15.1 Mer om betingad sannolikhet

Relevanta dokument
S0007M Statistik2: Slumpmodeller och inferens. Inge Söderkvist

13.1 Matematisk statistik

F3 SANNOLIKHETSLÄRA (NCT ) För komplementhändelsen A till händelsen A gäller att

Grundläggande matematisk statistik

Utfall, Utfallsrummet, Händelse. Sannolikhet och statistik. Utfall, Utfallsrummet, Händelse. Utfall, Utfallsrummet, Händelse

Introduktion till sannolikhetslära. Människor talar om sannolikheter :

TMS136. Föreläsning 2

Föreläsning 2. Kapitel 3, sid Sannolikhetsteori

Reliability analysis in engineering applications

Sannolikhetslära. Uppdaterad:

Matematisk statistik - Slumpens matematik

Kolmogorovs Axiomsystem Kolmogorovs Axiomsystem Varje händelse A tilldelas ett tal : slh att A inträar Sannolikheten måste uppfylla vissa krav: Kolmog

Föreläsning 2, Matematisk statistik för M

Kap 2: Några grundläggande begrepp

Matematiska uppgifter

Statistik 1 för biologer, logopeder och psykologer

Föreläsning G70 Statistik A

SF1901: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 2. Betingad sannolikhet & Oberoende

TMS136. Föreläsning 2

Betingad sannolikhet och oberoende händelser

Finansiell Statistik (GN, 7,5 hp,, HT 2008) Föreläsning 1

SF1901: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 2. Betingad sannolikhet & Oberoende

SF1901: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 2. Betingad sannolikhet & Oberoende

1 Föreläsning I, Mängdlära och elementär sannolikhetsteori,

STA101, Statistik och kvantitativa undersökningar, A 15 p Vårterminen 2017

F2 SANNOLIKHETSLÄRA (NCT )

SF1901 Sannolikhetsteori och statistik I

3, 6, 9, 12, 15, 18. 1, 2, 4, 8, 16, 32 Nu är stunden inne, då vill vill summera talen i en talföljd

Föreläsning G70, 732G01 Statistik A

kvoten mellan två på varandra följande tal i en talföljd är konstant alltid lika stor.

Svar till gamla tentamenstal på veckobladen

Svar till gamla tentamenstal på veckobladen

Sannolikhetsbegreppet

Tentamen. Matematik 2 Kurskod HF1003. Skrivtid 8:15-12:15. Fredagen 13 mars Tentamen består av 3 sidor. Maple samt allt tryckt material

Känguru Student (gymnasiet åk 2 och 3) sida 1 / 6

Föreläsning 1. Grundläggande begrepp

STA101, Statistik och kvantitativa undersökningar, A 15 p Vårterminen 2017

Tentamen i Statistik, STA A13 Deltentamen 1, 4p 12 november 2005, kl

Matematisk Statistik och Disktret Matematik, MVE051/MSG810, VT19

Problemlösning. Måns Thulin. Uppsala universitet Statistik för ingenjörer 30/ /16

19.1 Funktioner av stokastiska variabler

TMS136. Föreläsning 1

Föreläsning 1, Matematisk statistik Π + E

Sannolikhetslära. 1 Enkel sannolikhet. Grunder i matematik och logik (2015) 1.1 Sannolikhet och relativ frekvens. Marco Kuhlmann

Matematik CD för TB. x + 2y 6 = 0. Figur 1:

F6 STOKASTISKA VARIABLER (NCT ) Används som modell i situation av följande slag: Slh för A är densamma varje gång, P(A) = P.

