04, Utgåv öreläningr i Meni (MEA30) Del: Stti och prtieldynmi Lävec 4 öreläning : Jämvit med frition (6.-6.3). Jämvit för en ropp räver tt ytemet v yttre rfter utgör ett nollytem. Dett är ett nödvändigt villor för jämvit men inte lltid tillräcligt. Vid fri ontt melln roppr räv tt det å llde iceglidningvilloret är uppfyllt vilet hr tt gör med begreppet frition. Berivningen v onttrftvern melln roppr är omplicerd och beror blnd nnt v ropprn mteril, onttytorn egenper, beltningen i onttytn och ropprn eventuell reltiv rörele. En v de enlte modellern ber på å lld Coulomb-frition. Vi nu närmre tuder vd dett innebär. Betrt en låd med mn m om vilr på ett horiontellt underlg enligt figuren nedn. Om mn drr i lådn med rften = () t = i t (), där rften nt ö från monotont från noll, å gäller tt till en börjn ommer lådn tt befinn ig i vil (jämvit) änd till de tt rften når ett värde mx. Om rften fortätter tt väx utöver dett rubb jämviten och lådn börjr glid läng underlget i rften ritning. g = j ( g) t () mx j i t ) b) igur. Låd på horiontellt pln. Vi frilägger lådn och inför, förutom drgrften och tyngdrften g m, onttrftfördelningen melln lådn och underlget. Kroppr begränningytor är v oli beffenhet vd beträffr, blnd nnt, ytfinnhet. Denn påverr den verlig onttytn melln ropprn vilet i in tur påverr rftern melln ropprn. I igur. nedn vi en chemti bild v ontten melln lådn och underlget. I vrje onttpunt i verr, från underlget på lådn, en onttrft ( R, ), i =,..., n. Vi ntr tt dett rftytem hr rftreultnten ( R, ) där i i n R= R i i=
04, Utgåv och är en punt i onttytn. unten betäm då v tt n r R i i = 0 i= 3 igur. Konttrfter. I figurern nedn vi onttrftern rftreultnt, vid jämvit, för någr oli exempel på drgrften = i t (). När ör å måte R = R ö för tt vidmthåll jämviten mtidig om vineln φ måte ö. Jämviten räver tt + gm + R= 0 (.) mt tt verninglinjern för de tre rftern (, A), ( g mg, ), ( R, ) är vrndr i en punt. Det vir ig erfrenhetmäigt tt vineln θ inte n bli hur tor om helt. Till ett pr v roppr i ontt hör en vinel φ, den å llde tti fritionvineln, ådn tt jämvit räver tt θ φ (.) g m g m g m G A A A G G R φ R φ R ) b) c) igur.3 Konttrften. Av (.) följer tt R= gm = i( ) + j gm och därmed, enligt (.), tnφ = tnφ mx = gm tnφ (.3) gm
04, Utgåv Om blir törre än mx n jämviten inte upprätthåll. I dett läge å börjr lådn tt glid. Om vi delr upp onttrften enligt R= + N (.4) där = i är den å llde fritionrften och N = j N är normlrften å gäller enligt ovn vid jämvit tt =, N = mg. Vidre gäller tt tnφ = tnφ N tnφ (.5) N φ När lådn börjr glid gäller erfrenhetmäigt tt igur.4 Konttrften. = µ N (.6) d v = µ gm där µ 0 är det inemti fritiontlet (coefficient of inetic friction). ritionrften är motritd rörelen. Vi n inför det ttiti fritiontlet (coefficient of ttic friction) µ, reltert till den tti fritionvineln φ genom och (.5) n då riv µ = tnφ φ = rctn µ (.7) Nµ (.8) Reltionen melln det inemti och det tti fritiontlet n erfrenhetmäigt riv µ µ (.9) I figuren nedn vi en chemti figur över reltionen melln rftomponentern och. 3
04, Utgåv igur.5 ritionrften. Exempel. The 50g bloc ret on the horizontl urfce, nd force = 00N, whoe direction cn be vried, i pplied to the bloc. ) If the bloc begin to lip when θ i reduced to 30, clculte the coefficient of ttic friction µ between the bloc nd the urfce. b) If i pplied t θ = 45, clculte the friction force. igur.6 Exempel.. Löning: rilägg blocet! Inför tyngdrft mg och onttrften från den horiontell ytn;, N enligt igur.7 nedn. Jämvit medför: Sålede ( ) : coθ = 0, ( ) : N mg inθ = 0, N µ (.0) 4
04, Utgåv coθ mg + inθ µ (.) med lihettecen i (.) då θ = 30, d v coθ 00 co 30 µ = = = 0. 9 mg + in θ 50 9. 8+ 00 in 30 θ mg N igur.7 Löning.. ör θ = 45 gäller tt = coθ = 00 co 45 = 4. 4N och N = mg + inθ = 50 9. 8+ 00 in 45 = 63. 9N och därmed = 0. < 0. 9 = µ N Vi nu gör en utvidgning ovntående diuion till tre dimenioner. Vi inför fritiononen om ger en geometrit åådlig berivning v fritionvilloret och om deutom är nvändbr vid problemlöning. Betrt två roppr B och B om är i ontt i en punt. Låt Π betecn det gemenmm tngentplnet till ropprn begränningytor i onttpunten och låt n vr den normlvetor till tngentplnet om per ut ur roppen B. Vi inför onttrften från B på B R= nn +, n = 0 (.) där N = n N benämne normlrften och benämne fritionrften. Normlrften är ålde vinelrät mot tngentplnet och fritionrften är prllell med tngentplnet. Se igur.8 och igur.9 nedn. 5
