Linköpings Universitet IFM Mats Fahlman Tentamen för TFYA87 Fysik och Mekanik Tisdagen 10/1 017, kl 14:00-18:00 Hjälpmedel: Avprogrammerad miniräknare, formelsamling (bifogad) Råd och regler Lösningsblad: Skall vara renskrivna och läsbara Skriv bara på ena sidan av pappret Svar skall anges med enheter Betygsgränser: 3 10-14.5 4 15-19.5 5 0-4 Lycka till!
1. Två klossar 1 och, se figur endan, är fastbundna med ett masslöst snöre som löper över masslösa trissor. En krage 3 läggs på klossen 1 varpå systemet släpps från vila. Kragen 3 lyfts bort (utan energiförlust) av två bjälkar när klossen 1 rört sig 0.9 m nedåt (se figur). Klossen 1 och fortsätter sedan tills kloss 1 slår i golvet. Vad är hastigheten för kloss 1 precis innan markträff? (4p) 0.3 m 0.6 m m 3 = 4.0 kg m 1 = 5.0 kg 1.5 m m = 5.0 kg. Gråben står 1.8 meter från fören i en båt. Båten är 4. m lång och fören av båten befinner sig 1.1 m från bryggan. Gråben väger 70 kg och båten väger 150 kg. Båtens eget masscentrum ligger mitt i båten. Gråben går nu till fören av båten för att sedan kunna hoppa till bryggan. Var befinner sig masscentrum av systemet båt + gråben innan han hoppar (relativt bryggan, dvs med bryggan som origo)? (p) Hur långt har Gråben att hoppa från fören till bryggan? (1p) Var är båtens masscentrum när Gråben landar på bryggan? (1p) 1.1m 1.8m x=0m 4. m
3. En 5.00 kg kloss rör sig med.00 m/s tills den träffar en stillastående kloss med massa 1.00 kg. Efter kollisionen fastnar de två klossarna i varandra och fortsätter in i en fjäder med fjäderkonstanten k = 100 N/m. Underlaget är friktionslöst. Hur långt x trycks fjädern ihop som mest? (4p) k 4. Se krets nedan. R1 = 1.0 Ω, R =.0 Ω, V1 =.0 V och V = 4.0 V. Vad är I1, I, I3, samt spänningen mellan punkt a och b? (4p) a R 1 R 1 I 3 I 1 V 1 V V R R 1 R 1 b I 5. En homogen stav med massa M svänger i ett vertikalplan kring en horisontell axel vars avstånd x från stavens mitt kan varieras. Staven har längden L och svänger friktionsfritt. Visa att tröghetsmomentet för rotation runt stavens masscentrum blir ML /1 där M är stolpens massa (1p) Visa att då max för svängningen kan antas vara liten så är T = (I/Mgx) ½ (p). Hur stort ska x vara för att stavens svängningstid (perioid) T ska bli så liten som möjligt? (1p) x masscentrum
6. Gråben använder en uniform stolpe med längden L = 5.0 m för att överbrygga ett stup enligt figur. Marken på vänster sida av stupet och bergsväggen på höger sida av stupet har statisk friktionskoefficient = 0.50. Gråben har en massa m1 = 50.0 kg. Gråben klättrar sedan uppför stolpen med en konstant hastighet v =.0 m/s. Vilken massa M måste stolpen minst ha för att den inte ska glida iväg under Gråbens klättringsfärd upp till andra sidan? (4p) v 4.0 m
Formelsamling TFYA87 Kinematik: v = ds a = dv vdv = ads Cirkulär rörelse: a = v Kurvrörelse (D): a = (r rθ )r + (rθ + r θ )θ r, v = rθ = rω Impuls: J = p = F 1 Elastisk kollision 1D: v 1 v = (v 1 v ) Masscentrum: r mc = m ir i M i r mc = r dm M Gravitationskraft: F G = G M 1M r Tröghetsmoment: I = m i i r i I = r dm Arbete: W = F ds 1 Parallellaxel teoremet: I = I mc + Mh Kinetisk energi: K = 1 mv Effekt: P = dw Rörelsemängd: F = dp Vridmoment: τ = r F τ = dl τ = Iα där α = θ = ω Rörelsemängdsmoment: L = r p Kinetisk rotationsenergi:
K = 1 Iω F ab = q aq b 4πε 0 ε r r r Rullning utan glid: v mc = rω Total kinetisk energi: K = 1 Mv mc + 1 I mcω Elektrisk fältstyrka: E = Q 4πε 0 ε r r r E = r ρdτ 4πε 0 ε r r, Integrerat över volymen där det finns laddningstätheten. Harmonisk svängningsrörelse x + ω x = 0 där x = A cos(ωt + φ) Elektriskt dipolmoment: p = ql,pekar från q till +q T = π ω Dämpad linjär svängningsrörelse x + γx + ω x = 0 där x = e γt cos (ω e t + φ) ω e = ω γ Intensitet i mekanisk våg (effekt/m ): I = π ρvf A där = densitet av mediet Vågrörelse (plan våg): y(x, t) = A sin(kx + ωt) Elektrisk potential V: V = E ds 1 V = Q 4πε 0 ε r r V = ρdτ 4πε 0 ε r r Integrerat över volymen där det finns laddningstätheten. V(oändligheten) är satt som 0. Gauss lag (E-fält): E da = Q in ε 0 ε r Integrerat över en sluten yta A, Qin laddningen som är innesluten. k = π λ v = fλ Coulomb kraft: Kapacitans: CV = Q
Plattkondensator: C = Aε 0ε r d V = Qd Aε 0 ε r E = Q Aε 0 ε r W = 1 QV Där A är arean av en platta och d är avståndet mellan plattorna Magnetisk flödestäthet (vakuum/luft): B = μ 0 4π IdS r r B = μ 0 4π J r dτ r Oändlig rak ledare, ström I: B(R) = μ 0I πr Lorentz kraft: Energi i ett elektriskt fält: F = qe + qv B W = 1 Vρdτ = 1 ε 0ε r E dτ Strömtäthet: Amperes lag: B ds = μ 0 I + μ 0 ε 0 d E da J = nqv J = σe där σ = n q μ och v = μ E Strömstyrka: I = J da Vridmoment, plana slingor i magnetfält: τ = IA B där A är arean av slingan med riktning som är ortogonal mot strömförande slingans plan. Magnetiskt flöde: I = V R där R = l Aσ = lρ r A Φ = B da Elektrisk effekt: P = VI Induktion: V = dφ (elektromotorisk spänning) Gauss lag (B-fält) B da = 0 Energi, elektromagnetiska vågor (vakuum): W = 1 ε 0E dτ + 1 μ 0 B dτ