Tentamen i statistik och sannolikhetslära för BI2 den 27 maj 2010

Den räta linjens ekvation

4.2.1 Binomialfördelning

Kombinatorik och sannolikhetslära

f (x) = 8x 3 3x Men hur är det när exponenterna inte är heltal eller är negativ, som till exempel g(x) = x h (x) = n x n 1

Den räta linjens ekvation

Enkla uppgifter. Uppgift 1. Uppgift 2

x+2y+3z = 14 x 3y+z = 2 3x+2y 4z = 5

Problemlösning Lösningar

FÖRELÄSNING 3:

Matematisk statistik för D, I, Π och Fysiker. Matematisk statistik slumpens matematik. Tillämpningar för matematisk statistik.

SF1901: Övningshäfte

y y 1 = k(x x 1 ) f(x) = 3 x

Föreläsning 1, Matematisk statistik för M

Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter

Fler uppgifter på andragradsfunktioner

4.1 Grundläggande sannolikhetslära

Satsen om total sannolikhet och Bayes sats

5 Om f (r) = 0 kan andraderivatan inte avgöra vilken typ av extrempunkt det handlar om. Återstår att avgöra punktens typ med teckenstudium.

Ekvationslösning genom substitution, rotekvationer

TAMS79: Föreläsning 1 Grundläggande begrepp

Övningstenta 6. d b = 389. c d a b = 1319 b a

SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK GRUNDLÄGGANDE SANNOLIKHETSTEORI, BETINGAD SANNOLIKHETER, OBEROENDE. Tatjana Pavlenko.

BIOSTATISTISK GRUNDKURS, MASB11, VT-16, VT2 ÖVNING 1, OCH ÖVNING 2, SAMT INFÖR ÖVNING 3

Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR

SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH GRUNDLÄGGANDE SANNOLIKHETSTEORI, STATISTIK BETINGADE SANNOLIKHETER, OBEROENDE. Tatjana Pavlenko.

Sidor i boken f(x) = a x 2 +b x+c

14.1 Diskret sannolikhetslära

f(t 2 ) f(t 1 ) = y 2 y 1 Figur 1:

Lösningar och kommentarer till Övningstenta 1

1 Föreläsning I, Vecka I: 5/11-11/11 MatStat: Kap 1, avsnitt , 2.5

TENTAMEN. HF1002, 6H3120, 6H3117 Diskret Matematik. Skrivtid 13:15-17:15. Måndag 19 december Tentamen består av 5 sidor.

Anna: Bertil: Cecilia:

NAMN KLASS/GRUPP. Poängsumma: Känguruskutt: UPPGIFT SVAR UPPGIFT SVAR UPPGIFT SVAR

Kapitel 4 Sannolikhetsfördelningar Sid Föreläsningsunderlagen är baserade på underlag skrivna av Karl Wahlin

ÖVNINGSTENTAMEN. HF1002, 6H3120, 6H3117 Diskret Matematik. Skrivtid 10:15-13:15. Torsdagen 20 maj Tentamen består av 4 sidor.

Sannolikhetslära. 19 februari Vad är sannolikheten att vinna om jag köper en lott?

händelsen som alltid inträffar. Den tomma mängden representerar händelsen som aldrig inträffar.

2+6+3x = 11 y+4+15 = z = 15. x 2. { 3x1 +4x 2 = 19 2x 1 +2x 2 = 10 B =

KOKBOKEN 1. Håkan Strömberg KTH STH

SF1901: Sannolikhetslära och statistik

Statistikens grunder HT, dagtid Statistiska institutionen

DEL I. Matematiska Institutionen KTH

UPPGIFT 1 V75 FIGUR 1.