04, Utgåv R A Π Π n n φ φ R igur.8 Kroppr i puntontt. ritiononen. Π φ φ n N R igur.9 Normlrft och fritionrft. ör normlrften gäller, vid torr ontt melln roppr (ing dheiv rfter), tt N 0 (.3) Meni ontt melln ropprn innebär tt N > 0, d v normlrften är en trycrft och n om ådn vr hur tor om helt, endt begränd v roppen hållfthet. Om N = 0 n ontt melln ropprn. Av erfrenhet vet mn tt fritionrften torle är begränd v normlrften. 6
04, Utgåv Enligt Coulomb (785) gäller, vid å lld torr frition, tt det finn ett tl µ 0, llt det tti fritiontlet (vilofritiontlet), ådnt tt om B inte glider mot B i å gäller tt µ N (.4) för ll och N ( N 0) om är möjlig vid iceglidning i onttpunten. Vidre finn ett tl µ 0, llt det inemti fritiontlet (glidfritiontlet) ådnt tt om B glider mot B i å gäller tt = µ N (.5) för ll och N ( N 0) om är möjlig i onttpunten. Det nt tt rel v 0 = µ N v v rel rel (.6) rel rel där v är glidhtigheten, d v v = v, v, där v, är mteriehtigheten ho B i onttpunten och v, är mteriehtigheten ho B i onttpunten. ritionrften är ålede vid glidning rt motritd glidhtigheten. I nedn tående figur gäller iv = µ = i µ om v > 0 rel v = v v = i v, N ( N) v mg v j N v = 0 i igur.0 Normlrft och fritionrft. St Det gäller tt µ µ. Bevi: Antg tt µ > µ. Då finn och N ( N 0) å tt µ N < < µ N 7
04, Utgåv Enligt (.5) vrr dett mot iceglidning (ndr oliheten) men den fört oliheten är oförenlig med (.4). Sålede är ntgndet oritigt och µ µ. ritiontlen beror på de båd ropprn ytor; der ontitution beträffnde mteril och ytfinhet. Om µ = 0 äg ontten vr gltt. Om µ > 0 äg ontten vr träv. Vineln θ melln onttrften R och normlvetorn n, e igur.6, ge v n R coθ = = R N N + n R, inθ = = R N + och därmed tnθ = (.7) N där = är fritionrften torle. Vi inför nu den å llde tti fritionvineln genom definitionen φ = rctn µ (.8) ritiononen är en rät cirulär on med hlv toppvineln li med den tti fritionvineln. St Om fritiononen plcer med peten i onttpunten och med ymmetrixeln prllell med normlen n, enligt igur.6, å gäller tt iceglidningvilloret (5.3) är evivlent med φ θ φ (.9) Dett villor innebär geometrit tt onttrften R måte ligg inuti fritiononen. Se igur.5. Bevi: Av (.4) och(.7) följer tt vilet ulle bevi. tnθ = µ = tnφ θ φ N å nät id redovi i Tbell. tti fritiontl för ett ntl mteril ombintioner. Oberver illnden i fritiontl för tål-tål i fllen torr yt och mord yt repetive. I minelement om till exempel lger och ugghjul är mörjning nödvändigt för tt min fritiontlen. 8
04, Utgåv Mteril Aluminium Steel 0.6 Copper Steel 0.53 Br Steel 0.5 Ct iron Copper.05 Ct iron Zinc 0.85 Concrete (wet) Rubber 0.30 Concrete (dry) Rubber.0 Concrete Wood 0.6 Copper Gl 0.68 Gl Gl 0.94 Sttic frictiom Dry nd clen μ Lubricted Metl Wood 0. 0.6 0. (wet) olyethene Steel 0. 0. [ Steel Steel 0.80 0.6 [ Steel TE 0.04 0.04 [ TE TE 0.04 0.04 Wood Wood 0.5 0.5 0. (wet) Tbell. Approximtiv tti fritiontl för någr mterilombintioner. igur. Chrle-Augutin de Coulomb 736-806. Exempel. Ett vineljärn betår v två ml, homogen tänger med mm m per längdenhet om är vetde mot vrndr å tt de bildr en rät vinel. Stängern hr längdern och b, repetive. Vineljärnet hänger över en bordnt enligt nedntående figur. Det tti fritiontlet i ontten melln vineljärn och bordnt är µ. Under vil förutättningr på b,, µ och vineljärnet plcering är jämvit möjlig. 9
04, Utgåv g b igur. Exempel.. Löning: rilägg vineljärnet. Inför tyngdrften och onttrften melln vineljärn och bordnt. Låt betecn onttpunten melln vineljärn och bord och låt x betecn vtåndet från vineljärnet hörn till. Om ρ är tängern denitet (m per längdenhet) å ge morn ho tängern v m = ρ och mb = ρb, repetive. Se figur nedn! N θ x mg b mg b igur.3 Löning.. Jämvit medför: ( ) : mginθ mginθ = 0, ( ) : N mgcoθ mgcoθ = 0 (.0) b : mg ( x)co θ mg( xcoθ bin θ) = 0 (.) Tilläggvillor: (onttvillor, iceglidningvillor, geometrit villor) b b 0
04, Utgåv Av (.0) och (.) följer tt N > 0, µ N, 0 < θ < 90, 0 x (.) = ρg ( + b)inθ, N= ρg ( + b)coθ, ( ( + bx ) )coθ + b inθ = 0(.3) Av de evtioner följer tt N = tnθ, ( + bx ) tnθ = (.4) b Men (.) 3 ( bx ) > 0 x b och därmed följer tt x + b < <. Av (.) och (.4) ( + bx ) µ, < x < b + b (.5) Uttrycet (.5) ger, för givet x, det mint tti fritiontl om räv för jämvit. ör x = + b gäller 0 µ. ör x= gäller µ och för x = gäller ( ) b µ b + b. llet x= n tuder grfit enligt figuren nedn. I figuren n vi vlä det nödvändig villoret θ φ tnθ tnφ = µ µ. b θ R φ θ G b g m igur.4 Löning.. Antg nu tt ontten melln ropprn er över en pln onttyt och inte enbrt i en punt. ör tt bli mer pecifi betrtr vi en ropp i form v ett rätbloc, d v lådn i igur.5. Vi
