Tillämpad Matematik III Övning ODE

HH/ITE/BN Tillämpad Matematik III, Övning ODE 1 20 10 10 20 5 10 15 20 25 Tillämpad Matematik III Övning ODE Allmänt Övningsuppgifterna, speciellt Typuppgifter i första hand, är eempel på uppgifter du kommer att möta på tentamen. På denna är du ensam, så det är viktigt att du klarar av uppgifterna på egen hand! Trots detta rekommenderas och uppmuntras arbete i grupp samt användning av Mathematica även där endast handräkning förväntas! I lösningsförslagen hittar du oftast både handräkning och Mathematica, detta för att du ska få träning på båda! Avsaknad av lösningsförslag eller "snåla" sådana ska tolkas positivt som en inspiration och utmana dig till att fylla igen luckor och verifiera det som är gjort. Ha teorikompendierna till hands, där finns många lösta eempel. Uppgifter Typuppgifter i första hand Läsvecka 1 1. Verifiera allmänna lösningen a) 1 y' y y C 1 1 b) y'' y 0 y C 1 t C 2 t c) 2 y' y 1 y C 1 1 2 3 d) y' y2 1 y ln y y C 1 e) 2 y 2 2yy' 0 2 y 2 C 1 2. Visa att y 1 4 4 2cos 1 är en partikulärlösning till BVP y' 3 2sin y 0 3. 3. Visa att y 2 1 3 3 är en partikulärlösning till BVP y' 2 y. y 0 2 4. Om y 1 och y 2 är lösningar till en linjär (ODE) så är även y 1 y 2 en lösning. Detta gäller inte för olinjära differentialekvationer, eempelvis y'' y' y 0. a) Vad gör den olinjär? b) Låt y 1 och y 2 vara lösningar och sätt in y 1 y 2 och visa att det inte är en lösning. Förenkla så långt som möjligt, utnyttja att y 1 och y 2 är lösningar. Vad blir kvar i vänsterledet? c) Visa att y 1 2tan och y 2 2 är lösningar. d) Visa att y y 1 y 2 2tan 2 inte är en lösning, och att det som blir kvar efter förenkling stämmer precis med det du fann under b). 5. Integrera direkt a) y' 3 2 6 5 b) y' 5 2 4 c) y' 4 d) y' 1 2 2 e) y' 1 tan f) g 6. Integrera direkt (BVP) a) y' 2 5 y' 2 5 b) 2 c) y 0 2 y 1 1 y' 3 2 3 y 1 2 y' 4 2 d) y 0 3 2t sin t tan t e) f) 0 1 0 2 7. Separabla a) y' y b) y' y c) y' y d) y' 2 y e) y' 2 2 0 f) yy' y' 8. Separabla a) y' 2 1 y b) y' 1 1 y c) y' 1 y 4 1 d) y' y 2 1 e) y 2 3 2 y' f) y' 1 y 2 Läsvecka 2 9. Separabla a) 2 y 2 y' y 2 y 2 b) yy' 2 1 1 y e) y'cos y sin y 0 f) y' y c) y' y y d) yy' tan 4 y2 cos 2 10. Linjära a) y' 5 y b) y' 3 y 0 c) y' 5 y y d) y' 5y 2 e) y' 2 y f) sin y' cos y 1 2 cos 2 11. Linjära a) y' y 3 b) 1 y' y 1 2 c) y' 5y 7 d) y' 2 y 5 e) 1 2 y' y 1 2 f) y' y tan sin

2 Tillämpad Matematik III, Övning ODE HH/ITE/BN 12. Blandat a) y' 1 1 y' b) y' y c) y' 1 y 1 2 d) y 3 y' 4y e) y' y 3 3 2 2 f) y' 2 2 y 0 13. Blandat a) y' 2 y 3 b) y' tan y tan tan y c) y' 7 y d) 3 1 y 2 y' 0 e) y' 2 y 2 3 4 f) y' 2 10 2 y 4 14. (BVP) a) y' y y 0 3 b) y' y 1 42 y cos y c) 2t 1 2 2 0 1 Läsvecka 3-4 15. För tillväten av skogsmöss m t i Storskogen har man funnit modellen m' t 0.4m t BVP m 0 100 a Lös BVP. b Bestäm m 5. c Rita m t, t 0, 10, i grått med Plot. Pynta alarna. 