Tentamen SF66, Analys i flera variabler, --8 Svar och lösningsförslag. Låt fx, y) = ye x y. Bestäm största och minsta värde till f på den slutna kvadraten med hörn i, ),, ),, ) och, ). Lösning. f är kontinuerlig i hela xy-planet och speciellt på den slutna kvadraten med hörn i, ),, ),, ) och, ), vilket medför att f säkert antar ett största och minsta värde på. Dessa extremvärden måste antas i antingen. en inre punkt, och eftersom funktionen är överallt deriverbar måste detta ske i en kritisk punkt,. en punkt på randkurvan förutom hörnen, eller 3. i hörnpunkterna.. f x = ye x och f y = e x. Man ser direkt att f x = y =, f y = x = så, ) är enda kritiska punkt, och den ligger i det inre av.. Vi söker efter möjliga extrempunkter på linjestyckena som utgör :s rand, exklusive hörn. anten där y = parametriseras som x = t, y =, < t <, och f:s restriktion till denna kant ges av ht) = ft, ) = e t med derivata h t) = e t, vilket gör att extremvärden saknas längs denna del av randen. anten där y = parametriseras som x = t, y =, < t <, och f:s restriktion till denna kant ges av ht) = ft, ) = e t + med derivata h t) = e t, vilket gör att extremvärden saknas längs denna del av randen. anten där x = parametriseras som x =, y = t, < t <, och f:s restriktion till denna kant ges av ht) = f, t) = e )t med derivata h t) = e, vilket gör att extremvärden saknas längs denna del av randen. anten där x = parametriseras som x =, y = t, < t <, och f:s restriktion till denna kant ges av ht) = f, t) = e)t med derivata h t) = e, vilket gör att extremvärden saknas längs denna del av randen. Alltså måste största eller minsta värde antas antingen i den inre kritiska punkten, ) eller i någon av hörnpunkterna. Vi jämför värden: f, ) =, f, ) = e, f, ) = e, f, ) = /e, f, ) = /e. Eftersom e > > /e > > /e > e får vi SVAR: Största värde är f, ) = e och minsta värde f, ) = e.
. Beräkna den generaliserade integralen + + genom att byta integrationsordning. y e x x dx ) dy Lösning. Ett försök att beräkna integralen direkt ger inte något svar eftersom integralen e x x dx inte kan uttryckas i elementära funktioner. Man skall istället tolka hela ursprungliga integralen som en dubbelintegral. Eftersom den inre integralen har gränserna y x < + får vi följande olikhet som definierar integrationsområi planet: y x. Området ligger till höger om parabeln y = x. En alternativ beskrivning av samma område är olikheterna x y x, x. De ger oss nya gränser för integralen där den yttre integralen tas m a på x och den inre tas m a på y: SVAR: + dx x x e x e x dy = x dx = x x e x dx =.. 3. För funktionen fx, y) gäller att grad f = 3x y + y 3, 3xy +x 3 y) och f, ) = a) Bestäm funktionen f. b) Bestäm riktningsderivatan av f i punkten, ) i riktning mot origo. Lösning. a) grad f = x, y ) = 3x y + y 3, 3xy + x 3 y). Vi får från detta att x = 3x y + y 3 = fx, y) = x 3 y + xy 3 + hy). Vi deriverar detta uttryck för f m a p y och jämför med y vilket ger x 3 y + 3xy + h y) = 3xy + x 3 y = h y) = = hy) = konstant). Så fx, y) = x 3 y + xy 3 +. Villkoret f, ) = ger =. b) v = /, ) är den enhetsvektor som avsatt i punkten, ) pekar mot origo. Enligt sats kan nu den sökta riktningsderivatan beräkans som D v f), ) = v grad f, ) = /, ) 4, 5) = 9. SVAR: a) fx, y) = x 3 y + xy 3 b) 9
