Matematiska institutionen Stockholms universitet CG Matematik med didaktisk inriktning 2 Problem i Algebra, geometri och kombinatorik Snedsteg 5 MULTIPLIKATION AV MATRISER, BASER I RUMMET SAMT FÖRSTA MÖTET MED MATRISINVERSER Räkning med matriser Vi skall strax se att det är bekvämt också att ha tillgång till räkneoperationerna addition och subtraktion av matriser samt multiplikation av matris med tal Det räcker med ett exempel för att förklara hur dessa räkneoperationer går till: Exempel 4 + 2 8 2 0 5 4 5 9 6 2 9 2 6 5 4 2 5 2 2 7 4 2 8 2 7 28 4 7 56 Observera att två matriser som adderas eller subtraheras måste vara av samma typ Övning Låt A 5 6, B 7 2 2 2 Beräkna 7A B 4 9 Vi har tidigare infört produkten AX där X är en kolonnmatris kolonnvektor För att denna produkt skall vara definierad måste matriserna passa ihop på så sätt att antalet kolonner i A är det samma som antalet rader i X antalet koordinater i vektorn X Produkten blir en kolonnmatris: a a 2 a n a AX 2 a 22 a 2n a m a m2 a mn x x n a x + a 2 + + a n x n a 2 x + a 22 + + a 2n x n a m x + a m2 + + a mn x n
Här är A av typ m n, X av typ n och AX av typ m Talet i rad i i AX är skalärprodukten av i:te raden i A med kolonnvektorn X När vi nu har tillgång till addition av matriser samt multiplikation av matris med tal, kan vi skriva högerledet i som x a a 2 a m Tänk igenom detta noga! Alltså a a 2 a n a 2 a 22 a 2n a m a m2 a mn + x x n x a 2 a 22 a m2 + + x n a a 2 a m + a 2 a 22 a m2 a n a 2n a mn + + x n a n a 2n a mn 2 Matrisprodukten AX är med andra ord en linjärkombination av kolonnerna i A Koefficienterna är de tal som bildar kolonnen X 2 Betrakta nu en bas i planet, tex e, e 7 2 Varje vektor i planet kan 8 2 2 x skrivas som en linjärkombination: x e + e 2 x + x 7 2 8 Vilka koordinater i basen e, e 2 har vektorn 7, 5? Vi söker alltså x, sådana att 7 x e + e 2, dvs sådana att 5 2 x 7 5 Denna matrisekvation kan också skrivas som ett ekvationssystem { x + 2 7 4 7x + 8 5 2 Matrisen kallas för ekvationssystemets koefficientmatris Detta ekvationssystem har vi löst förut, i det näst sista exemplet i Snedsteg Vi tar upp exemplet igen för att illustrera vårt nya språkbruk Du bör ägna tid åt att träna upp din färdighet att växla mellan olika utryckssätt Matematik är många gånger en formuleringskonst Baser i rummet Har du funderat något över vad som bör menas med en bas i rummet? Det bör förstås vara tre vektorer basvektorer e, e 2, e med den egenskapen att varje annan vektor på precis 2
ett sätt kan skrivas som en linjärkombination x e + e 2 + x e Vi har redan tidigare diskuterat möjligheten e x, 0, 0, e y 0,, 0, e z 0, 0, Om u x, y, z så är ju u xe x + ye y + ze z Vektorns vanliga koordinater i det rätvinkliga koordinatsystem vi hela tiden underförstår kan vi alltså tänka på som koefficienter i denna linjärkombination Det som krävs av tre vektorer e, e 2, e för att dessa skall kunna användas som basvektorer i rummet är förstås att e, e 2, e inte ligger i ett plan dvs inte är parallella med samma plan Antag nu att e, e 2, e inte ligger i ett plan och låt u vara en godtycklig vektor i rummet Med hjälp av en figur, helst en tredimensionell modell, bör du kunna övertyga dig om att u på ett unikt sätt kan skrivas som en linjärkombination u x e + e 2 + x e e u e 2 e Förklara hur koefficienterna x,, x skall tolkas I min figur finns vektorn x e och vektorn x e + e 2 antydda Vardå? Låt nu tex e 0, e 2 6 5 och e 4 4 Hur skall vi kunna veta om dessa 4 tre vektorer ligger i ett plan eller inte? Om de inte ligger i ett plan så kan de användas som bas i rummet Varje vektor kan då på ett unikt sätt skrivas som en linjärkombination av dessa tre Speciellt gäller detta förstås nollvektorn 0 Ekvationen 0 x e + e 2 + x e har i så fall endast lösningen x x 0, den så kallade triviala lösningen Denna ekvation kan vi skriva som en matrisekvation: 6 4 0 5 4 x 0 0 5 4 x 0 Om å andra sidan det skulle vara så att e, e 2, e ligger i ett plan, så bör du kunna övertyga dig själv i en figur om att 0 även på något icke-trivialt sätt kan skrivas som en linjärkombination av e, e 2, e Det går i så fall alltså att välja x,, x ej alla 0 så att x e + e 2 + x e 0 Matrisekvationen 5 har i så fall icke-triviala lösningar Inget är väl enklare än att ge sig i kast med 5, som ju kan skrivas som ett ekvationssystem Du finner att den enda lösningen är den triviala: x x 0 I detta exempel är alltså vektorerna e, e 2, e en bas i rummet Övning 2 Vilka koordinater har vektorn 9, 6, 5 i basen e, e 2, e ovan?