16. Den klotformade magen på en snögubbe smälter så att hastigheten av volymändringen är proportionell mot dess area. Man observerade att diametern var 50 cm från början och att den efter 72 timmar var 40 cm. a Formulera och lös BVP som bestämmer diametern d t. b När har snögubbens mage smält bort? 17. En iskub som glömts på stranden smälter så att volymändringen per tidsenhet är proportionell mot dess area. Antag att sidan var 3 cm från början och att den smält till 2 cm på 5 min. a Formulera och lös BVP som bestämmer sidan s t. b Hur länge dröjer det innan den har smält bort? 18. En bakteriekultur dubbleras på 30 min. Antag att tillväten vid varje tidpunkt är proportionell mot antalet bakterier. a Formulera och lös BVP som bestämmer antalet bakterier b t. b Hur lång tid tar det innan bakteriekulturen har tiodubblats? 19. Den radioaktiva isotopen Thorium 234 sönderfaller med en hastighet som är proportionell mot kvarvarande mängd. Antag att 200 g reduceras till 164 g på 7 dagar. a Formulera och lös BVP som bestämmer mängden m t. b Vilken halveringstid har isotopen? 1 c Hur lång tid tar det tills det finns endast kvar av den ursprungliga mängden? 1000 20. Kaffet i en kopp har temperaturen 90 C. Temperaturen sjunker från 90 C till 75 C på 5 min då rumstemperaturen är 20 C. Antag att Newtons avsvalningslag gäller. a Formulera och lös BVP som bestämmer temperaturen T t. b Vad är temperaturen efter 15 min? c Hur lång tid tar det tills kaffet är 50 C? 21. Ett järn placeras för avsvalning under rinnande vatten med temperaturen 10 C. Efter 15 s var temperaturen i järnet 120 C och 90 C efter 25 s. Antag att Newtons avsvalningslag gäller. a Formulera och lös BVP som bestämmer temperaturen T t. b Hur varmt var järnet då avsvalningen inleddes?

HH/ITE/BN Tillämpad Matematik III, Övning ODE 3 22. Blod som medför ett ämne strömmar med flödet 3 cm 3 s genom ett organ med volymen 125 cm 3. Antag perfekt omrörning i organet, och att ämnets koncentration i det inkommande blodet är 0.4 g cm 3. a Formulera och lös BVP som bestämmer koncentrationen c t i organet om koncentrationen var 0.1 g cm 3 från början. b När når koncentrationen i organet 0.2 g cm 3? 23. En sjö har volymen 10 5 m 3. Från en å rinner det in rent vatten med flödet 2 m 3 h. Vid en tidpunkt uppmättes koncentrationen kvicksilver i sjön till 4 mg m 3. Anta perfekt omrörning samt att det finns ett utlopp från sjön så att dess volym är konstant över tiden. a Formulera och lös BVP som bestämmer koncentrationen kvicksilver c t efter uppmätningen. b Hur länge dröjer det innan koncentrationen har sjunkit till hälften? 24. En sjö har volymen 10 3 m 3. Från en å rinner det in rent vatten med flödet 2 m 3 h och från en annan å med flödet 3 m 3 h vatten förorenat med kvicksilver 10 mg m 3. Låt sjön vara helt ren från början. Anta perfekt omrörning samt att det finns ett utlopp från sjön så att dess volym är konstant över tiden. Låt Pb t mg m 3 vara mängden kvicksilver i sjön vid tiden t. a Rita för hand en bild över situationen med sjö och åar vid godtycklig tidpunkt t. b Formulera med hjälp av a BVP som bestämmer Pb t mg m 3. c Lös BVP med DSolve. d Rita Pb t, t 0, 1000 h i brunt med Plot. Pynta alarna med lämplig tet. e Sök Pb t efter lång tid. f När är koncentrationen Pb t lika med 3 mg m 3 i sjön? Använd NSolve. 25. En tank i form av en stående cylinder är helt fylld med vatten. Så öppnas en kran i botten så att vattnet strömmar ut med en hastighet som i varje ögonblick är proportionell mot kvadratroten ur vattendjupet, Torricellis lag. b Hur lång tid tar det att tömma tanken om den efter T s är tömd till hälften? 