Niclas Larson Myra på villovägar Att modellera praktiska sammanhang i termer av matematik och att kunna använda olika representationer och se samband mellan dessa är grundläggande förmågor som behövs vid matematiskt arbete. Kanske är det något som även vi som lärare behöver praktisera ibland, inte bara undervisa om. En krypande myra ger oss ett konkret exempel. Vi har väl alla stått på en matta på golvet och sedan hastigt försökt förflytta oss och då upptäckt att mattan åker iväg i stället för att man själv gör det. Samma effekt får man när man ska hoppa i land från en eka som inte är förtöjd vid bryggan. Ekan åker bakåt och själv kommer man inte så långt som hoppet egentligen förtjänar, men förhoppningsvis ändå tillräckligt för att inte plumsa i vattnet. Egentligen händer samma sak om man mot förmodan skulle hoppa i land från ett stort kryssningsfartyg som inte är förtöjt, men eftersom en människa väger så lite jämfört med fartyget så är effekten inte märkbar i det fallet. I skolsammanhang kan ett liknande experiment vara svårt att genomföra, men man skulle kunna tänka sig att låta elever hoppa i land från en båt i samband med en lektion i livräddning. Man kan då se vad som händer om man varierar antalet elever som sitter i båten när man genomför hoppet. I den här artikeln beskrivs hur ovanstående situation skulle kunna analyseras matematiskt. Texten är en sammanfattning av den första delen i min licentiat avhandling, En plattas vridning och translation under inverkan av en partikel med given bana, som lades fram vid matematiska institutionen på Stockholms universitet år 2004 (Larson, 2004). De matematiska detaljerna är inte med i denna artikel. En mer omfattande version finns på Nämnaren på nätet. En modell En fysikaliskt och matematiskt idealiserad modell av problemet får man genom att tänka sig en platta på ett friktionsfritt underlag. På plattan befinner sig ett föremål som anses punktformat, det vill säga föremålet har ingen utbredning utan är oändligt litet. När föremålet börjar röra sig på plattan kommer även plattan att få en rörelse vars utseende bland annat beror på plattans egen massa, föremålets massa och föremålets rörelseriktning. Plattan kommer att förskjutas bakåt, det vill säga i motsatt riktning mot föremålets rörelseriktning. I de flesta fall kommer den också att få en rotation, men rotationen uteblir om föremålet rör sig rakt mot eller från plattans masscentrum, det vill säga tyngdpunkt. För att enklare få en bild av modellen, liknas föremålet vid en myra, därav arbetets undertitel Myra på villovägar. Visserligen är en myra inte helt punkt 53
formig men i alla fall nästan, och det ger lite mer liv åt texten att kunna referera till en myra än till ett punktformigt föremål. Målsättningen är att hitta en beskrivning av hur plattan rör sig på underlaget, när myran börjar sin promenad. Man kan fundera över vilken nytta analysen av detta problem kan göra rent praktiskt. En möjlig tanke är att tillämpa teorin på olika typer av datoranimeringar. Ett enkelt exempel är ett TV-spel där en figur springer och hoppar omkring. Inte sällan blir frånskjutsen vid ett hopp total, även om figuren hoppar från ett rörligt föremål. Med modellen från arbetet kan sådana hopp göras mer verklighetstrogna. Men arbetets främsta syfte är ändå att visa hur man kan använda olika sorters matematik för att beskriva något som händer i verkligheten. Två modeller I arbetet använde jag mig av två olika modeller för att beräkna vad som hände, en baserad på vektorer och en baserad på komplexa tal. Detta är ett exempel på att samma praktiska problem ibland kan lösas med hjälp av olika typer av matematik ett väl så intressant faktum som att samma matematik ofta kan tillämpas inom vitt skilda områden. För mig var det nytt att producera eget matematiskt material. En stor del av matematikutbildningen ägnas antingen till att läsa in och förstå bakomliggande teorier eller till att lösa problem där man redan vet svaret, enkelt kan kontrollera det eller på annat sätt