegralen en trippelintegral över hela clindern. Gauss sats ger F d F d 2, 2, 2) d 2 [ ] 2 + ) + 2 4 2,, ) 2, 2, 2 ) d 4 d d + + ) d d d 2 ) 4 + ) + 8 d d,

6.4.2 Bestäm flödet av F + ) e + + ) e 2 + 2 ) e upp genom den del av sfären 2 + 2 + 2 a 2 i första oktanten. Låt beteckna den del av sfären som ligger i första oktanten. Låt vidare, 2 och 3 beteckna de tre sidotor i koordinatplanen i första oktanten som begränsas av sfären. Alltså är + + 2) d d olm av 8 4 3 πa3 6 πa3. F d 6 πa3 F d F d F d. 2 3 På de tre koordinatplantorna ges telementet och vektorfältet av : d,, ) d d F,, ),, 2) 2 : d,, ) d d F,, ),, 2 2 ) 3 : d,, ) d d F,, ), +, 2 ) 2 Tillsammans innesluter,, 2 och 3 en åttondel av ett klot med radie a. Flödet ut ur denna åttondel är enligt Gauss sats F d + F d + F d + F d 2 3 F d,, ) +, +, 2 2 ) d + ) + + ) + ) 2 2 ) d 3 i får F d 6 πa3,, 2),, ) d d,, 2 2 ),, ) d d 2, +, 2 ),, ) d d 3 6 πa3 2 d d d d d d 2 3 { polära koordinater i respektive plan } 6 πa3 2 π/2 cos θ dθ a r 2 dr + π/2 6 πa3 2 3 a3 + 3 a3 6 πa3 3 a3. cos θ dθ a r 2 dr

6.5.2 Beräkna d d + 2 d runt skärningskurvan mellan clindern 2 och clindern 2 + 2 4, som genomlöps moturs sett från en punkt högt belägen på -aeln. Linjeintegralen kan vi skriva som d d + 2 d i ska lösa uppgiften med två metoder. Metod eplicit uträkning),, 2 ) d, d, d) kärningskurvan uppfller båda tornas ekvationer F dr. 2 + 2 4, ) 2. 2) Ekvation ) ger att kurvans - och -koordinater ligger på en cirkel med mittpunkt i origo och radie 2. i kan därför beskriva kurvans - och -koordinater med standardparametriseringen Linjeintegralen blir F dr 4 F rt) ) drt) 2 sin t 2 sin t) dt 2 cos t 2 cos t dt + 6 sin 4 t 8 sin t cos t dt sin 2 t + cos 2 t ) dt + 28 sin 5 t cos t dt [ ] 2π 4 2π + 28 6 sin6 t 8π + 8π. Metod 2 tokes sats) Enligt tokes sats har vi att F d F ) d, för alla tor som har som randkurva och med positivt orienterad relativt. I vårt fall kan vi välja tan som den del av 2 innanför clindern 2 + 2 4. Ekvation 2) ger att 2 cos t, 2 sin t. 2 4 sin 2 t. Eftersom dessa uttrck för, och är 2π-periodiska i t har kurvan parameterformen rt) 2 cos t, 2 sin t, 4 sin 2 t) t 2π). Om vi låter t gå från till 2π så genomlöps kurvan i positiv riktning. i får F rt) ) t), t), t) 2) 2 sin t, 2 cos t, 6 sin 4 t ), drt) dr dt dt 2 sin t, 2 cos t, 8 sin t cos t ) dt.