4. Bestäm andra ordningens Taylorpolynom till fx, y) = lnx + 3y ) i punkten /, /), och beräkna sedan med hjälp av detta ett approximativt vårde på f.6,.4). Lösning. Vi inför beteckningen Q = /, /). fx, y) = lnx + 3y ), fq) = ln = f xx, x y) = x + 3y, f xq) = f yx, 6y y) = x + 3y, f yq) = 3 xxx, y) = x + 3y ) 4x x + 3y ), xxq) = xyx, y) = xy x + 3y ), xyq) = 3 yyx, y) = 6x + 3y ) 36y x + 3y ), yyq) = 3 Taylors formel ger nu sökt andra ordningens Taylorpolynom P x, y) P x, y) = fq) + f xq) x ) + f yq) y + ) + xxq) x ) + xyq) x ) y + ) + yyq) y + ) ) = x ) 3 y + ) + x + 3 x ) ) y + ) 3 y + ) Vi approximerar f:s värde i punkten.6,.4) m h a P f.6,.4) P.6,.4) =.6.5) 3.4 +.5) +.6.5) + 3.6.5).4 +.5) 3.4 +.5) =.8 SVAR: P x, y) = x ) 3 y + f.6,.4).8. ) + x ) + 3 x ) ) y + 3 y +, ) 5. roppen i rymden begränsas av ytorna z = x + y och x + y + z =. a) p) Beskriv kroppen med hjälp av olikheter i antingen cylindriska eller sfäriska koordinater valet är ditt). b) p) Räkna ut integralen z dxdydz med hjälp av ett lämpligt koordinatbyte. Lösning. Ytan z = x + y är en rotationsparaboloid med rotation kring z-axeln och ytan x + y + z = är en sfär med centrum i origo och radie. Det är klart att kroppen beskrivs av olikheten x + y z x y.
Om man övergår till cylindriska koordinater x = r cos φ, y = r sin φ, z = z, man x + y = r och kroppen ges av olikheterna får r z r, φ π. Beskrivning i sfäriska koordinater x = r sin θ cos φ, y = r sin θ sin φ, z = r cos θ är lite svårare. Vi får x + y = r sin θ och olikheterna som beskriver kroppen blir då φ π det är villkor som ger oss rotation kring z-axeln), r vilket motsvarar z x y ) och r sin θ r cos θ, vilket motsvarar x + y z). Vi ser att den sista olikheten ger oss r cos θ sin θ. Denna olikhet och villkoret r skall uppfyllas samtidigt och man måste skilja på två fall: cos θ Fall :. Man ser att detta motsvarar π θ π. För sådana θ får man sin θ 4 villkoret r cos θ sin θ. cos θ Fall :. Man ser att detta motsvarar θ π. För sådana θ får man sin θ 4 villkoret r. Nu beräknar vi integralen z dxdydz. Det är lättare att använda cylindrical koordinater. Olikheten r z r kan uppfyllas endast om r r vilket ger oss villkor r. Integralen blir vi glömmer inte Jakobian J = r) z dxdydz = π dφ SVAR: a) se ovan b) 7π dr r z r dz = r = π r ) r4 r dr = 7π. 6. En partikel som påverkas av kraften Fx, y) = xe y, x x e y ) rör sig längs parabeln y = 4 x från punkten, ) till punkten, ). Beräkna det arbetet som kraften uträttar. Lösning. raftens arbete ges av kurvintegralen xe y dx + x x e y ) dy ), γ
där γ är parabelstycket given i uppgiften. Vi kompletterar kurvan γ till en sluten kurva genom att addera intervallet på x-axeln från punkten, ) till punkten, ). Låt γ beteckna erhållna slutna kurvan. Enligt Greens formel kan integralen längs γ förvandlas till dubbelintegralen Q x P ) dxdy, y D där D är området mellan parabeln y = 4 x oxh x-axeln och vi räknar Q x P y = xe y + xe y =. Dubbelintegralen blir då arean av området D som räknas m h av envariabelintegralen Vi har således xe y dx + x x e y ) dy ) + γ 4 x ) dx = 3 3. xe y dx + x x e y ) dy ) = 3 3. Det återstår att