26. En tank i form av en rak cirkulär kon med spetsen vänd nedåt är helt fylld med vatten. En kran i spetsen öppnas så att vattnet strömmar ut med en hastighet som i varje ögonblick är proportionell mot vattendjupet. Ledning: V kon 1 3 r2 h. b Hur lång tid tar det att tömma tanken om den efter T s är tömd till halva höjden? 27. En vattenho avsedd för djurhållning är avbildad till höger. Plötsligt springer den läck i botten så att vattnet strömmar ut med ett flöde som i varje ögonblick är proportionellt mot kvadratroten ur vattendjupet, Torricellis lag. I detta fall visar sig proportionalitetskonstanten vara 0.6 m 5 2 h. b Hur lång tid tar det för en full vattenho att tömmas? 28. En vattentank har formen av en stående cylinder med radien 1 m och höjden 3 m. Tanken fylls på genom en i locket placerad ventil, som är så konstruerad att volymflödet genom den är proportionellt mot avståndet ner till vattenytan. Proportionalitetskonstanten är m 2 min. b Hur lång tid tar det att fylla en tom tank till hälften?

4 Tillämpad Matematik III, Övning ODE HH/ITE/BN 29. Grus forslas på ett transportband med hastigheten 4 m 3 h. När gruset faller av bildas på marken en grushög i form av en rak cirkulär kon, där höjden är dubbelt så stor som basens diameter. Ledning: V kon 1 3 r2 h. a Formulera och lös BVP som bestämmer konens höjd h t. b Hur länge dröjer det innan konens höjd är 3 m? 30. I en verkstad droppar det olja på golvet så en pöl bildas. Det droppar med jämnt flöde 2 liter h. Avdunstningen antas vara proportionell mot oljemängden i pölen. Om pölen innehöll 3 liter skulle avdunstningen vara 0.4 liter h. a Formulera och lös BVP som bestämmer oljepölens volym V t. b Hur mycket olja finns i pölen 4 h efter det att det började droppa? c Hur mycket olja finns efter mycket lång tid? 31. Klockan 12.00 en kall vinterdag går strömmen i Svenssons eluppvärmda villa. Temperaturen inomhus sjunker då från 20 C till 15 C på 9 h. Antag att temperaturen ute är konstant 12 C och att avsvalningen följer Newtons avsvalningslag. a Formulera och lös BVP som bestämmer T t i villan. b Är det risk att vattenledningarna fryser om strömmen inte kommer tillbaka förrän klockan 12.00 nästa dag? 32. En patient tillförs glukos blodsocker till blodet genom så kallat dropp med flödet 12 g h. Glukosen omsätts ut i kroppen med en hastighet som är proportionell mot aktuell mängd glukos i blodet med proportionalitetskonstanten 3 h 1. Läkaren är intresserad av mängden glukos s t i blodet. a Låt mängden glukos vara 2 g från början och formulera modellen som ett BVP. b Lös BVP. c Hur länge dröjer det innan glukosmängden har ökat till 3 g? d Vilken är den högsta mängd glukos patienten kan ha i blodet enligt denna modell? 33. Vid början av år 2000 var världens folkmängd till 6.1 10 6. För att uppskatta folkmängden under början av det nya seklet antog man att tillväthastigheten är proportionell mot aktuell folkmängd. Proportionalitetskonstanten var då 1.3 per år, men förväntades avta linjärt till 1.1 år 2010. a Formulera och lös BVP som bestämmer folkmängden f t. b Bestäm med denna modell folkmängden vid början av 2010. 