Block 1 - Mängder och tal

Relevanta dokument
Block 1 - Mängder och tal

Denna uppdelning är ovanlig i Sverige De hela talen (Både positiva och negativa) Irrationella tal (tal som ej går att skriva som bråk)

Tal och polynom. Johan Wild

Peanos axiomsystem för de naturliga talen

Föreläsning 1: Tal, mängder och slutledningar

Talmängder. Målet med första föreläsningen:

Begreppen "mängd" och "element" är grundläggande begrepp i matematiken.

PASS 2. POTENSRÄKNING. 2.1 Definition av en potens

LMA033/LMA515. Fredrik Lindgren. 4 september 2013

ANDREAS REJBRAND NV3ANV Matematik Matematiskt språk

Begreppen "mängd" och "element" är grundläggande begrepp i matematiken.

TATM79: Föreläsning 1 Notation, ekvationer, polynom och summor

TATM79: Föreläsning 1 Notation, ekvationer, polynom och olikheter

DOP-matematik Copyright Tord Persson Övning Bråkräkning. Matematik 1. Uppgift nr 14 Addera 9. Uppgift nr 15 Addera 3. Uppgift nr 16 Subtrahera

Matematik klass 4. Vårterminen. Namn: Anneli Weiland Matematik åk 4 VT 1

Övningshäfte 6: 2. Alla formler är inte oberoende av varandra. Försök att härleda ett par av de formler du fann ur några av de övriga.

Sommarmatte del 1. Matematiska Vetenskaper. 15 augusti c 2017 Matematiska Vetenskaper

Repetitionsuppgifter inför Matematik 1. Matematiska institutionen Linköpings universitet 2013

H1009, Introduktionskurs i matematik Armin Halilovic

Komposanter, koordinater och vektorlängd Ja, den här teorin gick vi igenom igår. Istället koncentrerar vi oss på träning inför KS3 och tentamen.

Dockvetviattimånga situationer räcker inte de naturliga talen. För att kunna hantera negativa tal har de hela talen definierats:

Sommarmatte. Matematiska Vetenskaper. 12 mars 2012

Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR

(N) och mängden av heltal (Z); objekten i en mängd behöver dock inte vara tal. De objekt som ingår i en mängd kallas för mängdens element.

2-1: Taltyper och tallinjen Namn:.

TATM79: Föreläsning 2 Absolutbelopp, summor och binomialkoefficienter

Matematik klass 4. Vårterminen FACIT. Namn:

Grundidén är att våra intuitiva rationella tal (bråk) alltid kan fås som lösningar till ekvationer av typen α ξ = β, där α och β är tal Z och α 0.

Mängdlära. Kapitel Mängder

Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR

ÄNDLIGT OCH OÄNDLIGT AVSNITT 4

Explorativ övning 7 KOMPLEXA TAL

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson

Algebra och rationella uttryck

MA2047 Algebra och diskret matematik

Komplexa tal: Begrepp och definitioner

Repetitionsuppgifter inför Matematik 1-973G10. Matematiska institutionen Linköpings universitet 2014

TATM79: Föreläsning 2 Absolutbelopp, summor och binomialkoefficienter

Repetition av matematik inför kurs i statistik 1-10 p.

Talmängder N = {0,1,2,3,...} C = {a+bi : a,b R}

0, 1, 2, 3,...,9, 10, 11,... I, II, III, IV, V, VI,...

TAL OCH RÄKNING HELTAL

Sammanfattningar Matematikboken Y

Repetitionsuppgifter i Matematik inför Basår. Matematiska institutionen Linköpings universitet 2014

Modul 1 Mål och Sammanfattning

Sidor i boken V.L = 8 H.L. 2+6 = 8 V.L. = H.L.

Matematik 4 Kap 4 Komplexa tal

Institutionen för Matematik. SF1625 Envariabelanalys. Lars Filipsson. Modul 1

1 Addition, subtraktion och multiplikation av (reella) tal

Matematik klass 4. Höstterminen. Facit. Namn:

Analys 360 En webbaserad analyskurs Analysens grunder. Om de reella talen. MatematikCentrum LTH

Förberedande kurs i matematik 1. Till detta kursmaterial finns prov och lärare på Internet.

A1:an Repetition. Philip Larsson. 6 april Kapitel 1. Grundläggande begrepp och terminologi

Matematik klass 4. Höstterminen. Namn: Anneli Weiland Matematik åk 4 HT 1

KW ht-17. Övningsuppgifter

MA 11. Hur starkt de binder. 2 Reella tal 3 Slutledning 4 Logik 5 Mängdlära 6-7 Talteori 8 Diofantiska ekvationer 9 Fördjupning och kryptografi

vilket är intervallet (0, ).

