Repetition Mekanik Fy2 Heureka 2: kap. 2, 3.1-3, 4.1-3 version 2016 Kraftmoment (vridmoment) En krafts förmåga att vrida ett föremål runt en vridningsaxel kallas för kraftmoment (vridmoment). Moment betecknas M och beräknas ur: M = F l (där l är den vinkelräta momentarm). l Enhet: 1 Nm (Newtonmeter) F F N För att ett vridbart föremål (ex. gungbräda) ska befinna sig i jämvikt krävs, förutom att summan av krafterna ska vara lika med noll, att kraftmomenten medurs och moturs ska vara lika: F 1 l 1 = F 2 l 2 Detta kallas momentlagen. Momentarmen och kraften måste alltid vara vinkelräta mot varandra för att formeln ska gälla. Om de inte är det får man komposantuppdela kraften så man får en vinkelrät kraft mot momentarmen (se fig. t.h.). F 1 l 1 = F 2 cos37 l 2 l 2 F 2 cos37 Alternativt kan man beräkna det vinkelräta avståndet från kraftens riktningslinje till en parallell riktningslinje genom vridpunkten. (se fig. t.v.) ß kraftens riktningslinje F 1 l 1 = F 2 l 2 momentarm till F 2 Observera! För kraftmoment används enheten Nm. Detta är ju även enheten för arbete. Kraftmoment är dock ingen energiform. Därför använder vi Nm för kraftmoment och J för arbete.
Kaströrelse Alla formler utgår från föremålets startposition i kaströrelsen. Rörelsen delas upp i x-led och y-led. I x-led har rörelsen ingen acceleration utan endast konstant hastighet (luftmotståndet försummas). I y-led finns tyngdaccelerationen som drar ner bollen. Positiv rörelseriktning uppåt. Kastvinkel räknas från marken och uppåt. Specialfall: rakt upp: 90, rakt horisontellt: 0. För kast snett ner mot marken gäller negativa vinklar. Rörelseformler: s x = v 0 cosα t s y = v 0 sinα t 4,91t 2 v x = v 0 cosα v y = v 0 sinα 9,82t Kastbanan är en ledsen andragradskurva. I banans topp är v y = 0. Rörelsemängd Rörelsemängd betecknas p och ges av: p = mv. Rörelsemängd är en vektorstorhet som har både storlek och riktning. Lagen om rörelsemängdens bevarande (L.O.R.B.) Vid alla typer av krockar gäller till storlek och riktning att: p före = p efter Det är viktigt att tänka på vilken riktning som är positiv om föremålen färdas i olika riktningar. När föremålen rör sig snett, är resultanten av deras rörelsemängd före krocken lika med resultanten av rörelsemängden efter krocken. Detta skrivs! p före =! p efter. Cirkulär rörelse Ett föremål som vill röra sig cirkulärt kring en mittpunkt med konstant fart v måste i alla lägen påverkas av en resulterande kraft riktad mot mittpunkten. Denna kraft kallar vi centripetalkraft, F C. Det gäller att: F C = mv2. Detta gäller oavsett horisontell eller vertikal rörelse. r Rörelsen accelererar hela tiden mot centrum. Enligt Newtons andra lag är F c = m a c, vilket innebär att kraften och accelerationen har samma riktning (massa har ju ingen riktning). Varför finns det en acceleration trots att hastigheten i cirkelbanan är konstant? Det beror på att föremålet måste ändra riktning hela tiden (hålla sig kvar i cirkelbanan). Enligt Newtons första lag (tröghetslagen) måste föremål som vill ändra sitt rörelsetillstånd påverkas av en resulterande kraft (och därmed även av en acceleration).
