1.Introduktion i Analys

Pass 1 0.1 Olika tal 1.Introduktion i Analys Naturliga talen N = {0, 1, 2, 3,...}. Ett primtal är ett naturligt tal som är större än 1 och jämnt delbart endast med sig själv och med 1. Sats Varje naturligt tal kan skrivas som en produkt av primtal. n = p 1 p 2... p k, p j primtalen Hela talen Z = {..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,...}. Rationella talen Q = {q = m, m Z, n Z, n 0}. n Reella talen R = {q Q; n, n N; π,...}, kan beskrivas som alla punkter på en kontinuerlig linje a n en talföljd s.a.a n+1 a n b n en talföljd s.a.b n+1 b n b n a n!r R s.a.a n r b n. b n a n 0 Följderna a n och b n approximerar talet r nedåt och uppåt. Man behöver hela talen för att kunna subtrahera. Man behöver rationella talen för att kunna dividera. Man behöver reella talen för att kunna lösa algebraiska (kvadratiska) ekvationer. OBS! Det finns reella tal som inte är lösningar till algebraiska ekvationer. Inte alla algebraiska ekvationer har reella lösningar. 1

0.2 Algebraisk räkning Algebraiska lagar S1 a + b = b + a S2 (a + b) + c = a + (b + c) S3 a + 0 = a S4 a! a s.a. a + ( a) = 0 P1 a b = b a P2 (a b) c = a (b c) P3 1 a = a P4 a 0! 1 a s.a. a 1 a = 1 D1 (a + b) c = a c + b c Lemma 0 a = 0 (a b) c = a c b c (a + b) (c + d) = a c + b c + a d + b d (a + b) 2 = a 2 + 2a b + b 2 (a b) 2 = a 2 2a b + b 2 (a + b) (a b) = a 2 b 2 Sats ax 2 + bx + c = 0 x 1,2 = b ± b 2 4ac 2a (x R b 2 4ac 0) 2

Pass 2 B.1 Mängder Mängder och Implikation Def Mängd - ett objekt som innehåller element. a M - a tillhör M. a / M - a tillhör inte M. M är en delmängd av N: M N - varje element i M tillhör också N. - tomma mängden - en mängd som innehåller inga element. B.2 Implikation och ekvivalens Implikation A B - om utsagan A är sann så är även B sann. Ekvivalens A B - utsagan A är sann om och endast om utsagan B är sann. 3

Inledning till Plan Geometri P.1 Axiom om punkter, linjer, vinklar och kongruens a) Primitiva begrepp b) Definitioner c) Axiom - postulat som alla är överens om (behöver inget bevis) d) Satser - påståenden som bevisas med logiska resonemang Primitiva begrepp: punkt, linje, punkten P ligger på linjen l, punkten P ligger mellan punkterna B och C. Def 1 En sträcka - mängden av alla punkter på en rät linje som ligger mellan två punkter på linjen. Ett vinkelfält - området i planet, som ligger mellan två halvstrålar som utgår från samma punkt. Axiom 1a Sträckor kan tilldelas positiva reella tal, som kallas längder, så att de är additiva: om en sträcka med längden l delas i två delar med längderna l 1 och l 2 så gäller l = l 1 + l 2. Axiom 1b Vinkelfält kan tilldelas positiva reella tal, som kallas vinklar, så att de är additiva: om en vinkelfält med vinkeln α delas i två delar med vinklarna α 1 och α 2 så gäller α = α 1 + α 2. 4