Sidor i boken 8-9, 90-93

Block 2 Algebra och Diskret Matematik A. Följder, strängar och tal. Referenser. Inledning. 1. Följder

Låt n vara ett heltal som är 2 eller större. Om a och b är två heltal så säger vi att. a b (mod n)

Referens :: Komplexa tal

För att räkna upp, numrera, räkna antal och jämföra används ofta naturliga tal. Med vår vanliga decimalnotation (basen 10) skrivs dessa

Föreläsning 3: Ekvationer och olikheter

Att förstå bråk och decimaltal

Utdrag ur Sommarmatte

Tisdag v. 2. Speglingar, translationer och skalningar

Övningshäfte 2: Komplexa tal (och negativa tal)

Material till kursen SF1679, Diskret matematik: Lite om kedjebråk. 0. Inledning

Mängder. 1 Mängder. Grunder i matematik och logik (2015) 1.1 Grundläggande begrepp. 1.2 Beskrivningar av mängder. Marco Kuhlmann

Kapitel 2: De hela talen

Övningshäfte 3: Funktioner och relationer

MAA7 Derivatan. 2. Funktionens egenskaper. 2.1 Repetition av grundbegerepp

Hela tal LCB 1999/2000

Rationella tal. R. Området består av följande tre delområden: Sambanden mellan delområden ser ut så här: RB Bråk. AG Grundläggande Aritmetik

MA2047 Algebra och diskret matematik

Studieplan och bedömningsgrunder i Matematik för åk 7 Moment Bedömningsgrunder för uppnåendemålen Begreppsbildning Tal och räkning

LÖSNINGAR TILL ÖVNINGAR I FÖRBEREDANDE KURS I MATEMATIK 1. Till detta kursmaterial finns prov och lärare på Internet.

Sommarmatte. Matematiska Vetenskaper. 15 mars 2009

Grunder i Matematik 1

Subtraktion. Räkneregler

Lösningar till udda övningsuppgifter

Intervju med Stefan, testingenjör på Sony

Ordlista 5A:1. term. faktor. täljare. nämnare. Dessa ord ska du träna. Öva orden

Övningshäfte 2: Komplexa tal

Uppföljning av diagnostiskt prov HT-2016

Starta med att läsa avsnitt 2.1 i [J] från sidan 56 (64) [76] till och med exempel (2.1.3) [2.1.5] på sidan 57 (65) [79].

Överbryggningskurs i matematik del I. Teknik och Samhälle 2012

Anteckningar för kursen "Analys i en Variabel"

Grundläggande mängdlära

LOGIK, MÄNGDER OCH FUNKTIONER

Linjära ekvationer med tillämpningar

Kompletterande lösningsförslag och ledningar, Matematik 3000 kurs A, kapitel 4. b) = 3 1 = 2

Torskolan i Torsås Mars Matematik. Kriterier för betyget godkänd. Metoder: Arbetssätt. Muntligt. Problemlösning

Uppfriskande Sommarmatematik

Ekvationer och olikheter

FÖRBEREDANDE KURS I MATEMATIK 1. Till detta kursmaterial finns prov och lärare på Internet.

Dra streck. Vilka är talen? Dra pil till tallinjen. Skriv på vanligt sätt. Sätt ut <, > eller =

Abstrakt algebra för gymnasister

Föreläsning 4: Aritmetik, forts. Tal i bråkform Tal i decimalform Sambandet mellan tal i bråkform och decimalform Procentbegreppet och Procenträkning

Mängder och kardinalitet

Transkript:

Block 1 - Mängder och tal Mängder Mängder och element Venndiagram Talmängder Heltalen Z Rationella talen Q Reella talen R Räkning med tal. Ordning av talen i R Intervall Absolutbelopp Olikheter 1 Prepkursen - Föreläsningar Block 1

Preparandkurs i matematik Låt oss börja från början: Gud skapade de positiva heltalen. Allt annat är människans verk. (Leopold Kronecker) De positiva heltalen är ett exempel på en struktur som kallas för en mängd. 2 Prepkursen - Föreläsningar Block 1

Mängder En mängd är en samling av objekt som är sådan att man för varje tänkbart element otvetydigt kan avgöra om det tillhör mängden eller ej. Objekten kallas för mängdens element. En mängd är utan ordning och upprepade element bortser man ifrån. Två mängder är lika om de innehåller exakt samma element. Låt A vara mängden av alla positiva heltal mindre än 6, dvs. A = {1, 2, 3, 4, 5}. Mängden {1, 3, 5, 5} är lika med mängden {1, 3, 5}. Mängden {1, 3, 5} är lika med mängden {3, 5, 1}. För att tala om att ett element tillhör en mängd användar man tecknet, t.ex om det står 2 A, utläses detta att 2 är ett element som tillhör mängden A. Vi har också ett motsvarande tecken för tillhör inte : 7 A. 3 Prepkursen - Föreläsningar Block 1