04, Utgåv ntr tt lådn är i ontt med den pln ytn ho underlget. n n dn Konttyt d S igur.5 ln onttyt. Konttytn S melln ropprn hr retngulär form. Vi ntr tt i en punt ngriper onttrften där dr = ndn + d (.6) med onttvilloren dn 0 och d µ dn (.7) I llmänhet n det tti fritiontlet bero på punten, d v µ = µ,. Om å inte är fllet och och µ hr mm värde över hel onttytn äger vi tt fritionen är ontnt. Krftummn för onttrftfördelningen R= dr = n dn + d = nn + S S S (.8) där N = d S = dn och S. Momentummn m p origo O ge v (om N > 0) MO = r dr = ( rdn) n+ r d = ( dn) + d = N r N r S S S S S r N + r d S T (.9) där v N = n N är normlrften och punten T är onttrftfördelningen tryccentrum, definiert r = dn N > 0 N T r, S (.30)
04, Utgåv Oberver tt denn definition är oberoende v vlet v origo O. Vi n då välj O i onttytn S och det följer då tt T måte ligg i det onvex höljet till S, vilet, i fllet med retngeln i igur.5, mmnfller med retngeln jälv. Det onvex höljet till S är den mint onvex mängd om innehåller S. Se figur nedn! S T igur.6 Det onvex höljet till en fotul. St Om N > 0 hr onttrftfördelningen ( dk, ), S reultnten ( RM,, T ) där R= nn +, N = dn, = S d S M = r d S = dn N r S, T, T r (.3) Vidre gäller tt M = n M, M = 0 och om fritionen är ontnt µ N (.3) Konttrftfördelningen är ett rftreultntytem och rftreultnten ge v ( R, G) där r TG M n = = M Oberver tt nr TG = 0 d v G ligger i det pln om definier v S. Om M = 0 ge rftreultnten v ( R, T ). Se igur.7 nedn. Bevi: Det gäller tt MT = rt d = M. Efterom r T och d är prllell med onttplnet S S å följer tt är prllell med onttplnet och tt moment-vetorn M är vinelrät mot onttplnet, d v M = 0. Vidre gäller, enligt (5.8), tt N = dn 0 S d µ dn = µ dn = µ N S S S, 3
04, Utgåv n M n T G Konttyt R Konttyt R igur.7 Reultnten till onttrftfördelningen. Antg tt d = e µ dn där e e = och e n = 0. Vi ntr ålede tt fritionrften i vrje punt är proportionell mot normlrften med proportionlitetontnten µ. Av (.9) följer då tt µ µ. Då gäller tt = e S µ dn M = r e S µ dn, T Vi hr oliheten M r e µ dn = r inθ µ dn µ r inθ dn µ r dn S S S S T T T T Om nu r T r för ll S å gäller tt M = M µ r dn = µ rn S S r T igur.8 Stödytn rdie. 4
04, Utgåv Om vi nu ntr tt e och µ är oberoende v, d v e = e och µ = µ å efterom r TdN = 0. S = e µn, M = ( r dn ) eµ = 0 S T (.33) Exempel.3 En låd befinner ig på ett lutnde pln med lutningvineln α. Kontten melln låd och lutnde pln hr det tti fritiontlet µ. ör vil lutningvinlr 0 < α < 90 n lådn befinn ig i jämvit? Vi ntr tt lådn mcentrum mmnfller med de geometri centrum. gm α igur.9 Låd på lutnde pln. Löning: rilägg lådn. Inför de yttre rfter om verr på lådn; tyngdrften ( g mg, ), där G är lådn mcentrum och onttrftfördelningen från lutnde plnet på lådn ( dr, ), S, där S är lådn retngulär bottenyt, med reultnten ( RM,, T ). Jämvit medför gm + R= 0, r GT R+ M = 0 (.34) där M = n M. Av (.34) följer tt M R = MN= 0. Om N > 0, d v meni ontt, följer då tt M= 0 och därmed M = 0 och vi hr jämvitevtionern gm + R= 0, r GT R= 0 (.35) Mn n ocå reoner på följnde ätt. Krftytemet ( g mg, ), ( RM,, T ) är ett nollytem. Dett innebär tt ( g mg, ) är evimoment med ( RM,, T ), d v M R = 0 och vi hr ett nollytem v två puntrfter; ( g mg, ), ( R, T ). De hr då på mm verninglinje, linjen genom puntern G och T. Der rftvetorer är motritde och li tor. Dett uttryc vetorlgebrit i (.35). Av (.35) följer, efterom n = 0, tt R= nn + = gm N = n g m = gmcoα 5
04, Utgåv och därmed, efterom g = g( einα + n co α) där e ( e e = ) är prllell med lutnde plnet enligt figuren nedn, = gm nn = gm( einα + nco α) ngmcoα = e gminα Iceglidningvilloret (.3) n då riv = e gminα = gminα µ N = µ gmcoα tnα µ = tnφ α φ Lådn börjr glid då α > φ. I figur nedn vi den frilgd lådn med fritiononen inritd. φ mg G α T n e R α igur.0 rilgd låd med fritionon. Exempel.4 Två pln homogen ivor, vrder med mn m är vid en nt A förende med en gltt led. Den en ivn itter ft i en gltt led vid den horiontell nten O medn nten B töder mot ett trävt horiontellt bord. Betäm vilet fritiontl om räv ho ontten melln iv och bord i B för tt jämvit ll vr möjlig. g igur. Kopplde ivor på trävt underlg. 6
