TENTAMEN Datum: 6 april 00 TEN: Differentialekvationer, komplea tal och Taylors formel Kurskod HF000, HF00, 6H0, 6H000, 6L000 Skrivtid: 8:5-:5 Hjälpmedel: Bifogat formelblad och miniräknare av vilken typ som helst Lärare: Armin Halilovic Poängfördelning och betygsgränser: Tentamen består av 8 uppgifter och ger maimalt poäng Betygsgränser: För betyg A, B, C, D, E krävs 0, 4, 0, 6 respektive poäng Komplettering: 0 poäng på tentamen ger rätt till komplettering (betyg F Vem som har rätt till komplettering framgår av betyget F på MINA SIDOR Komplettering sker c:a två veckor efter att tentamen är rättad Om komplettering är godkänd rapporteras betyg E, annars rapporteras F ------------------------------------------------------------------------------------------------------------ Börja varje ny uppgift på ett nytt blad, detta gör att rättningen blir säkrare Skriv endast på en sida av papperet Skriv namn och personnummer på varje blad Inlämnade uppgifter skall markeras med kryss på omslaget -------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Denna tentamenslapp får ej behållas efter tentamenstillfället utan lämnas in tillsammans med läsningar Uppgift (4 poäng) a) (p) Bestäm den reella delen Re(w) om w = 4i 40 + ( + i)( i) b) (p) Bestäm alla lösningar med avseende på z till ekvationen z + 00 i =, där z är ett komplet tal 6 ( + i) c) (p) Bestäm u om u = ( i) Uppgift ( 4 poäng) Bestäm alla lösningar då 5z + z + z + = 0 z = + i är en lösning till ekvationen Uppgift ( 4 poäng) a ) (p) Lös följande differentialekvation ( y 4) y = ( y 4)( y + )(4 + 4) b) (p) Ange lösningen på eplicit form c) (p) Bestäm även eventuella singulära lösningar och motivera svaret Uppgift 4 ( 4 poäng)bestäm den lösning till följande differentialekvation y ( y( =, > 0 som satisfierar villkoret y ( ) = Var god vänd
Uppgift 5 ( 4 poäng) Lös följande differentialekvationer med avseende på y ( a) (p) y 4 y + y = 0 b) (p) y 6y + 8y = 6 c) (p) y y = e (resonansfall ) Uppgift 6 (4 poäng) Bestäm strömmen i( och laddningen q( i nedanstående LRC krets om L= henry, R= 6 ohm, C= 8 farad och u(=4 volt då i(0)=0 ampere och q(0)= 0 coulomb Uppgift 7 ( 4 poäng) Ställ upp ett ekvationssystem med fyra ekvationer för nedanstående nät, med avseende på strömmarna i, i (, och i ( ) and laddningen q( ( den fjärde ekvationen är ett ( t q (t och i ( t ) ) samband mellan ) Du behöver inte lösa systemet! Uppgift 8 ( 4 poäng) Använd substitutionen z ( = ln( y( ) för att lösa följande (icke-linjära) ekvation y ln( y) y y + = 0 med avseende på y( Vi antar att >0 och y ( > 0 Lycka till!
Facit: Uppgift (4 poäng) a) (p) Bestäm den reella delen Re(w) om w = 4i 40 + ( + i)( i) b) (p) Bestäm alla lösningar med avseende på z till ekvationen z + 00 i =, där z är ett komplet tal 6 ( + i) c) (p) Bestäm u om u = ( i) 40 a) w = 4i + ( + i)( i) = 4i + + i 6i = 4 + + i + 6 = + i, Därför Re(w) = Svar a: Re(w) = π i π ( + kπ ) i 4 00 4 00 b) z = e z = e k = 0,,,, 99 k π ( + kπ ) i 4 00 Svar b: z = e k = 0,,,, 99 k 6 6 + i ( 0) 4 c) < u = = = ( 0) = 0 = 00 i ( 0) Svar c: 00 Uppgift ( 4 poäng) Bestäm alla lösningar då 5z + z + z + = 0 z = + i är en lösning till ekvationen (Ekvationen har reella koefficienter och z = + i är en lösning ) z = i är också en lösning till ekvationen och därför är ekvationen delbart med ( z z )( z z ) = ( z + i)( z + + i) = ( z + ) i = z + z + Polynomdivisionen ger (5z + z + z + ) /( z + z + ) = 5z + En ny lösningar får vi ur 5z + = 0 z = Svar: 5 z = + i, z = i, z = 5