bedöma när man är färdig. Så var det inte nu och det var svårt att veta om den lösning jag fick fram var korrekt. Då var det till stor hjälp att jag angrep problemet från två håll och därför kunde jämföra lösningarna jag fått fram genom de olika angreppssätten. Det framgick att lösningen med vektorer som utgångspunkt stämde väl överens med den som erhölls med hjälp av komplexa tal. En matematisk modell med vektorer För att kunna beskriva vad som sker i problemet behövs två koordinatsystem. Det ena systemet är placerat på underlaget och har origo under den plats där plattan och myran har sitt gemensamma masscentrum. Detta system kallas det fasta koordinatsystemet. Det andra systemet är placerat på själva plattan med origo i plattans masscentrum och kallas för det rörliga koordinatsystemet. Det rörliga systemets axlar är därmed fixerade i förhållande till plattan. Myrans väg på plattan beskrivs i det rörliga systemet, medan det fasta systemet har till uppgift att beskriva hur plattan rör sig. Från start är de båda systemens axlar parallella. Plattans vridning beskrivs genom att ange den vinkel som uppstår mellan de två systemen när plattan vrids och translationen beskrivs genom att i det fasta systemet ange koordinaterna för plattans masscentrum. Eftersom vissa av de fysikaliska lagar som berör detta problemområde mest naturligt uttrycks i tre dimensioner (med hjälp av så kallad vektorprodukt) så låter vi de båda koordinatsystemen vara tredimensionella. Eftersom ingen förändring i höjdled sker, så komplicerar inte detta uttrycken nämnvärt. Det blir helt enkelt bara en tredje koordinat som är noll i båda systemen. En vektor som ligger fast på plattan, kommer givetvis att ha konstanta koordinater i det rörliga systemet. Däremot kommer vektorns koordinater att variera i det fasta systemet beroende på plattans vridning. Eftersom en vektor kan parallellförflyttas, påverkas inte koordinaterna i det fasta systemet av plattans 54
Myran Figuren visar hur modellen ser ut med tvådimensionella koordinatsystem. Det fasta systemets axlar är benämnda respektive och det rörliga systemets axlar kallas respektive. är den vinkel som uppkommer mellan koordinatsystemen när plattan roterar. är plattans masscentrum, medan är plattans och myrans gemensamma masscentrum. translation. Endast rotationen har betydelse. När man arbetar med vektorer kan en rotation beskrivas som multiplikation med en speciell matris. I vårt fall sker rotationen bara i plattans plan, men eftersom vi använder oss av tredimensionella vektorer beskrivs det hela av en 3 x 3-matris som innehåller vinkeln som i sin tur är en funktion av tiden t. Matrisen får utseendet Om myrans väg på plattan är beskriven i det rörliga systemet, kan man nu med hjälp av matrisen ange ett uttryck även för myrans rörelse sedd i det fasta systemet. Den rörelsen kommer att bero av 1. hastigheten som orsakas av plattans translationsrörelse 2. den hastighet rotationen orsakar för den punkt myran står på 3. myrans hastighet mot plattan, transformerad till det fasta systemet. 55
En matematisk modell med komplexa tal Som ett alternativ till att ange myrans position med en vektor, kan man i stället använda det vanliga komplexa talplanet. Positionen anges då med hjälp av ett komplext tal, där talets realdel avläses på x-axeln och imaginärdelen på y-axeln. Till exempel skrivs vektorn då i stället som det komplexa talet 1 + 3i Här behövs alltså inte den tredje dimensionen. Sambandet mellan det fasta och det rörliga systemet ges nu inte av en matris, utan av talet. Positionen i det fasta systemet får man helt enkelt genom att multiplicera det komplexa talet som anger myrans position med och produkten blir ett nytt komplext tal. Fysiken ger en ekvation Nu tänker vi oss att myran påverkar plattan med en kraft som anges med en vektor. Plattans vridning kommer dels att bero på kraftvektorns storlek och riktning, och dels på hävarmen från myrans position till plattans masspunkt. Med samma resonemang som förut får kraftvektorn och hävarmen vara tredimensionella vektorer, där den tredje koordinaten är 0. För att finna plattans rörelser behöver man två fysikaliska lagar, nämligen en för rotationen och en för translationen. 