04, Utgåv Löning: rilägg den högr ivn. Inför yttre rfter; ( R, A ), ( g mg, ), ( R, B). Jämvit medför RA + gm + RB = 0, CA A CG m CB B A B r R + r g + r R = 0 (.36) där C är ärningpunten melln verninglinjern för ( R A, A ) och ( g mg, ), d v rca R A = r gm = 0. Se iguren nedn. CG R A A C R A b G θ φ R B g m n g m B R B igur. rilgd iv. Då följer v (.36) tt rcb RB = 0 d v C ligger på verninglinjen för ( R B, B ), e igur.! Vi hr ju nämligen ett nollytem betående n tre puntrfter. Med RB = nnb + B erhålle Vrför n vi nt tt vetorn B = tnθ = µ µ b N b R A är horiontellt ritd? B Alterntivt n vi lö dett problem genom tt inför rftomponenter i onttpuntern enligt figuren nedn. Jämvit medför: ( ): RA B = 0, ( ): NB mg = 0, B : mg RAb = 0 (.37) Tilläggvillor: (onttvillor, iceglidningvillor) NB > 0, B µ NB (.38) 7
04, Utgåv Av (.37) följer B mg b = RA =, B N = mg > 0 (.39) R A A b G mg B B N B igur.3 rilgd iv. Av (.38) och (.39) följer villoret mg µ mg µ b b Exempel.5 (Extent 0) En ålld fritionpärr är fritionfritt lgrd på en xel genom den fix punten A. Spärren är i ontt med ett hjul i punten B i enlighet med vidtående figur. Hjulet är lgrt på en fix xel genom centrumpunten O. Spärren, om är lätt, tillåter hjulet tt rör ig i tort ett obehindrt när hjulet roterr motur. Medur rottion ho hjulet n förhindr v fritionrften i ontten melln pärr och hjul. Denn ontt hr vilofritiontlet µ = 06.. Betäm den utformning v fritionpärren, d v de vinlr θ 0 i figuren, för vil jämvit n upprätthåll för vrje moment M > 0. örumm egentyngden ho pärren! O igur.4 ritionpärr. 8
04, Utgåv Löning: rilägg fritionpärren och hjulet. Inför onttrften melln pärr och hjul i onttpunten B; normlrften N och fritionrften f. N n β B N O igur.5 rilgd fritionpärr och hjul. Jämvit för pärren medför A: co β + Nin β = 0 (.40) där = r BA och β är vineln melln normlvetorn n och r BA. Se figuren ovn. Jämvit för hjulet medför där r är hjulet rdie. örutom (.33) och (.34) gäller onttvilloret O: M r = 0 (.4) µ N, N 0 (.4) Genom ombintion v (.40) och (.4) erhålle M N = > 0, om 0 < β < 90, = N tn β r tn β Sålede är (.4) uppfyllt. Iceglidningvilloret (.4) är evivlent med N tn β µ N β rctn µ Av geometrin följer tt β = θ + 0 och därmed θ rctn 0. 6 0 Vi noterr tt inθ = r in 0 θ > 0. Krvet på vineln θ blir då: 0 < θ och för givn r och θ erhålle 9
04, Utgåv = Rin 0 inθ Svr: 0 < θ. Smmnfttning frition Konttvillor: R= nn +, n = 0 µ N, N 0, N 0 > meni ontt rel v 0 = µ N v v rel rel, µ µ öreläning : Kilen och ruven (6/4-6/5). I denn föreläning vi tuder två onret tillämpningr v jämvit med frition, nämligen ilen och ruven. β igur. Kilen. Kilen: Kilen tillhör, tillmmn med t ex lutnde plnet, tljn och ruven, de å llde li enl minern. En il är en tel ropp med tringulärt tvärnitt och med idoytor om bildr en petig vinel β > 0. Kilen n nvänd för tt p tor idorfter. Genom tt pre på ilen 0
04, Utgåv med rften n mn, om vineln β är liten, åtdomm en rftutväxling till normlrften mot idoytn. rilägg ilen. Inför onttrftern f, N, vi ntr ymmetri beltning på idoytorn. Se figuren nedn! Sätt (där µ är en prmeter) f = µ N där µ µ och N 0 (.) Jämvit för ilen medför ( ) : Nco β f in β + f in β Nco β = 0, ( ) : N in β + f co β = 0 (.) Evtion (.) är identit uppfylld (0 = 0). Av (.) och (.) erhålle idorften (normlrften) N =, µ tnβ (in β + µ co β) (.3) ör fllet µ = tn β räv tt = 0 och tt µ = tn β µ = tnφ β φ. Dett innebär tt om hlv ilvineln är mindre än fritionvineln n ilen itt vr även om rften = 0. Dett ll jälvlåning (jälvhämning). igur. Kilen. Vid intrycning v ilen gäller tt: > 0, µ > 0 och N > 0 ge då v (.3). Om vi ntr tt ilen preci är på väg tt glid i rften ritning är fritionen fullt utbildd och µ = µ och normlrften ge då v N = (in β + µ co β ) (.4)
04, Utgåv Det gäller tt in β + µ co β = + µ in( β + φ ) + µ inφ = µ och därmed N och µ N för må vinlr β µ Vid utdrgning v ilen gäller tt µ < 0. Antg tt µ = µ, d v fullt utbildd frition. Då gäller, enligt (.3), = N co β(tn β µ ) = N co β(tn β tn φ ) (.5) Av dett följer tt φ < β > 0 I dett fll räv lltå ett mothåll nnr ploppr ilen ut. Om φ > β å gäller tt < 0, d v det räv en utdrgnde rft. Vi hr jälvhämning. Smmnfttning ilen Kilformeln: N =, µ tnβ (in β + µ co β) Intrycning: Utdrgning: Självhämning: φ > β N = (in β + µ co β ) = N co β(tn β µ ) = N co β(tn β tn φ ) Sruven: En ruv är föredd med en å lld gäng. Denn gäng fungerr om ett ( roternde ) lutnde pln och möjliggör en utväxling melln rft och moment. Sruven är föredd med en yttre gäng, om ll p in i motvrnde inre gäng, i den ropp ( muttern ) om ruven ruv in i. I ontten melln yttre och inre gäng upptår onttrfter i form v norml- och fritionrfter. Vår uppgift här är tt nlyer ruven jämvit då den belt med yttre rfter och moment. I
