TETAME 08-Okt-, HF006 och HF008 Moment: TE (Linjär algebra), hp, skriftlig tentamen Kurser: Anals och linjär algebra, HF008, Linjär algebra och anals HF006 Klasser: TIELA, TIMEL, TIDAA Tid: 8-, Plats: Campus Flemingsberg Lärare: Maria Shamoun och Armin Halilovic Eaminator: Armin Halilovic Betgsgränser: Mapoäng = För betg A, B, C, D, E, F krävs, 9, 6,, 0 respektive 9 poäng. Hjälpmedel på tentamen TE: Utdelad formelblad. Miniräknare ej tillåten. Komplettering: 9 poäng på tentamen ger rätt till komplettering (betg F). ------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Skriv endast på en sida av papperet. Skriv TYDLIGT AM och PERSOUMMER på varje blad, (speciellt tdligt på försättsbladet, eftersom tentorna skannas och automatiskt kopplas till namn/personnummer som finns på försättsbladet) Inlämnade uppgifter skall markeras med krss på försättsbladet. Tentafrågor (dvs. det här bladet) ska lämnas in tillsammans med lösningar. Till samtliga uppgifter krävs fullständiga lösningar. ------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Uppgift. (p) (Student som är godkänd på KS hoppar över uppgift.) Vi betraktar triangeln ABC där A=(,0,), B=(,, ), C=(,,). a) (p) Beräkna arean av triangeln ABC. b) (p) Bestäm vinkeln mellan AB och AC. ( Svara med arccos ) c) (p) Bestäm projektionen av AB på AC. Uppgift ) (p) För vilka värden på parametern a har ekvationssstemet a i) eakt en lösning ii) oändligt många lösningar iii) ingen lösning. Var god vänd.
Uppgift. (p) Beräkna 86 i. Svara på rektangulär form (dvs. på a+bi form). Uppgift. (p) Ekvationen 7 8 0, har en lösning i. Bestäm de övriga lösningarna. Uppgift 5. (p) a) (p) Lös matrisekvationen XA XB C (med avseende på X) 0 0 där A, B, C. b) (p) Lös matrisekvationen YM (med avseende på Y) M. där, 5 Uppgift 6. (p) Bestäm egenvärden och egenvektorer till matrisen M. Uppgift 7. (p) Låt vara en ekvation till planet. a) (p) Bestäm den punkt i planet som ligger närmast punkten A=(5,,). b) (p) En laserstråle som går genom punkten B=(,,) och är parallell med linjen (,, ) (,5,6) t(,,) reflekteras i planet. Bestäm en ekvation för den reflekterade laserstrålen. Uppgift 8. (p) Låt V vara volmen av den parallellepiped som spänns upp av vektorerna u, v och. Bevisa formeln V ( u v). Lcka till!
FACIT Uppgift. (p) (Student som är godkänd på KS hoppar över uppgift.) Vi betraktar triangeln ABC där A=(,0,), B=(,, ), C=(,,). a) (p) Beräkna arean av triangeln ABC. b) (p) Bestäm vinkeln mellan AB och AC. ( Svara med arccos ) c) (p) Bestäm projektionen av AB på AC. a) AB (,, ), AC (,,) i j k AB AC i j (,,0 ) Härav AB AC Arean(ABC)= AB AC. Låt beteckna vinkeln mellan AB och AC. Då gäller AB AC 5 5 cos (= ). AB AC 9 9 5 Härav arccos( ). AB AC 5 c) proj AC ( AB ) (,,) AC AC AC 9 Svar: a) 5 a e. b) arccos( ) 5 c) (,,) 9 Rättningsmall: a) Korrekt b),c) Rätt eller fel. AB AC ger p. allt korrekt=p
Uppgift ) (p) För vilka värden på parametern a har ekvationssstemet a i) eakt en lösning ii) oändligt många lösningar iii) ingen lösning. Sstemets determinant är a a D 9. 0 9 0 a D a. Om 0 D dvs om a har sstemet eakt en lösning. Vi undersöker sstemet för a=. För a= får vi sstemet (Gaussmetoden) (bta plats på E och E) 5 5 E E E E 0 0 5 E E. Sstemet är lösbart med en fri variabel. Därmed har sstemet oändligt många lösningar om a=. Svar: i) Eakt en lösning om a ii) Oändligt många lösningar a=. iii) Fallet ingen lösning kan inte förekomma i denna uppgift.
Rättningsmall: a) Korrekt D 9 a ger p. Därefter: p för korrekt metod och rätt svar till i-delen. p för korrekt metod och rätt svar till ii-delen. p för korrekt metod och rätt svar till iii-delen. Uppgift. (p) Beräkna 86 i. Svara på rektangulär form (dvs. på a+bi form). Först skriver vi basen i på eponentialform: r, arctan( ) arctan(). (Alternativt kan man se i det komplea planet att Därmed är i i e 86 86.) 86 i i i i u har vi e e e cos( ) isin( ) cos(0 ) isin(0 ) (periodiska egenskaper) cos( ) isin( ) i Svar: i Rättningsmall: Korrekt Allt korrekt=p. i i e ger p.
