Kan vi beskriva ett system utan någon fysikalisk kännedom om systemet? 1 Om svaret på frågan är ja så öppnar sig möjligheten att skapa en generell verktygslåda som fungerar för analys och manipulering av godtyckliga system oberoende om de är mekaniska, elektriska, biologiska, etc, etc. För att undersöka denna möjlighet börjar vi först med att definiera vad vi menar med ett system och sedan systematiskt klassificera olika typer av system baserat på deras egenskaper. 1
System Ett system är något med en eller flera insignaler och en eller flera utsignaler Föreläsning 2 System x(t) Insignaler y(t) Utsignaler 2 2
Systemegenskaper System med minne = dynamiska system: Utsignalen y(t 0 ) beror på insignaler x(t) vid andra tidpunkter än t 0. Kausala system: Utsignalen beror endast på gamla och nuvarande insignaler. 3 Exemplet y(t) = x(t) + x(t+1) + x(t-1) beskriver ett dynamiskt system som är icke-kausalt. Alla system i verkligheten är kausala. När kan man då ha användning för icke-kausala system? Jo, om vi inte arbetar i realtid utan kan lagra alla data för att sedan bearbeta dem off- line. 3
Linjäritet: Additivitet Systemegenskaper Homogenitet (eller skalning) Dessa två egenskaper tillsammans är ekvivalent med superposition. 4 Egenskaperna definieras på tavlan. Superposition innebär att en linjärkombination av två insignaler ger motsvarande linjärkombination av motsvarande utsignaler till resp. insignal. 4
Linjära system Resistor Kondensator Icke-linjära system y(t) = sin(x(t)) y(t) = x^2(t) Exempel 5 sin(x(t)) bryter mot additivitet och skalning. x^2(t) bryter mot additivitet och skalning. Observera att x(t)=0 som insignal producerar alltid y(t) = 0 hos ett linjärt system (enligt skalningsegenskapen). Är x(t) = 3x(t) + 4 ett linjärt system? Nej, ty x(t) = 0 ger y(t) = 4. (Trots att det är en linjär ekvation) I stället skriver man systemet som ett linjärt system 3x(t) med en likspänningsnivå 4 adderat på utgången. På så vis kan man ibland dela upp ett system i en linjär komponent där alla metoder för sådana system kan användas följt av en olinjär komponent som man försöker göra tillräckligt enkel för att den ska fungera i analys. 5
Tidsinvarians Ett system är tidsinvariant om ett tidsskift i insignalen producerar samma tidsskift i utsignalen. Är y(t) = x(t) + sin(ωt) tidsinvariant? Är time reversal y(t) = x(-t) tidsinvariant? 6 Svaren är nej till båda frågorna. Bevisas på tavlan. 6
Stabilitet Föreläsning 2 BIBO-stabilitet (Bounded-Input/Bounded- Output) innebär att ett system är stabilt om en godtycklig begränsad insignal producerar en begränsad utsignal. 7 Observera att konstanterna inte behöver vara lika stora. Om ett system är instabilt så innebär det att en begränsad insignal kan ge upphov till en (teoretiskt sett) obegränsat stor utsignal, vilket i praktiken innebär att systemet kan krascha eller att utsignalen kraftigt distorderas på något odefinierat sätt. 7
Diskreta signaler Föreläsning 2 En godtycklig tidsdiskret signal kan skrivas som en summa av skiftade och skalade enhetsimpulser: 8 Denna egenskap hos Dirac-impulsen kallas på engelska för sifting property. Illusteras på tavlan med en diskret signal. Anta att x[n] utgör en insignal till ett system. Kan vi då på något enkelt sätt hitta ett allmänt samband som beskriver utsekvensen y[n] baserat på ovanstående representation? För ett godtyckligt system är det svårt, då vi sett att olinjära system innebär att en skalad summa av insignaler (som ovan) inte kan skrivas som en summa av en skalad summa av respektive utsignaler. Men för ett linjärt system borde vi alltså kunna skriva utsignalen som en skalad summa på samma sätt som ovan (enligt superpositionsprincipen). Om vi skickar in en dirac-puls i systemet vid godtycklig tidpunkt (utsignalen till impulsen kallar vi följaktligen systemets impulssvar) så måste vi kunna skriva utsignalen till hela x[n] som en summa av skiftade impulssvar skalade med sekvensen x[n]! Ytterligare ett villkor förutom linjäritet krävs, nämligen tidsinvarians. (Annars kommer inte ett impulssvar vid tiden t gälla för alla andra tidpunkter.) Vi studerar denna möjlighet närmare på tavlan och visar hur systemets utsignal kanskrivas som en faltning av insignalen och systemets impulssvar. 8