04, Utgåv figuren nedn vi en typ v domrft ägnd tt lyft en tyngd i form v ett betongbloc. Lyftet åtdomme genom tt påver ruven med ett moment M = (.6) igur.3 Domrft. Vi börjr nlyen med tt definier ruven geometri. Sruven tigning L definier om den träc ruven rör ig i xiell led då ruven vrid (roter) ett vrv ring in ymmetrixel. Sruven tigningvinel α definier om vineln melln gängn tngent och ruven ymmetrixel. Det gäller tt L tnα = (.7) π d där d betecnr ruven (medeldimeter). Vi ntr tt ruven hr en r gäng enligt figuren nedn. rilägg ruven. Inför retionen W från tyngden och retionen dr från domrften täd på ruven. Vi förummr ruven egentyngd. Låt vr en enhetvetor i ruven xilritning. Vi n då riv W = ( W ) och M = M. Vi delr upp dr i omponter dr = dr + dr t där dr = dr och dr t är tngentiell till ruven enligt figuren nedn. Det gäller tt dr = dr = drin( α + φ), dr = dr co( α + φ) (.8) t t 3
04, Utgåv där φ φ = rctn µ och µ är fritionoefficienten i ontten melln ruv och täd. Sruv L α Städ π d d igur.4 En domrft med ruv. W M n dr t dr dr dr dr t α + φ dr φ α igur.5 Sruven frilgd. Jämvit medför: ( ): W + dr = 0 W = co( α + φ) dr (.9) Momentjämvit m p ruven ymmetrixel: 4
04, Utgåv d M rdkt = 0 M = in( α + φ) dr (.0) Genom tt ombiner (.9), (.0) och (.7) erhålle ruvformeln: d tn( ) in( ) W d tn( ) L α + φ M = α + φ = W α + φ = W co( α + φ) π tnα (.) Som ger mbndet melln M och W. Oberver tt φ φ. Dett innebär tt för jämvit räv tt L tn( α + φ ) M Mmx = W (.) π tnα ör tt ruv upp ruven (åtdrgning) räv tt φ = φ = rctn µ och därmed M > M. När ruven börjr rör ig gäller tt mx L tn( α + φ ) M = W Mmx (.3) π tnα Om ruven ruv ner (loning) gäller tt φ = φ = rctn µ och därmed M L tn( α φ ) = W (.4) π tnα Självlånde ruv räver tt M < 0 α φ < 0 α < φ (.5) Exempel. The br clmp i being ued to clmp two bord together while the glue between them cure. Wht torque M mut be pplied to the hndle of the crew in order to produce 400N compreion between the bord? The ingle-thred crew h qure thred with men dimeter of 0mm nd led (dvncement per revolution) of.5mm. the effective coefficient of friction i 0.. Neglect ny friction in the pivot contct t C. Wht torque M i required in order to looen the clmp. igur.6 Exempel.. 5
04, Utgåv L 5. Löning: Det gäller tt ruven tigningvinel α = rctn rctn. 73 πd = π 0 =. ritionvineln φ = rctn µ = rctn 0. =. 3. Dett ger α + φ = 4. 04. Axilrften W = 400N. Dett ger vid åtdrgning 3 L tn( α + φ ). 5 0 tn 4. 04 M = M mx = W = 400 = 0. 5Nm π tnα π tn. 73 W igur.7 Löning.. Smmnfttning ruven Sruvformeln: Åtdrgning: M L = W π tn( α + φ) tnα M L > W π tn( α + φ ) tnα Loning: M L = W π tn( α φ ) tnα Självlåning: α < φ 6
04, Utgåv öreläning 3: Remfrition. Jämvit, potentiell energi och tbilitet (6/8, 7/4). Remfrition: När mn tjudrr häten räcer det oft med tt lägg tömmen någr vrv ring tången för tt häten inte ll unn lit ig. Hur fungerr dett? Antg tt tömmen omluter tången vineln β. igur 3. Hur fungerr det? Vi frilägger en uturen del v tömmen enligt figuren nedn. denn del påver v ontttrycet melln tång och töm p= p( θ ) och pännrften i remmen T = T( θ ). Trycet ger upphov till en rdiell rft (normlrft) N = p( θ) R( θ) θ (3.) där R= R( θ ) är tången röningrdie, om i fllet med en cylinderformd tång är ontnt (oberoende v θ ) och li med tången rdie. Vi förummr remdelen egentyngd. Jämvit medför ( ) : Tco ϕ ( T + T)co ϕ+ f = 0 ( ) : N Tin ϕ ( T + T)in ϕ = 0 (3.) där θ = ϕ. Med f = µ N, µ µ erhålle ( ) : T co ϕ + µ N = 0 T co ϕ + µ pr θ = 0 ( ) : N T in ϕ T in ϕ = 0 pr θ T in ϕ T in ϕ = 0 (3.3) Se nedntående figur! 7
04, Utgåv T T igur 3. rilgd del v rem. Dett ger T θ dt co + µ pr = 0 + µ pr = 0, då θ 0 θ dθ θ in T θ pr T in = 0 pr T = 0, då θ 0 θ θ (3.4) Sålede dt µ pr 0 dθ =, pr T = 0 (3.5) och vi erhåller differentilevtionen dt µ T 0 dθ = (3.6) om med rndvilloret T0 ( ) = T0 ger löningen (Euler remformel) T( θ ) = Te µθ 0 (3.7) Antg tt T( θ ) = T och T( θ ) = T. Då följer, enligt (3.7), tt T = Te = Te µθ ( θ ) µβ där β = θ θ är omlutningvineln. 8
04, Utgåv roblem 6/04 Med vilen rft måte häten dr för tt omm lo om fritiontlet är µ = 07. och omlutningvineln θ vrr mot två vrv plu 60. Antg tt tömmen frihängnde del hr mn m = 0. 060g. T ( θ ) 60 T0 = mg igur 3.3 Löning 6/04. π Löning: Det gäller tt θ = π + 3. 6rd och tt T0 = mg = 0. 06 9. 8 = 0. 589N. Dett 3 µθ 0. 7 3. 6 ger T ( θ ) = T0 e = 0. 589e = 8084N. Exempel 3. Ett bromhjul med rdien R roterr med vinelhtigheten ω 0 ring en fix horiontell xel genom hjulet centrum O. En rem, vr en ändpunt är fixerd i punten D, är lgd över bromhjulet och hr in ndr ändpunt B fät i en hävrm. Hävrmen är fritionfritt lgrd i punten A. En rft nbring, vinelrätt mot hävrmen, i punten C. Det inemti fritiontlet melln rem och hjul är µ. Betäm det därmed uppomn bromnde momentet på hjulet. Se figuren nedn. C ω 0 O R b B D A θ igur 3.4 Bndbrom. 9