Def 2a (see bilden på sidan 8) α och β - sidovinklar α och γ - vertikalvinklar α och δ - likbelägna vinklar γ och δ - alternatvinklar α + β = 180 o Def 2b Två räta vinklar uppkommer då två sidovinklar är lika stora. Def 2c Två räta linjer sägas vara parallella on de inte skär varandra eller sammanfaller. (En rät linje är parallel med sig själv.) Sats 1 Vertikalvinklar är lika stora. Axiom 2 Genom två punkter går det att dra en och endast en rät linje. Axiom 3 Två räta linjer är parallella omm likbelägna vinklarna är lika stora l 1 l 2 α = δ. Def 3 Två trianglar kallas kongruenta om vinklarna respektive sidorna i den ena triangeln är lika med motsvarande vinklar respektive sidor i den andra. Axiom 4 Två trianglar är kongruenta om de överensstämmer i något av följande fall: 1) två sidor och mellanliggande vinkel (SVS); 2) alla sidor (SSS); 3) två vinklar och (mellanliggande) sida (VSV). 5

Pass 3 P.2 Några direkta konsekvenser av axiomer Vinkelsumman Sats 2 Vinkelsumman i en triangel är 180 o. Hjälpsats Två räta linjer är parallella omm två alternatvinklar är lika stora. Följdsats 1 Vinkelsumman i en fyrhörning är 360 o. Fyrhörningar Def 4 Fyrhörningar parallellogram - mostående sidor är parallella romb - alla sidor är lika långa parallelltrapets - två motstående sidor är parallella rektangel - alla vinklar är räta kvadrat - alla vinklar är räta, alla sidor är lika. Sats 5 I en parallellogram är såväl motstående sidor som motstående vinklar lika stora. Följdsats 3 Diagonalerna i en parallellogram delar varandra mitt itu. Sats 6 (Satsen om likbent triangel) Om två sidorna i en triangel är lika långa är de båda mostående vinklarna lika stora. 6

Arean P.3 Arean och Pythagoras sats Axiom 5 Varje månghörning kan tilldelas ett positivt reellt tal, som kallas arean, så att kongruenta trianglar har samma arean samt att arean är additiv: om en månghörning med arean A delas i två delar med areorna A 1 och A 2 så gäller A = A 1 + A 2. En rektangel med sidorna a och b har arean ab. Sats 8 Arean av en triangel med basen b och höjden h är A = bh/2. Pythagoras sats Sats 9 (Pythagoras sats) I en rätvinklig triangel är kvadraten på hypotenusan lika med summan av kvadraten på kateterna. Avståndet A, B - två punkter d(a; B) = AB A - en punkt, M - en mängd d(a; M) = min B M AB M, N - två mängder d(m; N) = min A M,B N AB Sats Avståndet mellan en punkt A och en linje l är lika med längden av sträckan AC, där AC är normalen till l. Sats (Följdsats 2, sid 15) Två räta linjer är parallella omm avståndet mellan en punkt på en linje till den andra linjen inte beror på vilken punkt man betraktar. 7

P.4-5 Transversalsatsen och likformighet Pass 4 Sats 11 (Transversalsatsen) En transversal, som är parallell med en sida i en triangel, delar de övriga sidorna i lika förhållande. Följdsats (liknar Sats 12) Betrakta en godtycklig triangel ABC och en transversal p som är parallell med AC och som skär sidorna AB och BC i punkterna D, respektive E. Då är motsvarande sidorna i trianglarna ABC och DBE proportionella, d.v.s. DB AB = BE BC = DE AC. Def 5a Två trianglar säges vara likformiga omm varje vinkel i den ena triangel är lika stor som motsvarande vinkel i den andra. Def 5b Två trianglar säges vara likformiga omm kvoterna av motsvarande sidor är lika stora. Sats Definitionerna 5a och 5b är ekvivalenta. Satsen innehåller följande påståenden: Två trianglar överensstämmer i motsvarande vinklar motsvarande sidor är proportionella (Sats 16, Likformighetsfall VV) Två trianglar har proportionella sidorna motsvarande vinklarna är lika stora (Sats 15, Likformighetsfall SSS) Sats (Likformighetsfall SVS) Om två sidor i en triangel är proportionella mot två sidor i en annan triangel och mellanliggande vinklar är lika, så är trianglarna likformiga. 8