undersöka integralen längs intervallet. En parametrisering av är x = x, y = och x vilket ger dy = och xe y dx + x x e y ) dy ) = x dx =. Alternativt kan man beräkna kurvintegralen direkt genom att parametrisera parabelbågen på lämpligt sätt, och sedan utnyttja att två av de tre resulterande enkelintegralerna är udda funktioner över ett origo-symmetriskt interval och följaktligen =. SVAR: 3/3 7. Låt fx, y, z) = yz + xz 3 + 5. a) Visa att nivåytan fx, y, z) = kan beskrivas som en funktionsyta på formen z = hx, y) i en omgivning till punkten,, ). p) b) I vilken riktning växer funktionen f snabbast om man befinner sig i punkten,, )? p) c) I vilken riktning växer funktionen h snabbast om man befinner sig i punkten, )? p) Lösning. a) Vi kontrollerar först att f,, ) =. Vi beräknar sedan z = y + 3xz och finner att,, ) = 4 + 3 = 7. z Enligt implicita funktionssatsen gäller då att det finns en funktion hx, y) definerad i en omgivning till, ) sådan att f x, y, hx, y)) =, dvs nivåytan fx, y, z) = kan skrivas som funktionsytan z = hx, y) i en omgivning till punkten,, ).
) b) f växer i en punkt P snabbast i riktningen fp ) = P ), P ), x y z P ). x = z3, y = z, z = y + 3xz. Alltså växer f i punkten,, ) snabbast i riktningen f,, ) =,, 7). c) h växer på motsvarande sätt i punkten, ) snabbast i riktningen h, ). Vi har att h x = x z 3 = och h y + 3xz y = y = z y + 3xz z z så följaktligen är h, ) = 7, ) 7 SVAR: a) Se ovan b),, 7) c), ). 8. Ett champagneglas tillverkas i form av en rotationsyta som fås om parabelstycket z = x, cm x cm i xz-planet roterar ett varv kring z-axeln. Glasets tjocklek varierar med höjden så att ytdensitet är ρ = +8z g/cm på höjden z. Bestäm glasets massa. Lösning. Massan ges av ytintegralen M = ρ ds = Y Y ds + 8z, där Y är rotationsytan som beskriver glaset. Att övergå från parabeln z = x till rotationsytan kring z-axeln innebär att ersätta koordinaten x med cylindriska koordinaten r = x + y. Alltså, ytans ekvation är z = x + y ) och variablerna x, y) ligger i cirkelskivan : x + y 4. Parametriseringen av ytan blir då x = x, y = y, z = x + y ), där variablerna x, y) som även fungerar som parametrar) ligger i cirkelskivan. Ytareaelementet ges av standardformeln ds = + z x + z y dxdy, vilket ger oss ds = + 6x + 6y dxdy. Massan blir då M = SVAR: 4π + 6x + 6y + 6x + y ) = dxdy = Area) = 4π.
9. a) Beräkna med hjälp av Gauss sats Divergensatsen) flödet av vektorfältet Fx, y, z) = x, y, z) ut ut den kropp som begränsas av ytorna z = x y och z =. p) b) Beräkna den del av flödet som går igenom den buktiga delen av begräsningsytan i a). p) Lösning. a) Vi betecknar med den givna kroppen, och med dess rand. De två begränsningsytorna till skär varandra i xy-planet z = ) längs cirkeln x + y =. Om N betecknar det utåtrikatade enhetsnormalfältet på gäller att Φ = F:s flöde ut ur definition = F N ds Gauss sats = div FdV. Vi har att divp, Q, R) = P x + Q y + R z, så div F = + + = 3. Alltså är Φ = 3 dv = 3 x y ) dxdy = [byt till polära koord. och beräkna] = 3π x +y. b) F N ds = F N ds F N ds. buktiga ytan plana bottenytan Vidare gäller att F N ds = x, y, z),, ) dxdy = z dxdy =. plana bottenytan x +y,z= x +y,z= eftersom z =. SVAR: a) 3π/ b) 3π/