Ledning: Ekvationen 9, 6, 5 x e + e 2 + x e skriver du som en matrisekvation eller ett ekvationssystem Vi sammanfattar och generaliserar nu vad vi kommit fram till Låt e a a 2, e 2 a a 2 a 22, e a a 2 vara tre vektorer i rummet Att dessa utgör en bas, dvs inte är a 2 a parallella med ett plan, är ekvivalent med att ekvationen x e + e 2 + x e 0 eller med andra ord: a a 2 a a 2 a 22 a 2 x 0 0 6 a a 2 a x 0 endast har den triviala lösningen x x 0 I detta fall gäller att om en vektor y, y 2, y har koordinaterna x,, x i basen e, e 2, e så råder sambandet: a a 2 a a 2 a 22 a 2 x y y 2 7 a a 2 a x y Om x,, x är kända så beräknas naturligtvis y, y 2, y lätt Om y, y 2, y är kända så beräknas x,, x som den entydiga lösningen till ekvation 7 Att 7 har en entydig lösning när 6 har det har vi förklarat geometriskt men det följer också av att lösningsarbetet helt styrs av koefficientmatrisen, inte av högerledet Produkt av matriser Nog vore det spektakulärt om det på något sätt gick att multiplicera bort den kvadratiska matrisen i vänsterledet i 7 så att x,, x allmänt kunde uttryckas i y, y 2, y? Där är vi inte ännu Vi har ju bara definierat matrisprodukten AB i det enkla fall då B är en kolonnmatris Men det finns ett mycket naturligt sätt att bygga vidare på denna definition Antag tex att B har två kolonner Vad är väl naturligare då än att multiplicera A med dessa kolonner var för sig? Varje produkt är en kolonn och dessa kan vi sammanföra i en matris För att ta ett exempel: 2 4 5 2 2 5 4 6 2 + 2 + 4 4 2 + 5 + 4 6 5 + 2 2 + 4 5 + 2 5 + 6 4 28 4
Observera att matrisen AB har lika många kolonner som B och lika många rader som A Lägg märke till att varje tal i AB är skalärprodukten av en rad i A med en kolonn i B På motsvarande sätt gör vi om B har fler kolonner Låt oss kosta på oss att ge en allmän definition av produkten av en m n-matris A med en n p-matris B: a a 2 a n b b 2 b p a 2 a 22 a 2n b 2 b 22 b 2p a m a m2 a mn b n b n2 b np a b + + a n b n a b 2 + + a n b n2 a b p + + a n b np a 2 b + + a 2n b n a 2 b 2 + + a 2n b n2 a 2 b p + + a 2n b np 8 a m b + + a mn b n a m b 2 + + a mn b n2 a m b p + + a mn b np Vi observerar att talet i i:te raden j:te kolonnen i AB är skalärprodukten av i:te raden i A med j:te kolonnen i B Observera också att om m p så kan vi inte multiplicera matriserna i omvänd ordning Nästa övning visar att även om AB och BA båda är definierade så behöver de inte vara lika Det finns inte heller någon anledning att vänta sig detta Övning Låt A 2 8 4 och B 7 Beräkna AB och BA 5 2 Matrismultiplikation är alltså inte kommutativ Endast i undantagsfall gäller AB BA Däremot gäller distributiva lagen AB + C AB + AC och associativa lagen ABC ABC Övning 4 Verifiera distributiva lagen i några exempel och fundera över hur ett allmänt bevis skulle se ut Associativa lagen kan visas något så när elegant om man inför bekväma, lagom detaljerade, beteckningar På det här stadiet är det dock väl så nyttigt att visa lagen explicit i ett specialfall som i nästa övning Övning 5 Visa ABC ABC i det fall att A, B och C är godtyckliga 2 2-matriser Gör detta genom att explicit skriva ned vänster- och högerled Arbetar man en stund med denna övning så förstår man nästan varför ABC ABC alltid är sant Följande kvadratiska matriser kallas för enhetsmatriser eller identitetsmatriser 0 0 0 0 0 0 0 0 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