Pass 5 P.6 Cirkeln Def En cirkel med medelpunkten M och radien r - mängden av alla punkter P som har avstånd r från M d.v.s. C(M, r) = {P : P M = r}. Radie, korda, diameter, cirkelbåge, medelpunktvinkel, randvinkel. Sats 17 (Randvinkelsatsen) En randvinkel är hälften så stor som medelpunktsvinkeln på samma cirkelbåge. Följdsats Randvinklar som står på samma båge är lika stora. Randvinkeln på en halvcirkelbåge är rät. Def 8 En tangent till en cirkel är en rät linje som har precis en punkt gemensam med cirkeln. Sats 20 En tangent till en cirkel är vinkelrät mot radien till tangeringspunkten. 9

Trigonometri T.1-2 Trigonometriska funktioner I en rätvinklig triangel sin α = motstående katet hypotenusan cos α = tan α = cot α = närliggande katet hypotenusan motstående katet närliggande katet närliggande katet motstående katet Sats (Trigonometriska ettan) Egenskaperna: sin 2 α + cos 2 α = 1. sin(90 o α) = cos α, tan(90 o α) = cot α, cos(90 o α) = sin α cot(90 o α) = tan α Av en godtycklig variabel - med hjälp av enhetscirkeln. sin(180 o α) = sin α, sin( α) = sin α, tan(180 0 α) = tan α cos(180 o α) = cos α cos( α) = cos α α 0 30 45 60 90 sin α 0 1/2 2/2 3/2 1 cos α 1 3/2 2/2 1/2 0 10

Pass 6 T.3 Areasatsen, sinussatsen och cosinussatsen Sats 1 (Areasatsen) Arean av en triangel är lika med halva produkten av två sidor gånger sinus för mellanliggande vinkel A = bc 2 sin α Sats 2 (Sinussatsen) I en triangel med sidorna a, b, c och motsvarande vinklarna α, β, γ gäller sin α a = sin β b = sin γ. c Sats 3 (Cosinussatsen) Om sidorna i en triangel är a, b, c och den till sidan a mostående vinkeln är α, så gäller a 2 = b 2 + c 2 2bc cos α T.4 Cirkelns omkrets och area Def π = 1 cirkelns omkrets 2 cirkelns radie l = 2πr Sats En cirkel med radien r har arean A = πr 2 11

Pass 7 Analytisk geometri Avståndet mellan två punkter d(p (x 1, y 1 ), Q(x 2, y 2 )) = (x 2 x 1 ) 2 + (y 2 y 1 ) 2 Räta linjens ekvation På tvåpunktsform (genom punkterna (x 1, y 1 ) och (x 2, y 2 )) y y 1 = y 2 y 1 x 2 x 1 (x x 1 ) På k-form (med riktningskoefficient k) På affin form y = kx + m ax + by + c = 0 Normalens riktningskoefficient: kk = 1 12

Andra grads kurvor Pass 8 - kurvor som definieras med hjälp av andra grads polynom i x och y. ax 2 + by 2 + cxy + dx + ey + f = 0 Termen xy kan elimineras genom variabelbyte Parabeln y = k(x a) 2 + b Ellipsen ( ) 2 ( ) 2 x x0 y y0 + = 1 a b Cirkeln med medelpunkten (x 0, y 0 ) och radien r (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = r 2 Cirkeln är ett speciellt fall av ellipsen då axlarna är lika a = b Hyperbeln ( ) 2 ( ) 2 x x0 y y0 = 1 eller a b ( ) 2 ( ) 2 x x0 y y0 = 1 a b 13

Funktioner Pass 9 Intervall Slutet [a, b] = {x; x R och a x b} Öppet (a, b) = {x; x R och a < x < b} Halvöppna [a, b) = {x; x R och a x < b} (a, b] = {x; x R och a < x b} Funktioner För att definiera en funktion F måste man precisera: 1) Definitionsmängden - mängden av alla objekt på vilka funktionen F tillåts verka D F = Dom (F ) 2) Regeln - till varje element x från definitionsmängden ordnar en element F (x) 3) Värdemängden - mängden av alla förekommande funktionsvärden V F = R(F ) OBS! Värdemängden definieras entydigt av definitionsmängden och regeln. Graf till en funktion - mängden av alla punkter i planet med koordinater på formen (x, F (x)) då x genomlöper definionsmängden för F. Absolutbeloppet x = x då x > 0 0 då x = 0 x då x < 0 Sats 1 (Triangelolikhet) x, y R x + y x + y 14