04, Utgåv Löning: rilägg vänghjulet. Inför pännrftern i remmen S och S. Det bromnde momentet rilägg hävrmen. Jämvit medför O : M = ( S S ) R (3.8) O A: S ( + b) = 0 (3.9) ω 0 π θ H O O V O R θ S S C S b H A A θ B V A igur 3.5 Bromhjul och hävrm frilgd. Omlutningvineln är π θ. Om ω 0 > 0, d v om hjulet nurrr motur, å gäller enligt Euler remformel S Se µ π θ ( ) = (3.0) Genom tt ombiner (3.8)-(3.0) å erhålle det bromnde momentet µ ( π θ ) + b µ ( π θ) MO = ( S S) R= S( e ) R= ( e ) R Om µ = 05. och θ = 60 erhålle Om ω 0 < 0 05. π µ ( π θ) e e 3 0. 65 = och därmed + b M O = 0. 65 R, d v om hjulet nurrr medur, å gäller enligt Euler remformel 30
04, Utgåv S = Se µ π θ ( ) och det bromnde momentet + b µ ( π θ) + b M O = ( e ) R. 86 R d v i dett fll blir det bromnde momentet c.9 gånger törre än i det förr fllet. Smmnfttning remfrition Euler remformel: T = Te µβ där β = θ θ är omlutningvineln, µ µ. Jämvit, rbete, potentiell energi och tbilitet: Sedn gmmlt vet vi tt rbete, i menien mening, n uttryc om rft gånger väg. Vi ll nu tuder begreppet menit rbete lite noggrnnre. Betrt för den ull en prtiel om påver v en rft. Antg tt prtieln ge en förjutning r. Vi ntr tt rften är ontnt under denn förjutning. Oberver tt även ndr rfter n tän påver prtieln under förjutningen. Vi fouerr här på rften. r θ r O j i igur 3.6 En rft rbete. Slärproduten U = r 3
04, Utgåv definierr rften rbete under förjutningen r. Arbete hr ålede den fyili dimenionen ML T och SI-enheten är Newtonmeter ( Nm ) eller Joule (J). Antg tt 0 och r 0. I nnt fll gäller tt U = 0. Med betecningrn =, e =, r = r, e r r = r n vi riv U = rcoθ (3.) där θ är vineln melln vetorern och r. Se figuren ovn! Med r = rcoθ n (3.) riv = r coθ och U = r = r (3.) r vilet n uttryc å tt: rbetet är rften gånger förjutningen i rften ritning, eller lterntivt: rbetet är rften i förjutningen ritning gånger förjutningen. r θ r θ r r igur 3.7 En rft rbete, U 0. π π Om 0 θ < å gäller tt U > 0, e figur ovn. Om θ = å gäller tt U = 0. θ r r igur 3.8 En rft rbete, U = 0 och U < 0. π Om < θ π å gäller tt U < 0, e figur ovn. 3
04, Utgåv jäderrften rbete, fjädern potentiell energi: En lineärt elti fjäder (v typen pirlfjäder) är ett menit element (en ropp) om deformer vid beltning. Belt fjädern med en drgeller trycrft i fjädern längritning ommer den tt förläng repetive förort i proportion till rften torle. I figuren nedn vi en obeltd fjäder, en drgen fjäder och en tryct fjäder, repetive. ) Opänd fjäder: jädern opänd längd l 0. jäderontnten ( tyvheten ) > 0. b) Drgen fjäder: jädern tuell längd l, ( l > l 0 ). jädern förlängning l = l l0. Drgrft på fjädern = l= l ( l) 0 c) Tryct fjäder: jädern tuell längd l, ( l < l0). jädern förortning l = l0 l. Trycrft på fjädern = l= l ( l) 0 De fjädern ontitutiv egenper, d v mbndet melln rft och längdändring, n mmnftt i uttrycet där fjädern tuell längd ge v l. Då gäller tt = l ( l) = l (3.3) l > l0 > 0 drgrft och l < l0 < 0 trycrft 0 l 0 l l ) b) c) igur 3.9 ) Opänd fjäder, b) drgen fjäder, c) tryct fjäder Antg tt en fjäder belt med en trycrft enligt nedntående figur. jädern nt h fjäderontnten. Antg tt fjädern hr förortt (tryct ihop) träcn l = x. Då gäller, vid jämvit tt 33
04, Utgåv = l = x l 0 l igur 3.0 Arbete vid ompreion v en fjäder. Om fjäder omprimer ytterligre en träc δ x å utför rbetet δue = δx = xδx. Det totl rbete om utför vid en ompreion från en hoptrycning x till en hoptrycning x > x ge då pproximtivt v ( δ xi = x x) n i= n n x δx = x δx xdx, då n i i i i i= i= x Oberver tt δ x 0 då n. Vi hr här nvänt o v definitionen v Riemnn-integrlen från i uren i Endimenionell nly. Sålede ge rften rbete v x x x x x U = xdx = = x x δu = δx = xδx VI noterr tt igur 3. Arbete vid ompreion v en fjäder. 34
04, Utgåv x x x + x + U = = ( x x) = x där = x, = x och x= x x. Se igur 3. ovn! untionen V e x = Ve( x) = (3.4) ll fjädern potentiell energi (elti energi) vid en ompreion v fjädern träcn x. Dett uttryc för fjädern potentiell energi gäller även vid en förlängning v fjädern. Uttrycet () n då riv U = V ( x ) V ( x ) e e d v det rbete om rften uträttr vid ompreionen v fjädern motvr ext v ändringen i fjädern elti energi. Mn n uttryc det å tt det rbete om rften uträttr lgr upp om elti energi i fjädern. Nedn vi funtionen (3.4). 5 Elti energi Elti energi (Nm) 4 3 V e ( x) 0 0 0 3 4 0 3 6 0 3 8 0 3 0.0 x Kompreion (m) igur 3. Elti energi vid ompreion v en fjäder, 5 = 0. Tyngdrften rbete, potentiell energi i tyngdrftfältet: En ropp med mn m befinner ig i tyngdrftfältet och förflytt från ett läge (Läge ) till ett nnt läge (Läge ) vrvid roppen mcentrum G erhåller förjutningen r G.Då gäller tt tyngdrften rbete ge v U = gm r = r ( mg) g 35