Uppgift. (p) Ekvationen 7 8 0, har en lösning i. Bestäm de övriga lösningarna. Ekvationen har reella koefficienter och en komple lösning i i är också en lösning till ekvationen. Därför är ekvationen delbart med ( )( ) ( i)( i) ( ) Polnomdivision ger (beräkna själv) ( 7 8 )/( ). Den tredje roten får vi ur 0. Svar. ( i ) i, Rättningsmall: p för korrekt till ( )( ). p om allt är korrekt. Uppgift 5. (p) a) (p) Lös matrisekvationen XA XB C (med avseende på X) där 0 0 A, B, C. b) (p) Lös matrisekvationen YM (med avseende på Y) M. där, 5 a) XA XB C X ( A B) C
Beteckna D A B. Med denna beteckning får vi ekvationen XD C (Ekv). Då är det( D ) 0. Därmed är D inverterbar och har inversen D. Vi multiplicerar Ekv från höger med XDD CD eller D och får 0 6 X CD. 5 8 Svar: a) X 5 6 8 Rättningsmall a: p för korrekt till p om allt är korrekt. D. b) Matrisen M är inte kvadratisk och därmed är M inte inverterbar. Först måste vi bestämma dimensionen av matrisen Y. Anta att tp( Y ) m n. Vi analserar dimensioner i ekvationen Y n M m, och drar slutsats att m och n (dvs matrisen Y har en rad och kolonner). u kan vi göra en ansats för matrisen Y, Y, som vi substituerar i ekvationen YM och får. 5
Efter multiplikationen får vi ( ) ( ) ( ) 5. Härav får vi tre skalära ekvationer 5, som ger. Därmed är Y Kontroll: 5 Svar: b) Y., OK. Svar: b) Y.. Rättningsmallb) : p för korrekt till 5 p om allt är korrekt. Uppgift 6. (p) Bestäm egenvärden och egenvektorer till matrisen M. Steg. Vi löser den karakteristiska ekvationen det( A I) 0 ( EKV ) och får matrisens egenvärden. ( ) det( 0 ( ) ( ) 0 0 som ger och. Steg. För varje egenvärden (dvs. lösning till EKV) λ k substituerar vi λ=λ k i ( A I ) v 0 ( EKV)
och bestämmer motsvarande egenvektor. 0 i) ger 0 och följande sstem 0 0. 0 0 0 t Härav t och t, och därmed är v, där t R, t 0 tillhörande t egenvektorer. 0 ii) ger 0 och följande sstem 0 0. 0 0 0 t Härav t och t, och därmed är v, där t R, t 0 tillhörande t egenvektorer. (Anmärkning: ollvektorn räknas inte som en egenvektor, därför t 0.) Svar: egenvärden och med tillhörande egenvektorer v t resp. t v t. t Rättningsmall: Korrekta två egenvärden ger p. Korrekt ett egenvärde med tillhörande egenvektor ger p. Allt korrekt=p. Uppgift 7. (p) Låt vara en ekvation till planet. a) (p) Bestäm den punkt i planet som ligger närmast punkten A=(5,,). b) (p) En laserstråle som går genom punkten B=(,,) och är parallell med linjen (,, ) (,5,6) t(,,) reflekteras i planet. Bestäm en ekvation för den reflekterade laserstrålen.
a) Låt L vara den linje som går genom punkten A vinkelrät mot planet. Låt Q vara skärningspunkten L och. Då är Q den punkt i planet som ligger närmast punkten A. En riktningsvektor till L är v (,, ) (dvs. planets normalvektor). Linjens ekvation: (,, ) (5,,) t(,, ). Skärningspunkten: 5 t t t substitueras i. Vi får 5 t t ( t) eller 6t som ger t / 6. Därmed 7 5 t 5 6 6 5 t 6 6 t 6 Alltså är (7/6, 5/6, /) den punkt i planet som ligger närmast punkten A. Svar a: (7/6, 5/6, /) Rättningsmall: Korrekt linjens ekvation =p. Allt korrekt =p. b) Linjen genom B=(,,) som är parallell med den givna linjen har en riktnings vektor (,,). Alltså går laserstråle längs linjen L : (,, ) (,,) t(,, ).
B T S v s R Skärningspunkten mellan L och planet får vi genom att t t t substitueras i. Vi får t t 6 t som ger t. Därmed är skärningspunkten R=(0,,). Den reflekterade strålen går genom R. Låt v RB (,,) och låt (,, ) (dvs. är planets normalvektor). För att bestämma RS, dvs. riktningen för den sökta linjen, beräknar vi först projektionen proj v ( v) (,,) (,,). 8 0 Då är RS v BT v ( v ) v (,,) (,,) (,, ). 0 Alltså är (,, ) en riktningsvektor för den sökta linjen. Vi kan även välja (,,5) för linjens riktningsvektor. Den reflekterade strålen går längs linjen (,, ) (0,,) t(,,5) Svar: b) (,, ) (0,,) t(,,5 ) Rättningsmall: Korrekt R=(0,,) ger p. Allt korrekt =p. Uppgift 8. (p) Låt V vara volmen av den parallellepiped som spänns upp av
vektorerna v u och,. Bevisa formeln ) ( v u V. Bevis: Låt = v u. Då är Bastansarea B= v u. Höjden av parallellepipeden är ) ( proj h. Volmen är ) ( v u B h V.S.B. Rättningsmall: Allt korrekt =p.