TENTAMEN HF006 och HF008 Datum TEN jan 0 Ti -7 Analys och linjär algebra, HF008 (Meicinsk teknik), lärare: Jonas Stenholm Analys och linjär algebra, HF008 (Elektroteknik), lärare: Marina Arakelyan Linjär algebra och analys, HF006 (Datateknik), lärare: Armin Halilovic Eaminator: Armin Halilovic Betygsgränser: För gokänt krävs 0 av ma poäng För betyg A, B, C, D, E, F krävs, 9, 6,, 0 respektive 9 poäng Hjälpmeel på tentamen TEN: Utela formelbla Miniräknare ej tillåten Komplettering: 9 poäng på tentamen ger rätt till komplettering (betyg F) ------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Skriv enast på en sia av papperet Skriv namn och personnummer på varje bla Inlämnae uppgifter skall markeras me kryss på omslaget ------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Denna tentamenslapp får ej behållas efter tentamenstillfället utan lämnas in tillsammans me lösningarna ------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Fullstäniga lösningar skall presenteras till alla uppgifter Uppgift ( p) (Stuent som är gokän på KS hoppar över uppgift ) a) Låt f ( ) = + + och g( ) = +, R Bestäm f ( g( )) b) Bestäm erivatan y () är y () är implicitefiniera genom y + y = 6 c) Beräkna lim ln( ) ) Beräkna lim Uppgift ( p) Låt f ( ) = 9 + a) ( p) Bestäm funktionens stationära punkter och eras typ (maimum, minimum eller terraspunk b) (p) Bestäm eventuella asymptoter till f () c) (p) Skissa funktionens grafen Uppgift ( p) Beräkna följane integraler a) + 7 ( Tips: Använ substitutionen + 7 = t ) b) + 6 9 ( Tips: Polynomivision ) Var go vän!
Uppgift ( p) Bestäm arean av et områe som efinieras av 0 y cos, 0 ( Me anra or ligger områet mellan kurvan y = cos, -aeln och linjerna = 0och = ) ( Tips: Partialintegration använs två gånger ) Uppgift ( p) Ett objekt rör sig längs y-aeln me accelerationen a ( = cos(0 ( i lämpliga enheter t e m/s ) Partikelns position vi tipunkten t betecknar vi me y( och partikelns hastighet me v( Bestäm partikelns position y( och hastigheten v( om y(0) = och v ( 0) = Tips: v ( = a(, y ( = v( Uppgift 6 ( p) Bestäm en lösning till följane (separabla) ifferentialekvation + y = som uppfyller cos y y () = 6 Uppgift 7 (p) Lös följane ifferentialekvationer a) (p) y + y + y = 0 b) (p) y + y + y = + Uppgift 8 ( p) Bestäm strömmen i( i neanståene RC krets är R= ohm, C= fara, u ( = 0sin(00t ) volt och i(0)=0 ampere 00 Tips: Spänningsfallet över ett motstån me resistansen R är lika me R i( Spänningsfallet över en konensator me kapasitansen C är lika me q ( / C, är q( är laningen ( i coulomb) och q ( = i( Lycka till!