Venndiagram för mängder Venndiagram är illustrationer som hjälper oss att åskådliggöra mängder och samband mellan mängder. Alla mängder i en uppgift har oftast element av samma typ. Om t.ex alla element är positiva heltal då säger vi att vi jobbar i grundmängden Z +. I ett Venndiagram ritar vi grundmängden som en stor rektangel, och de mängder vi arbetar med anges som slutna områden (t.ex cirklar eller ellipser) inuti rektangeln. Låt G vara grundmängden {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} och betrakta de två mängderna A = {2, 3, 4} och B = {0, 3, 6}. Ett Venndiagram för dessa blir då: A 4 2 3 5 6 0 B 1 G 4 Prepkursen - Föreläsningar Block 1

Några ofta förekommande grundmängder Mängden av positiva heltal är Z + = {1, 2, 3, 4,...}. Notera att 0 inte är ett positivt heltal. Mängden av de positiva heltalen och 0 är de naturliga talen N = {0, 1, 2, 3, 4,...}. Mängden av negativa heltal är Z = { 1, 2, 3, 4,...}. Notera att 0 inte är ett negativt heltal. Mängden av alla heltal kallas för Z. Z = Z + {0} Z. 5 Prepkursen - Föreläsningar Block 1

Talmängder Z + = {1, 2, 3, 4,...}. Nu till (en del av) människans verk: Z = { 1, 2, 3, 4,...}. Heltalen Z = { 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4,...}. De rationella talen Q = { a b : b, a Z, b 0...}. Räkneoperationer på Z: +,, och heltalsdivision med rest Räkneoperationer på Q: +,,, (men inte division med 0) 6 Prepkursen - Föreläsningar Block 1

Reella talen R Det är inte helt så enkelt att definiera de reella talen. Det enklaste sättet att beskriva R är som mängden av alla tal som är längder av linjestycker. Vi använder en tallinje till att illustrera R: 9 9 3 4 1 0 2 2 π 4 2 negativa reella tal ges m.h.a linjestycker till vänster om 0 positiva reella tal ges m.h.a linjestycker till höger om 0 Notera att heltal och rationella tal är längder av linjestycker på tallinjen, så Z och Q är delmängder av R. Fråga: Finns det tal i R som inte är rationella? Svar: Ja, det finns irrationella tal, dvs. tal som inte kan skrivas som en kvot av heltal, t.ex. 2: 2 I algebrakursen kommer vi att bevisa att 2 är irrationellt. 1 1 7 Prepkursen - Föreläsningar Block 1

Decimaltal Rationella tal och reella tal kan alltid skrivas som decimaltal, om man tillåter oändliga strängar av siffror efter decimalkommat. Vårt talsystem är det så kallade 10-systemet som använder positionssiffror från mängden {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Decimaltalet 3472.459 beskriver talet 3(10 3 ) + 4(10 2 ) + 7(10 1 ) + 2(10 0 ) + 4(10 1 ) + 5(10 2 ) + 9(10 3 ) Rationella talet 1 3 ges av den oändliga strängen 0.3333333333... 8 Prepkursen - Föreläsningar Block 1

Decimaltal Alla ändliga decimaltal är rationella, t.ex 0.123 Alla oändliga periodiska decimaltal är rationella, t.ex. 0.123123123123... Omvänt är alla rationella tal också antingen ändliga eller oändliga periodiska decimaltal. Vi kan sammanfatta att ett irrationellt tal är et oändligt, icke-periodiskt decimaltal. 9 Prepkursen - Föreläsningar Block 1

Räkning med reella tal Räkneoperationerna på R är +,,, (men inte division med 0) med vanliga räkneregler, t.ex: Låt a, b och c vara reella: Associativa lagar: a(bc) = (ab)c och a + (b + c) = (a + b) + c Kommutativa lagar: ab = ba och a + b = b + a Distributiva lagar: a(b + c) = ab + ac Lagen om noll-delare: Om ab = 0 då är a = 0 eller b = 0 (eller både) Teckenregler: a + ( b) = a b, a ( b) = a + b, ( a)b = a( b) = ab, ( a)( b) = ab a b = a b = a b, a b = a b om b 0. Uttryck beräknas från vänster till höger med PaPoDMAS-regeln: Parenteser (inre först) Potenser (inre först) Division/ Multiplikation Addition/ Subtraktion 10 Prepkursen - Föreläsningar Block 1

Räkning med reella tal Beräkna 2 + 3 5 10 + ( 5) 10 ( 5) ( 10)( 5) ( 10) 5 10( 5) 3 (4 7) 3 4 7 (3 4)( 7) ( 2)( 3)( 4) ( 2)( 3) 5( 4) 6 0.2 0.2( 2) 11 Prepkursen - Föreläsningar Block 1