In/ut-relation för LTI-system Föreläsning 2 För linjära tids-ivarianta (LTI-) system kan utsignalen bestämmas av systemets impulssvar faltat med insignalen. Vi behöver således bara lägga på en impuls på ingången till systemet för att entydigt definiera hur systemet beter sig. Ingen fysikalisk eller matematisk beskrivning behövs!! 9 Men är detta ett praktiskt användbart samband? Två frågor infinner sig: 1. Kan system i verkligheten beskrivas som linjära och tidsinvarianta? - Ja, i stor utsträckning. Kom i håg att en modell inte behöver beskriva verkligheten perfekt; den ska bara beskriva de delar av verkligheten som är relevanta. Ett olinjärt system kan ofta linjäriseras över vissa arbetsområden, dvs man studerar en linjär approximation av systemet inom ett visst område. I ett annat område använder man en annan linjär modell. Andra system kan skrivas som en seriekoppling av ett linjärt system och ett olinjärt. På så sätt kan man studera den linjära komponenten för sig och göra en mer invecklad analys av den olinjära delen. Man kan notera att det inte finns någon praktisk allmän teori för olinjära system, utan varje kategori av olinjäriteter kräver sin egen analys. 2. Hur mäter man upp systemets impulssvar? - Detta är inte helt självklart. Man kan ju inte producera en ideal impuls i verkligheten utan får antingen jobba med approximationer eller hitta impulssvaret på något annat sätt. Vi återkommer till detta under senare delar på kursen. Laborationen ger de grundläggande metoderna. Som vi kommer se kan vi också hitta en motsvarighet till impulssvaret i frekvensdomänen mha fourier-transformen. Det kontinuerliga fallet är ekvivalent. Sifting property gäller fortfarande, summor byts helt enkelt mot integraler. Faltningen av systemets impulsvar med insignalen bestämmer fortfarande systemets utsigna l. 9
Hur ser impulssvaret ut för ett stabilt system? Låt insignalen vara begränsad enligt x(t) <B1 Beräkna utsignalen som faltningen av insignalen x(t) och impulssvaret h(t) och bestäm dess absolutbelopp. Resultat: Systemet är stabilt om impulssvaret är absolut integrerbart: 10 Beräkningen görs på tavlan. Här visas stabilitetsvillkoret för kontinuerliga LTI-system. För diskreta system blir villkoret på samma sätt att impulssvaret skall vara absolut summerbart. Detta innebär att ett system med ett ändligt impulssvar (eng. finite impulse response = FIR) där varje koefficient är ändlig ger ett stabilt system (vilket innebär att så kallade FIRfilter, som vi beskriver närmare senare, alltid är stabila). 10
Stegsvar Föreläsning 2 Systemets reaktion på ett enhetssteg är användbart i många sammanhang. Det ges av: dvs, h(t) = s (t) 11 Beräkningen förklaras på tavlan. Stegsvaret är intressant i flera sammanhang. Dels är det inte ovanligt att insignalen till vissa typer av system (reglersystem t ex) är just ett steg, dels säger det en del om systemets insvängningsförlopp. 11
Andra basfunktioner I stället för att skriva insignalen som en viktad summa av impulser skulle vi kunna välja en annan bas. T ex 12 Det finns inget som säger att vi måste skriva insignalen som en summa av viktade impulser. Om det underlättar analysen kan vi lika gärna välja en annan bas än dirac-impulsen. 12
Exempel i kontinuerlig tid Föreläsning 2 Låt oss skriva insignalen som en summa av komplexa exponentialfunktioner Vad blir nu utsignalen? Varför är detta val av bas intressant? 13 Utsignalen beräknas på tavlan enligt de kontinuerliga versionerna av formlerna på förra sidan. Det visar sig att motsvarande bas för utsignalen också blir de komplexa exponentialfunktionerna. Funktioner med denna egenskap kallas för egenfunktioner (jfr egenvärden). Eftersom en sinusvåg kan skrivas som en komplex exponentialfuntion innebär detta att utsignalen från ett LTI-system kan skrivas som komplext skalade sinusvågor. Om insignalen kan representeras av en (eventuellt oändlig) summa av sinusvågor ges utsignalen som samma sinusvågor fast med förändrad amplitud och fas. Detta resultat ligger till grund för Fourieranalysens betydelse vid analys av linjära tids-invarianta system. Utifrån denna bakgrund ska vi nu repetera Fourierserien och dess generalisering Fouriertransformen, vilken sedan generaliseras ytterligare i form av Laplacetransformen. Dessa representationer (eller transformer) är inte direkt tillämpbara på diskreta signaler, vilka kräver den diskreta Fouriertransformen och den diskreta motsvarigheten till Laplacetransformen, den så kallade Z-transformen. 13