Storheter/enheter som används vid cirkulär rörelse f frekvens = antal varv/s f = 1 T ω vinkelhastighet = antal rad/s ω = 2π f = 2π T T omloppstid = tid för ett varv T = 1 f v banhastighet = hastigheten i cirkelbanan v = 2πr T = ωr a c centripetalacceleration (riktad mot centrum) a c = v2 r = ω 2 r Man skiljer på banhastighet och vinkelhastighet! Banhastigheten är olika beroende på hur långt från centrum ett föremål rör sig i cirkelbanan. Vinkelhastigheten är lika stor oberoende av hur långt ifrån centrum man rör sig i cirkelbanan. Horisontell rörelse Förutsättningar: rotationshastighet v = konstant Spännkraften (i t.ex. snöre) alt. normalkraften (från t.ex. sätet, väggen i karusell el. dyl.) alt. friktionskraften utgör centripetalkraften F C. Tyngdkraften är vinkelrät mot rörelsen och inverkar ej. F S = F C F N = F C F fr. = F C Vertikal rörelse Förutsättningar: rotationshastighet v = konstant Centripetalkraften = resultanten av Spännkraften/Normalkraften och tyngdkraftens komposant i radiens riktning. Sammanfattande formel för centripetalkraften: S F C F C = S cosv (där v = 0 i nedre vändläget) Formeln gäller naturligtvis även med normalkraften. Byt bara ut S mot N. v S F C S S = F C F C cos v
Specialfall: Om hastigheten på rotationen är precis så liten att snöret nätt och jämt hålls spänt i övre vändläget, så är S = 0, vilket medför att F C =, eller a C = g v min = Om föremålet befinner sig på utsidan av cirkeln, blir resonemanget detsamma, men då är det den maximala hastigheten innan föremålet släpper kontakten med cirkeln som avses, t.ex. en bil som kör över ett väggupp. v max = gr gr Centripetalkraft och centrifugalkraft En observatör som tittar på en kropp som rör sig i cirkelbana, uppfattar att det finns en kraft riktad mot centrum (centripetalkraft) som tvingar kroppen kvar i banan. En annan observatör som följer med i den cirkulära rörelsen, upplever en tröghetskraft som pressar honom utåt från centrum (centrifugalkraft). Tillämpningar på cirkulär rörelse Gravitation mellan himlakroppar: F = G m 1 m 2 r 2 där G = 6,67 10 11 Nm 2 /kg 2 Elektrisk kraft mellan laddningar: F = k e Q 1 Q 2 r 2 där k e = 8,99 10 9 Nm 2 /C 2 Övningar på mekanik Nivå 1 TEORIFRÅGOR 1. Vad kallas den resulterande kraft som krävs för att ett föremål ska kunna hålla sig kvar i en cirkulär rörelse? 2. Vilka är de jämviktsvillkor som krävs för att ett föremål ska befinna sig i vila? 3. Vilken är den optimala kastvinkeln för ett föremål som följer den matematiska kastbanan? 4. Vad gäller alltid i kastbanans högsta punkt? 5. Vad är vinkelhastighet? 6. Vilken är den lägsta möjliga normalkraften för en kula i en loop och var inträffar det (under förutsättning att kulan klarar sig hela varvet runt)?
RÄKNEUPPGIFTER 7. Hur stort vridande moment utövar kraften F på punkten A i figuren nedan? A hävarm, 70 cm F = 600 N 8. En lätt stång vilar på ett stöd. I stångens ändar hänger vikter med massorna 3 kg respektive 1 kg. Bestäm avståndet x i figuren. x 45 cm 3 kg 1 kg 9. Staven AB är homogen och jämntjock och är 2,0 m lång. Stavens massa är 1,5 kg. Den är fritt vridbar kring sin ena ände A. I den andra änden, B, har man fäst ett snöre som hålls lodrätt. Beräkna spännkraften F s i snöret då staven hålls horisontell. A 2,0 m F s B 10. En kula skjuts upp från marknivå, i 60 vinkel mot marken. Utgångshastigheten är 15 m/s. a) Efter hur lång tid når kulan sin högsta punkt? b) Hur högt över marken är den då? c) Hur långt bort från starten landar den? d) Bestäm hastigheten till storlek och riktning vid t = 2,0 s. 11. En liten kula kastas horisontellt med utgångshastigheten 5,3 m/s från höjden 1,7 m ovanför marken. a) Hur lång tid dröjer det tills kulan träffar marken? b) Hur långt bort landar den? 12. En bil med förare och passagerare väger tillsammans 1400 kg. Bilen kör med hastigheten 55 km/h genom en kurva med krökningsradien 110 m. Hur stor måste den sammanlagda friktionskraften mellan bildäck och vägbana vara för att bilen ska klara kurvan? 13. Ett flygplan gör en loop och bildar då en cirkel med radien 2200 m. Beräkna normalkraften på piloten i det nedersta läget i loopen där hastigheten är 950 km/h. Piloten väger 75 kg.