34. Enligt en viss teori skulle det vid universums skapelse funnits lika stora mängder av de två uranisotoperna U 235 och U 238. Sönderfallshastigheten för dessa är vid varje tidpunkt proportionell mot kvarvarande mängd och halveringstiderna är 235 0.75 miljarder år respektive 238 4.5 miljarder år. Vid en uppmätning idag finner man att det finns 140 gånger så många U 238 atomer som U 235 atomer. Hur gammalt är universum enligt denna teori? Läsvecka 5 35. Lös (ODE) a) y'' 4 y' 3 y 0 b) y'' 4y' 4y 0 c) y'' 4 y' 5 y 0 36. Lös (ODE) a) y'' 4 y' 5 y b) y'' 4y' 5y 2 c) y'' 4 y' 4 y sin 37. Lös (BVP) med (BV) 38. Lös (BVP) med (BV) y 0 1 y' 0 0 y 0 0 y' 0 1 a) y'' 2y' 5y b) y'' 2 y' 3 y 2 a) y'' 2y' 3y 1 b) y'' 2 y' y 1 c) y'' 2 y' 5 y 39. Lös differentialekvationen y'' 2 y' y 40. Bestäm a och b så att a b cos t 4 får partikulärlösningen a) 5sin t 4 b) a cos t 4.

HH/ITE/BN Tillämpad Matematik III, Övning ODE 5 41. Bestäm samt t då a 0 och a) a b) a c) a 2 Läsvecka 6-8 42. En boll släpps från 20 m. Försumma luftmotståndet och använd Newtons accelerationslag my F. a Formulera och lös BVP som bestämmer bollens läge y t. b Bestäm bollens hastighet som funktion av tiden t. c När når den marken? d Med vilken hastighet? 43. En boll nickas iväg rakt upp med farten 10 m s. Försumma luftmotståndet och använd Newtons accelerationslag my F. a Formulera och lös BVP som bestämmer bollens läge y t. b Bestäm bollens hastighet som funktion av tiden t. c Hur högt når den, så kallad stighöjd? d Hur mycket är klockan då, så kallad stigtid? e När kommer den tillbaka och med vilken hastighet? 44. En bil med hastigheten 20 m s 72 km h accelererar plötsligt med konstant acceleration 1 4 m s2 under 200 m. Försumma luftmotstånd och använd Newtons accelerationslag m F. a Formulera och lös BVP som bestämmer bilens läge t. b Ta hjälp av kedjeregeln för att skriva om BVP så att. c Lös BVP. d Bestäm hastigheten efter accelerationen. Rita e Gör om c d genom att lösa a. 45. En sportbilstillverkare begränsar prestandan för en av sina modeller genom att vid full gas styra bränsletillförseln så att accelerationen i varje ögonblick är proportionell mot skillnaden mellan önskad toppfart 80 m s 288 km h och aktuell fart med proportionalitetskonstanten till 0.1 s 1. Försumma luftmotståndet och använd Newtons accelerationslag m F. a Formulera och lös BVP som bestämmer bilens läge t. b Vilken fart har bilen efter 20 s om den startar från stillastående med gasen i botten? c Hur långt har den kört då? d Hur lång tid tar det till 50 m s 180 km h och hur långt har den då kört? 46. För att utreda vilken skidvalla som är bäst genomför många skidåkare så kallade glidprov. Med känd utgångshastighet mäts då sträckan till stillastående. Vid ett försök gav en utgångshastighet på 6 m s en glidsträcka på 30 m. Sök friktionskoefficienten om vi antar att den enda kraften som verkar på åkaren i rörelseriktningen är den bromsande friktionskraften som är proportionell mot såväl som ekipagets tyngd. Använd Newtons accelerationslag m F. 47. Under en fotbollsmatch sparkar Zlatan iväg bollen med farten 25 m s och vinkeln 30. Låt g 10 m s 2 och försumma luftmotståndet. Hur högt når bollen, och hur mycket är klockan då? Ta hjälp av Newton. y 48. Under samma match kom Zlatan och Freddie att prata y om farten på bollen vid en inspark. De uppskattar längden 10 60 m och restiden 3 s till nedslagsplatsen. Hjälp dem att 6 8 4 bestämma utgångsfarten och elevationsvinkeln. Låt 2 g 10 m s 2 och försumma luftmotståndet. 10 20 30 40 50 60

