Reglerteori. Föreläsning 8 Torkel Glad
Föreläsning 8 Torkel Glad Februari 2018 2 Sammanfattning av föreläsning 7 H 2 och H syntes. Gör W u G wu, W S S, W T T små. H 2 : Minimera ( W u G wu 2 2 + W SS 2 2 + W T T 2 2 ) dω H : Sätt absolut gräns på W u G wu, W S S, W T T för alla ω. Leder till algebraiska Riccatiekvationer.
Föreläsning 8 Torkel Glad Februari 2018 3 För- och nackdelar med H 2, H (+) Hanterar direkt kraven på S, T, G wu (+) Talar om när krav är omöjliga (via γ) (+) Lätt väga olika krav (i frekvensplanet) mot varandra (-) Kan vara svårt att detaljstyra uppförandet i tidsplanet (-) Ger ofta komplicerade regulatorer (antalet regulatortillstånd = sammanlagda antalet i G, W u, W S, W T )
Föreläsning 8 Torkel Glad Februari 2018 4 Linjär ervariabel regulatorsyntes Sammanfattning Gör RGA-analys Använd enkla enkretsregulatorer av typ PID om RGAn visar att det är möjligt. Använd annars linjärkvadratisk eller H 2 /H -syntes
Föreläsning 8 Torkel Glad Februari 2018 5 Olinjära system 1. Olinjäriteter (kap 11) 2. Stabilitet (kap 12) 3. Cirkelkriteriet (kap 12) 4. Fasplan (kap 13) 5. Beskrivande funktion (kap 14) 6. Olinjära regulatorer (kap 15 16) 7. Exakt linjärisering (kap 17)
Föreläsning 8 Torkel Glad Februari 2018 6 Amplitudberoende stegsvar 1.4 1.2 DC-motor med steg av olika amplitud blått: stegamplitud 1 rött: stegamplitud 5 (skalat med 1/5) 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0 2 4 6 8 10
Föreläsning 8 Torkel Glad Februari 2018 7 Rampsvar och sinussvar, DC-motor 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 0 2 4 6 8 10 rött: insignal, blått: utsignal 0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 0 0.01 0.02 0 2 4 6 8 10
Föreläsning 8 Torkel Glad Februari 2018 8 Ramp + sinussvar, DC-motor Blått: y. Rött: r, Grönt: y då r är en ren ramp 10 8 6 4 2 0 2 0 2 4 6 8 10
Föreläsning 8 Torkel Glad Februari 2018 9 Styrsignalen före och efter mättning rött: före mättning; blått: efter mättning 4 3 2 1 0 1 2 0 2 4 6 8 10
Föreläsning 8 Torkel Glad Februari 2018 10 Slutsatser Superpositionsprincipen gäller inte Speciellt: Stegsvarets kvalitativa utseende är amplitudberoende Inverkan av olika insignaler är inte additiv
Föreläsning 8 Torkel Glad Februari 2018 11 Stationära punkter, linjärisering ẋ = f(x, u) y = h(x) Stationär punkt, (jämviktspunkt, singulär punkt) x, ū: ( x, ū konstanter) Linjärisering: f( x, ū) = 0, ȳ = h( x) d (x x) = A(x x) + B(u ū), y ȳ = C(x x) dt A = f x ( x, ū), B = f u ( x, ū), C = h x ( x)
Föreläsning 8 Torkel Glad Februari 2018 12 Viktigaste (?) olinjära systemet ẋ 1 = x 2 ẋ 2 = ax 2 + b sin(θ x 1 ) Förenklad modell av generator (vattenkraft, kärnkraft, kolkraft,vindkraft,...) Modell av faslåsningskrets (frekvens- och fasdemodulering, generering av stabiliserade frekvenser,...) x 1 vinkel(fas)läge, x 2 vinkelhastighet.
Föreläsning 8 Torkel Glad Februari 2018 13 Faslåsningskrets (phase locked loop, PLL) v = sin(ω o t + θ) Π vy lågpassfilter φ y = cos(ω o t + φ) oscillator x 1 = φ, x 2 = φ ẋ 1 = x 2 ẋ 2 = ax 2 + b sin(θ x 1 )
Föreläsning 8 Torkel Glad Februari 2018 14 Elektrisk generator x 1 = φ, x 2 = φ ẋ 1 = x 2 ẋ 2 = ax 2 b sin(x 1 ) x 1 fasläge, x 2 derivata fasläge (avvikelser från önskat) foto: Alessio Sbarbaro. Wikimedia
Föreläsning 8 Torkel Glad Februari 2018 15 Stabilitet 1. Stabilitet: Denition 2. Ljapunovfunktioner 3. Stabilitet via linjärisering 4. Lågförstärkningssatsen 5. Cirkelkriteriet
Föreläsning 8 Torkel Glad Februari 2018 16 Stabilitet Denition: En jämviktspunkt x 0 är stabil om det till varje ɛ nns ett δ sådant att x(t, x 1 ) x 0 < ɛ för alla t > 0 så snart x 1 x 0 < δ. Asymptotiskt stabil om det dessutom nns ett δ > 0 sådant att x(t, x 1 ) x 0, t så snart x 1 x 0 < δ. Globalt asymptotiskt stabil om δ ovan kan tas godtyckligt stort.
Föreläsning 8 Torkel Glad Februari 2018 17 Ljapunovfunktioner Medför V (x 0 ) = 0, V (x) > 0, x x 0 V (x) x V x(x)f(x) < 0, x x 0 ẋ = f(x) har en globalt asymptotiskt stabil lösning x(t) = x 0. Om V har ovanstående egenskaper i omgivning av x 0 så gäller (lokal) asymptotisk stabilitet. Räcker om V x(x)f(x) 0 och ingen lösning (utom x = x o ) förlöper helt i det område där V x(x)f(x) = 0.
Föreläsning 8 Torkel Glad Februari 2018 18 Ljapunovfunktion för faslåsningskrets V = 1 2 x2 2 + (1 cos x 1 ) 3 V 8 6 4 1 2 2 0 0 10 1 5 0 x1 5 10 2 3 x2
Föreläsning 8 Torkel Glad Februari 2018 19 Linjärisering Sats: Om ett linjäriserat system är asymptotiskt stabilt så är också det ursprungliga systemet asymptotiskt stabilt. Motivering: Skriv systemet som ẋ = Ax + g(x) där g innehåller kvadratiska och högre ordningens termer. Konstruera en Ljapunovfunktion V = x T Sx för ẋ = Ax genom att lösa A T S + SA = Q, Q > 0, S > 0 Detta V är Ljapunovfunktion även då termen g tas med om x är tillräckligt litet.
Föreläsning 8 Torkel Glad Februari 2018 20 Cirkelkriteriet Linjärt system G(s) återkopplat med statisk olinjäritet f(x) f(0) = 0, k 1 f(x) x k 2 Stabilt om nyquistkurvan till G(iω) inte omcirklar eller går in i cirkeln. Im 1 k 1 1 k 2 Re G(iω)
Tack www.liu.se