FACIT Uppgift ( p) (Stuent som är gokän på KS hoppar över uppgift ) a) Låt f ( ) = + + och g( ) = +, R Bestäm f ( g( )) b) Bestäm erivatan y () är y () är implicitefiniera genom c) Beräkna ) Beräkna y + y lim ln( ) lim = 6 a) f ( g( )) = ( + ) + ( + ) + = + + + + 8 + = + 8 + 7 b) Beräknas me hjälp av implicit erivering ( y + y ) = ( ) ( ) y + ( y) + ( ) y + ( y ) = 0 y + y + y + y y = 0 y y + y = + y ( )( + ) c) lim = lim = lim( + ) = 7 Alternativ lösning ( L' Hospitals regel): lim = typ 0 0 = lim = 7 L' H ) ln( ) L'H lim 0 = typ = 0 lim =
y + y Svar: a) f ( g( )) = + 8 + 7 b) y ( ) = c) 7 ) + y Rättningsmall: p för korrektmeto och svar för varje el a, b, c, Uppgift ( p) Låt f ( ) = 9 + a) ( p) Bestäm funktionens stationära punkter och eras typ (maimum, minimum eller terraspunk b) (p) Bestäm eventuella asymptoter till f () c) (p) Skissa funktionens grafen a) Definitionsmäng: ( + ) ( + ) Stationära punkter f ( ) = = 9 ( + ) 9 ( + ) = 0 och = f ( ) = 0 ( + ) = 0 Förstaerivatans teckenstuie: 0 + + + + + 0 + ( + ) 0 + + + + + ( + ) + + + 0 + + + f () 0 + ej ef + 0 + f () min ej ef terrasspunkt I punkten = Punkten = 0 har funktionen (lokal minimum f ( ) = är en terrasspunkt är f ( 0 ) = 0 b) Asymptoter till f ( ) = : 9 + I punkten = är nämnaren = 0 och täljaren 0 Därför f () ± å och ärme är = en vertikal asymptot Horisontella asymptoter saknas eftersom lim f ( ) = lim 9 + =
Snea asymptoter saknas eftersom lim c) Grafen f ( ) = lim 9 + = Svar: a) = är en minimipunkt = 0 är en terrasspunkt b) = en vertikal asymptot c) se ovanståene graf Rättningsmall: a) p för för två stationära punkter eller stationär punkt och korrekt typ b) p för korrekt vertikal asymptot c) p för korrekt graf ( me alla element från a och b) Uppgift ( p) Beräkna följane integraler a) + 7 ( Tips: Använ substitutionen + 7 = t ) b) + 6 9 ( Tips: Polynomivision ) + 7 = t t 0 Variabelsubstitution: + 7 = t, 0 = t = t 0
= t / t / t = + C / = ( + 7) + C = ( + 7) + 7 + C b) + 6 9 Täljaren har högre gra än nämnaren Gör ärför en polynomivision och integrera ärefter: Polynomivision ger att + 6 9 = + Integrera: + 6 9 = + = + + C ln Svar: a) ( + 7) + 7 + C b) + ln + C Rättningsmall: a) En poäng om man eliminerar och kommer till b) p för korrekt polynomivision t / t Uppgift ( p) Bestäm arean av et områe som efinieras av 0 y cos, 0 ( Me anra or ligger områet mellan kurvan y = cos, -aeln och linjerna = 0och = ) ( Tips: Partialintegration använs två gånger ) Arean A = 0 cos
Först beräknar vi en obestäma integralen cos genom att ( gånger) använa partiell integration f g = f g f g cos = = f g f g = sin sin = ( uv u ) = sin v Partiell Integration () : f =, g = cos f =, g = sin Partiell Integration () för sin u =, v = sin u = v = cos sin ( ( cos ) ( cos ) )= sin + cos cos = = sin + cos sin + C Arean [ ] / A = cos = 0 = sin + cos sin sin + cos sin 0 [ 0 sin 0 + 0 cos0 sin 0] = Svar: Arean = Rättningsmall: Korrekt en partiell integration ger p Allt korrekt= p Uppgift ( p) Ett objekt rör sig längs y-aeln me accelerationen a ( = cos(0 ( i lämpliga enheter t e m/s ) Partikelns position vi tipunkten t betecknar vi me y( och
