ASYMPTOTER Definition. Den räta linjen är en lodrät (vertikal) asmptot till funktionen om å dvs om minst en av följande påståenden gäller lim, lim, lim lim Tips : Vertikala asmptoter kan finnas bland definitionsmängdens ändpunkter och bland diskontinuitetspunkter. ( Anm: En verikal asmptot kan INTE finnas I en punkt där funktionen är kontinuerlig för lim lim i en sådan punkt) Eempel A. Bestäm eventuella lodräta asmptoter till funktionen Lösning. Funktionen är definierad för. i) Eftersom då har funktionen en lodrät asmptot i. ( Anmärkning: då ) ii) i) Eftersom då har funktionen en lodrät asmptot i. ( Anmärkning: då, se grafen nedan ) Svar: Funktionens lodräta (vertikala) asmptoter är och.
Definition. ( Höger, vågrät asmptot) Den räta linjen är en vågrät (horisontell) asmptot till funktionen då om följande gränsvärde eisterar lim, ä ä. På samma sätt definierar vi vänster, vågrät (horisontell) asmptot då Definition. ( Vänster, vågrät asmptot) Den räta linjen är en vågrät (horisontell) asmptot till funktionen då om följande gränsvärde eisterar lim, ä ä.. Bestäm eventuella vågräta asmptoter till funktionen. Lösning: Metod. (Direkt beräkning) Vi beräknar direkt lim lim 6 ö lim ä Därför är en vågrät asmptot till funktionen (se grafen nedan). 6/ / Metod. ( Används ofta för rationella funktioner för att enklare beräkna gränsvärdena då går mot. ) När vi söker vågräta eller sneda asmptoter kan det vara praktiskt att skriva om funktionen som summan av två delar där andra delen går mot 0 då går mot. ( Då är lim lim 0) Om då har (uppenbart) funktionen en vågrät asmptot.
I vårt eempel kan vi utföra polnomdivision 6 Eftersom går mot 0 då går mot har vi omedelbart att är en vågrät asmptot till funktionen ( se grafen nedan). Definition 3a. ( Höger, sned asmptot) Den räta linjen är en sned asmptot till funktionen då om följande gäller lim 0 Definition 3b. ( Vänster, sned asmptot) Den räta linjen är en sned asmptot till funktionen då om följande gäller lim 0 Följande, ekvivalenta definitioner, använder vi ofta för att bestämma k och n: Definition 3A. ( Höger, sned asmptot) Den räta linjen är en sned asmptot till funktionen då om följande gränsvärden eisterar ( och är reella tal) lim, ä ä. lim, ä ä. Definition 3B. ( Vänster, sned asmptot) Den räta linjen är en sned asmptot till funktionen då om följande gränsvärden eisterar ( och är reella tal) lim, ä ä. lim, ä ä. 3
Eempel A3 Bestäm eventuella sneda asmptoter till funktionen. Lösning: Metod ( direkt beräkning ) lim lim / lim / lim lim lim lim / / ( Samma resultat får vi om går mot ) Alltså är en sned asmptot till f() Metod Vi skriver om funktionen som summan av två delar där andra delen går mot 0 då går mot. Om vi får att då är en sned asmptot till. Om är ett polnom av grad då SAKNAR sneda asmptoter. I vårt eempel har vi ( med hjälp av polnomdivisionen) Uttrcket går mot 0 då går mot. Därför är en sned asmptot ( både vänster och höger). Anmärkning: Funktionen har också en lodrät asmptot, se grafen nedan. Övningsuppgifter: 4
. Bestäm eventuella asmptoter till funktionen ln( 5) Lösning: Funktionen är definierad då 5 > 0 och 0. Båda villkor är uppfllda om > 5. a) Vertikal (lodrät) asmptot. Vi beräknar ln( 5) lim > 5 5 ln 0. Alltså är 5 funktionens vertikal (lodrät) asmptot. b) Horisontell (vågrät) asmptot ln( 5) ln( 5) 5 ( 5) Vi beräknar lim lim 0 0 > > Anmärkning: Samma gränsvärde kan beräknas med l Hospitals regel ln( 5) lim lim 5 0 > > Alltså är 0 funktionens horisontell (vågrät) asmptot. Svar: Funktionen har en vertikal (lodrät) asmptot 5 och en horisontell (vågrät) asmptot 0 4 3. Bestäm eventuella asmptoter till funktionen 3 Svar: En lodrät (vertikal) asmptot 3 5
3. Ange eventuella asmptoter för f ( ) + Lösning: Polnomdivision ger: f( ) + + Definitionsmängden :. En lodrät (vertikal) asmptot eftersom lim f( ), lim f( ). + Från f ( ) + ser vi att f ( ) går mot 0 då går mot. Därför är en sned asmptot till funktionen. Svar: ) En lodrät (vertikal) asmptot ) En sned asmptot. 4. Ange eventuella asmptoter för 3 f ( ) Lösning: Polnomdivision ger: f ( ) 3 + Definitionsmängden :. En lodrät (vertikal) asmptot. Från f ( ) + ser vi att f ( ) går mot 0 då går mot. Därför är en vågrät (horisontell) asmptot till funktionen. Svar: ) En lodrät (vertikal) asmptot ) En vågrät (horisontell) asmptot. 6
5. Bestäm eventuella asmptoter till funktionen ln ln + Svar: Definitionsmängd > 0 och ln 0 Alltså D f ( 0, e) ( e, + ).. dvs e ) En lodrät (vertikal) asmptot e. ) En vågrät asmptot, då går mot + 6. Bestäm eventuella asmptoter till funktionen 3 + e Svar: En vågrät asmptot 3, då går mot + 7. Bestäm eventuella asmptoter till funktionen 5 + e Svar: En vågrät asmptot 5, då går mot ± 8. Bestäm eventuella asmptoter till funktionen + Svar: Två vågräta asmptoter: En höger vågrät asmptot, då går mot och en vänster vågrät asmptot, då går mot. 7