14. En sten med massan 0,40 kg sätts fast i ett snöre med längden 30 cm och tvingas rotera i en cirkulär vertikal bana. Spännkraften i snöret när stenen är i nedersta läget är 25 N. Hastigheten i banan är konstant. a) Rita en figur och sätt ut krafterna. Bestäm centripetalkraften. b) Hur stor är spännkraften i snöret när stenen befinner sig i det översta läget? c) Vilken är den lägsta hastighet som stenen kan ha för att precis klara loopen? 15. Figuren nedan visar kastbanan för en sten som kastats från vänster till höger. I ett visst ögonblick befinner sig stenen i punkten P. Markera med hjälp av pilar i figuren riktningarna dels på stenens hastighet, dels på dess acceleration i punkten P. Markera de två pilarna med v resp. a. Bortse från luftmotståndet. P 16. En explosion har just inträffat. Det var ett stenblock som sprängdes i tre bitar. Rörelsemängderna för två av dessa visas i figuren nedan. Rita in den tredje bitens rörelsemängd.
Nivå 2 17. a) Vilken kraft är det som utgör centripetalkraften när en elektron kretsar kring protonen i en väteatom? b) Beräkna omloppstiden för elektronen i väteatomen, om vi antar att den rör sig i en cirkelbana med radien 53 pm. 18. En liten träkloss ligger på en horisontellt roterande skiva. Rotationshastigheten är 30 varv/min och avståndet mellan klossen och skivans centrum är 20,0 cm. Klossen väger 0,60 kg. a) Bestäm friktionskraften till storlek och riktning. b) Klossen flyttas längre ut från centrum men skivan har fortfarande samma rotationshastighet. Bestäm det största avståndet från skivans centrum där klossen kan befinna sig utan att den faller av. Den maximala friktionskraften uppgår till 1,5 N. 19. En tekniskt krävande idrottsgren är släggkastning. Släggkastaren utför 3-5 varvs snabb rotation före utkastet av släggan. Släggan består av en lina med handtag och en kula. Kulan väger 7,2 kg. När släggan släpps iväg har den hastigheten 25 m/s. a) Beräkna kraften i linan just före släggan släpps iväg. Radien i rotationsrörelsen kan antas vara 1,9 m. Räkna med att det är en horisontell rotation. b) Släggans kastvinkel blir 42 och den släpps iväg från 2,05 m höjd över marken. Beräkna kastlängden. 20. En 8,0 m jämntjock lång planka, som väger 20 kg, vilar horisontellt på två bockar enligt figuren nedan. I ena änden av plankan har man placerat en 10 kg-vikt och 0,80 m från plankans andra ände har man placerat en 5 kg-vikt. Bestäm normalkrafterna från de båda bockarna (stöden) 10 kg 5 kg 1,2 m 5,2 m 0,80 m 21. En bil med massan 1200 kg passerar med hastigheten 65 km/h över en välvd bro. Bron är en del av en cirkelbåge med radien 75 m. a) Beräkna de krafter som verkar på bilen vid brons högsta punkt. b) Hur fort kan bilen köra utan att bilen lättar från vägen?