1. Rörelsemomentlagen anger ett samband mellan plattans tröghetsmoment, plattans vinkelacceleration, myrans kraftvektor samt hävarmen. Tröghetsmomentet beror av plattans massa och massfördelning och kan sägas beskriva hur tungt det är att vrida plattan. 2. Newtons andra lag som också kallas accelerationslagen (F = ma) anger sambandet mellan myrans kraftvektor, myrans massa och myrans accelerationsvektor, där den sistnämnda visar storlek och riktning på myrans acceleration. Sätter man samman de ekvationer som uppstår av rörelsemomentlagen och Newtons andra lag, kan man nu få fram en differentialekvation vars lösning anger plattans vridning som funktion av tiden. När man arbetar med komplexa tal i stället för med vektorer, kommer även myrans kraftpåverkan på plattan samt hävarmen för denna påverkan att uttryckas med komplexa tal. Naturligtvis gäller samma fysikaliska lagar oavsett vilken matematisk modell man väljer att arbeta efter. Härledningarna och beräkningarna blir lite annorlunda, men man kommer även här fram till en differentialekvation vars lösning är en funktion. 3i 2i i 1 Talet 1+3i markerat i det komplexa talplanet. 56
En jämförelse mellan angreppssätten Ett av avhandlingens huvudmål var att jämföra olika angreppssätt. Resultatet visade att metoden med komplexa tal nästan undantagslöst var lättare att arbeta med än att arbeta med vektorer. Lösningen blev både kortare och enklare att förstå. Det gick också att se tydliga likheter mellan de olika stegen i respektive metod. I ett resultat som man kommit fram till genom att arbeta med vektorer kunde man urskilja att termerna och faktorerna hade en motsvarighet i motsvarande resultat med utgångspunkt i komplexa tal. Ytterligare en fördel med modellen med komplexa tal är att den är användbar i skolsammanhang. Vektorgeometrin ligger i huvudsak på universitetsnivå, men komplexa tal introduceras i gymnasiets kurs E. Man skulle kunna tänka sig att lyfta in den här modellen som ett exempel på tillämpning av det komplexa talplanet. En nackdel med komplexa tal är dock att man är begränsad till två dimensioner. Att arbeta med vektorer skulle kunna möjliggöra en utvidgning av problemet till tre dimensioner. Det är emellertid inget som behandlas i avhandlingen. I den version av artikeln som ligger på Nämnaren på nätet visar vi hur man kommer fram till den differentialekvation som beskriver plattans rörelse och löser den i några specialfall. Sammanfattning Avhandlingen visar alltså på hur man kan utnyttja linjär algebra och komplexa tal för att beskriva mekaniska rörelser. I den här förkortade versionen har många matematiska detaljer med avsikt utelämnats. För den intresserade kan jag hänvisa till min avhandling (Larson, 2004). Där kan man också få en bättre inblick i hur samma problem löses på olika sätt med hjälp av vektorer respektive komplexa tal. I de exempel som redovisas i texten ger ofta matematiken och intuitionen samma svar. I några fall har emellertid de erhållna svaren överraskat åtminstone mig själv. Jag anser att resultat som visar att det inte alltid går att lita till sin intuition ger ytterligare stöd för att forskning i matematik kan vara nödvändig. Att kunna angripa matematiska problem på olika sätt är ett viktigt mål för elever. Att kunna beskriva olika representationer av samma problem kallas för att ha representationskompetens, (Niss & Højgaard-Jensen, 2002). Naturligtvis är det då ytterst viktigt att man som lärare kan ta sig an problem från olika angreppsvinklar. litteratur Larson, N. (2004). En plattas vridning och translation under inverkan av en partikel med given bana. Research Reports in Mathematics Number 6, 2004, Matematiska institutionen, Stockholms universitet. Niss, M. & Højgaard-Jensen, T. (2002). Kompetencer og matematiklæring. Uddannelsestyrelsens temahæfteserier 2002 (18). 57