GRÄNSVÄRDEN OCH KONTINUITET Ensidiga gränsvärden. I nedanstående uppgifter betecknar vi enligt följande: aa Vänstergränsvärdet av funktionen f( i punkten aa aa Högergränsvärdet av funktionen f( i punkten aa Eempel. Låt fförr < ff( fförr fförr > y Bestäm a ff(, bb ff( ooooh cc ff( Svar: aa ff( bb ff( cc ff(
Om de två ensidiga gränsvärden är lika då betecknar vi (det dubbelsidiga gränsvärdet ff( AA aa ff( AA aa ff( AA aa ( Alltså, llllll aa ff( eisterar endast om de ensidiga gränsvärdena är lika. Om dessutom aa ff( ff(aa då är funktionen ff( kontinuerlig i punkten a. Definition: Funktionen ff( är kontinuerlig i punkten a om aa ff( ff( ff(aa aa Eempel Bestäm. ff(. ff(. ff(. ff( ( oooo dddddd ffffffffff och avgör om ff( är kontinuerlig i punkten då aa fförr < ff( / fförr fförr > fförr < bb ff( fförr fförr > Svar: a. ff(
. ff( /. ff( y. Eftersom de ensidiga gränsvärden är lika ff( ff( finns det ff(. Funktionen är inte kontinuerlig i punkten eftersom, t e, ff( ff(. b. ff(. ff(. ff(. Eftersom dem ensidiga gränsvärden är lika ff( ff( finns det ff(. y Funktionen är kontinuerlig i punkten eftersom ff( ff( ff(.
Beräkning av gränsvärdena A Rationella uttryck där går mot ett reellt tal Eempel. Beräkna följande gränsvärde >. Lösning: Om vi substituerar direkt i får vi det obestämda uttrycket. Därför förkortar vi först bråket med. [ Vi kan faktorisera täljaren och nämnaren, och förkorta bråket därefter. Alternativt, kan vi dela täljaren och nämnaren med (-.] > ( ( > ( > Svar: > Eempel. Beräkna följande gränsvärde >. Lösning: Om vi substituerar i får vi det obestämda uttrycket. Detta betyder att både, täljaren och nämnaren är delbara med (-. Det är inte uppenbart hur vi ska faktorisera täljaren. Därför delar vi ( med (- ( polynomdivision och får ( / (- ( kontrollera själv Nu har vi ( ( > ( ( >
> 9 Svar: 9 Uppgift. Beräkna följande gränsvärden: 6 7 8 9 7 7 6 6 Svar: / -/ -/ 6 -/ 7 8 / 9 - / /7 / B Rationella uttryck där går mot Vid beräkning av gränsvärdena där går mot utnyttjar vi ofta att oooo Eempel. Beräkna a b c Lösning: Vi bryter ut i täljaren den potens som har störst eponent och samtidigt nämnarens största potens och därefter förkortar bråket. ( Alternativ: Man kan förkorta bråket med största potensen. a ( ( ( förkortar med
b ( ( ( med förkortar ( ( c ( ( ( med förkortar ( Svar: a b c Uppgift. Beräkna följande gränsvärden: a b c d e f a Lösning:. ( ( 99 9 99 9 6
Svar: a / b c d e f C Rotuttryck Eempel 6. Beräkna följande gränsvärde Lösning: >. (Anmärkning: Om vi substituerar får vi uttrycket. Därför förenklar vi uttrycket först och substituerar efter förenkling. Eempel 7. Beräkna följande gränsvärde a > b > c 6 > Lösning: a > ( ( ( > > ( ( ( > b ( ( > > ( ( > ( ( ( > ( ( 8 c 6 > > 6 ( > (6 ( > ( ( 7
> ( 8 Svar a b 8 c 8 Uppgift. Beräkna följande gränsvärde a b 9 c d a Lösning: ( ( ( ( ( Svar a / b c -/ d 6 Uppgift. Kan man bestämma tal a så att funktionen ff( blir kontinuerlig i punkten om fförr < aa ff( fförr aaaa fförr > aaaa fförr < bb ff( fförr fförr > aaaa fförr < cc ff( fförr fförr > a Lösning : Vänstergränsvärde i punkten : [ Lägg märke till att < i detta fall, för, och därför väljer vi f(. ] 8
Högergränsvärde i punkten : ff( ( ( Lägg märke till att > den här gången, för, och därför väljer vi f( a. Funktionens värde i punkten : ff( aaaa aa ff( Funktionen är kontinuerlig i punkten om Detta är sant om a. ff( ff( ff( Alltså är funktionen f( kontinuerlig i punkten om a. Svar : a Funktionen f( är kontinuerlig i punkten om a. b Funktionen f( är kontinuerlig i punkten om a. c Det finns inte a så att funktionen f( blir kontinuerlig i punkten. 9