Polynom - en funktion som kan skrivas på formen p(x) = a n x n + a n 1 x n 1 +... + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 n - är graden av polynomet om a n 0 Sats (Faktorsatsen 1) p(x) är ett polynom p(α) = 0 p(x) kan skrivas på formen p(x) = (x α)q(x), där q(x) är ett annat polynom. Sats (Faktorsatsen 2) 1)p(x) = a n x n +... + a 1 x + a 0 är ett polynom med heltalskoefficienter 2)α = n/m Q är en rot till ekvationen p(x) = 0 n är en faktor i a 0 m är en faktor i a n 15

Funktioner (fortsättning) Pass 10 Geometrisk summa Sats a + ax +... + ax n = a 1 xn+1 1 x Binomialsatsen Binomialkoefficient ( ) n n! = k k!(n k)! Sats 1 (Binomialsatsen) (x + 1) n = ( ) n n k=0 x k k ( ( ) = n 0) + n 1 x +... + = n(n 1)...(n k + 1) 1 2 3... k ( ) ( ) n n 1 x n 1 + n n x n Sats 2 (Binomialsatsen) (a + b) n = n k=0 ( ) n a k k b n k Rationella funktioner - funktioner som kan skrivas på formen f(x) = p(x) q(x), där p(x) och q(x) är polynom. 16

Funktioner (del 3) 1.6 Potens- och exponentialfunktioner Pass 11 1) a α+β = a α a β OBS! a > 0, α, β R 2) (a α ) β = a αβ 3) (ab) α = a α b α Olikheterna } a > 1 a α < β α < a β 0 < a < b α > 0 Potensfunktion: f(x) = x α, x > 0 } a α < b α Exponentialfunktion: g(x) = a x, a > 0 (till ex. e x ) Sats Antag att a > 1 (och α > 0). Då gäller att a x + då x + xα eller ekvivalent xα a x x + 0. 1.7 Logaritmfunktioner a x = y x = a log y - a-logaritmen för y (den inversa funktionen för a x ) ln s = e log s a a log y = y Sats (Räknelagar för logaritmer) 1) a log 1 = 0 2) a log st = a log s + a log t 3) a log s t =a log s a log t 4) a log(s t ) = t a log s 5) b log s = b log a a log s Sats α > 0 a > 0 } xα a log x lgs = 10 log s + då x + 17

Funktionsbegreppet Pass 12 Invers funktion 1. f är en funktion 2. x 1 x 2 f(x 1 ) f(x 2 ) (injektiv funktion) den inversa funktionen f 1 avbildar y x där x är den unika lösningen till ekvationen f(x) = y. D f 1 = V f, V f 1 = D f, y = f(x) x = f 1 (x) Sammansättning av funktioner g f } y = f(x) z = g(f(x)) = (g f) (x) z = g(y) Obs! g f f g Två funktioner f och g är lika omm D f = D g och f(x) = g(x) för alla x D f. Funktionen f(x) är uppåt begränsad omm f(x) M (för all x D f ) nedåt begränsad omm m f(x) begränsad omm m f(x) M växande omm x 1 < x 2 f(x 1 ) f(x 2 ) strängt växande omm x 1 < x 2 f(x 1 ) < f(x 2 ) jämn omm f(x) = f( x) udda omm f( x) = f(x) 18

Arcusfunktionerna Pass 14 Betrakta funktionen Sin x D Sin = [ π/2, π/2], Sin x = sin x då x [ π/2, π/2] Funktionen arcsin är inversen till Sin. Funktionerna arccos, arctan definieras så att arccos är inversen till Cos med D Cos = [0, π] arctan är inversen till T an med D T an = ( π/2, π/2). Hyperboliska funktionerna cosh = ex +e x 2 sinh = ex e x 2 tanh = ex e x e x +e x coth = ex +e x e x e x 19