04, Utgåv r = i x + j y + z erhålle Med G G G G U = mg z g G d v tyngdrften uträttr ett negtiv rbete om z > 0 och ett poitivt om z < 0. G G g = ( g) B Läge r Läge B G g m g m igur 3.3 Tyngdrften rbete. untionen V = V ( h) = mgh (3.5) g g ll roppen potentiell energi i tyngdrftfältet. Vribeln h betecnr roppen mcentrum vertil läge i förhållnde till en nollnivå om n välj godtycligt. Oberver tt h n vr åväl ett poitiv om ett negtivt reellt tl. g = ( g) B G h Nollnivå igur 3.4 Kroppen potentiell energi i tyngdrftfältet. Vi hr då 36
04, Utgåv U = mg z = mg( h h ) = V ( h ) V ( h ) G g g vilet innebär tt tyngdrften rbete vid förflyttning från Läge till Läge motvr ext v illnden melln roppen potentiell energi i Läge och Läge. g = ( g) B G z G h B G h Nollnivå igur 3.5 Kroppen potentiell energi i tyngdrftfältet. 9.6 0 otentiell energi i tyngdrftfältet otentiell energi (Nm) 5 V.g ( h) 0 5 0 0 0 4 6 8 0 0 h 0 37 Höjd (m) igur 3.6 Kroppen potentiell energi i tyngdrftfältet, m = 0. g. I de jämvitproblem vi tudert hitintill hr roppen läge vrit änt och vi hr underöt förutättningrn för jämvit i dett läge och den tuell roppen hr i llmänhet unnt betrt om tel. Om vi nu blndr in fjädrr i de roppr vi tuderr å ommer roppen jämvitläge inte vr änt på förhnd. En betämning v dett läge blir en del v jämvitnlyen. Den metod vi nu beriv, för betämning v ett menit ytem jämvit, utnyttjr ytemet potentiell energi given om ummn v elti energi och potentiell energi i tyngdrftfältet. Vi ntr tt ytemet
04, Utgåv möjlig lägen n beriv med hjälp v en prmeter q å tt ytemet potentiell V energi ge v V = V( q) = V ( q) + V ( q) (3.6) rmetern q n i tillämpningr betyd t ex en träc x eller en vinel θ. Vi börjr med ett enelt exempel. Exempel 3. En ropp (ul) med mn m är fttt i den en änden på en fjäder. Den ndr änden på fjädern är fixerd vid en ft punt O. Sytemet (roppen) Kul + fjäder får häng fritt i tyngdrftfältet. Sytemet jämvitläge ge v oordinten x enligt igur 3.8 ) nedn. Betäm vid jämvit värdet på oordinten x. jädern hr den opänd längden l 0 och fjäderontnten. örumm fjädern m! g e R O O x mg ) b) c) igur 3.7 jäder-m ytem. Löning: rilägg uln. Inför tyngdrften mg och rften från fjädern enligt igur 3.7 b). Jämvit medför: ( ):mg = 0 (3.7) Det gäller tt = x ( l 0 ) och ålede mg mg ( x l0) = 0 x = l0 + 38
04, Utgåv mg jädern förlängning i jämvitläget är då l = x l0 =. Om m = 0. g, l0 = 0. m och mg = 00Nm å erhålle x = l0 + = 0. m. Vi ll nu vi en lterntiv metod för löning v dett problem. Vi frilägger roppen (ytemet) Kul + fjäder och inför retionrften R i punten O enligt igur 3.7 c). Sytemet potentiell energi ge v V = V ( x) = V ( ) ( ) ( ) g x + Ve x = mgx + x l0 (3.8) Jämvitläget ge nu v villoret tt potentiell energin hr en ttionär punt i dett läge, d v dv ( x) mg = 0 mg + ( x l0 ) = 0 x = x jmv = l0 + dx 3 otentiell energi otentiell energi (Nm) V( x) 0 0 0. 0. x jmv 0.3 0.4 x jädern längd (m) igur 3.8 otentiell energi för jäder-m ytem. Hur n nu dett funger? Vi ger här en heuriti motivering. Om vi trtr från jämvitevtionen (3.7) å n vi riv mg = 0 ( mg ( x l )) δx = 0, δx 0 vilet är evivlent med mgδx + ( x l ) δx = 0, δx 0. Dett är i in tur evivlent med 0 0 dv dv δvg + δve = 0 δv = δx= 0, δx 0 = 0 (3.9) dx dx Antg nu tt uln deutom påver v en ontnt vertil rft enligt nedntående figur. Betäm vid jämvit värdet på oordinten x i dett fll. Jämvit medför ( ):mg + = 0 (3.0) 39
04, Utgåv Det gäller tt = x ( l 0 ) och ålede mg + mg + ( x l0) = 0 x = l0 + (3.) R O O x mg ) b) c) igur 3.9 jäder-m ytem. Sytemet potentiell energi ge v (3.6) ovn. Vi erätter här villoret (3.9) med δu = δv (3.) där δ U är rbetet för den nbringde rften och retionrften R. Det gäller tt δu = δx Bidrget från rften R är li med noll efterom punten O är fix. Villoret (3.) ger då Dett medför tt δx = mgδx + ( x l ) δx, δx = mg + ( x l 0 ) 0 vilet ger jämvit värdet på oordinten x enligt (3.). 40
