Kurs: HF9 Matemati Moment TEN Linjär lgebra Datum: augusti 7 Srivtid 8: : Eaminator: rmin Halilovic För godänt betyg rävs av ma poäng. etygsgränser: För betyg D E rävs 9 6 respetive poäng. Komplettering: 9 poäng på tentamen ger rätt till omplettering betyg F. Vem som har rätt till omplettering framgår av betyget F på MIN SIDOR. Komplettering ser c:a två vecor efter att tentamen är rättad. Om omplettering är godänd rapporteras betyg E annars rapporteras F. Hjälpmedel: Endast bifogat formelblad miniränare är inte tillåten. Till samtliga inlämnade uppgifter fordras fullständiga lösningar. Sriv endast på en sida av papperet. Sriv namn och personnummer på varje blad. Inlämnade uppgifter sall mareras med ryss på omslaget Sriv lass på omslaget eller. Denna tentamenslapp får ej behållas efter tentamenstillfället utan sa lämnas in tillsammans med lösningar Uppgift. p a estäm alla reella tal som uppfyller oliheten <. p b Lös evationen. p Uppgift. p a estäm om vetor och vetor. p b estäm så att vetorerna u och v 7 6 blir parallella. p c En triangel har hörnen i punterna och. estäm triangelns area. p Uppgift. p estäm för vilet värde på parametern a har evationssystemet y z y z y az i eat en lösning ii oändligt många lösningar iii ingen lösning Var God Vänd!
Uppgift. p a Lös matrisevationen X X där och. p b Låt och och bestäm parametern så att produten E p Uppgift. p a estäm den punt i planet med evationen y z som har ortast avstånd till punten P. p b Den räta linjen L går genom punten P och är parallell med två plan y z och y z. estäm linjens evation. p Uppgift 6. p Masscentrum för en godtyclig ropp bestäms via OT m OP m OP m n OPn m där P P P är oordinater med hänsyn till origo O för roppens olia delars n masscentrum med motsvarande massorna m m... m samt m m m m. n n Om en ropp består av två delroppar och. Delropp är en homogen ub med densiteten ρ g / m och antlängd m. Delropp är en homogen lot med densiteten Klotet är placerat på uben enligt figuren nedan. ρ g / m och radien m. Inför ett oordinatsystem med origo som ligger i ett av ubens hörn och bestäm masscentrum till roppen Lyca till! Lösningsförslag
Uppgift. p a < < < < Tecenschema - - - - - - - - - - - Ej Ej - Ej Def. Def. Def. Tecenschema ger att < eller < <. b Vi har att om om < och om om < Tre fall: < ger evationen som är lösning. < ger evationen som är lösning. ger evationen som är lösning. Svar: a < eller < < a Rätt eller Fel. Enstaa ränefel ger -p. b Fel definiering av intervallen -p. Ej undersöning att lösningen tillhör de olia intervallen -p Uppgift. p a estäm om vetor och vetor. 6 6 6 7. b vetorerna u och v 7 6 är parallella om det finns ett tal t så att v tu 7 6 t då erhålls t: t t 7 t 7
c etecna sidvetorer och rea 7 rea 7 a. e. 7 7 Svar: a 7 b c rea a. e. a Rätt eller fel. b Rätt eller fel. c Fel sidvetorer ger p. Uppgift. p y z y z y az Eftersom systemets determinant a om a a så följer det att evationssystemet har entydig lösning då a. Kontroll av fallet då a : y z y z y z y z y z y z y z y z vilet ger att lösningen sanas. Fallet med oändligt många lösningar an inte föreomma. Svar: i eat en lösning om a ii Fallet med oändligt många lösningar an inte föreomma. iii ingen lösning om a Var God Vänd! Rätt determinant beräning samt rätt värden på a när lösningen inte är eat ger p. Korret resonemang och svar till i ger p orret ii p och orret iii p. Uppgift. p
a X X X XE X X och så är X. beftersom så är så är produten E enhetsmatrisen om eller. Svar: a b a p för rätt evationslösning fel här ger p. Resten rätt ger p. b Rätt eller fel Uppgift. p a Linjen som går genom punten P och är vinelrät mot planet har ritningsvetorn som är samma som planets normal dvs. t z y sär planet i punten Q som erhålls genom att substituerar linjens evation i planets evation dvs. t t t t vilet ger att punen Q b Linjens ritningsvetor är vinelrät mot planens normalvetorer dvs. j i j i N N r Så blir linjen evation: t z y Svar: a Q b t z y a Rätt linjens evation samt rätt ränad t ger p fel ger p. b Rätt ritningsvetor ger p.
Uppgift 6. p Kubens masscentrum ligger i P se figuren. Kubens massa är m g. Klotets masscentrum ligger i P. Klotets massa är m π 8 π g. 8 OT m OP m OP π m 8 π π π π Svar: Masscentrum är T π Rätt masscentrum för både uben och lotet ger p. Fel här ger p. Rätt uttryc OT m OP m OP ger p och resten är orret beränad ger p. m 6