Pass 15 2. Gränsvärden Definition Gränsvärde i oändligheten Def 1 lim f(x) = A det till varje givet tal ɛ > 0 x finns ett (stort) tal M = M(ɛ) sådant att Gränsvärde i punkten a x > M(ɛ) f(x) A < ɛ. Def 2 lim x a f(x) = A det till varje givet tal ɛ > 0 finns ett (litet) tal δ = δ(ɛ) sådant att Oegentligt gränsvärde x a < δ(ɛ) f(x) A < ɛ. Def 3 lim x a f(x) = + det till varje givet tal N N finns ett (litet) tal δ = δ(n) sådant att Högergränsvärde x a < δ(n) f(x) > N. Def 4 lim f(x) = A det till varje givet tal ɛ > 0 x a + finns ett (litet) tal δ = δ(ɛ) sådant att 0 < x a < δ(ɛ) f(x) A < ɛ. Försök formulera definitionerna: vänstergränsvärde, gränsvärde i minus oändligheten,... 20

Räkneregler Sats 1 g(x) < C lim x a f(x) = 0 } lim x a f(x)g(x) = 0. Sats 2 lim f(x) = A x a lim g(x) = B x a lim(f(x) + g(x)) = A + B x a lim(f(x)g(x)) = AB x a lim(f(x)/g(x)) = A/B (om B 0) x a Sats 3 Sammansättningsregeln lim g(x) = b x a lim f(t) = A t b Sats 4 om två poliser lim f(x) = A = lim g(x) x a x a f(x) h(x) g(x) lim x a f(g(x)) = A lim x a h(x) = A Sats 5 om gränsövergång i en olikhet f(x) g(x) lim x a f(x) lim x a g(x) f(x) < g(x) lim x a f(x) lim x a g(x) 21

Pass 16 Kontinuerliga funktioner Def 2 En funktion f sägs vara kontinuerlig i en punkt x 0 om och endast om 1) x 0 tillhör definitionsmängden; 2) lim x x0 f(x) = f(x 0 ). Kontinuerlig funktion - funktionen är kontinuerlig i alla punkter från definitionsmängden. Sats f, g kontinuerliga funktioner f + g fg f/g f g kontinuerliga Sats (Medelvärdessats) Antag att en funktion f är 1) kontinuerlig i ett begränsad och slutet interval [a, b]; 2) f(a) < µ < f(b) det finns en punkt c; a c b sådan att f(c) = µ. Sats Antag att en funktion f är kontinuerlig i ett begränsad och slutet interval [a, b]; funktionen f har ett största och ett minsta funktionsvärde på detta interval. 22

Pass 17 2.3 Talet e Sats 6 Talföljden a n = (1 + 1 n )n är växande och uppåt begränsad. Def 3 2.5 Asymptoter lim (1 + 1 n n )n = e Def 1 En rät linje y = ax + b kallas asymptot till kurvan y = f(x) då x omm lim (f(x) (ax + b)) = 0. x För en eventuell asymptot y = ax + b gäller f(x) a = lim x x, b = lim (f(x) ax). x Algoritm för att bestämma sneda asymptoter: f(x) 1. Undersök gränsvärdet lim x. Om detta inte x existerar finns det ingen asymptot. Om detta existerar, kan det finnas en asymptot med riktningskoefficient a = lim x x f(x). 2. Undersök gränsvärdet lim x (f(x) ax). Om detta inte existerar finns det ingen asymptot. Om detta existerar är linjen y = ax + b en asymptot till kurvan y = f(x) där b = lim x (f(x) ax). 23