22. Merkurius befinner sig på ett medelavstånd från Solen på 5,79 10 10 m. Solens massa är 1,99 10 30 kg. Beräkna utifrån denna information omloppstiden för Merkurius. Svara i dygn. 23. En puck som väger m 1 = 3 kg rör sig med u 1 = 10 m/s i riktning som figuren visar. En annan puck som väger m 2 = 5 kg rör sig med u 2 = 5 m/s, se figuren. Puckarna kolliderar och fastnar i varandra. Beräkna deras gemensamma hastighet efter krocken till storlek och riktning. Nivå 3 24. En flaggstång med längden 4,5 m är fastsatt vid en vägg med hjälp av ett gångjärn A. Flaggstången väger 45 kg och dess tyngdpunkt är belägen 2,0 m från gångjärnet. Beräkna spännkraften i linan BC som håller flaggstången uppe. 25. En spionsatellit ska kunna färdas runt Jorden 10 gånger per dygn. På vilken höjd över jordytan ska satelliten då färdas?
26. En kulstötare stöter iväg en kula med 42 o kastvinkel. Stöten mäts (längs marken) till 18,58 m. Kulan lämnar stötarens hand 2,1 m ovan marken och på ett horisontellt avstånd av 30 cm framför kulringens kant. Vilken utgångshastighet hade kulan? 27. En curlingsten A glider nästan friktionsfritt på is och krockar med en stillastående curlingsten B, se figuren nedan. Massan hos A är 17,5 kg och hos B är 20,0 kg. Eftersom B ligger lite under A:s färdriktning kommer det bli en sned krock, varvid B precis efter krocken rör sig med 1,0 m/s i 30 riktning snett nedåt från A:s färdriktning, se vinkeln α = 30 i figuren nedan. Bestäm hastigheten till storlek och riktning för sten A precis efter krocken. A 3,0 m/s B före krock A B α efter krock 1,0 m/s 28. En kula är fäst i en tråd med längden l = 25 cm. Trådens andra ände är fäst i en punkt P. Tråden sträcks horisontellt och kulan ges farten v o riktad nedåt i läge A. Se figuren. v A l = 25 cm P o Tråden tål precis 4 gånger kulans tyngd, d.v.s. tråden går av om den belastas med en kraft större än 4, där m är kulans massa. B Vilken är den största fart v o som man ge kulan, så att inte tråden går av vid läge B?
Svar till övningar på mekanik 1. Centripetalkraft 2. Kraftresultanten = 0 och att momenten medurs = momenten moturs 3. 45 4. v y = 0 5. Ett mått på hur många radianer ett föremål, som rör sig i cirkelbana, har vridits per sekund. 6. 0 N. I banans högsta punkt. 7. 420 Nm 8. 15 cm 9. 7,4 N (7,365) 10a. 1,3 s 10b. 8,6 m 10c. 20 m 10d. v 10,0 m/s riktad 42 snett ner mot marken 11a. 0,59 s 11b. 3,1 m 12. 3,0 kn (2971) 13. 3,1 kn (3111) 14a. F C 21 N (uppåt, liksom F S = 25 N. 4 N nedåt) 14b. F S 17 N 14c. 1,7 m/s 15. v tangentiellt, a lodrätt nedåt (ingen a i x-led) 16. a P v 17. 1,5 10 16 s 18a. 1,2 N 18b. 25 cm 19a. 2,4 kn 19b. 65,5 m 20. 204 N från det vänstra stödet och 140 N från det högra stödet. 21a. tyngdkraft = 12 kn och normalkraft = 6,6 kn 21b. 98 km/h 22. ca 88 dygn (7,6 milj. s) 23. 1,9 m/s riktat 35 snett uppåt åt höger från x-axeln räknat. 24. 0,77 kn 25. ca 2700 km ovanför jordytan (9100 km från Jordens centrum) 26. 12,7 m/s 27. Sten A har hastigheten 2,1 m/s riktad 16 snett uppåt åt höger från x-axeln räknat. 28. 1,6 m/s