å är e e e F 2 2 ), 2 +, ), +, ),, 2), ) d ±, ), d d ±, 2, ) d d. För att inducera en positiv orientering av randen ska vi välja minustecknet i d så att d pekar uppåt. i får att F dr F ) d,, 2), 2, ) d d 2 d d 2 area) 2 π 2 2 8π, där är tan :s projektion på, -planet, d.v.s. : 2 + 2 4. Ytan är alltså den del av ellipsoiden med mittpunkt i,, ) och halvalar 6, 6 och 3 som har positiv -koordinat. Enligt tokes sats kan flödesintegralen i uppgiftsteten skrivas rot F d F dr, där är randkurvan till i planet, d.v.s. 2 + 2 + 2 ) 2 6 2 + 2 4. Eftersom d är utåtriktad induceras en positiv riktning hos i, -planet. Kurvan, som är en cirkel med mittpunkt i origo och radie 2, kan därför skrivas i parameterformen 6.5.4 Beräkna rot F d, där är tan 2 + 2 + 2 ) 2 6,, d är riktad ut från, och F 3 cos ) e + 3 e e + e 2 + 2 + 2 e. i skriver i standardform 6 ) 2 + 6 ) 2 + 3 ) 2,. rt) 2 cos t, 2 sin t, ) Längs kurvan ges vektorfältet och kurvelementet av i får t 2π). F rt) ) t) 3, t) 3, ) 8 sin 3 t, 8 cos 3 t, ), drt) ṙt) dt 2 sin t, 2 cos t, ) dt. rot F d F dr 8 sin 3 t, 8 cos 3 t, ) 2 sin t, 2 cos t, ) dt

6 4 8 sin 4 t + cos 4 t ) dt 6 4 cos 2t)2 + 4 + cos 2t)2) dt 2 + 2 cos 2 2t ) dt 8 + 2 + cos 4t)) dt 3 2 + 2 cos 4t) dt { integral av cos över en hel period } 2 2π + 24π. i ska lösa uppgiften med två metoder. Metod bte av vektorfält) Först gör vi det obligatoriska testet om vektorfältet är konservativt. i har att 3 F 2,, ) 3 2 6.5.6 Beräkna F dr runt kurvan rt) cos t e + sin t e + sin 2t e där F e 3 ) e + e + 3 ) e + e e. t 2π), inte är smmetrisk, så vektorfältet är inte konservativt. äremot ser vi att vektorfältet nästan är konservativt; det är bara inde, 2) och 2, ) som inte är lika. Om vi därför kompletterar F med vektorfältet G 3 2 e 3 2 e, d.v.s. betraktar vektorfältet H F + G, så får vi ett konservativt vektorfält eftersom 3 H 2 3 2,, ) 3 2 3 2. Ledtråd: isa att ligger på tan 2. Låt oss först visa att kurvan verkligen är sluten och att parametriseringen genomlöper kurvan eakt ett varv. Eftersom r),, ) r2π) är kurvan sluten. Om vi betraktar nerprojicerad på, -planet, r, t) cos t e + sin t e så får vi enhetscirkeln genomlöpt ett varv i positiv riktning. arje, )- värde på antas alltså eakt en gång av parametriseringen, vilket visar att kurvan genomlöps eakt ett varv. å har vi alltså att F dr + G dr F dr H dr G dr. Fördelen med G jämfört med F är att G endast har polnomkomponenter som är enklare att integrera analtiskt. På kurvan är G rt) ) 3t) 2 t), 3t)t) 2, ) 3 cos 2 t sin t, 3 cos t sin 2 t, ), drt) ṙt) dt sin t, cos t, 2 cos 2t ) dt.

i får 6 3 2 F dr G dr G rt) ) drt) 3 cos 2 t sin t, 3 cos t sin 2 t, ) sin t, cos t, 2 cos 2t) dt 3 cos 2 t sin 2 t 3 cos 2 t sin 2 t + ) dt cos 2 t sin 2 t dt 6 cos 2 2t) dt 3 2 + cos 2t cos 2t dt 2 2 ) dt + cos 4t 2 { integral av cos över en hel period } 3 2 2 2π 3 2 π. Metod 2 tokes sats) 3,, 2 + 2 ) 2, 2, ) d d där är tans projektion på, -planet, d.v.s. enhetsdisken. 3 2 + 2 ) d d { polära koordinater } 3 dθ r 3 dr 3 2π 4 3 2 π. Enligt tokes sats är linjeintegralen lika med F dr F ) d, där är en ta med som randkurva och d är riktad uppåt eftersom är positivt orienterad i, -planet. Kurvan befinner sig på tan 2 eftersom den uppfller tans ekvation vl t) sin 2t 2 cos t sin t 2t)t) hl. Ytan kan vi därför välja som det tstcke av 2 som begränsas av. i har då att d ± ), ), d d ± ) 2, 2, ) d d, e e e F,, 3 2 + 3 2 ), e 3 e + 3 e och tokes sats ger F dr F ) d