Signaler, inormation & bilder, öreläsning Michael Felsberg Computer Vision Laborator Department o Electrical Engineering michael.elsberg@liu.se Översikt D signalbehandling (bildbehandling) orts. Faltningskärnor Deriverande Högpassiltrerade Omsampling Generell / translation Förstoring (uppsampling) Förminskning (nedsampling) Rotation Teori: Kap. 3.7, 3.8, 3.9, 3., Snonmer Faltningskärna Filterkärna Filter Operator Kärna Bgger på Maria Magnussons öreläsningar Lågpassiltrering Jämör med Fig. 3.3 * 6 66 6 36 6 66 6 /56 Lågpassiltrering i Fourierdomänen Jm Fig. 3.3
Filtrering via multiplikation i DFTdomänen ger cirkulär altning kan örberäknas Sker via multiplikation i ourierdomänen. Utbilden blir lika stor som inbilden. D cirkulär altning g D N h D där N noterar modulo periodiskt N m g D n hd m nn.59 n cirkulär altning och N betecknar N operation, dvs hd kan uppattas som upprepad eller cirkulär h n h N n. g h m G k H k Det gäller : DFT D N D D D Bevis inns i kompendiet ör den intresserade. D D Pthon : signal.tconvolve() Fig. 3.9 D cirkulär altning Motivering i spatialdomänen att är en deriveringsoperator - / * * Från gmnasiet: Faltning, g=d*: = = Alltså: För att cirkulär altning ska ge samma resultat som vanlig linjär altning kan zero-padding behövas. g samma!
Derivering kan ses som altning med en deriveringsoperator Antag att ouriertransormen av Fu ju Fu ju Fu ju Fouriertransormen av en deriveringsoperator är en rät linje! är F u, dvs En altningskärna vars ouriertransorm liknar en rät linje i ourierdomänen kan användas som deriveringsoperator! Motivering i ourierdomänen att är en deriveringsoperator - / Sätta dirac-impulser på varje element i altningskärnan med sampelavstånd h / Tag kontinuerlig Fouriertransorm H ju ju u e e v / j sin u / ju då u Den liknar en rät linje ör låga rekvenser. Den beräknar derivatan bra ör låga rekvenser och dämpar höga rekvenser. Deriverande (och lågpassiltrerande) altningskärna i -led (u-led) j sin u här /, Fig. 3.7 Deriverande (och lågpassiltrerande) altningskärna i -led (v-led) j sin v här /, Fig. 3.7 - / v centrala -dierenser u - / centrala -dierenser v u 3
Deriverande altningskärna i -led (u-led) med lågpass-eekt i båda ledder Deriverande altningskärna i -led (v-led) med lågpass-eekt i båda ledder Sobel- - - = - /8 - * / u cos v j sin här /, / Fig. 3.7 Sobel- = - - - /8 * / v cos u j sin här /, - / Fig. 3.7 Deriverande altning alta med - - - /8, Beloppet av gradienten tar ram kanter i bilden Inbild Beloppet av gradienten, gråskale ärgtabell - bipolär : ärgtabell: svart 7-8 blå grå vit 55 vit 7 röd - - - /8,,,,,,,,
-8=svart 7=vitt =svart 55=vitt Derivering och kantdetektering :original Jm Fig. 3.8 Rotationsinvarians Det är önskvärt att ett derivata-ilter-par är rotationsinvariant. Då kommer kantstrkan, absolutbeloppet av gradienten, inte bero av kantens rotationsläge.,,, Med centrala dierenser Med Sobelparet Färgtabell: Vit = Svart = positivt värde Olika derivata-ilter - / Linjär diskret altning då centrum är mellan pilarna - 6-6 /8 - / Ett ilter med centrum mellan pilarna Fig. 3.5 - * = - / / / - - * = / / / basilter (Haar wavelets) 5
Ett idealt Laplace-ilter beräknar :aderivatan i - och -led Laplaceoperatorn: Fouriertransorm:, u v,, u v är ett kratigt högpassilter i - och - led Faltningskärna som approimerar det ideala Laplace-iltret ju ju,, / : e e / cos v / sin u /, - = / - / + - / sin u sin v Fig. 3.9 - multiplicerat på det approimativa Laplace-iltret ger ett högpassilter E) användning av Laplace, negativ: Erhåll en bild med tdligare detaljer Spatialdomän Fourierdomän - - - = - / - - / Laplace, negativ + - - / Fig. 3.9 Fig. 3. 6