2.4 Standardgränsvärden 1. lim x x α = 0, a > 1; ax 2. ln x lim = 0, α > 0; (bevis sid. 81 82) x xα 3. lim x α ln x = 0, α > 0; (bevis sid. 140) x 0 + 4. lim x 0 sin x x = 1; (bevis sid. 113 114) 5. lim n (1 + 1 n )n = e; (Definitionen för e) 6. lim x 0 (1 + x) 1/x = e; (bevis sid.153 154) 7. lim x 0 ln(1 + x) x = 1; (bevis sid. 154) 8. lim x 0 e x 1 x = 1; 9. lim n n a = 1; 10. lim n n n = 1; a n 11. lim n n! = 0; 12. lim n n n! =. beviset kan komma på tentamen 24

Derivator 3.1-3.2 Derivatans definition Pass 18 Def 1 Derivatan av funktionen f i punkten x 0 är lika med gränsvärdet f (x) df f(x + x) f(x) (x) (Df)(x) = lim. dx x 0 x Funktionen är deriverbar omm gränsvärdet existerar. Tangentens ekvation: y = f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ). 3.3 Derivationsregler Sats 1 f deriverbar f kontinuerlig. Sats 2 Antag att f och g är deriverbara funktioner och α är en konstant. Då är funktionerna αf, f + g, f g, f/g deriverbara i sina respektive definitionsmängder och det gäller a) (αf) (x) = αf (x), α R; b) (f + g) (x) = f (x) + g (x); c) (fg) ( ) (x) = f (x)g(x) + f(x)g (x); f d) (x) = f (x)g(x) f(x)g (x). g (g(x)) 2 Sats 3 (Kedjeregeln) Sats 4 d dx (f(g(x))) = f (g(x)) g (x) f : x y ( f 1) (y) = 1 f (x) 25

3.4 De elementära funktionernas derivator 1. (x n ) = nx n 1 2. (e x ) = e x 3. (ln x ) = 1 x 4. (a x ) = (ln a) a x 5. (log a x) = 1 x ln a 6. (x α ) = αx α 1 7. (sin x) = cos x 8. (cos x) = sin x 9. (tan x) = 1 cos 2 x 10. (cot x) = 1 sin 2 x 11. (arcsin x) = 1 1 x 2 12. (arccos x) 1 = 1 x 2 13. (arctan x) = 1 1 + x 2 beviset kan komma på tentamen 26

2.5.4 Serier Def 5 n Om följden s n a k av delsummor till en serie k=1 k=1 har ett (egentligt) gränsvärde kallas serien konvergent. Om däremot delsummorna saknar gränsvärde kallas den divergent. a k k=1 a k = lim n n k=1 a k Sats 9 ax k = k=0 { a 1, om x < 1 1 x divergent om x 1 27

Pass 19 3.5 Allmänna egenskaper hos deriverbara funktioner Def 2 Punkten x 0 är en lokal maximipunkt för f omm det finns ett tal δ > 0 sådant att } x x 0 < δ f(x) f(x x D 0 ) f f(x 0 ) - lokalt maximivärde. Minimipunkt eller maximipunkt = extrempunkt. Sats 13 1)[a, b] D f 2)x 0 (a, b) extrempunkt 3)f deriverbar i x 0 f (x 0 ) = 0. Sats 14 (Medelvärdessats) Antag att funktionen f är: 1) kontinuerlig i [a, b] ; 2) deriverbar i (a, b). Då finns det minst en punkt x 0, a < x 0 < b sådan att f (x 0 ) = f(b) f(a). b a Sats 15 f (x) = 0 för alla x f är en konstant funktion. Sats 16 f (x) > 0 för alla x f är en strängd växande funktion. 28

Pass 20 4. Användningar av derivator Kurvritning 1. Bestäm funktionens definitionsmängd 2. Undersök om funktionen är jämn/udda eller periodisk 3. Bestäm nollställen till funktionen, undersök hur funktionens tecken varierar 4. Bestäm eventuella sneda asymptoter 5. Bestäm alla singulära punkter och funktions beteende kring dem 6. Beräkna derivatan 7. Undersök hur derivatans tecken varierar 8. Upprätta teckenschema och värdetabell 9. Gör en skiss av funktionskurvan 29