Övningstentamen Uppgift 1: Företaget Holly Suger Co tillverkar sockerbitar. Med hjälp av kvalitetskontrollerna upptäcker man att 1% av sockerbitarna är defekta. Anta att man väljer ut 3 sockerbitar från produktionen. Vad är sannolikheten att a) minst en är hel? b) två är defekta och en är hel? Uppgift : Ett flygbolag vet att 0.5% av deras passagerare blir av med sitt bagage. Detta kostar flygbolaget i genomsnitt 600 dollar per förlorat bagage. a) Hur mycket bör man höja flygavgiften (per passagerare) för att täcka denna kostnad? b) Vilken sannolikhetsfördelning har du använt? Uppgift 3: På ett företag antar man att antal telefonsamtal som rings på varje telefon är Poissonfördelat med i genomsnitt 1 samtal per timme. På företaget finns 81 telefoner. Vad är sannolikheten att det på företagets alla telefoner sammanlagt rings minst 30 samtal på timmar? Uppgift : För att kontrollera att en process var under statistisk kontroll tog man ut vissa slumpmässigt valda enheter och mätte dem. Följande värden erhölls vid 10 olika mättillfällen: 5. 5.39 5.1 5.35 5.1 5.6 5.0 5.37 5.39 5.3 En kund som använder ovanstående enheter har angivit toleransen 5.0 ± 0.3 på sin kravspecifikation. a) Rita upp ovanstående värden i en normalfördelningsplot med hjälp av formeln (i 0.5) = 100 % där k = antal värden som skall ritas in k b) Uppskatta processens µ och σ från normalfördelningsplotten. c) Vad blir dugligehten, C p, och den korrigerade dugligheten, C pk, i ovanstående problem om Tö Tu M µ Cp = och C pk = C p (1 CM) där CM = 6 σ (Tö Tu ) Om du inte har löst b-uppgiften så anta rimliga värden på µ och σ. d) Är ovanstående process bra eller dålig? Motivera ditt svar. (8 poäng)
Uppgift 5: En däckfabrikant vill förbättra bromsegenskaperna hos sina produkter. Med hjälp av ett 3 -faktorförsök vill han undersöka hur de 3 faktorerna däckens gummikvalitet, däckens diameter och däckens mönstring påverkar bromssträckan. Eftersom det förekommer industrispionage så kallas de tre faktorerna för A, B och C. Vidare anges inga värden på hög resp låg nivå på testprotokollen. Följande erhölls när en bil framfördes i 110 km/tim: A B C bromssträcka - - - 7 + - - 66 - + - 68 + + - 69 - - + 70 + - + 6 - + + 66 + + + 65 Följande effekter beräknades: l A = -3.0 l B = -1.0 l AB = 3.0 l AC = -0.5 a) Beräkna de resterande effekterna. b) Rita upp en samspelsgraf över samspelet mellan A och B. c) Vilka nivåer på de tre faktorerna skulle du rekommendera att fabrikanten använde om han vill ha så kort bromssträcka som möjligt?
SVAR/Lösningar Uppgift 1: ξ= antal hela sockerbitar ξ är Bin(n, p) = Bin(3, 0.99) a) 0.999999 b) 0.00097 Uppgift : ξ= kostnaden för ett förlorat bagage a) Förväntad kostnad per passagerare = 600 0.005 = 3 dollar b) ξ= x P(ξ= x) 0 0.995 600 0.005 Uppgift 3: ξ= antal samtal som rings på en telefon under en timma ξ är Po(λ = 1) η = totalt antal samtal som rings på 81 telefon under timmar η är Po(λ = 81= 3) För en Poissonfördelad variabel gäller att E(η) = Var(η) = λ = 3 Eftersom λ > 15 så kan vi använda normalapproximation P(η > 30) = 1 P(η 30) = 1 P(Z = P(Z 0.) º 0.5871 30 3 30 ) = 1 P(Z 0.) = Uppgift : a) -värden 0.95 0.90 0.80 0.70 0.60 0.50 0.0 0.30 0.0 0.10 0.05 Normalfördelningsdiagram i -värde 1 5% 15% 3 5% 35% 5 5% 6 55% 7 65% 8 75% 9 85% 10 95% 5,3 5,36 5,38 5,0 5, 5, 5,6 5,8 Observerade värden
b) Normalfördelningsdiagram 0.95 0.90 0.80 -värden 0.70 0.60 0.50 0.0 0.30 0.0 0.10 0.05 µ σ µ + σ µ 5,3 5,35 5,36 5,37 5,38 5,39 5,0 5,1 5, 5,3 5, 5,5 5,6 5,7 5,8 Observerade värden 5.38 5.37 µ 5.05 σ = 0. 033 c) 3,5 3,0,5 Medelvärde: 5,05 Standardavvikelse: 0,033 Specifikationer: Tu = 5,10 Målvärde = 5,0 Tö = 5,70 Cp = 3,03 Cpk =,98 Tu -3s Målvärde +3s Tö Frekvens,0 1,5 1,0 0,5 0,0 5,0 5,1 5, 5,3 5, 5,5 5,6 5,7 5,8 Tö Tu 5.7 5.1 C p = = 3. 030 6σ 6 0.033 Mµ 5.0 5.05 CM = = 0. 0167 (Tö Tu ) (5.7 5.1) C pk = C p (1 CM) 3.03 (1 0.0167) =.98 d) Detta är en bra process eftersom C p är så stor. Rekommenderat värde är att C p skall vara större än 1.33. Det höga värdet på C p betyder att spridningen i tillverkningen är väldigt liten. Att C pk C p betyder att tillverkningens centrering är nästan perfekt.
Uppgift 5: A B C AB AC BC ABC resultat - - - + + + - 7 + - - - - + + 66 - + - - + - + 68 + + - + - - - 69 - - + + - - + 70 + - + - + - - 6 - + + - - + - 66 + + + + + + + 65 70 + 6 + 66 + 65 7+ 66 + 68 + 69 l C = =.5 7 + 66 + 66 + 65 68 + 69 + 70 + 6 l BC = = 0.5 66 + 68 + 70 + 65 7 + 69 + 6 + 66 l ABC = = 0.5 b) Bromssträcka 7 71 70 69 68 67 66 65 6 Samspelsgraf Däckens diameter (-) Däckens diameter (+) - + Däckens gummikvalitet Däckens diameter (+) Däckens diameter (-) VAR -1, VAR 1, A - B - = A - B + = A + B - = A + B + = 7 + 70 68 + 66 66 + 6 69 + 65 = 71 = 67 = 65 = 67 c) För att få så kort bromssträcka som möjligt väljs däckens gummikvalitet på hög nivå och däckens diameter på låg nivå. Eftersom ingen samspelsgraf är gjord där faktor C finns med tolkas denna preliminärt så att när C ökar från låg till hög nivå så minskar bromssträckan med igenomsnitt.5 meter. Välj alltså även C på hög nivå.