Föreläsning 1. Repetition av sannolikhetsteori. Patrik Zetterberg. 6 december 2012

Sidor i boken

Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter I Ö5.1b, Ö5.2b, Ö5.3b, Ö5.6, Ö5.7, Ö5.11a

Trigonometri. Sidor i boken 26-34

Antal ögon Vinst (kr) Detta leder till följande uttryck E(x) = x x p X(x) x f X(x)dx

Definition. Antag att 0. Sannolikheten för A om B har inträffat betecknas, kallas den betingade sannolikheten och beräknas enligt följande

Föreläsningsmanus i matematisk statistik för lantmätare, vecka 2 HT07

Linjära ekvationssystem

Moment 5.5 Övningsuppgifter I 5.60a. 5.60b, 5.60.c, 61

TMS136. Föreläsning 1

Transkript:

15.1 Mer om betingad sannolikhet Exempel 1. En vanlig tärning kastas Låt A tärningen visar 1 Låt B tärningen visar ett udda poängantal Bestäm P(A). Bestäm P(A B), det vill säga: Hur stor är sannolikheten att man kastat en 1:a när man får reda på att tärningen visar ett udda antal ögon? P(A) 1 6 P(A B) P(A B) 1 3 När vi vet att B har inträffat ökar sannolikheten för att A ska inträffa. Exempel 2. En tärning kastas 2 gånger. Låt A första tärningen visar 5 Låt B andra tärningen visar 2 Bestäm och P(B A) 1 6 P(B A) P(A B) Vi vet nu att P(B A). Det faktum att vi vet att A inträffat, påverkar inte sannolikheten för B. A och B är oberoende händelser. Exempel 3. Två tärningar kastas. 1 1 6 1 6 Låt A ögonsumman är udda Låt B ögonsumman 9 Låt C ögonsumman 7 a) Är A och B oberoende?. b) Är A och C oberoende? Håkan Strömberg 1 KTH Syd

15.1. MER OM BETINGAD SANNOLIKHET Figur 15.1: Lösning a):. Svar: NEJ Lösning b):. Svar: NEJ P(A) 18 30 P(A B) 16 P(A) 18 30 25 P(C) 21 P(A C) 12 P(A)P(C) 18 21 7 24 Exempel 4. Om ett inbrott äger rum en natt ringer tjuvlarmet med sannolikheten 0.99. Om inget inbrott görs ringer larmet med sannolikheten 0.02. Antag att sannolikheten är 0.001 att ett inbrott inträffar en viss natt. En natt ringer tjuvlarmet. Vad är den betingade sannolikheten att ett inbrott skett? Låt A inbrott har skett, B larmet går. P(A B) P(A B) P(A)P(B A) 0.001 0.99 0.001 0.99 + 0.999 0.02 0.047 Exempel 5. På en arbetsplats skadades 1% av personalen under ett år. 60% av de skadade var män. 30% av de anställda var kvinnor. Vilket kön löper störst skaderisk och hur stor är denna risk? Håkan Strömberg 2 KTH Syd

Givet P(skadad man) P(man skadad) P(man) P(skadad) 0.01 P(man skadad) 0.6 P(kvinna skadad) 0.4 P(man) 0.7 P(kvinna) 0.3 P(skadad) P(man skadad) P(man) P(skadad kvinna) P(skadad)P(kvinna skadad) P(kvinna) 0.01 0.4 0.3 0.01 0.6 0.7 0.01333 0.00857 Exempel 6. För två oberoende händelser A och B gäller att P(A) 0.05, 0.10. En person påstår att P(A B) 0.15. Är detta rätt eller fel? P(A B) P(A) + P(A B) A och B oberoende P(A B) P(A). P(A B) P(A) + P(A) 0.55 + 0.10 0.05 0.1 0.145 Personen hade fel! Exempel 7. Adam lägger tre kort i en hatt. Kort 1 är rött på båda sidorna, kort 2 är vitt på båda sidorna och kort 3 är rött på ena sidan och vitt på andra. Bertil drar ett kort och tittar på den ena sidan som är röd. Vad är sannolikheten att den andra sidan är röd? Vanlig men FELAKTIG Vi har en röd sida. Det utesluter kort 2. Bertil har alltså dragit något av de övriga korten. Om Bertil dragit kort 1 är baksidan röd med sannolikheten 1. Om Bertil dragit kort 3 är baksidan röd med sannolikheten 0. P(Baksidan röd Framsidan röd) 1 2 1 + 1 2 0 1 2 KORREKT Lösning Vi tittar på någon av de tre röda sidorna, var och en med sannolikheten 1 3. P(Baksidan röd Framsidan röd) 1 3 1 + 1 3 1 + 1 3 0 2 3 Exempel 8. Antag att varje komponent i systemen nedan (figur 15.2), fungerar med sannolikheten p och att komponenterna fungerar oberoende av varandra. Vad är sannolikheten att systemen fungerar? P(A) p p p 2 1 P( B) 1 (1 p) 2 1 (1 2 + p 2 2p) 2p p 2 P(C) p 2p 2 p 3 Håkan Strömberg 3 KTH Syd