partikelns hastighet me v( Bestäm partikelns position y( och v( om y(0) = och v ( 0) = Tips: v ( = a(, y ( = v( Från v ( = a( vs v ( = cos(0 har vi v ( = cos(0 t = sin(0 + C = sin(0 + C 0 För att bestämma C använer vi villkoret v ( 0) = vs 0 + C = C = och ärme v ( = sin(0 + från y ( = v(, vs y ( = sin(0 + har vi y ( = ( sin(0 + ) t = cos(0 + t + C = cos(0 + t + C 0 Villkoret y ( 0) = cos(0) + 0 + C = C = och slutligen y ( = cos(0 + t + Svar: y ( = cos(0 + t + Rättningsmall: p för korrekt v ( Uppgift 6 ( p) Bestäm en lösning till följane (separabla) ifferentialekvation + y = som uppfyller cos y y () = 6 y + = cos y y = ( + ) cos y y = ( + ) cos y
sin y = + + C (en allmänna lösningen) Från y() = har vi 6 sin = 6 + + C = + + C C = och ärme sin y = + Svar: sin y = + [eller y = arcsin( + ) ] Rättningsmall: Korrekt allmän lösning sin y = + + C ger p Allt korrekt= p Uppgift 7 (p) Lös följane ifferentialekvationer a) (p) y + y + y = 0 b) (p) y + y + y = + a) Den karakteristiska ekvationen r + r + = 0 r =, r = y = C e + C e b) Den homogena ekvationen y + y + y = 0 har följane karakteristiska ekvation: r + r + = 0 r = ± i, Därme är y H = Ce sin + Ce cos en allmänna lösningen till homogena elen En partikulär lösning får vi genom ansatsen y p = A + B, y p = A och y = 0 som vi substituerar i ekvationen y + y + y = + och får 0 + A + ( A + B) = + A + A + B = + Härav ekv: A = och ekv: A + B = p
som ger A = / och B = 0 Alltså y p = och slutligen y = y H + y p = C e sin + Ce cos + Svar: a) y = C e + C e b) y = C e sin + Ce cos + Rättningsmall: a) korrekt meto och svar =p b) p för homogena elen eller korrekt partikulär lösning p om allt är korrekt Uppgift 8 ( p) Bestäm strömmen i( i neanståene RC krets är R= ohm, C= fara, u ( = 0sin(00t ) volt och i(0)=0 ampere 00 Tips: Spänningsfallet över ett motstån me resistansen R är lika me R i( Spänningsfallet över en konensator me kapasitansen C är lika me q ( / C, är q( är laningen ( i coulomb) och q ( = i( a) Från kretsen får vi följane iff ekv q( R i( + = u( (ekv) C eller ( efter subst R och C) i ( + 00q( = 0 sin(00 (ekv) För att eliminera q ( eriverar vi ( ekv ) och ( eftersom q ' ( = i( ) får:
i ( + 00i( = 00000 cos(00 (ekv ) Härav i H ( 00t = Ce (*) {en allmänna lösningen för ( i } Vi substituerar ansatsen i p ( = Asin(00 + B cos(00 ( = 00Acos(00 00Bsin(00 i ekv() och får i p 00A cos(00 00B sin(00 + 00Asin(00 + 00B cos(00 = 00000 cos(00 Vi ientifierar koefficienter framför sin( 00t ) och cos( 00t ) och får två ekv: 00 A 00B = 0 (ekv ) 00 A + 00B = 00000 (ekv ) Från ekv har vi A = B som vi substituerar i ekv och får 000 B = och ärefter 7 000 A = 7 000 000 Därme är i p ( = sin(00 + cos(00 en partikulär lösning 7 7 och 00t 000 i( = ih ( + i p ( = Ce + sin(00 + 7 är en allmänna lösningen till ekv 000 cos(00 7 För att bestämma C använer vi begynnelsevillkoren i ( 0) = 0, 000 000 vs C + 0 + = 0 7 7 000 och får C = Därme 7 000 00t 000 000 i( = e + sin(00 + cos(00 7 7 7 000 00t 000 000 Svar i( = e + sin(00 + cos(00 7 7 7 ( ampere) Rättningsmall: p för korrekt i H ( eller ( p för en allmänna lösningen p om allt är korrekt i p