Bråkräkning Täljaren står på Taket, Nämnaren Nederst. Addition och subtraktion Förläng så att alla bråk i uttrycket har samma nämnare. Multiplikation 2 3 + 3 4 2 3 1 6 Multiplicera täljare för sig och nämnare för sig. (Tips: Förkorta först om det går) Division 2 3 3 4 14 21 27 36 Är det samma som att multiplicera med inverterade bråket, t.ex 2 3 5 7 = 2 3 7 5 12 Prepkursen - Föreläsningar Block 1

Bråkräkning Förkorta så långt som möjligt 35 84 och 0.35 0.0084 Beräkna 3 + 1 7 12 14 1 2 13 Prepkursen - Föreläsningar Block 1

Bråkräkning Beräkna 1 3 + 1 4 1 3 1 4 Beräkna 2 1 3 1 7 1 7 1 4 Vilket av talen är störst, 3 17 eller 4 23? 14 Prepkursen - Föreläsningar Block 1

Ordning av talen i R Talen i mängden R är ordnade på ett naturligt sätt: x < y x > y x y x y betyder att x ligger vänster om y på reella tallinjen betyder att x ligger höger om y på reella tallinjen betyder att x < y eller x = y betyder att x > y eller x = y 3 9 4 1 0 2 2 9 π 4 2 2.25 < 4 2 > 0 2 < 2 2 2 15 Prepkursen - Föreläsningar Block 1

Egenskaper för ordningsrelationer För alla realla tal a, b och c gäller Om a < b då är a ± c < b ± c Om a < b och c > 0 då är ac < bc Om a < b och c < 0 då är ac > bc Om 0 < a < b då är 1 b < 1 a Liknande regler gäller för och. 2 < 3 ger t.ex att 12 < 13, 8 < 7, 20 < 30, 20 > 30, 1 3 < 1 2. 16 Prepkursen - Föreläsningar Block 1

Några delmängder till R Intervall Ett intervall är en delmängd av reella talen som innehåller alla tal på ett linjestycke på reella tallinjen. Det finns 3 typer av ändliga intervall: Slutet intervall [a, b] är alla reella tal x med a x b a b Öppet intervall ]a, b[ och (a, b) är alla reella tal x med a < x < b a b Halvöppet intervall ]a, b] och (a, b] är alla reella tal x med a < x b a b [a, b[ och [a, b) är alla reella tal x med a x < b a b 17 Prepkursen - Föreläsningar Block 1

Några delmängder till R Intervall Det finns också oändliga intervall: [a, [ och [a, ) är alla reella tal x med x a a ]a, [ och (a, ) är alla reella tal x med x > a a ], a] och (, a] är alla reella tal x med x a a ], a[ och (, a) är alla reella tal x med x < a a Observera att inte är ett tal utan en symbol som anger att intervallet är utan ändpunkt. Man kan alltså inte räkna med! Notera också att ], [ och (, ) är hela R. 18 Prepkursen - Föreläsningar Block 1

Absolutbelopp För alla realla tal x betecknas (absolut)beloppet av x med x och det definieras genom x = { x om x 0; x om x < 0. 2 = 2 2 = 2 0 = 0 0.45 = 0.45 Att ta absolutbeloppet av x betyder därför att stryka ett eventuellt minustecken framför talet. Men akta dig om x är en obekant: Fråga: Är a = a för alla reella tal a? Svar: Nej, t.ex. ( 2) = 2. Notera också här att x 2 = x, INTE x. 19 Prepkursen - Föreläsningar Block 1

Geometrisk tolkning av absolutbelopp x = { x om x 0; x om x < 0. x kan tolkas som avståndet mellan x och 0 på reella tallinjen, och x a som avståndet mellan x och a. Bestäm alla x som uppfyller att x = 3 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 x 1 3 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 1 < x 1 3 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 20 Prepkursen - Föreläsningar Block 1

Olikheter Egenskaper för olikheter Kom ihåg att för alla realla tal a, b och c gäller Om a < b då är a ± c < b ± c Om a < b och c > 0 då är ac < bc Om a < b och c < 0 då är ac > bc Om 0 < a < b då är 1 b < 1 a Lös olikheterna 2x + 5 < 7 5 2x < 7 21 Prepkursen - Föreläsningar Block 1

Olikheter med absolutbelopp x = { x om x 0; x om x < 0. Kom ihåg att x kan tolkas som avståndet mellan x och 0 på reella tallinjen, och x a som avståndet mellan x och a. Reella tal x som uppfyller olikheten x a b är alltså alla tal som har avstånd b till talet a på reella tallinjen. Några olikheter med absolutbelopp är då enkla att lösa: Bestäm alla x som uppfyller att x 2 3 2x 4 < 1 22 Prepkursen - Föreläsningar Block 1