Uppgift ( 4 poäng) a ) (p) Lös följande differentialekvation ( y 4) y = ( y 4)( y + )(4 + 4) b) (p) Ange lösningen på eplicit form c) (p) Bestäm även eventuella singulära lösningar och motivera svaret a) ( y 4) y = ( y 4)( y + )(4 + 4) ( Anmärkning: Vi delar ekvationen med ( y 4)( y + ) om uttrycket är skilt från 0 Eftersom y + > 0 får vi att ( y 4)( y + ) = 0 om y = 4 Substitutionen y = 4, y = 0 i ekvationen visar att den konstanta funktionen y = 4 är också en lösning En sådan lösning kallas singulär om den inte kan fås ur den allmänna lösningen Därför måste vi först bestämma den allmänna lösningen och därefter kolla om y=4 är en singulär lösning) y dy = 4 + 4 = (4 + 4) d y + y + dy = y + (4 + 4) d arctan y = + 4 + C ( den allmänna lösningen på implicit form ) y = tan( + 4 + C) ( den allmänna lösningen på eplicit form ) Eftersom y=4 kan inte fås från den allmänna lösningen oavsett hur vi väljer C ser vi att y=4 är en singulär lösning Svar a) arctan y = + 4 + C är den allmänna lösningen på implicit form b) y = tan( + 4 + C) är den allmänna lösningen på eplicit form c) y=4 är en singulär lösning Uppgift 4 ( 4 poäng)bestäm den lösning till följande differentialekvation y ( y( =, > 0 som satisfierar villkoret y ( ) = Vi normaliserar ekvationen ( delar med och får y ( y( = Därefter använder vi formeln y( = e P( d ( C + Q( e P( d d där P( = och Q ( = Först beräknar vi P( d = d = ln = ln ( antagande >0)
Formeln ger y( = e ln ln [ C + ( ) e d] = C + ( ) d = C + ( antagande >0 ger att = ) = C + ( ) d ln = C + ln Villkoret y ( ) = ger C=/ och därför y( = + ln Svar: y( = + ln Uppgift 5 ( 4 poäng) Lös följande differentialekvationer med avseende på y ( a) (p) y 4 y + y = 0 b) (p) y 6y + 8y = 6 c) (p) y y = e (resonansfall ) Svar a: y( = C e sin + Ce cos 4 Svar b: y( = C e + Ce + Lösning c: Den karakteristiska ekvationen: r = 0 r = och därför har vi homogena delen: Y H = ce Ansats ( resonans fall) : y = Ae = Ae y = Ae + Ae p Substitutionen i ekvationen Ae och efter förenkling Ae = e Härav A=, y p = e + Ae Ae = e, Svar c: y( = C e + p y y = e ger e Uppgift 6 (4 poäng) Bestäm strömmen i( och laddningen q( i nedanstående LRC krets om L= henry, R= 6 ohm, C= 8 farad och u(=4 volt då i(0)=0 ampere och q(0)= 0 coulomb
Från kretsen får vi följande diff ekv di( L + R i( + q( = u( dt C Vi substituerar L=, R= 6, C=, u(=4 och får 8 i ( + 6i( + 8q( = 4 (ekv ) Vi deriverar ekvationen och (eftersom i ( = q ( ) får i ( + 6i ( + 8i( = 0 (ekv ) t Härav i( = C e + C e ( *) Begynnelsevillkor: Vi har i(0)=0 och q(0)= 0 Vi behöver ett villkor till för strömmen i( och därför substituerar vi t=0, i(0)=0 och q(0)= 0 in i (ekv ) i ( 0) + 6i(0) + 8q(0) = 4 i (0) = 4 Från (*) och villkoret i(0)=0 har vi C + C = 0 ( ekv a) t Från i ( = C e C e och i ( 0) = 4 får vi = 4 C 4C 4 ( ekv b) Vi löser system med ( ekv a) och ( ekv b) och får C = och + C = Därför från (*) t i( = e e t Eftersom i ( = q ( har vi q ( = i( dt + C = 6 e + e + C Slutligen q ( 0) = 0 C = och t q ( = 6e + e + ( Anmärkning: Vi kunde först bestämma q( genom att lösa ekvationen L q ( + R q ( + q( = u( C och därefter beräkna i ( = q ( ) t Svar: i( = e e t q ( = 6e + e +
Uppgift 7 ( 4 poäng) Ställ upp ett ekvationssystem med fyra ekvationer för nedanstående nät, med avseende på strömmarna i, i (, och i ( ) and laddningen q( ( den fjärde ekvationen är ett ( t q (t och i ( t ) ) samband mellan ) Du behöver inte lösa systemet! Svar a: ekv: i = i ( + i ( ) ( t q( C ekv: L i ( + R i( + R i( + + Li ( = u( t ekv: L i( Ri ( ) = 0 ekv4: q ( ) ( t ) Uppgift 8 ( 4 poäng) Använd substitutionen z ( = ln( y( ) för att lösa följande (icke-linjära) ekvation y ln( y) y y + = 0 med avseende på y( Vi antar att >0 och y ( > 0 z ( = ln( y( ) z = y y Om vi dividerar DE med y får vi y ln( y) + = 0 (*) y Substitution i ekvationen (*) ger en linjär DE med avseende på z z z + = 0 eller z z + = (**)
P( d P( d Vi använder formeln z( = e ( C + Q( e d och får ln ln z( = e ( C + e d = 4 ( C d C + ) = ( C + ) = 4 z( Eftersom z ( = ln( y( ) har vi y = e dvs y = e Svar: C + 4 y = e C + 4 + 4