Bildstorlek: N N np.t.tshit( np.t.it( np.t.itshit())) Fig..6 Uppsampling, ideal Generell omsampling, princip Omsampling består av... ) Faltning med en interpolations-unktion på den samplade signalen ger en kontinuerlig signal. ) Sampling av den kontinuerliga signalen. Fig.. Sådana här distorsioner har t e Satellitbilder Vissa mikroskop Vissa röntgenbildörstärkare Vidvinkelkamerabilder Fig.. I verkligheten beräknas den kontinuerliga unktionen endast i den omsamplade signalens samplingspunkter. Ideal uppsampling Bildstorlek: N N Vilken interpolationsunktion motsvarar denna metod? np.t.tshit( np.t.t( np.t.itshit())) Nollpadda 7
Fig..7 Fourier transormen av linjära och närmsta granne interpolationsunktionerna sinc u Fouriertransormen av sinc sinc u Fouriertransormen av sinc Ger lågpassiltering Kan ge vikningsdistorsion eter omsampling Interpolationsunktioner Närmsta granne interpolation Linjär interpolation Trunkerad sinc interpolation Sinc interpolation bättre snabbare Men cubic spline interpolation kan vara både snabbare och bättre än trunkerad sinc interpolation! (Linjär) Interpolation Sätt =. Fltta interpolationsunktionen till den intressanta positionen. Interpolationsunktioner är jämna => betrakta bara avstånd värde.5.75.5.75.5.5.875 Fig..5 D bilinjär interpolation, Basta på,,,,, e e,,, e e, e e, e e, e e 8
Nedsampling + interpolations. Nedsampling m. olika interpolationskn. D uppsampling en aktor Nedsampling, ideal Original Närmsta granne interpolation Bilinjär interpolation Bicubic 6 spline interpolation Fig..8 Fig..3 original original Eter slarvig nedsampling Fig..-.5 Snabb radiell sinus + långsam radiell sinus Bicubic interpolation Bilinjär interpolation Fig.. 9
ekvivalent med att kasta bort varannan piel Nedsampling, k=, närmsta granne Bildstorlek: 566 Bildstorlek: 83 Nedsampling, k=, bilinjär interpolation / Bildstorlek: 83 bredd = k = pilar Detta är ekvivalent med: /6 / / dvs lågpassiltrering, öljt av att kasta bort varannan piel Eekter av vikningsdistorsion Vikningsdistorsionen nästan borta Rotation av en bild cos R sin sin cos Inbild Utbild R Fig.. metoder att rotera: Här bara no För alla i inbilden. Beräkna R i utbilden R: värdet i. värdet För alla i utbilden Beräkna R inbilden sprids ut i utbilden i inbilden : R R måste interpoleras ram i inbilden Forward mapping Inverse mapping
Rotation enligt metod Observera! Inbilden och utbilden är överlagrade. Rotation i närbild R värdet R måste interpoleras ram i inbilden ' R ' Fig.. Inbild öre rotation Utbild eter rotation Rotation med bilinjär interpolation Varör blir apan suddigare eter rotationerna? Rotation 3 o Rotation -3 o Slutsatser ör omsampling samt rotation Den ideala interpolationsunktionen är en sinc som motsvarar en rektangelunktion i Fourierdomänen. Vid uppsampling och rotation ska rektangelunktionen gå till vid bandgränsen. Vid nedsampling med k ska rektangel-unktionen gå till vid bandgränsen/k. Den korresponderade interpolationsunktionen blir k gånger bredare. Interpolations-unktionen utör lågpassiltrering annars år man vikningsdistorsion. Triangelunktionen (linjär interpolation): Dess bredd = bredden på sincens huvudlob. Uppsampling: bredden på triangelunktionen pilar Nedsampling: bredden på triangelunktionen k pilar