04, Utgåv Allmänt, betrtr vi en ropp, om betår v tel roppr och fjädrr, och befinner ig i tyngdrftfältet. Vi ntr tt det, förutom tyngdrften, verr en yttre nbringd rft (, A) på ytemet mt retionrfter ( R, ), i =,.., n där r = r ( ) och r = r ( ). Om prmetern i i A A q q ändr med δ q å gäller tt ändringen v lägevetorern ge v δ d = r dq dr A i r A δq, δr = δ, =,.., i dq q i n q i i Arbetet om då uträtt v rftytemet (, A),( R, ), i =,.., n ge v n n δ d d A i U δ δ r r = ra + Ri r = ( + ) i R i q dq dq δ i i= i= Om vi ntr tt ytemet innehåller m fjädrr med de opänd längdern l i0, och fjäderontntern får vi den potentiell energin V = V( q) = V ( q) + V ( q) med i g m Vg ( q) = mgh( q), V ( q) = ( l ( q) l, ) i e e i i i0 i = där h= hq ( ) är ytemet mcentrum höjdläge i tyngdrftfältet och li ( q), i =,.., n fjädrrn dv ( q) tuell längder. Det gäller tt δv = δq. Jämvit medför, om vi ntr tt ing inre rfter i dq roppen uträttr rbete, n dv ( q) dr dr A i δv = δu δq = ( + R i ) δq, δq (3.3) dq dq dq d v ändringen i potentiell energi vrr mot rbetet om uträtt v de yttre rftern. vilet är evivlent med Jämvitvilloret n då riv i= n dv ( q) dr dr A i = + R i dq dq dq dv ( q) dq i= = Q (3.4) där n dr dr Q = + i dq dq A i R och i= dv ( q) dv ( q ) dv ( q ) dh( q) dl ( q = + = mg + l q l ) = 0 dq dq dq dq dq g e m i( i( ) i0, ) i i= 4
04, Utgåv I fllet med Q= 0 hr vi jämvitvilloret: dv ( q) dq = 0 (3.5) d v den potentiell energin ll h en ttionär punt i jämvitläget. Krtären ho denn ttionär punt, om den utgör ett (lolt) minimum eller ett mximum vgör jämvitläget tbilitet. Ett jämvitläge är tbilt om potentiell energin hr ett minimum i jämvitläget och intbilt om den potentiell energin hr ett mximum. igur 3.0 Stbilt, intbilt och indifferent jämvitläge. Jämvitläget tbilitet vgör genom tt tuder ndrderivtn v potentiell energin, d v dvq ( ) > 0 tbilt dq dvq ( ) < 0 intbilt dq (3.6) Vi vlutr med två exempel. Exempel 3.3 En menim, enligt nedntående figur befinner ig i jämvit i det vide läget. Länrmrn AB och BC betår v homogen tänger vrder med mn m. Hjulet m är förumbr! jädern hr fjäderontnten och hr in opänd längd l 0 då θ = 0. Betäm rften. L L igur 3. Exempel 3.3. 4
04, Utgåv Löning: rilägg roppen betående v fjädern och länrmrn. Inför yttre retionrfter enligt nedntående figur; = j, N = i N, R= ih + j V mt den nbringde rften = i. Sytemet v yttre rfter ge då v (, O),( N, D),( R, C),(, B) där r 0, r = i( r) + j ( l L( co θ )), r = ilin θ + j ( l L ( co θ)), O = D 0 B 0 r = j ( l L ) C 0 där r är hjulet rdie. Vidre gäller för ytemet mcentrum G L rg = i in θ + j ( l0 L ( co θ)) O l( θ ) j h( θ ) N D i G H V igur 3. Exempel 3.3. Det följer tt dro drd drb drc Q = + N + + R = in j( Lin θ) + i ( ilco θ + j ( Lin θ)) = dθ dθ dθ dθ L coθ Oberver tt dro dθ dr dθ C = = 0 efterom O och C är fix punter. Kroppen potentiell energi V = V ( θ) = V ( ) ( ) ( ) ( ( ) ) g θ + Ve θ = mgh θ + l θ l0 43
04, Utgåv där h( θ) = j r ( θ) = l + L ( co θ) och l( θ) = l + L( co θ). Därmed erhålle och följtligen G 0 Jämvitevtionen ge v och därmed V( θ) = mg( l + L( co θ)) + L ( co θ) 0 0 dv ( θ ) = mglin θ + 4L ( co θ)inθ dθ dv ( θ ) Q = L coθ = mglin θ + 4L ( co θ) inθ dθ = ( 4L( co θ) mg) tnθ roblem 7/37 The uniform br of m m nd length L i upported in the verticl plne by two identicl pring ech of tiffne nd compreed t ditnce δ in the verticl poition θ = 0. Determine the minimum tiffne which will enure tble equilibrium poition with θ = 0. The pring my be umed to ct in the horizontl direction during mll ngulr motion of the br. igur 3.0 Exempel 3.3. igur 3.3 roblem 7/37. Löning: rilägg roppen om betår v fjädrr och tång. Inför yttre retionrfter enligt nedntående figur; A = i A, B = i B, R= ih + j V. Efterom OA, och B är fix punter å gäller tt dr dr dr dθ dθ dθ A B O Q= A + B + R = 0 44
04, Utgåv A A B B igur 3. roblem 7/36. j G i h( θ ) H O V igur 3.4 Löning 7/37. Kroppen potentiell energi ge v V= V( θ) = Vg( θ) + Ve( θ) = mgh( θ) + l ( A( θ) l0) + l ( B( θ) l0) L där h( θ) = coθ, la( θ) = l0 δ Linθ och lb( θ) = l0 δ + Linθ. Dett ger L L V ( θ) = mg co θ + ( δ + Lin θ) + ( δ + Lin θ) = mg co θ + ( δ + L in θ) och därmed dv ( θ ) L = ( mg + L co θ)inθ dθ Jämvit medför θ = 0 dv ( θ ) L Q = 0 = ( mg + L co θ)inθ θ = mg mg dθ θ = rcco, om 4L 4L Om ålede mg > å finn endt ett jämvitläge, nämligen 0 4L θ =. Om mg < finn två 4L jämvitlägen. Jämvitlägen tbilitet vgör genom tt betrt dv( θ ) L = mg coθ + L co θ dθ 45
04, Utgåv dv( θ) L ör θ = θ = 0 hr vi = mg + L vilet innebär tt θ = θ = 0 är ett tbilt dθ L mg jämvitläge om mg + L > 0 > min =. Då gäller mg 4L 4L < och även θ = θ är då ett jämvitläge och vi hr dv( θ) L mg L mg = mg + L co θ = mg + L ( co θ ) = dθ 4L 4L ( mg) mg ( mg) + L ( ) L = L < 0 8 4L 8 om > min, d v θ = θ är ett intbilt jämvitläge. 46