15.1. MER OM BETINGAD SANNOLIKHET Figur 15.2: Exempel 9. Ett slumpmässigt försök kan ofta ses som en upprepning av n likadana delförsök, där händelserna i dessa delförsök är oberoende. Vi säger att vi gör n oberoende upprepningar av ett delförsök. Vad är sannolikheten att få exakt 3 ettor vid ett kast med 5 tärningar? De 5 kasten är oberoende. Låt A en etta erhålls vid ett kast med en tärning. Låt A 3 exakt tre ettor vid kast med fem tärningar. P(A 3 ) ( 5 3 )( 1 6 ) 3 ( ) 5 2 0.0322 6 Exempel 10. Ett instrument, som består av två komponenter A och B, fungerar endast då båda komponenterna är hela. Vid en laboration tar 4 instrument fram. En komponent A är sönder med sannolikheter 0.2. En komponent B är sönder med sannolikheter 0.3. Beräkna sannolikheten att minst två instrument fungerar. (De 8 komponenterna antas oberoende.) A komponent A är hel B komponent B är hel P(godtyckligt instrument fungerar) P(A) 0.8 0.7 0.56 P(minst två är trasiga) 1 P(högst en är trasig) 1 (0.56 4 + Exempel 11. Givet vägnät. Ibland på vintern snöar vägarna igen. ( ) 4 0.56 3 0.44) 0.593 1 Låt E1 vägen mellan A och B är framkomlig, P(E1) 2 5 Låt E2 vägen mellan A och C är framkomlig, P(E2) 3 4 Låt E3 vägen mellan B och C är framkomlig, P(E3) 2 3 P(E3 E2) 4 5 P(E1 E2 E3) 1 2 Vad är sannolikheten att resan A C B går att genomföra? Håkan Strömberg 4 KTH Syd

Figur 15.3: Vad är sannolikheten att man kan ta sig från A till B? Vilken resväg skall väljas för att maximera sannolikheten att ta sig från A till B? a) P P(E2 E3) P(E2) P(E3 E2) 3 4 4 5 3 5 b) P P(E1 (E2 E3)) P(E1) + P(E2 E3) P(E1 (E2 E3)) P(E1) P(E2 E3) P(E2 E3) P(E1 E2 E3) 2 5 + 3 5 3 1 5 c) P direkt P(E1) 2 5 P via C P(E2 E3) 3 5 2 7 10 Exempel 12. A och B är oberoende händelser. B är dubbelt så sannolik som A. A B är utfallsrummet. Beräkna P(A) Givet A och B oberoende 2P(A) 2x P(A B) 1 Sökt P(A) ger där och vi får ekvationen P(A B) P(A) + P(A B) 1 x + 2x P(A B) P(A B) {A,B, oberoende} P(A) x 2x 2x 2 1 x + 2x 2x 2 med rötterna x 1 1 och x 2 1 2. Vi testar lösningarna x 1 1 P(A) 1 2 ORIMLIGT Håkan Strömberg 5 KTH Syd

15.1. MER OM BETINGAD SANNOLIKHET x 1 1 2 P(A) 1 2 1 P(A B) 1 P(A B) 1 2 Håkan Strömberg 6 KTH Syd