6 Tillämpad Matematik III, Övning ODE HH/ITE/BN 49. En boll som väger 0.4 kg sparkas iväg av Zlatan med farten 25 m s och vinkeln 45. Låt g 10 m s 2 och luftmotståndet vara proportionell med c mot farten i både ochy riktningen. Variera c 0, 0.05, 0.1, 0.2. a Formulera och lös BVP med DSolve. b Bestäm restiden till dess bollen når mark igen. c Rita banan med ParametricPlot. y t 20 15 10 5 0 0 10 20 30 40 50 60 t c 0 c 0.05 c 0.1 c 0.2 50. Visa att om Zlatan sparkar iväg bollen med fartan så är avståndet till nedslagsplatsen maimal om 45. y ma 51. Om Zlatan sparkar iväg bollen med fartan med optimal elevationsvinkel landar bollen vid L. Hur långt når bollen om han sparkar iväg den med samma fart i en hall med takhöjden L 8? y L 52. Studera läget för en komet då t 0 ' t t y t 0 BVP y' t t y t 2t 7 sin 2t 0 y 0 1 a Lös BVP med DSolve. b Rita banan, för t 0, 10 med ParametricPlot. c Var stannar den? d Resan består av accelerationer och retardationer. I vilket tidsintervall sker den första accelerationen? Rita och studera kometens fart y t 1.0 0.8 0.6 0.4 0.4 0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 t 53. I Tomtarnas verkstad finns en maskin med massan 2000 kg som via en gummilagring, bestående av en fjäder och en dämpare med k 10 6 N m respektive c 4000 Ns m, är förbunden med ett vibrerande golv g t 0.005sin 3t m. För att kunna avgöra om systemet håller ända till jul måste Tomten få hjälp med att bestämma den rörelse som gummilagringen upplever. Med andra ord bestäm dess fortvarighetslösning. Identifiera sedan amplitud, fasvinkel, frekvens och period Bestäm även den största deformation fjädern känner då maskinen lyfts på plats. 54. Tomten är mycket road av mekanikproblem. En dag håller han genom en liten glatt ögla i taket ett 5 m långt rep så att 3 m hänger på ena sidan och 2 m på den andra. Han kan inte riktigt reda ut den modell som beskriver rörelsen sedan repet släpps och hur lång tid det tar innan det har glidit ur öglan och med vilken fart. Kan du hjälpa honom med det? Rita läge och fart som funktion av tiden. Eperimentera med lite olika startläge 55. Sankta Lucia ror över en 20 m bred, rak åföratt hämta stjärngossarna. Om vi lägger in ett koordinatsystem med aeln längs åkanten pekande nedströms och y aeln pekande mot andra sidan, ges vattnets hastighet som 1 200 y 20 y, 0 m s. a Rita vattnets hastighetsprofil i ån med ParametricPlot och Arrow. b Lucia startar i origo och ror hela tiden rakt mot andra sidan med farten u 0.25 m s. Härled BVP för hennes vådliga resa över ån Lös det med NDSolve. Eftersom vi inte vet restiden måste vi använda WhenEvent för att hålla koll på när hon angör andra sidan. Läs i Help. c Rita resan med ParametricPlot. Var ska stjärngossarna ställa sig och vänta? Hur varierar landstigningsplatsen och restid för lite olika u? Rita d Gör b c om hon istället hela tiden siktar mot önskepunkten 0, 20? e Gör om allt med en liten egen ode lösare som stegar fram med små tidssteg enligt s vt. Läs om "Numerisk lösning av " i "Något om..." samt While och Do.