och betecknas ofta med bokstaven E eller E 2, E etc om matrisens typ inte är underförstådd Enhetsmatriserna har en viktig egenskap som visas i nästa övning Övning 6 Visa att så snart produkterna är definierade så gäller AE A och EA A Betrakta nu en matrisekvation AX B Ponera att det finns en matris C sådan att CA E Multiplicerar vi till vänster med C så får vi först CAX CB Men matrismultiplikation är ju associativ så vi kan lika gärna skriva CAX CB Alltså EX CB eller helt enkelt X CB Matrisekvationen AX B övergår alltså efter multiplikation till vänster med C i X CB som är ekvationens lösning Detta är inte en utopisk situation Betrakta tex matrisekvationen ovan och kalla den kvadratiska matrisen i vänsterledet för A Pröva med C så skall 0, 7 0, du se att CA E Matrisekvationen har alltså lösningen 7 4, 6 X 0, 7 0, 5, 4 Detta är ju i och för sig tillfredsställande om man bortser från att jag inte har talat om var jag hittat den magiska matrisen C! Definition En matris C kallas vänsterinvers till en matris A om CA E En matris D kallas högerinvers till A om AD E Matrisen är alltså vänsterinvers till matrisen 0, 7 0, högerinvers till Detta visas av att 0, 7 0, 2 0 0, 7 0, 0 2 och 2 är Övning 7 Visa att också dvs att 2 0, 7 0, är högerinvers till 0, 7 0, 2 0 0 Resultatet i föregående övning är en aning oväntat eftersom matrismultiplikation inte i allmänhet är kommutativ I exemplet ovan var det vänsterinversen vi hade nytta av Det var ju till vänster vi multiplicerade ekvationen AX B med C Men problemet att beräkna högerinvers till en given matris är för oss på sätt och vis något enklare Problemet att finna en högerinvers till A är ju att finna en lösning till matrisekvationen AX E, i vårt fall: 6
2 x x 2 2 0 0 Tänker vi efter vad detta betyder, så kan vi formulera det som två ekvationssystem 9 { x + 2 7x + 8 0 resp { x2 + 22 0 7x 2 + 82 0 Dessa två ekvationssystem har ju samma koefficientmatris och kan således lösas parallellt jämför Snedsteg 2 Övning : 2 2 0 0 2 0 0 0 0 0 0, 7 0, 0 De båda ekvationerna 0 har alltså lösningarna innebär precis att 9 har lösningen 0, 7 0, I Övning 2 löste du matrisekvationen 6 4 0 5 4 4 x x 2 0 0 0, 8 0, 7 9 6 5 0, 7 0, resp 0 7 0, 2 0, Men detta Kalla den kvadratiska matrisen i vänsterledet för A På samma sätt som nyss kan vi bestämma en högerinvers till A genom att parallellt lösa tre ekvationssystem: 6 4 0 0 0 5 4 0 0 4 0 0 Övning 8 Genomför dessa räkningar på egen hand och visa sedan att den funna matrisen också är vänsterinvers till A Övning 9 Använd detta till att lösa ekvation Nu har vi i två exempel sett att höger- och vänsterinvers är lika Det kan faktiskt bevisas allmänt för kvadratiska matriser A, att om A har en högerinvers så har A också en vänsterinvers, och omvänt om A har en vänsterinvers så har A också en högerinvers I denna situation gäller dessutom att vänster- och högerinverserna är lika Denna matris kallas kort och gott inversen till A och betecknas A 7
Övning 0 Låt A 4 4 5 2 och B att B saknar invers 4 6 2 Beräkna A och bevisa 2 8 Att höger- och vänsterinvers, trots att matrismultiplikation inte i allmänhet är kommutativ, alltid överensstämmer för kvadratiska matriser kan tyckas märkligt Du kan välja att låta detta förbli ett mysterium till en kommande kurs eller att studera det extra och frivilliga Snedsteg 6, som något skringrar dimmorna Där behandlas även ett annat mysterium Snedsteget kan fås av läraren 8